重难专题04 最全抽象函数模型（14种题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦抽象函数模型专题，系统梳理一次函数、二次函数、幂函数、指数型、对数型等14类核心模型，构建从抽象特征识别到原型匹配再到解题应用的完整知识体系。 清单以题型脑图归纳重难考法，每个模型标注抽象特征与对应原型，如一次函数模型突出赋值试探与单调性应用，培养学生数学抽象与逻辑推理素养。配套典型例题与解题步骤指引，如二次函数模型结合奇偶性证明与最值求解，助力学生高效自主复习，教师可据此精准定位考点，提升备考针对性。

重难专题04 最全型抽象函数模型 题型脑图·重难考法归纳 考法深研·解题技能通关 题型01 一次函数模型 抽象特征：或类似变形（若，则为正比例函数模型）。 对应原型：。（推导过程：令，则，，由可得，，所以，即。） 解题步骤：1.赋值试探：优先代入特殊值（如），求出或推导奇偶性； 2.原型匹配：观察抽象式子的结构，联想对应的一次函数模型，必要时构造新函数化简； 3.性质应用：利用推导出的单调性、奇偶性或周期性，结合定义域解决不等式或求值问题。 1．（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知定义在上的函数满足以下条件：对任意，，有，，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】【解法一：】任取，，且，因为， 所以， 因为时，，且， 所以， 所以，即， 所以在上是增函数， 令，所以， 令，，所以， 不等式等价于， 所以，即， 因为在上是增函数，所以，解得或， 所以不等式的解集为. 【解法二：】由，可构造函数， 又，所以，即，满足当时，， 所以不等式，即，整理得或。 故选B. 2．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知定义在上的函数满足，不是常数函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．是增函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】C 【分析】A：令，可得结果；B：根据定义结合可进行判断；C：令，可得与的关系，由此可判断；D：假设为偶函数，然后推出矛盾即可判断. 【详解】对于A：令，所以，所以，故A错误； 对于B：任取且，所以， 所以，但此时的正负无法判断， 所以不一定是增函数，故B错误； 对于C：令，所以，所以， 所以，且的定义域为关于原点对称， 所以是奇函数，故C正确； 对于D：因为，， 假设为偶函数，则，则， 又因为，所以，这与不是常数函数矛盾， 所以不是偶函数，故D错误； 故选：C. 【解法二：】由，可构造函数， ，故A错误； 因为的正负不确定，所以不一定是增函数，故B错误； ，因为，所以是奇函数，故C正确；，不是偶函数，故D错误。 故选C. 3．（多选）（25-26高一上·山东泰安·期末）已知函数对任意，总有，当时，，若，则下列选项正确的是（   ） A． B．为奇函数 C． D．在上的最小值为-6 【答案】BCD 上的最小值为，结合递推关系，求得的值，可判定D正确. 【详解】对于A，令，可得，可得， 令，可得，即， 因为，令，可得，所以， 令，可得， 所以，所以A错误； 对于B，令，则， 因为，所以， 所以函数为奇函数，即为奇函数，所以B正确； 对于C，令，可得，即（*）， 由，可得， 将（*）代入上式，整理得（**）， 又由，可得， 将（**）代入上式，整理得，所以C正确； 对于D，设且，则， 因为当时，，所以， 又由， 则，即， 所以函数在上为减函数，所以在上的最小值为， 则 ， 因为，所以，所以D正确. 故选：BCD. 4．（2026高三下·内蒙古鄂尔多斯·专题练习）已知定义在上的函数满足：①；②当时，；③的图象关于点对称．当时，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 令，得，即； 设，且，令，， ，即， ，，又当时，，故， 所以，即， 所以函数是上的增函数； 又的图象关于点对称，所以，得； 当时，，即， ，即， 所以，，即，， ，得， 所以的取值范围为. 5．（多选）（2025·辽宁·三模）已知函数对任意，都有，函数的定义域为，且的导函数满足，则（    ） A． B． C． D．当时，可能为偶函数 【答案】BCD 【分析】采用赋值法，令，可判断A的真假；利用赋值法先求，设辅助函数，根据函数的单调性可得，可判断B的真假；利用B的结论，结合可判断C的真假；取函数，可判断D的真假. 【详解】对A：令，得，即，A错误. 对B：令，得，得. 由，得，构造函数， 则，则为减函数，则， 即，则，所以，故B正确； 对C：令，得. 根据B的结论，得：， 所以，故C正确； 对D：若，则可取满足， 则为偶函数，故D正确. 故选：BCD 6．（2026·安徽池州·二模）设函数的定义域为，，若的图象与x轴相交于点，则（   ） A． B． C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】D 【分析】通过令和，确定函数为一次函数，通过待定系数法确定解析式，再逐项判断即可. 【详解】令可得：， 再令，可得， 即函数为一次函数， 设，代入给定等式， 左边：， 右边： 对比系数得： 若，得，，与无交点，舍去； 若，得，即，验证满足原等式。 已知，即，得， 对于选项A：，错误； 对于选项B：，错误； 对于选项C：，显然不是奇函数，错误； 对于选项D，令，定义域为R， 满足，是奇函数，正确. 题型02 二次函数模型 若函数满足（），则该函数通常为二次函数。特别地，当时，常见形式，对应原型。 1．（25-26高二下·浙江·期中）若，，则（    ） A．50 B．55 C．99 D．101 【答案】D 【分析】解法一：通过多次对赋特殊值，依次求出后，结合赋值推导；解法二：先令得到相邻自变量的函数值差的递推式，通过累加法建立与的关系求解；解法三：先根据函数方程和初始条件确定符合题意的具体函数解析式，直接代入计算结果. 【详解】解法一：（赋值）令得，所以； 令得，所以； 令得，所以； 令得，所以； 令，得，所以； 令，得，所以． 解法二：（赋值递推）令得，所以， 所以，累加得， 所以． 解法三：（抽象函数具体化）由可知，，，令，由，得，所以，所以． 2．（23-24高三上·河北保定·期末）已知函数满足：，，成立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则，所以， 令，则， 所以， 令，则，所以， 令，则， 所以， 则当时，， 则 ， 当时，上式也成立， 所以， 所以. 故选：C. 解法二：（抽象函数具体化）由可知，，，令，由，得，所以，所以. 3．（多选）（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（   ） A．点与点关于原点对称 B．函数是奇函数 C．当时， D．当时， 【答案】BD 【详解】取得，，取得， 所以，，故A错误； 因为， 所以函数是奇函数，故B正确； 取得， 所以， ， 所以， 若，则故C错误； ，故D正确． 解法二：（抽象函数具体化）由可知，，，令， ，，所以点和点不关于原点对称，故A错误； ，是奇函数，故B正确； 由，得，，故C错误； 由得，所以，则，故D正确。 4．（多选）（25-26高三上·安徽淮北·期中）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B．关于中心对称 C．恒成立 D．函数有最小值 【答案】BC 【详解】令，，则， 又，则，故A错误； 令，，则， 则，又，则， 令，， 则，则，故， 所以的图象关于中心对称，故B正确； 令，则， 所以时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 所以，则恒成立，故C正确； 由B知，则， 显然在时取到最大值，无最小值，故D错误. 5．（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数对任意都有，． (1)当x均为正整数时，猜想的函数解析式，并用数学归纳法对其进行证明； (2)已知（1）中的结论对任意都成立（无需证明，可直接使用该结论）． ①求证：不具有周期性； ②若定义域为R的函数的奇偶性与相同，是定义域为R的奇函数，，求：的值． 【答案】(1)，猜想：当x为正整数时，.（下面利用数学归纳法证明） 首先，当时，猜测成立； 其次，假设（）时，即猜测成立，. 则当时，. 即时，猜测也成立. 即当x为正整数时，. 综上：当x为正整数时，. (2)①用反证法证明： 假设存在满足：恒成立； 则：恒成立，化简得：恒成立； ∴ 这与矛盾，故假设不成立， ∴ 不具有周期性； ②由结论知为偶函数，则为偶函数，又为奇函数，   则定义域为R，关于原点对称，   故， 所以为定义域为R的奇函数， ∴ . 题型03 幂函数模型 若函数满足或，则该函数通常为幂函数。 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法不正确的是（ ） A． B．可能是单调递减函数 C．为奇函数 D．若，则 【答案】B 【详解】因为定义在R上的单调函数，则，时. 