第四单元 三角形的边与角（期中专项训练）数学西南大学版五年级上册（新教材）

第四单元 三角形的边与角（期中专项训练） 考点梳理 考点一、三角形三边关系 1. 三角形任意两边长度的和 第三边。简单记：两边之和 第三边。 还有一个推论：任意两边之差 第三边 2. 快速判断小技巧： 只要 ＞ ，就一定能 。 （不用三组都算，只需要验证这一组即可，节省时间） 3. 特别提醒： 如果两边之和等于第三边（如 3cm、4cm、7cm，3+4=7），三条线段会 ，不能 。必须是大于，等于、小于都不行。 4. 已知两条边，求第三条边范围（常考填空） 已知两条边长度：a、b（a>b)，第三边的取值范围： 。 考点二、三角形的内角和 1. 三角形的内角和是 180° 内角：三角形里面的三个角，不管三角形大小、形状（锐角、直角、钝角三角形），内角和永远是 。 2. 验证方法 剪拼法：把三角形三个内角剪下来，拼在一起，可以拼成 ，平角 = 180°。 折叠法：把三个角向内折，三个顶点 ，拼成平角。 3.三角形内角和的有关计算 三角形内角：∠1、∠2、∠3， 。 已知两个角，求第三个角： 。 而在直角三角形中，两个锐角相加等于 90°。 考点三、多边形内角和 1. 多边形内角和推导方法：把多边形分成若干个三角形，从多边形的一个顶点出发，连接不相邻的顶点，可以分出三角形。分成的三角形个数 = 边数 − 2。 2. 多边形内角和公式：内角和 = 。 考点分类练习 考点一、三角形三边关系 1．聪聪找到了一根小棒，它既可以和长4厘米、6厘米的两根小棒围成三角形，又可以和长5厘米、11厘米的两根小棒围成三角形。这根小棒的长度可能是（    ）厘米。 A．6 B．8 C．10 D．12 2．下面能围成三角形的是（    ）。 A．2cm、3cm、6cm B．3cm、4cm、5cm C．1cm、3cm、4cm D．3cm、4cm、9cm 3．下列各组小棒中，有一部分被遮住了，其中一定不能拼成三角形的是（    ）。 A． B． C． D． 4．三根小棒的长度分别是3cm、4cm、5cm，它们( )（填“能”或“不能”）围成三角形。 5．如图，从6根小棒中任意取3根小棒围成一个三角形，可以围成( )种不同的三角形。（单位：厘米） 6．爷爷要给他的小狗搭一个房子（如图），房顶的框架是三角形，其中一根木条是3dm，另一根木条是5dm，那么第三根木条是( )dm，“人”字梁的高度不大于( )dm。（取整分米数） 7．乐乐想把一根长的铁丝分别从点、处剪开，分成三段，这样剪出的铁丝( )（填“能”或“不能”）围成三角形，理由是( )。 8．王老师根据《九章算术》中“折竹抵地”问题改编了一个题目：一根竹子长9米，从点折断，竹根和竹尖均抵地，如图，最长( )米，最短( )米。（长度取整数） 9．如图所示的三条线段a、b、c能围成三角形吗？请说明理由，再用尺规画一画。 10．再添一条线段b，使三条线段围成一个三角形，用尺规作出这个三角形。 线段a： 线段b： 线段c： 11．下面的线段表示一根10厘米长的木条，请你把它分成三段，用这三段木条可以围成一个三角形。（要求：标出每一段的长度） 12．将如图18厘米细木棒剪两刀，使剪下的三根小棒首尾相连能围成一个三角形。用↓标注剪开的位置。 13．李南身高1.6米，体重47千克，腿长约80厘米。李南说他一步能迈1.8米，李南说的话对吗？请你从数学的角度作出判断，并用你喜欢的方式说明理由。 14．莲花山公园即将举行放风筝比赛，爸爸准备给朵朵做一个等腰三角形的风筝参赛，他计划把一根长竹条截成长65厘米、65厘米和180厘米的三段。 (1)如果将爸爸计划截成的三段竹条首尾相接做风筝的框架，能做成吗？为什么？ (2)如果你用这根长竹条做成一个腰长80厘米的等腰三角形，三角形的底边长是多少厘米？ 15．艺术小组用木条设计墙壁图案，有一个图形是三角形，其中两根木条分别长6分米和9分米，第三根木条最短需要多少分米，最长需要多少分米？（取整分米数） 16．在航天领域，工程师们经常需要计算各种形状和尺寸的零件，以确保它们能够安全、有效地组装在一起。假设航天器上需要安装一个三角形的天线支架，工程师已经确定了其中两条支撑臂的长度，分别为8米和10米。为了确保天线支架的稳定性，第三条支撑臂长度最长多少米？最短多少米？