对于A，令，则或， 若，则对，取，都有，不满足单调函数性质， 故，故A正确； 对于B，令，则或 由，则舍去，得， 因，结合为定义在R上的单调函数，则只能是单调递增函数，故B错误； 对于C，令，则或（舍）， 则，取， 则，又定义域为R，则为奇函数，故C正确； 对于D，令，则， 令，则， 则，故D正确. 故选：B 【解法二】由已知，，可知为幂函数，又在R上为单调函数，则。 ，故A正确； 当时，在R上为单调增函数，故B错误； 因为在R上为单调函数，所以为奇函数，故C正确； 令，由，，所以，则，故D正确。 2．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知定义在上的函数满足：①；②对，有；③且，有，则下列选项正确的有（   ） A． B．不等式的解集为 C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，由，令，得， ，∴，故A正确； 对于B，由且，有， 得是上的减函数，又， ∴，解得，故B不正确； 对于C，由，令，得， 因为对，， 令得， 所以对，， ， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，由，， 令得； 令得； 令得； 所以 ，故D正确. 故选：ACD. 【解法二：】对，有，可设，由，得，，符合且，有。 ，故A正确； 因为在上为减函数，所以，解得，故B不正确； ，因为，所以，当且仅当时等号成立，故C正确； 因为，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 3．（25-26高三上·江苏·阶段检测）定义在上的单调函数满足：、，，且，则（     ） A． B．记，则为幂函数 C． D． 【答案】ABD 【分析】令，，可求出的值，可判断A选项；推导出，结合，可判断B选项；放缩得出，可判断C选项；当时证明出，可得出，结合不等式的基本性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，令，可得， 所以，即，解得，A对； 对于B选项，在等式中， 令，则有，即， 因为函数在上单调，且，， 所以函数在上单调递增，故，所以， 令，则， 故， 由， 可得 ， 整理可得， 令，，所以， 又因为，，且， 所以函数的图象恒过定点、， 所以函数为幂函数，B对； 对于C选项，设，因为，故， 所以，故， 所以， 所以， 对任意的，， 所以 ，C错； 对于D选项，，， 令，其中，其中， 所以函数在上为减函数， 故当时，，即， 所以，故， 所以，D对. 故选：ABD. 题型04 指数型（或或）函数模型 ①若函数满足或，则该函数通常为指数函数。 ②若函数满足，则该函数可为。 ③若函数满足，则，设，则满足，可设，所以。 1．（多选）已知函数的定义域为，且对于任意实数，恒有，当时，有，函数满足，则（ ） A． B．是 的充分不必要条件 C． D．任意， 【答案】ACD 【分析】令可判断A；设，利用，结合单调性定义得的单调性，再利用单调性解得可判断B；令得，代入已知得，根据求出的范围可判断C；结合选项C，分别求出与可判断D. 【详解】对于A，令，得， 因为时，有，所以，所以，故A正确； 对于B，设，则，所以， ， 因为 ，且，所以， 所以，所以在上是单调递增函数， 由，得，解得， 因为是的真子集，则是 的必要不充分条件，故B错误； 对于C，令，得 ，所以， 代入得， 可得 ，即， 因为，所以 ， 则 ， ，即 ，故C正确； 对于D，任意， ， ， 而 ， 因 ，所以 ， 所以，故D正确. 法二：可设，因为当时，有，所以， 由代入，可得。 2．（多选）（25-26高三下·重庆·阶段检测）定义在上的连续函数，对，都有，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．数列的前n项和为，则 C． D．若，则的最小值为4 【答案】ABD 【详解】对于选项:由，令，可得， 又，可推出，即为首项为1，公比为2的等比数列， 可得，对任意正整数成立，则，A正确. 对于选项:数列的前项和，正确. 对于选项:对，都有，且， 令，则，即， 由于 是连续函数，则也是连续函数，满足函数方程 的连续函数， 其解的形式为 , 故可设，则，结合，得， 故，满足； 则，C错误. 对于选项:若，且，则 ，当且仅当时取等号， 即的最小值为4，D正确. 法二：设，，，由得，， 解得（舍）或，所以，由，得，所以。 ，故A 正确； ，故B正确； 对于C和D同上。 3．（2026·江苏南京·三模）已知定义在上的非常数函数满足：对于任意都有：，.下列选项正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 【答案】D 【详解】解：令，则， 则，解得或， 因为，所以， 化简得，设，则， 当时，，令，则， 即，即为常数函数，与已知矛盾，因此，，选项错误； 因为，所以，结合，可得， 所以，则，因此，， 所以既不是奇函数，也不是偶函数，选项和选项错误， 此时，选项正确， 法二：因为，所以， 化简得，设，则， 令，所以，由，得，所以。 是非奇非偶函数，故A,B错误； ，故C错误； ，故D正确。 4．（多选）（25-26高一上·广东深圳·期中）函数满足：，且时，，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在上单调递增 D．不等式的解集为 【答案】BC 【分析】方法一：赋值得到方程，得到或，排除，得到；B选项，，时不合要求，，故；C选项，设，则，得到，故C正确；D选项，由单调性得到，解不等式得到D错误； 方法二：令，变形得到，不妨令，则，从而对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】方法一：对于A：当时，，解得或， 若，当，令得， 代入，解得， 但当时，，不合要求，舍去， 若，令得， 即，恒成立，满足要求，，选项A错误； 对于B：， 时，若，则，与已知矛盾，； 又时，，所以，选项B正确； 对于C：设，则， ， 所以 ， 由B知，，故， 故， ，故在上单调递增，选项C正确； 对于D：由C知，在上单调递增， 故等价于， ， ， ，或， ，或，选项D错误. 方法二：， 即，令， 则， 不妨令，则， 满足时，，当时，， A选项，，A错误； B选项，恒成立，B正确； C选项，在上单调递增，C正确； D选项，等价于， ， ， ，或， ，或，D选项错误. 故选：BC 5．（多选）（23-24高一上·河南洛阳·阶段检测）已知定义在上的函数满足以下条件：①，当时，；②对任意实数恒有，则（    ） A． B．恒成立 C．若对恒成立，则的取值范围为 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】A选项，赋值，求出；B选项，令，得到；C选项，设，换元后参变分离，得到，结合基本不等式求出最值，得到答案；D选项，不等式变形为，利用单调性定义得到在上单调递增，赋值法得到，利用单调性解不等式，得到，构造函数，由单调性解不等式，求出解集. 【详解】由， 得到， 对于A，令可得， 又，故，故A正确； 对于B，令，可得， 又，故， 当0时，，则， 所以恒成立，B正确； 对于，中，令得 ， 故变形为， 设，则， 原不等式等价于在恒成立， 即， 其中， 当且仅当时取等号，，故C错误； 对于，由于， ， .下面证明的单调性：任取，且， 则 ，所以函数在上单调递增， 因为，所以， ， ， 令在上单调递增， 且， 所以原不等式的解集为，故D正确. 故选：ABD. 6．（多选）（24-25高三下·重庆·阶段检测）已知定义域为R的函数不是常值函数，当时，，而且对任意的有，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则 C．在单调递减 D．若，则不等式的解集为 【答案】AB 【分析】利用赋值法可判断A；令结合已知可判断B；利用函数单调性定义结合已知条件可判断C；推出，则原不等式即为，利用单调性可解不等式，判断D. 【详解】对于A，令，则有或者， 但是当时，， 与不是常值函数矛盾，故，A选项正确； 对于B，令，则，， 当，则，故，， 故，B选项正确； 对于C，任取，令，则， 于是， 故在单调递增，C选项错误； 对于D，令可得：， 于是函数是偶函数， 又，于是原不等式可转化为， 又由在单调递增可得：，解得：，D不正确， 故选：AB. 7．（多选）（25-26高三下·山东·阶段检测）已知函数的定义域为，则（   ） A． B．存在，使得 C． D． 【答案】ACD 【分析】利用赋值法可判断A，构造函数结合反证法可判断B，结合的特征判断分母的符号即可判断C，求出，结合等比数列求和，利用导数可判断D. 【详解】对于A，令可得， 因为，所以，A正确； 对于B，令， 由可知 ， 即. 若，则， ，即恒成立，与矛盾，B不正确； 对于C，令，可得，所以， 所以，. 由B可知，且， 对任意实数，都有，由于，所以， 所以，C正确； 对于D，由，可得，即， . 不等式等价于，即， 设函数，， 令，则， 因为为增函数，且，所以为增函数， 则，所以为增函数，即，D正确. 8．（2026·河南濮阳·二模）已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有，则下列关于函数的表述中正确的个数为（   ） ①；②；③函数有最小值；④函数有最大值． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】①：在中，令， 得， 因为对任意恒成立，所以， 所以由，因此本序号结论正确； ②：在中，令， 得，因此本序号结论正确； 令，满足条件（1）对任意恒成立，且； ，， 满足（2），都有， 但是函数没有最大值也没有最小值，故③④序号结论都不正确， 所以表述中正确的个数为. 法二：可设，由得，， 所以，解得（舍掉），所以，由，得，所以。 题型05 对数型（或或）函数模型 ①若函数满足或，则该函数通常为指数函数。 ②若函数满足，则该函数可为。 ③若函数满足，则，设，则满足，可设，所以。 1．（2026·山东·模拟预测）已知奇函数的定义域为，对于任意的正数，都有，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设是上的任意两个实数，且，则， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以函数在上单调递增， 因为是定义域在上的奇函数，所以在上也单调递增， 由得，即， 又，令，则，解得， 令，则，解得， 令，则，解得， 令，则， 令，则， 因为是奇函数，所以， 所以当时，解得， 当时，解得， 当时，，不满足条件， 所以不等式的解集为， 故选：D 2．（多选）（2026·陕西西安·三模）已知定义在上的函数满足下列条件：①；②当时，．则（    ） A． B． C．当时， D．在上单调递减 【答案】ACD 【详解】A选项，令，得，所以，A正确； B选项，令，得，，不恒为0，故B错误； C选项，令，得，当时，，，所以，所以，C正确； D选项，设任意，，且，令，， 则有，即， 由于，故有，，， 所以，即，故在上单调递减，D正确． 【法二：】由，两边同时除以得，， 令，则，令，则， 因为时，，所以。 ，故A正确； ，故B错误； ，因为，，所以 ，即，故C正确； ，所以在上单调递减，故D正确。 3．（24-25高三上·江苏徐州·期中）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．是增函数 D．是减函数 【答案】B 【分析】先将等式两边同时除以，得到，利用赋值法判断AB，举反例为判断CD，从而得解. 【详解】对于A，，则， 令，则，故错误； 故，则， 对于B，令，则，则， 同理可得， 令，则，故正确； 对于CD，令，显然满足在，，， 得，令得， 显然当时，，此时单调递减，故C错误； 此时，显然在定义域上单调递增，故D错误. 故选：B. 4．（多选）（25-26高三上·江苏无锡·期末）函数在R上的图象是一条连续不断的曲线，，，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．零点个数大于1 【答案】ACD 【分析】分别令以及，即可得出；令，代入结合已知即可判断B项；令，代入已知化简即可判断C项；令，可得.依次令，求出的值.然后令，，求出的值.然后根据零点存在定理即可判断D项. 【详解】对于A项，令，由已知可得，，解得. 令，由已知可得，， 解得.故A正确； 对于B项，令，代入已知条件可得， . 又，所以有.故B错误； 对于C项，令，代入已知条件可得， . 因为， 所以有， 所以，是奇函数.故C正确； 对于D项，令，代入已知有. . 令，由可得， . 令，，由可得， . 因为函数在上的图象是一条连续不断的曲线，且，根据零点存在定理，可知在，使得. 根据函数为奇函数，可知. 所以，函数至少存在三个零点.故D正确. 故选：ACD. 题型06 正弦型或双曲正弦型函数模型 ①若函数满足，则该函数通常为正弦型函数或双曲正弦型函数。 ②若函数满足，则该函数可为。 ，则该函数可为。 ③若函数满足，可该函数可为。 1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，任意，满足，且，则（     ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据题设条件，挖掘抽象函数的结构特征，吻合正弦平方差公式，合理联想并创新构建三角函数模型，并利用特殊函数值加以配凑对应函数的系数，借助特殊值法加以转化与应用，综合函数的基本性质加以分析与求解． 【详解】依题，吻合正弦平方差公式， 结合，构建特殊函数满足题设条件， 则知该函数是以4为周期的函数，也是一个奇函数，有， 依，可得， 则， 所以. 2．（25-26高三上·福建龙岩·开学考试）已知函数的定义域为R，且，，为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【详解】令，则，得； 令，则，即 ， 令，则， 若，则； 若，则，则，则为奇函数， 因为为偶函数，所以，则， 则， 因为为奇函数，所以， 可得，则是以为周期的函数． 因为，所以，则． 由得，则， 得， 故． 法二：可设。 3．（多选）（25-26高二下·江苏常州·期末）已知函数的定义域为，且，，，则（   ） A．为奇函数 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A,先令 ，求得，再令，可得，即可判断；对于B，令代入求解后，即可判断；对于C，令，代入求解后即可判断；对于D，通过计算可得函数是周期函数，最小正周期为，由此求解即可. 【详解】对于A,令 ，得，解得， 令，得， 即， 所以或， 当时，令，得与矛盾，故舍去; 所以， 即， 所以为奇函数，故A正确； 对于B，因为，， 所以， 即，解得，故B错误； 对于C，令， 得 所以，故C正确； 对于D，令， 得， 解得， 令，则， 所以，解得， ，解得； 令， 得，解得； ，解得； 所以函数是周期函数，最小正周期为， 又 ， 所以 ，故D正确. 4．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的定义域为，若，且，则（    ） A．0 B．1 C．10 D．20 【答案】A 【详解】令，则， 令，则． 令，则，所以函数的图象关于直线对称． 令，则， 所以，的图象关于点对称． 由和，可得， 令，则， 故，则， 是周期的函数． 又，所以． 5．（多选）（2026·浙江宁波·二模）定义在上的函数满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于A，令，再解方程即可；对于B，令，解得；对于C，令，即可得到，对于D，令，可得，进而可得． 【详解】解：令，则，解得，故A正确； 令，则，解得，故B错误； 令，则， ，故C正确； 令，则， 又， ，又不恒为零， ，即， ，即，故D错误． 法二：可构造函数。 6．（多选）（25-26高三上·海南海口·阶段检测）已知定义在上的函数满足：对任意实数，，都有，且的图象过点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A，由题意得． 令，得，所以，故A正确． B，令，，得 ，即，故B错误． C，由题意得． 令，得 ， 所以，故， 所以， 所以，即， 所以是周期为的周期函数． 由，可得， 所以， 所以 ，故C正确． D，若为正整数，则，， 所以，，故D正确． 故选：ACD 法二：可构造函数。 7．（多选）（2026·河南·三模）已知函数的定义域为，为的导函数，对任意，均有，且，则（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C． D． 【答案】BD 【详解】 令，可得，又，. 令，可得，解得，A选项错误. 令，得，，说明是奇函数，关于对称. 而的图象是由的图象向右平移一个单位得到的，的图象关于点对称，B选项正确. 令，则，的图象关于对称，故是周期函数，且周期. ，D选项正确. 取，，，，. ，，，，C选项错误. 法二：可构造函数。 8．（多选）（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数为，且，恒有，，则下列结论正确的是（   ） A． B．函数的图象关于轴对称 C． D． 【答案】ACD 【分析】采用赋值法研究函数的奇偶性，周期性和对称性，可判断AB的真假；根据的奇偶性，周期性和对称性，可探究的性质，进而判断C的真假；利用换元法得到，分别令和，再结合函数的性质，可求的值，判断D的真假. 【详解】在中， 令，可得，因为，所以. 令，可得. 令，可得， 用代替，可得. 所以，因为不恒为0，所以恒成立. 所以函数为奇函数. 令，可得，即. 用代替，可得，所以函数的图象关于直线对称. 所以， 所以，故函数是以4为周期的周期函数. 对A：，故A正确； 对B：因为函数为奇函数，所以函数图象关于原点成中心对称，不关于轴对称，故错误； 对C：由，两边求导，得，所以为偶函数； 由，两边求导，得，所以的图象关于点中心对称. 所以，所以，所以也是以4为周期的周期函数. 由，所以，， 所以. 在中，令，可得. 所以.故C正确； 对D：令， 所以转化为， 因为函数的图象关于对称，所以， 所以. 令，可得①， 令，可得. 因为是周期为4的奇函数，所以， 所以②. ①②得：.故D正确. 法二：可构造函数。 题型07 余弦型或双曲余弦型函数模型 ①若函数满，或，则该函数通常为或。 ②若函数满足，则该函数可为或。 ③若函数满足，则该函数可为或。 1．