请利用三角形三边关系的知识进行解答。（支撑臂长度取整米数） 17．通过本单元的学习，我们知道：根据“三角形任意两边之和大于第三边”，可以判断一组小棒能否摆成一个三角形。 (1)猜想：实际判断时，只要较短的两边之和大于第三边，就能摆成三角形。举例如下。（单位：厘米） (2)验证： (3)结论： 考点二、三角形的内角和 18．将一个大三角形沿一个顶角到对边的线剪成两个小三角形，任意一个小三角形内角和是（    ）。 A．90° B．180° C．360° D．无法确定 19．如果一个三角形中有两个角是27°和63°，那么第三个角是（    ）。 A．钝角 B．直角 C．锐角 D．无法确定 20．下面关于三角形的说法，正确的是（    ）。 A．任意长度的三根小棒都可以围成一个三角形。 B．任意三角形的两条短边之和一定大于第三条边。 C．因为三角形的内角和是，所以将一个三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和都小于。 D．因为三角形的内角和是，所以由两个完全相同的三角形拼成的大三角形的内角和就是。 21．下面每组中的三个角，不可能在同一个三角形中的是（    ）。 A．65°、45°、40° B．100°、55°、25° C．90°、45°、45° D．90°、60°、30° 22．小刚将一张直角三角形纸片剪去一个直角后得到一个四边形（如下图），∠3＋∠4＝（    ）。 A．90° B．120° C．180° D．270° 23．一个三角形中最多有( )个钝角，最多有( )个直角，至少有( )个锐角。 24．张师傅测量了一块三角形花圃内角，两个内角分别是41°、49°，第三个角是( )°。 25．三角形ABC中的一个内角的度数是30°，剪去这个角（如图），剩下的∠A和∠C的内角和是( )。 26．聪聪买了一个10倍的放大镜，他用这个放大镜去看一个三角形，这时三角形的内角和是( )度。 27．叔叔不小心把一块三角形的玻璃打碎成了①②③三块（如图），要配一个形状大小都一样的，他只需要带第( )块去玻璃店。已知这有两个角的度数分别是64°和75°，剩下的那个角的度数是( )°。 28．计算未知角的度数。 29．如图，算一算∠3和∠4各是多少度？ 30．如图，在三角形中，∠1＝60°，∠2＝65°，求∠4的度数。 31．在三角形中，3个内角分别是∠1、∠2、∠3。已知∠1的度数是∠2的2倍，∠3的度数是∠2的3倍，则∠1、∠2、∠3的度数分别是多少？ 32．张大爷家有一块三角形的菜地，菜地的最大角的度数是108°，是最小角的3倍。请你求出这块菜地的另外两个角的度数。 33．一个等腰三角形，顶角的度数比一个底角多72度，这个等腰三角形的顶角和底角分别是多少度？ 34．如下图，两个完全相同的直角三角形拼成了一个大三角形。 如果把一个三角形分成两个小三角形后每个小三角形的内角和是多少呢？ 35．美化城市生活，创建文明城市，为了营造良好的城市环境，某街道需要对部分花坛进行维修，图1、图2分别是张叔叔和王叔叔测量的两个三角形花坛各边的长。（单位：米） (1)你认为张叔叔和王叔叔谁测量的是对的？请说说你的理由。 (2)根据图3中的信息，求出∠1的度数。 36．如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；如此反复操作，沿∠BnAnC的平分线AnBn＋1折叠，点Bn与点C重合，我们就称∠BAC是△ABC的正角。 以图2为例，△ABC中，∠B＝70°，∠C＝35°，若沿∠BAC的平分线AB1折叠，则∠AA1B1＝70°。沿A1B1剪掉重叠部分，在余下的△B1A1C中，由三角形的内角和定理可知∠A1B1C＝35°，若沿∠B1A1C的平分线A1B1第二次折叠，则点B1与点C重合。此时，我们就称∠BAC是△ABC的正角。 (1)△ABC中，∠B＝2∠C，则经过两次折叠后，∠BAC是不是△ABC的正角？ ____________（填“是”或“不是”）。 (2)小明经过三次折叠发现∠BAC是△ABC的正角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为________________________________________________。 