（多选）（25-26高一上·浙江金华·期末）已知定义域为的函数满足：对任意，有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．若存在使得，则的最小正周期为 C．为偶函数 D．的值域为 【答案】AC 【详解】选 项 A，令，则有， 又因为，所以； 选 项 B，令，则有， 因为，从而，则， 所以， 故是的一个周期，但不一定是最小正周期； 选 项 C，令，则有， 所以，故为偶函数； 选 项 D，取，满足抽象方程， 但是其值域为，不符题意. 故选：AC. 法二：可构造函数或。 2．（多选）（山西2026年高考考前综合评价（二模）数学试题）已知函数满足对于任意的，都有，且，则以下结论正确的是（    ） A． B． C．是偶函数 D．关于对称 【答案】ACD 【分析】先赋值求出并利用舍去，得判定A正确；再令推出，知函数为偶函数，C正确；令得到递推式，递推推出周期为6，算出一个周期内函数值和为0，由求出前2026项和为，故B错误；利用周期推论与偶函数性质，验证得函数关于中心对称，D正确. 【详解】方法一: 对于A,令,得，整理得，故或. 若，令，则，即恒成立，这与矛盾，故，A正确； 对于C，令，因，则，即，故是偶函数，C正确. 对于B，令，则，即. 由此递推：， 则， 于是，故的一个周期为. 又，，， ，， ，， 则 因， 故,B错误. 对于D，由C项知，则，又是偶函数，有， 即，而， 故，即，故关于对称，D正确. 方法二:令函数,由余弦型函数的性质可判断ACD均正确, 函数最小正周期,与方法一同理计算可知 3．（多选）（2026·安徽安庆·一模）已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（   ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D． 【答案】ABD 【详解】对于A，令，则，又， 所以，解得：，故A正确； 对于B，令，则， 即， 又函数的定义域为关于原点对称，所以是偶函数，故B正确； 对于C，若的图象关于点中心对称，则， 由，不符合题意，故C错误； 对于D，令，则， 即， 所以， ， ， ， 所以 ，故D正确. 4．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）已知函数的定义域为，满足，且不为常数函数，，则（    ） A．-2 B．2 C．-2026 D．2026 【答案】A 【分析】令求出，再令，得到，从而求得函数的周期为4，分别求出，然后根据周期计算即可. 【详解】由题意令，得，因为不是常数函数，所以， 再令，得，因为，所以，则，故，所以函数的周期为4. 由，得，所以0， 所以 . 故选：A 方法二：可构造函数。 5．（多选）（2026·广西河池·二模）已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（   ） A．为的周期 B．关于对称 C． D． 【答案】ABD 【详解】因为定义域为的函数，对任意实数、都有， 所以令，可得，解得或， 令，， 又，若，则，显然不成立，故， 所以，所以，可知C错误； 令，得，即， 在原函数方程中，令，得，即， 所以，由，令替换为，得， ，所以，， 所以，故函数的一个周期为4，得A正确； 因为，所以是偶函数，所以， 又因为周期为4，所以，所以， 所以关于对称，选项 B正确； 因为周期为4，所以，所以D正确. 6．（多选）（25-26高三下·辽宁·阶段检测）已知函数的定义域为，任意，恒成立，且，则（） A． B． C．为偶函数 D． 【答案】BCD 【详解】令，，则， 又，所以，A项错误； 令，则，所以，B项正确； 令，，则，所以， 因此，所以为偶函数，C项正确； 令，，则， 即①，所以②， 两式相加得，则， 所以，故， 所以是以为一个周期的周期函数， 由，得，，， 所以，则，D项正确. 7．（多选）（2026·江苏苏州·三模）已知函数的定义域为，，，为奇函数，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】BCD 【分析】令可得，再由为奇函数可得，令可得，令，可得，可判断A；令，可得，可判断B；由，可得，从而，可判断C；计算、、、、和的值，结合函数的周期性计算可判断D. 【详解】由， 令，得，即，， 由为奇函数，可得， 即，即， 所以函数关于点对称，令可得， 令，得，可得，故A错误； 令，可得，即， 则，所以，或， 当 时，， 当时，用替换得 ，所以 ，解得 ，满足， 所以，，即，则为偶函数，故B正确； 由，，可得，即， 所以，则是以6为周期的周期函数，则，故C正确； 由，，，，为偶函数，是以6为周期的周期函数，可得 ，，， ， 所以，故D正确. 法二：可构造函数 8．（多选）（2026·福建福州·三模）定义在R上函数与满足：，，，为偶函数，且恒成立，已知，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】AC 【分析】A. 令，由得；代入及 得 ； B. 由是偶函数及式令，得，因得，应为奇函数； C. 令推得恒等式，代入已知得，故； D. 令，则，得，再由得，故 ，而非. 【详解】令，代入式得，整理得，由题，故， 代入式得，代入得，又恒成立，故. 选项A正确； 已知为偶函数，即，令，代入式得 ， 代入和得 ，又，故， 即是奇函数，不是偶函数. 选项B错误； 对任意，令，得， 而，因此对任意恒有，即. 已知，代入得，整理得. 选项C正确； 由满足，得，即. 再代入得，即. 选项D错误. 法二：设函数，. 9．（多选）（25-26高二下·全国·期末）函数，的定义域为，为偶函数且恒大于0，，，，，则（     ） A． B． C． D．对于任意，点到直线与的距离之积为 【答案】BCD 【分析】通过赋值法求出、，推导与的奇偶性及核心恒等式；利用递推关系分析的指数型性质验证B选项；通过函数方程展开推导三倍角形式验证C选项；利用点到直线距离公式结合核心恒等式验证D选项. 【详解】令，代入，得. 令，代入，得，即. 由，得. 结合得，又，得，故A错误. 令，代入， 得，即. 令，代入， 得，由、， 得，结合，得，即为奇函数. 因此，即. 由与，得， 解得. ， 因此 ，，故B正确. ， 代入 ，得，故C正确. 点到直线的距离为， 到直线的距离为， 距离之积为：，故D正确. 法二：设函数，. 10．（25-26高三上·上海金山·阶段检测）已知函数的定义域为，且，． (1)，求A与； (2)证明：函数是偶函数且是周期函数； (3)若的周期为T，在上是减函数，记的正的零点从小到大依次为，，，…，证明在区间上有个零点，且是等差数列． 【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【分析】（1）利用已知递推式，运用赋值法结合三角函数性质计算求解； （2）利用已知递推式及（1）结论，运用函数奇偶性及周期性定义证明函数奇偶性及周期性； （3）利用已知递推式，运用赋值法结合零点存在定理及函数奇偶性求出函数在一个周期内的零点个数及位置，再利用函数周期性及等差数列的定义及性质证明结论． 【详解】（1）， 令，，可得， ，， ， ，解得． 由得，即，解得， ，，． （2）由（1）得，， ，令，可得，即， 已知函数的定义域为， 函数为偶函数； 令，， ①， 把替换为得，②， 式①加②得， 把替换为得， ，即． 函数是一个周期为的周期函数． （3）由(1)得，， 在中， 令，可得，解得， 在上是减函数， ，，故， 在上有且仅有一个零点． 在中， 令，则，解得． 在区间上有且仅有一个零点， 又是偶函数， 在上有且仅有一个零点， 在一个周期内有且仅有2个零点． ， 在内的零点为和， ，，， 对任意，在上有且仅有两个零点： ，． 在上有个零点： ，，，，…，，， 其中， 是等差数列． 题型08 正切型函数模型 若函数满足或，则该函数通常为指数函数。 1．（多选）（22-23高三上·福建宁德·期末）已知函数满足有定义，，当时，，且当都有意义时，，则以下说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．是周期函数 C．在上是增函数 D．的图象关于直线对称 【答案】ABC 【分析】利用赋值法能够确定选项ABD，利用函数的单调性可判断C. 【详解】由题知，令，，则有，当时，解得； 令，且在定义域内，则，则，即， 是奇函数，A正确； 由题知，= ，所以周期为，故B正确； 由，而，所以D选项错误； 关于C，对于任意，且， 有， 因为，，所以， 所以也即，所以在上单调递增； 且在时，；任取，且， 则，，， 且， 所以，所以， 所以函数在上单调递增，所以在上是增函数，故C正确. 故选：ABC 法二：可构造函数。 题型09 双曲正切型函数模型 ①若函数满足，则该函数通常为双曲正切型函数。 1．（多选）（2026·安徽滁州·三模）已知函数的定义域为，值域为，若，且 ，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．设函数，则 D．设函数，则… 【答案】ABD 【详解】先推导函数基本性质： 令，代入函数方程得，整理得，结合值域得. 令，代入得，故，即为奇函数. 令，得 ①. 接下来逐一判断选项： 对于选项A：. ∵ ，∴ ，右侧不等式成立. 又 ， ∵ ，∴ ，故，即，左侧不等式成立.