根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的正角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为______________________________________________________。 (3)如果一个三角形的最小角是10°，直接写出此三角形另外两个角的度数，使得此三角形的三个角均是它的正角。 考点三、多边形内角和 37．古代青砖常设计为六边形，这种六边形地砖的内角和是（    ）。 A．180° B．360° C．480° D．720° 38．下面的度数不可能是一个多边形的内角和的是（    ）。 A． B． C． D． 39．图中∠1是（    ）。 A．148° B．108° C．140° D．72° 40．下列根据三角形或四边形内角和探索六边形内角和的方法正确的是（    ）。 A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．乙、丙 D．甲、丙 41．计算五边形内角和，符合算式“”的思考方式的是（    ）。 A． B． C． D． 42．一个等腰三角形的顶角是，它的一个底角是( )；如果把一个底角裁去，变成一个四边形，该四边形的内角和是( )。 43．任意一个三角形的内角和都是( )°，任意一个四边形的内角和是( )°。 44．小丽将两个完全相同的等边三角形拼成一个大图形，拼成的图形是( )边形，这个图形的内角和是( )°。 45．照样子，分一分，填一填。 图形 分法 内角和 360° 46．五（1）班开展剪纸活动。妙妙将三角形彩纸沿虚线剪下一个小三角形（如图），剪下的小三角形内角和是( )°，剩余部分图形的内角和是( )°。 47．如图，正五边形的5个内角都相等，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求∠5的度数。 48．如图：三角形ABC是一个等腰三角形，顶角是50度，剪去顶角后得到四边形BCDE。求∠1与∠2的和是多少度？ 49．正六边形作为中国传统形状，象征六合、六顺之意，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口、佛塔等。下图所示为古建筑物中的正六边形窗户。 (1)用数学的眼光观察，这个窗户的正六边形外框有( )条对称轴。 (2)根据已有的经验，探究下面六边形的内角和，并把思考过程用自己喜欢的方式表示出来。（提示：可以画一画，算一算，写一写） 50．淘气在学习三角形内角和时想到：如果知道了多边形的边数，怎么求内角和呢？他想自己动手探索一下。 (1)淘气先在纸上画了一个四边形，通过连接对角线把它分成了2个三角形，算出四边形内角和是360°。请你像淘气一样，画一画、分一分、算一算，完成下面的表格。 图形 …… 名称 四边形 五边形 六边形 …… 边数 4 5 6 … 内角和 180°×2＝360° …… (2)观察表格中的数据，你发现多边形的内角和与边数之间有怎样的关系？用一句话写下来：______________________________________________________________________________ (3)根据你发现的规律，不用画图，直接计算。 ①八边形内角和＝________________________。 ②十六边形内角和＝________________________。 51．本学期，我们探究了三角形的内角和是180°，其实三角形不仅有内角，还有外角。 【阅读材料】 外角就是三角形中一条边与另一条边的延长线组成的角。下图三角形中，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个内角，∠4、∠5、∠6是它的三个外角。三角形的外角和是多少度呢？我们一起来研究一下。 因为∠1＋∠4＝180°，∠2＋∠5＝180°，∠3＋∠6＝180°，所以三角形的内角和＋外角和＝3×180°＝540°，又因为三角形的内角和是180°，所以三角形的外角和＝540°－180°＝360° 【应用解答】探究四边形的外角和 (1)四边形的内角和＋外角和＝_________，因为四边形的内角和是360°，所以四边形的外角和＝_________。 