故A正确. 对于选项B：由①式得. ∵ ，∴ . 又 ，∵ ，∴ ，， 故 ，即. 综上，B正确. 对于选项C：，代入的表达式： 分子：， 分母：， 故 ，C错误. 对于选项D： 由①式得，令，则. 故乘积. 先证左侧不等式：∵ ，且由，结合B中结论可得与同号，故 ， ，故 . 再证右侧不等式：令 ，则， ， ，∵ ，故，数列单调递增， 故 ，即 ，故. 综上，D正确. 【方法点睛】方法归纳：处理满足的抽象函数，可类比双曲正切函数的性质快速推导，也可通过赋值法先求特殊点函数值、奇偶性等基础性质，再逐一验证选项. 2.（2024高三上·全国·竞赛）已知是定义在上单调递增且图像连续不断的函数，且有，设，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性的定义和性质以及利用反证法证明不等式，结合选项先证明，再根据，可得，构造函数，根据函数单调性即可得出结论. 【详解】得到， 因为单调递增，所以不恒等于，故， 因为在上单调递增，故， 若存在使得，则， 则恒等于1，与单调递增矛盾，故， ，若存在，使得 因为连续，，故存在，使得， 与上述矛盾，故, 对于本题，，当且仅当时取等， 因为单调递增，故不取等号，即 当时，有，即， 当时，令，, 因为单调递减，所以单调递增， 因为，所以，单调递增， 因为，， 所以，所以. 综上所述. 故选：D. 法二：可构造函数。 3.（多选）（22-23高一上·浙江温州·期末）已知为非常值函数，若对任意实数x，y均有，且当时，，则下列说法正确的有（    ） A．为奇函数 B．是上的增函数 C． D．是周期函数 【答案】ABC 【分析】令，代入，即可得到再由，分别应用函数的奇偶性，单调性，值域和周期性判断A,B,C,D选项即可 【详解】对于A:由题意，令， ,解得：或 当时，令，则恒成立，又已知为非常值函数故舍去， 当时，令，则恒成立，又已知为非常值函数故舍去， ∴，令，则，所以，即， 所以为奇函数，故A正确； 对于C：令，，因为 若,则,又为非常值函数故舍去， 所以，所以所以,故C正确: 对于B: 设任意的且 令所以，又因为为奇函数， 所以， 又因为当时，，所以，，, 即，所以是上的增函数,故B正确; 对于D:因为是上的增函数,又因为为奇函数且, 所以是上的增函数,故不是周期函数,故D错误. 故选:ABC. 法二：可构造函数。 题型10 对数复合型 若函数满或，则该函数通常为或。 1．（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知定义在上的函数满足： ①对任意都有；②当，. 则下列说法中正确的是（   ） A．是奇函数 B．是减函数 C．若，则 D． 【答案】ACD 【详解】对于A，令，有，所以， 再令，则，所以，所以为奇函数，故A正确； 对于B，设，. ，，，所以， 即，在上是增函数，故B错误； 对于C，令，注意到，有. 由A分析可得，，. 所以，故C正确； 对于D，注意到.由C分析， ，故D正确. 故选：ACD 法二：可构造函数。 2．（2026·湖北·二模）定义在的函数满足：，，且时，，若，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令代入，得到的奇偶性，令，可得，并结合题干可推得的单调性，再对、、进行变形，往中凑，最后再令，研究的单调性即可求解． 【详解】，，令，则，得， 令得，即函数是奇函数，下面判断函数的单调性，令，则，，所以， 所以，即，所以在单调递增， ，，， 构造函数，则，当时，，当时，， 所以在递增，在递减，则， 即，所以，又在单调递增， 所以，也即． 法二：可构造函数。 3．（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知定义在上的函数满足下列两个条件：①对任意、，都有；②对任意，.请解答下列问题： (1)判断的奇偶性及在定义域内的单调性，并证明； (2)解不等式：； (3)证明：对任意正整数，. 提示：①；②. 【答案】(1)奇函数，单调递减，证明见解析；(2)；(3)证明见解析 【分析】（1）令可得出，再令结合奇函数的定义证得函数为奇函数，设，可得出，求得，结合题干条件以及函数单调性的定义可证得结论成立； （2）将所求不等式变形为，根据函数的定义域与单调性可得出关于的不等式组，即可解得所求不等式的解集； （3）推导出，求得，利用裂项求和法以及不等式的基本性质可证得结论成立. 【详解】（1）令，则，解得； 令，则， 所以为定义在上的奇函数， 设，则，所以， 因为 ，所以，则，， 又，所以， 又当，，所以， 所以，即，所以在上是减函数. （2）由得， 因为定义域为且在上是减函数，所以， 解得，故原不等式的解集为. （3）因为， 因为，， 所以， 所以 ， 因为，所以，则， 所以， 故. 题型11 反比例函数模型 若函数满，则该函数通常为。 1.（多选）（23-24高三上·山东·阶段练习）对于任意非零实数x，y﹐函数满足，且在单调递减，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为奇函数 D．在定义域内单调递减 【答案】AC 【分析】赋值法可判断A，根据等比数列求和公式判断B，利用奇偶函数的定义及赋值法判断C，由函数的特例可判断D. 【详解】令，则，解得，故A正确； 因为，即， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 故，故B错误； 由题意，函数的定义域为，关于原点对称， 令，则， 令代换，则， 由两式可得，化简可得，所以为奇函数，故C正确； 因为在单调递减，函数为奇函数，可得在上单调递减， 但是不能判断在定义域上的单调性，例如，故D错误. 故选：AC 法二：可构造函数。 2.（24-25高一上·宁夏石嘴山·期末）定义在上的函数满足条件①，②，，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由，取可求，由，取可求，再取，，可求结论. 【详解】因为，取可得， 又，可得， 因为，取可得，所以，又，故，由，取，，可得， 故选：D. 法二：可构造函数。 题型12 三次函数模型 若函数满，则该函数通常为. 1．（2024·福建莆田·二模）已知定义在上的函数满足：，则（    ） A．是奇函数 B．若，则 C．若，则为增函数 D．若，则为增函数 【答案】ABD 【分析】根据已知条件，利用函数奇偶性的定义，单调性的定义和性质，结合赋值法的使用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：定义域为，关于原点对称； 对原式，令，可得，解得； 对原式，令，可得，即， 故是奇函数，A正确； 对B：对原式，令，可得， 又，则； 由A可知，为奇函数，故，故B正确； 对C：由A知，，又，对， 当时，；当时，； 故在时，不是单调增函数，故C错误； 对D： 在上任取，令， 则 ， 由题可知，又，故， 即，，故在上单调递增， 也即在上单调递增，故D正确； 故选：ABD. 法二：可构造函数。 2．（多选）（2024·贵州·三模）已知定义域为的函数满足为的导函数，且，则（    ） A． B．为奇函数 C． D．设，则 【答案】ABD 【详解】对于A：令可得；对于B：令可得；对于C ：先确定的奇偶性，然后令后对两边同时求导，再代入即可；对于D：利用累加法求通项公式. 【点睛】对于A：令得，所以，A正确； 对于B：令得，所以，B正确； 对于C：因为，所以，即， 所以为偶函数，由可得， 令得， 则，令，得， 所以，C错误； 对于D：因为，， 所以，且 所以，相加可得， 所以，则，D正确. 故选：ABD. 法二：可构造函数，则，由，得，所以。 3．（多选）（2026·陕西榆林·一模）已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，且对于任意实数，恒有，若，则（   ） A． B．是奇函数 C．是的必要不充分条件 D．的零点个数为3 【答案】ABD 【详解】 对于A，令，得，所以， 再令，，得，所以，故A正确； 对于B，首先定义域关于原点对称，其次令，得， 即，所以是奇函数，故B正确； 对于C，令，得，令，得， 所以，由，得，解得或， 即只是解集的一部分，则是的充分不必要条件，故C错误； 对于D，设， 不难验证， 所以，所以，将代入，可得， 所以，的零点为0，，2，故D正确． 法二：可构造函数，由，得，所以。 题型13 常函数模型 1．（多选）（2025·安徽合肥·二模）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．， C．的图象关于点对称 D．为偶函数 【答案】ACD 【分析】A选项，令得，令得；D选项，令得，令得，故，的一个周期为1，，所以，故为偶函数，D正确；BC选项，令，结合函数周期，得到，令得，所以，故，故B错误，C正确. 【详解】A选项，中，令得， 又，故，解得， 中，令得，故，A正确； D选项，中，令得 ，即，， 中，令得 ，即， 因为，所以，故， 故的一个周期为1， 故，所以，故为偶函数，D正确； B选项，中，令得 ， 由于，，故， 由于的一个周期为1，故， 所以，解得， 中，令得 ， 又，故，， 所以，故， 故不存在，，B错误； 由上可知，，故的图象关于点对称，C正确. 故选：ACD 2．（25-26高三下·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数对任意恒有，且，给出下列结论：①；②是偶函数；③的图象关于点对称；④．其中正确结论的序号为_____． 【答案】①②④ 【分析】令可判断①；令可判断②；中取，得， ，即可判断③；用代换中的可得，即可判断④. 【详解】取，得， 即，解得或（舍去）， 所以，①正确； 令，得， 整理得，故是偶函数，②正确； 的定义域为， 若的图象关于点对称，则, 中取，得， 又，所以， 所以的图象不关于点对称，故③错误； 用代换中的,并结合函数为偶函数，可得，得， 所以，④正确. 综上所述，正确结论的序号为①②④. 题型14 超越函数模型 若函数满足，则该函数通常为. 若函数满足，则该函数通常为. 1．（多选）（23-24高二下·江苏苏州·期末）已知定义域为的连续函数满足，，则（    ） A． B．为奇函数 C．在上单调递减 D．在上的最大值为1 【答案】ABD 【分析】令，即可判断A；由，得，令，则，令，即可判断B；关于求导得，，从而可求出d的解析式，进而可求出的解析式，再利用导数即可判断CD. 【详解】对于A，令， 则，所以，故A正确； 对于B，由，得， 令，则， 令，则，所以， 令，则， 所以为奇函数，即为奇函数，故B正确； 由， 关于求导得，， 令， 则， 所以（为常数），即， 所以（为常数）， 因为， 所以，所以， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，故C错误；D正确. 故选：ABD. 2．（多选）（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知函数的定义域为，，且，则（    ） A．曲线 关于点中心对称 B．在R上单调递增 C． D．函数 的所有零点之和为 【答案】ACD 【详解】可变形为， 令，可得 设，则①， 则， 令（为任意常数）， 由①式得， 对等式两边同时求导，得，即为常数， 可设（，为常数），则，， 所以，. 所以，所以. 选项A，曲线，关于点中心对称，故A正确； 选项B，， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，故B错误； 选项C，由选项B可知，故，故C正确; 选项D，令，可得， 即， 当时，解得， 当时，等式可化为，即，解得， 所以的所有零点之和为.故D正确. 故选：ACD. 1 / 101 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重难专题04 最全F[f(x*),f),f]=0型抽象函数模型 题型脑图重难考法归纳 题型1一次函数模型 题型8正切型函数模型 题型2二次函数模型 题型9双曲正切型函数模型 题型3幂函数模型 题型10对数复合型函数模型 题型4指数型函数模型 题型11反比例函数模型 抽象函数模型 题型些对数型函数模型 题型12三次函数模型 题型6正弦型和双曲正弦型函数模型 题型13常函数模型 题型7余弦型或双曲余弦型函数模型 题型14超越函数模型 考法深研•解题技能通关 题型01一次函数模型 点方法技巧 抽象特征：fx+)=f()+f)+C或类似变形（若c=0,则为正比例函数f(x)=ax模型）。 对应原型：f)=-c。(推导过程：令f(:)=x+m,则fx+y)=k(+y)+m, fx)+fy)+c=kx+m+y+m+c=k(+y)+2m+C,由f(r+y)=f()+fy)+c可得， m=2m+c,所以m=-c,即f()=lc-c。) 解题步骤：1.赋值试探：优先代入特殊值（如x=0,y-0,x=Ly=1),求出f(0)或推导奇偶性； 2.原型匹配：观察抽象式子的结构，联想对应的一次函数模型，必要时构造新函数化简： 1/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.性质应用：利用推导出的单调性、奇偶性或周期性，结合定义域解决不等式或求值问题。 1.(25-26高三下河南驻马店阶段检测)已知定义在R上的函数()满足以下条件：对任意，y∈R 有(x+)f(✉+f)+3,f0=4,且当x>0时，f)>-3.则不等式f++f1-2x)>15的 解集为() A.（∞，-u(3+o) B.（0,-U(2,+w) c.（43) 0.（1,2) 2,(2526高一上江苏苏州期中)已知定义在R上的函数()满足f(+)=f()+/0)+2,f(x不 是常数函数，则下列说法正确的是() A.f(0)=2 B。f()是增函数 c.8()=f()+2 是奇函数 D.g()=/八x+2)是偶函数 3.(多选)(25-26高一上山东泰安期末)已知函数f(x)对任意x,y∈R,总有f(x)+fy)=f(x+y)+4 当x>0时，f,<4,若f0=2,则下列选项正确的是() A.f(-2)=0 B.y=f(x)-4为奇函数 C.f(8x)=8f(x)-28 D.f(x)在-，5]上的最小值为-6 4.(2026高三下内蒙古鄂尔多斯专题练习)已知定义在R上的函数f因满足：① xyex+=f)+f)1:@当x>0时，f>1:@的图象关于点，3)对称.当 xe0,时.f-)+(2)6,则k的取值范国为（) A.几+o) B.2,+o） c.B+∞) D.[4,+o) 2/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.《多选)(2025辽宁三模)已知商数f对任意yeR,都有)+)=+小1，两数 8因)的定义域为0+切），且8（因的导函数8（清足g()k38(+×,则《） A.f(m4)=2fh2)-1 B.8g(0>8(2)+4f(0) c.s6④>g0+2re 。0-2.-(+写引为数 6.(2026安微池州二模)设面数f四的定义线为R,f(+)-=f(x+川+3，若=fa的 图象与x轴相交于点 P(x,0 ,则() A.60 8.0=3 c.x+)是奇函数 D.f儿-是奇函数 题型02二次函数模型 点 方弦枝巧 若函数满足fr+)=f)+fy)+2ay-c(a≠0)，则该函数通常为二次函数 f)=ar+bx+c。特别地，当c=0,a=l时，常见形式f(x+)=f)+f)+2y,对应原型 f(x)=x2+bx 1.(2526商=下浙江期中)若f八x+)-f)+f0)+2g-1.f0=2.则(10)=() A.50 B.55 C.99 D.101 2.(23-24高三上河北保定期末)已知函数f)满足：x,yZ,fx+)=f)+f0y)+2y+1成立， 且f-2)=l,则f(2mneN)() 3/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4n+6 B.8n-1 C.4n2+2n-1 D.8n2+2n-5 3（多运）（2026陕西箱林顿拟预测)已知函数因的定义域为R,且x+川=f()+/6)-2g】 则() A.点(2，(-2》与点22》关于原点对称 B,函数y=(+-1是奇函数 c.当f0<5时，2)<5 D.当f10o)-=1时，f0=100 4.(多选)(25-26高三上·安徽准北期中)已知函数 (x 的定义域为R,且0+0，若 fx+f()=-”,则() A.f(0)=0 B.四)关于1,0)中心对称 c.c≥f恒成立 D.函数'=-)有最小值 5.(2026上海杨浦模拟预测)设函数”=对任意少e乙都有+)=/)+)+2， f(0)=1 四当x均为正整数时，猪短() 的函数解析式，并用数学归纳法对其进行证明： (2)已知(1)中的结论对任意x∈Z都成立（无需证明，可直接使用该结论）· ①求证： f(x) 不具有周期性： ②若定义域为R的函数8()的奇偶性与)相同，h()是定义域为R的奇函数，M=g(xh),求： M(0)+f(-I) 的值. 题型03 幂函数模型 点方法技巧 4/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若函数满足fy)=f(x)fy)或 ()=I) f0),则该函数通常为幂函数f)=x。 1.(2526高三全国一轮复习)已知定义在R上的单调函数)，满足x,)eR,o)F()/C) ,则下列说法不正确的是( A.f)=1 B.)可能是单调递减函数 C.f(x)为奇函数 D.若f(8)=2,则f(2)=2 2,（25,26高三上海南省直辖县级单位阶段检测)己知定义在0，+切)上的函数f(问)清足：①f2)-名： 6 ②对xye(0,+o,有(=f(✉f),③∈(0，+o)且5，有：-()-f(小<0， 则下列选项正确的有() A.f()=1 8不等式-小的解聚为 c.f+阳2 D.meN,f(2)+f2)+f2)++f2r) 3.(2526高三上江苏阶段检测，定文在0上的单调函数f满足：a.b则， fo0=oro+u-.量)号.则) A.f(0)=0 B.记（个1-f0-利，则(）为幂西数 题型04指数型（或f)=ka或f)=a+k)函数模型 点方法技巧 5/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①若函数满足f(x+)=f(x)fy) f(r-)=f) f少），则该函数通常为指数函数fx)=a。 ②若函数满足f(x+)=f)fyk>0),则该函数可为 ③若函数满足f+)=f(f0)+f)+f0),则fx+)+1=[f)+f0)+1,设 8)=f)+1,则满足8x+y)=g(x)80),可设8()=a,所以f()=g()-1=a-1。 