五边形的内角和＋外角和＝5×180°＝900°，因为五边形的内角和是540°，所以五边形的外角和为360° (2)通过以上阅读与思考，我猜想八边形的外角和＝_________。 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 三角形的边与角（期中专项训练） 考点梳理 考点一、三角形三边关系 1. 三角形任意两边长度的和大于第三边。简单记：两边之和＞第三边。 还有一个推论：任意两边之差＜第三边 2. 快速判断小技巧： 只要较短两条边的和 ＞ 最长边，就一定能围成三角形。 （不用三组都算，只需要验证这一组即可，节省时间） 3. 特别提醒： 如果两边之和等于第三边（如 3cm、4cm、7cm，3+4=7），三条线段会重合在一条直线上，不能围成三角形。必须是大于，等于、小于都不行。 4. 已知两条边，求第三条边范围（常考填空） 已知两条边长度：a、b（a>b)，第三边的取值范围：a-b <第三边< a+b。 考点二、三角形的内角和 1. 三角形的内角和是 180° 内角：三角形里面的三个角，不管三角形大小、形状（锐角、直角、钝角三角形），内角和永远是 180°。 2. 验证方法 剪拼法：把三角形三个内角剪下来，拼在一起，可以拼成一个平角，平角 = 180°。 折叠法：把三个角向内折，三个顶点重合，拼成平角。 3.三角形内角和的有关计算 三角形内角：∠1、∠2、∠3，∠1+∠2+∠3=180°。 已知两个角，求第三个角：∠3=180°-∠1-∠2。 而在直角三角形中，两个锐角相加等于 90°。 考点三、多边形内角和 1. 多边形内角和推导方法：把多边形分成若干个三角形，从多边形的一个顶点出发，连接不相邻的顶点，可以分出三角形。分成的三角形个数 = 边数 − 2。 2. 多边形内角和公式：内角和 = (边数-2)×180°。 考点分类练习 考点一、三角形三边关系 1．聪聪找到了一根小棒，它既可以和长4厘米、6厘米的两根小棒围成三角形，又可以和长5厘米、11厘米的两根小棒围成三角形。这根小棒的长度可能是（    ）厘米。 A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，分别求出两种情况第三根小棒的长度范围，再找出同时符合的整厘米数即可。 【详解】第一种情况：4＋6＝10（厘米） 6－4＝2（厘米） 第三边的长度必须要大于2厘米且小于10厘米，即3到9厘米。 第二种情况：5＋11＝16（厘米） 11－5＝6（厘米） 第三边的长度必须要大于6厘米且小于16厘米，即7到15厘米。 综上，第三根小棒的长度范围是7到9厘米，选项B中的8厘米符合要求。 2．下面能围成三角形的是（    ）。 A．2cm、3cm、6cm B．3cm、4cm、5cm C．1cm、3cm、4cm D．3cm、4cm、9cm 【答案】B 【分析】判断三条线段能否围成三角形，依据是三角形任意两边的和大于第三边，只需验证两条较短边的和是否大于最长边即可。 【详解】A．2＋3＝5，5＜6，不能围成三角形，不符合题意； B．3＋4＝7，7＞5，能围成三角形，符合题意； C．1＋3＝4，4＝4，不能围成三角形，不符合题意； D．3＋4＝7，7＜9，不能围成三角形，不符合题意。 3．下列各组小棒中，有一部分被遮住了，其中一定不能拼成三角形的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形三边关系：两边之和必须大于第三边。部分小棒被遮挡，我们取被遮住小棒的最大可能长度来判断，如果取到最大都不满足，就一定拼不成。 【详解】A．三根小棒全部露出，长度为5、8、10，5＋8＞10，满足三边关系，可以拼成三角形。 B．已知小棒10、7，一根被遮挡，遮挡小棒取最大可能长度5，5＋7＞10，满足三边关系，可以拼成三角形。 C．已知两条边5和10，被挡住的小棒最大只能是5。取最大值5，5＋5＝10，两边之和等于第三边，不能拼成三角形；如果比5更小，5＋这个数＜10，更加不行，一定拼不成。 D．已知小棒10、8，一根被遮挡，遮挡小棒取最大可能长度5，5＋8＞10，满足三边关系，可以拼成三角形。 