1.(多选)已知函数的定义城为R,且对于任意实数)，恒有x+列=f)()）,当>0时， 有>1，函数8（因满足[(+刊）-f儿-8✉]，则() A.f(0)=1 8.x<2是fx+)<1 的充分不必要条件 c.-1<8(x)<1 gm+g回-l+g(m）g(m）(g(m+m)≠0） D.任意m,neR,g(m+n) 法二：可设)=a,因为当>0时，有f)>1 ,所以a>1, e&6-a0-se入因=c,g8-g a2x+1。 2,《多选)(25-26高三下重庆阶段检测)定义在0切)上的连续西数（四，对次，）(0+切)都有 f(x+)=2()f(),且f0=1,则下列说法正确的是() A.f(2)=2 B.数列(}的前n顶和为7，则工，=2-」 6/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c. 2 D.若x+y=4,则f()+f(y)的最小值为4 3.(2026江苏南京·三模)已知定义在R上的非常数函数f()满足：对于任意x,y∈R都有： f(x+y)=f(x)f(y)+f(x)+f(y)f(1)=e-1 下列选项正确的是() A.f是奇函数 B.()是偶函数 c.(0)=-1 D.f(2)=c2-1 4.(多选)(25-26高一上：广东深圳期中)函数(0)满足： ,yeR+)=/0-)-0)+2.且*y时，f国f0).当>0时.》2 时， 则下列 结论正确的是() A.f0)=1 B.f(x)>1 x C.f(x)在R上单调递增 D.不等式 的解集为16，+∞) 5。(多选）)(2324高一上河南洛阳阶段检测已知定义在R上的函数儿清足以下条件：①0-1 当*>0时，()>0 ②对任意实数xy恒有+)f-fD)=f)fD)）,则() A.f(0)=0 B.f)>-1恒成立 C.若2a≥时()-5对恒成立，则“的取值范国为2+w)） 。不意默rU7米 7/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(多选)(24-25高三下·重庆阶段检测)已知定义域为R的函数()不是常值函数，当x>1时， f(x)>0 x,yER f(xy)=f(x)f(y)+f(x)+f(y) 而且对任意的 有 ,则下列说法正确的有() A.f(0)=0 B.若x∈(0，)，则f(x)e(-1,0) C.f()在(0，+)单调递减 D.若f(-)=0,f3)=2,则不等式f(x-)<8的解集为 {-3<x<5 7.(多选)(2526高三下山东阶段检测)已知西数(0的定义域为 R,f()=2,f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y) ,则() A.f(0)=0 日。存在6∈R,使得)=-」 c.f()f(-x)≤0 。.立1侧号 8.(2026河南濮阳二模)已知定义在R上的函数y=f(9,满足以下两个条件：(1)f()>0对任意 xeR恒成立，且0=l,2对在意eR都有+2，）4)f(),则下列关于雨数 y=f(x) 的表述中正确的个数为() o@=7:@-0 4;③函数y=f()有最小值：④函数y=f)有最大值. A.4 B.3 C.2 D.1 题型05对数型(f()=log。x或f)=log。x-k或f()=xlog。x)函数模型 点方法技巧 8/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 f白)=f(x)-fy) ①若函数满足fy）=f()+f)或y ， 则该函数通常为指数函数fx)=log。x 0 ②若函数满足f()=f)+f0)+k,则该函数可为f(9=log。x-k。 fy)f(x)fy) ®若函数满足f(y)=f()+f),则yxy，设 n g(x)=I(x) x,则满足 g(y)=g()+g0y),可设8()=1og。x,所以f()=xlog。x。 1.(2026山东模拟预测)已知奇西数八⊙的定义域为Rf(49-3,对于任意的正数5，都有 f5)=)+/)-H1,且当x>1时，f>1,则不等式[因-0 的解集为() A.(0,2] B,(2,4 c〔分2 。.（a 2,《多选)(2026陕西西安三模)已知定义在0+)上的函数儿冈满足下列条件：① f)+f(因，@当>1时，fk0.则《) A.f(0)=0 。)网 c.当x>1时，fx)水2f) D.f(在（，+o)上单调递减 3。(2425商三上江苏价州期中)已知定义在0+)上的函数因满足)=)+（冈，且 fe)=e,则() f(e) A.e2 B.elo =10 9/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 f(x) c.(是增函数 D.x是减函数 4（多选)(25-26高三上江苏无锡期末)函数”=/ 在R上的图象是一条连续不断的曲线， f(xy)=xf(x)+xf(y)+2xy f(e)=-e2 则() A.f(-1)=2 .日 c.f(因是奇面数 D.冈零点个数大于1 题型06 正弦型f()=Asin或双曲正弦型f(x)=Asinhx函数模型 点方法枝巧 ①若函数满足f(x+)fx-)=∫(，-f()）,则该函数通常为正弦型函数f()=ksin c或双曲 inhx= _e*-ex 正弦型函数 2 ②两数满足f+》=/国10-+0f0-,则楼睡数可为)=1sm子x 2 f(x+y)=f(x)f(2-y)+fy)f(2-x),则该函数可为 、(x)=tsin4x。 ③若函数满足f(2x+月-f(2x-)=2f0-2)f0),可该函数可为 f(x)=sin x 21 1,(2026高三全国专题练习)已知两数/冈，任意，yeR,满足产()f0)/八+/(-列， 且0-2，f2)=0.则f0+f+f6++f)=() A.-2 B.0 C.2 D.4 10/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2526高三上福建龙岩开学考试)已知函数f四的定义威为R,且(+)(x-)=f()(0) 2x+为网数，则三户( A.-2 B.0 C.1 D.-3 3.《多选)(25-26高=下-江苏常州期末)已知函数冈的定义域为R,且 +/(-=-fr),f0= 2,f(2)=1,则() A.f(x)为奇函数 8.f3)-2 2 c.f(-l)=f(5) 宽fW)=2+1 4.(2026陕西榆林模拟预测)已知函数f(的定义域为Z,若f(x+)=f()f-)+f0)f0-),且 f)=-f(-)=1,则 号f2= () A.0 B.1 C.10 D.20 5。(多选)(2026浙江宁波二模)定义在R上的函数)满足： f0=fx+=f()f-+f-/,则() A.f(0)=0 。) c.f(-=f+x) D.fx+2)=f() 6.《多选)(25-26高=上海南海口阶段检测)已知定义在R上的函数儿闪满足：对任意实数，)， 11/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 都有x+y-到=f网-2)+-2/()，且四的图象过点42，).B(-2,-）,则() A.f(0)=0 B.f(3)f(-)+[f订=1 c.f0+f(2)++f88)=0 D.VneN,f(4n)=0 7.《多选)(2026河南三模)已知函数（四的完义减为R,f)为四的导的数，对任意yeR, 均有2x+)f2r-)+2r0-2)f例，且0=1，则() A.f(0)=1 B.两数心-)的图象关于点L0对称 c.f(f(=-f-)f1-) D.f(2025)+f(2026)-f0)=f2) &.(多选)(2026贵州安顺模拟预测)已知函数因的定义域为R,其导函数为()且xy∈R。 恒有f2x)f2列=2f(-x-yfx-)f0)=1 则下列结论正确的是() A.f(201）=1 B.函数的图象关于》轴对称 c立0-0 D.[f(0.01]+[f(0.99)]=1 题型07余弦型f()=Acosx或双曲余弦型f()=Acoshx函数模型 点方弦技巧 ①若函数满f(x+)+f(x-)=2f(f),或 +0-22') 则该函数通常 为f()=cosa或f()=cosh@x。 ②若函数满足f(x+)+f(x-月=f)f),则该函数可为f(,=2cosr或f()=2 cosh。 12/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③若函数满足∫(x)+户)-f(x+)fx-)=,则该函数可为f)=kcos或 f(x)=k cosh cx。 1.（多选)(25-26高一上浙江金华期末)已知定义域为R的函数儿 满足：对任意七y∈R,有 f+列+f-)=2r(四例，且/o0 ,则下列说法正确的是（) A.f(0)=1 B.若存在a>0使得/@)=0，则f四的最小正周期为4如 c.f()为偶函数 D.④的值域为H可 f(x)=cosaxx f(x)=1 法二：可构造函数 或 2.(多选)（山西2026年高考考前综合评价（二模）数学试题)已知函数儿因)满足对于任意的)R, 都有fx+)+fx-)=2fx)f),且f0=2,则以下结论正确的是() A.f(0)=1 B.f(0)+f(2)+f3)++f(2026)=0 3。 c.f(x)是偶函数 D.f)关于（立对称 3。《多选)(2026安徽安庆一模)已知定义或为R的函数因，对任意实数y都有 f(x++f(x-)=2(/(刨.且0=-1，则以下结论一定正确的有（) A.f0)=1 B.f)是偶函数 c.9的图象关于点Q)中心对称 D.f0+f(2)+…+f(2026)=0 4.(2526高三上陕西威阳阶段检测)已知两数9的定义为R,满足 13/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 f(x+)+f(x-)=f()f(y),且f()不为常数函数，f(0=0,则台 A.-2 B.2 C.-2026 D.2026 5.（多选)(2026广西河池二模)已知定义域为R的函数/（冈， 对任意实数。y都有 fx+)+/(x-)=ff),且(2)=-2 ,则以下结论一定正确的有() A.T=4为f()的周期 B.f关于x=2对称 c.f)=-1 D.f(2026)-f(2025)-f(2024)=-4 6.《多选)(2526商三下辽宁阶段检测)已知函数的定文域为R,任意a,6eR faf6)=f6-a+fa+b)恒成立，且f0-,则0 A.f(0)=0 B.f(2)=-1 c.f()为偶函数 。立0-0 7.《多选)(2026江苏苏州三模)已知函数的定义域为R,f()+f()f八+列(x-)4, f0=1,2x+)为商函数，则() A.f(0)=±2 B.f为偶函数 C.f3+x)=f(3-x) f(x)=2cos 法二：可构造函数 14/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(多选)(2026福建福州三模)定义在R上函数)与8()满足：f(x+)/()+8(), g(x+)=f(x)f)+g()g(),80)≠2，g()为偶函数，且g()>0恒成立，已知f(2)+g2)=2, 则() A.g0)=1B,f付为偶两数C.fQ)-82)=-号D.f8)-g图)=-16 9.《多选)(2526高二下全国期末)函数)，8（冈的定义域为R,f()为偶函数且恒大于0， fo,e+g回)-5.fx+=r0+gg).&+列8因ro+f因s).则 () A.f(0)=2 B.f(8)-8(8)=9 c.f3)=4f()-3f) D.对于任意xER,点(x),8(刃到直线y=x与y=-x的距离之积为2 10.(2526高三上上海金山阶段检测)已知函数()的定义域为R,且 f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)f(1)=1 (1)f(x)-Acos@x(0<o<z) 求A与”： 2)证明：函数（ 是偶函数且是周期函数； [。T 0. 3)若f()的周期为工，在2上是减函数，记f()的正的零点从小到大依次为￥，x,x,…,证明 fw在区间D,2025T]上有4050个零点，且化}是等差数列. 15/21 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型08 正切型f(x)=Atan ox函数模型 点方法技巧 f(x+y)= f(x)+f(y) 若函数满足 四fx一)=+f)f),则该函数通常为指数函数 1-f(x)f(y)或 f(x)=tan cx。 1.(多选)(22-23高三上福建宁德期末)已知函数f(x)满足f(0)有定义，f0)=1,当x∈(0，时， f(x)>0,且当f(x,fy),f(x+y)都有意义时， fx+)=J四+f) ˉ1-f)f),则以下说法正确的是() A.f(x)是奇函数 B.f(x)是周期函数 c.f(x)在(0,2)上是增函数 D.f(x)的图象关于直线x=2对称 题型09 双曲正切型f()=Atanhax函数模型 点方法枝巧 f(x+y)= f(x)+f(y) ①若函数满足 1+f(x)f(y) 则该函数通常为双曲正切型函数f(r)=tanh x。 1.《多选)(2026安徽猴州三模)已知函数的定义域为R,值域为-0，若 f+=十)fy,且f)>0,则下列说法正确的是（、 A./(✉sf(2xs2 B.0≤f(f2x)<1 o-8.功e C.设函数 16/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.设函数(=1+[f(2）了(n∈N),则2"f)<h)h(2)h(m<2 2(2024高三上全同克奔)已知儿闭是定义在0切)上单调递增且图像连续不断的函数，且有 心+，设51，则下到法的程( 。.1) 2 c) 。. 2 3(多选)(2.23高一上浙江温州期未)已知) 为非常值函数，若对任意实数x,y均有 ++时了，且当>0时，f>0,则下列说法正确的有( A.f)为奇函数 B.f(是0，+o)上的增函数 c.lr()<i D.f(是周期函数 题型10 对数复合型 点方法技巧 若函数满 -号安--易 则该函数通常为 f()=kIn-x “1+x或 f()=k1n1+x 1-x 1. (2526高一上浙江宁波期中)已知定义在仁川上的函数()满足： ①对任意x,y∈(1,1)都有 ②当x>0,f()>0. 则下列说法中正确的是() A.f是奇函数 8.f(x) 是减函数 17/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 }.)。周 2.226海北二模定义在的数付满足：ye,-心)=，且 610.0.苦P-.Q-.R-f.到p..大小*系 () A.Q<R<P B.R<O<P C.R<P<O D.P<R<O 3.(2526高一上湖北孝感期末)己知定义在川上的函数（因清足下列两个条件：①对任意 yee.带6)-.0任61a.内<0清管下别g (回判断~)的奇偶性及在定义域内的单调性，并证明， (2)解不等式： f++>0 (3)证明：对任意正整数n, r品++3m+) 11 提示：①m+3n+l=(n+)(n+2)-l:②(n+1(n+2)n+1n+2 题型11反比例函数模型 点 方法技巧 f(x+y)= f(x)f(y) )= 若函数满 f(x)+fy),则该函数通常为 X 1.(多选)(23-24高三上山东阶段练习)对于任意非零实数x,y,函数 满足 18/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 瑞.田在0单调减，0，则下列特论的是 =2203-2 B. c.f(四)为奇函数 D.∫)在定义域内单调递减 2(2425商一上宁夏石晴山期末)定义在0，+)上的函数八)清足条件0 xe0,+o)f()≠0，② fo)Ff国0f6+)= f(x)f(v) (3 x,y∈(0，+o), (x)+f),则(2的值为() 4 A.0 B.3 C.1 0.3 题型12 三次函数模型 点方法技巧 若函数满fCx+)=f)+f)+xy+y,则该函数通常为 f)=4x+cx 3 1. (2024福建莆田二模)已知定义在R上的函数)满足：fx+)=/()+f)-3(K+）,则 Ay=f(四是奇商数 8.若0=1，则(-2)=4 c若f0=,则=f+ 为增函数 。.若r>0f(+r>0,则=f)+ 为增函数 法二：可构造函数f四=-x3+cx 2.(多选)(2024贵州三模)已知定义减为R的西数儿闪满足+)=/（闭+f0)+y+,f(四 为/的导函数，且0=2，则() A.f(0)=0 B.(冈为奇函数 19/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.f'(-2)=7 D.i设6.=f0aeN）,则a=2023×2025+2 3。(多选)(2026陕西检林一模)已知两数④的定义城为R,共图家是一条连续不断的由线，且对 于任意实数)，恒有(+川=f+/+y+,考0=- ,则() A.f-)=1 B.f)是奇函数 C.x>2是f-2)<(的必要不充分条件 D.f(因的季点个数为3 题型13常函数模型 1.《多选)(2025安微合肥二模)已知函数因的定义减为R,且 f)-+ff0-)=2f(x+),fo)=1,则() A.f(2)=1 B.3,∈Rf(x)<0 c.f的图象关于点0,1)对称 D.()为偶函数 2,(2526高三下辽宁铁龄阶段检测)已知函数儿闪对任意七)eR恒有 fx+列+fx-列+4f(+4)-12=2(),且f0)2,f6-+/)=4,给出下列结论： 0J0)=3,②/（凶是得函数：@f(闪的图象关于点6,0叭对称：@+12）-f.其中正确结论的序 号为. 题型14 超越函数模型 点方法技巧 若函数满足ef(x-)=e*f(~+f(-),则该函数通常为 ()=在 20/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若函数满足f()+ef()=f(x+),则该函数通常为f)=xe 1.(多选)(23-24高二下·江苏苏州期末)已知定义域为R的连续函数（闭满足 ef(x-y)=e+"f(x)+f(-y)f(-l)=-e2 ,则() A.f0)=0 e'f(x 为奇函数 C.f(x)在（-，0)上单调递减 D.f(x)在(0，+0)上的最大值为1 2.（多选)(2025高三上河南鹤壁专题练习)已知函数（的定义域为R,f0=20,且 ef+ef0)=fx+),则() A路线少化) =en关于点0)中心对称B。f(~在R上单调递增 2e-1 C.ef(x)+2≥0 D.函数F(x)=f(2x+1)-f(2ex+c)的所有零点之和为2-2心 21/21