4．三根小棒的长度分别是3cm、4cm、5cm，它们( )（填“能”或“不能”）围成三角形。 【答案】能 【分析】三角形任意两边之和大于第三条边，据此解答。 【详解】3＋4＝7，7＞5；3＋5＝8，8＞4；4＋5＝9，9＞3。所以三根小棒的长度分别是3cm、4cm、5cm，它们能围成三角形。 5．如图，从6根小棒中任意取3根小棒围成一个三角形，可以围成( )种不同的三角形。（单位：厘米） 【答案】13 【分析】三角形任意两条短边的长度和，大于最长边，按从小到大的顺序有序列举所有符合要求的组合，避免重复遗漏。 【详解】选2、3、4：2＋3＞4，符合要求 选2、3、5：2＋3＝5，不符合要求 选2、3、6：2＋3＜6，不符合要求 选2、3、7：2＋3＜7，不符合要求 选2、4、5：2＋4＞5，符合要求 选2、4、6：2＋4＝6，不符合要求 选2、4、7：2＋4＜7，不符合要求 选2、5、6：2＋5＞6，符合要求 选2、5、7：2＋5＝7，不符合要求 选2、6、7：2＋6＞7，符合要求 选3、4、5：3＋4＞5，符合要求 选3、4、6：3＋4＞6，符合要求 选3、4、7：3＋4＝7，不符合要求 选3、5、6：3＋5＞6，符合要求 选3、5、7：3＋5＞7，符合要求 选3、6、7：3＋6＞7，符合要求 选4、5、6：4＋5＞6，符合要求 选4、5、7：4＋5＞7，符合要求 选4、6、7：4＋6＞7，符合要求 选5、6、7：5＋6＞7，符合要求 最终一共能围成13种不同的三角形。 6．爷爷要给他的小狗搭一个房子（如图），房顶的框架是三角形，其中一根木条是3dm，另一根木条是5dm，那么第三根木条是( )dm，“人”字梁的高度不大于( )dm。（取整分米数） 【答案】 3 3 【分析】三角形任意两边长度和大于第三条边，3＋3＞5，5＋3＞3且三角形最下面的一边要大于4dm，所以另一根为3dm。在直角三角形中，直角边的长度小于斜边的长度，所以“人”字梁的高度不大于3dm。 【详解】分析可知，第三根木条是3dm，“人”字梁的高度不大于3dm。 7．乐乐想把一根长的铁丝分别从点、处剪开，分成三段，这样剪出的铁丝( )（填“能”或“不能”）围成三角形，理由是( )。 【答案】 不能 三角形的任意两边之和大于第三边才能围成三角形，，两边之和等于第三边。 【分析】判断三段线段能否围成三角形，依据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边。先在数轴上读出三段铁丝的长度，再计算两条短边相加的和，与最长边对比进行判断。 【详解】数轴上A点在7cm，B点在12cm，铁丝总长14cm。 三段长度： 第一段：7cm 第二段：12－7＝5（cm） 第三段：14－12＝2（cm） 较短两边之和：5＋2＝7（cm） 7cm＝7cm，不满足任意两边之和大于第三边。 8．王老师根据《九章算术》中“折竹抵地”问题改编了一个题目：一根竹子长9米，从点折断，竹根和竹尖均抵地，如图，最长( )米，最短( )米。（长度取整数） 【答案】 8 2 【分析】我们把竹子分成两段：直立在地面的AB段长度是4米，折断后斜着抵地的AC段总长度是9－4＝5米。求最长：根据三角形两边之和大于第三边，BC要小于AB＋AC＝4＋5＝9米，取整数的话最大能到9－1＝8米。求最短：根据三角形两边之差小于第三边，BC要大于AC－AB＝5－4＝1米，长度取整数，所以最短是1＋1＝2米。 【详解】9－4＝5（米） AB＋AC＝4＋5＝9（米） AC－AB＝5－4＝1（米） 9－1＝8（米） 1＋1＝2（米） BC最长8米，最短2米。 9．如图所示的三条线段a、b、c能围成三角形吗？请说明理由，再用尺规画一画。 【答案】能围成三角形。 理由：根据三角形任意两边之和大于第三边，这三条线段中较短的a和c的长度之和大于最长的b，满足三角形的三边关系，所以能围成三角形。 （画法不唯一） 【分析】三角形的三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边；据此判断线段a、b、c能否围成三角形。 尺规作图过程：①画一条射线，用圆规量出线段b的长度，在射线上截取线段AB，使AB＝b；②用圆规量取已知线段a的长度，保持圆规的开口宽度不变，将圆规有针尖的脚固定到点A上，转动手柄画弧；③用圆规量取已知线段c的长度，保持圆规的开口宽度不变，将圆规有针尖的脚固定到点B上，转动手柄画弧；两弧相交于点C；④连接AC和BC，得到三角形ABC。 【详解】略 10．再添一条线段b，使三条线段围成一个三角形，用尺规作出这个三角形。 线段a： 线段b： 线段c： 【答案】 【分析】线段b的长度要满足：比a和c的长度差大，比a和c的长度和小； 尺规作图步骤： ①先用直尺画一条长度与a相等的线段，记为AB； ②把圆规的针尖固定在A点，调整圆规两脚距离等于线段c的长度，画一个圆弧； ③再把圆规的针尖固定在B点，调整圆规两脚距离等于刚才选好的线段b的长度，画另一个圆弧； ④两个圆弧会交于一个点记为C，把这个点分别和A点、B点连起来，得到的就是由a、b、c三条线段围成的三角形。 【详解】作图略 11．下面的线段表示一根10厘米长的木条，请你把它分成三段，用这三段木条可以围成一个三角形。（要求：标出每一段的长度） 【答案】 【分析】任意三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。所以把一根10厘米长的木条分成三段，用这三段木条可以围成一个三角形，（厘米）；最大的一段是4厘米，剩余两段可以是3和3厘米或者是4和2厘米。 【详解】画图略； 12．将如图18厘米细木棒剪两刀，使剪下的三根小棒首尾相连能围成一个三角形。用↓标注剪开的位置。 【答案】（答案不唯一） 【分析】三角形三边的关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 【详解】三根小棒总长18厘米，最长边必须小于18÷2＝9（厘米）。 三边长为5厘米、6厘米、7厘米 第一刀标在5厘米处，第二刀标在5＋6＝11厘米处。 图略。 13．李南身高1.6米，体重47千克，腿长约80厘米。李南说他一步能迈1.8米，李南说的话对吗？请你从数学的角度作出判断，并用你喜欢的方式说明理由。 【答案】不对。理由：把两条腿长看作三角形的两条边，步长看作第三边。腿长80厘米，两边和：80厘米＝0.8米，0.8＋0.8＝1.6（米），1.6＜1.8，不符合三角形任意两边之和大于第三边，所以不可能一步迈1.8米。 【分析】人迈步时，两腿与地面构成三角形，利用三角形任意两边之和大于第三边的特性，可知步长必须小于两腿长度之和。先统一长度单位，再计算两腿总长度，与步长比较后就能判断对错。 【详解】80厘米＝0.8米 0.8＋0.8＝1.6（米） 1.6＜1.8 答：李南说的不对。 14．莲花山公园即将举行放风筝比赛，爸爸准备给朵朵做一个等腰三角形的风筝参赛，他计划把一根长竹条截成长65厘米、65厘米和180厘米的三段。 (1)如果将爸爸计划截成的三段竹条首尾相接做风筝的框架，能做成吗？为什么？ (2)如果你用这根长竹条做成一个腰长80厘米的等腰三角形，三角形的底边长是多少厘米？ 【答案】(1)不能做成。因为三角形任意两边之和大于第三边，65＋65＝130（厘米），130＜180，较短两边的和小于第三边，不符合三角形三边关系，所以无法做成风筝框架。 (2)150厘米 【分析】（1）利用三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，来判断能不能围成三角形。 （2）先求出竹条总长度，等腰三角形两条腰相等，总长减去两条腰就是底边长，再检查三边关系。 【详解】（1）65＋65＝130（厘米） 130＜180 答：两边之和小于第三边，不能做成。 （2）总长：65＋65＋180＝310（厘米） 两条腰：80＋80＝160（厘米） 底边：310－160＝150（厘米） 80＋80＞150，符合条件。 答：底边长150厘米。 15．艺术小组用木条设计墙壁图案，有一个图形是三角形，其中两根木条分别长6分米和9分米，第三根木条最短需要多少分米，最长需要多少分米？（取整分米数） 【答案】第三根木条最短需要4分米，最长需要14分米。 【分析】根据三角形三边的长度关系确定第三边的取值范围，再结合整分米数的要求求出最短和最长长度。 【详解】9－6＝3（分米） 9＋6＝15（分米） 第三根木条的长度需大于3分米且小于15分米。 取整分米数时：最短：3＋1＝4（分米） 最长：15－1＝14（分米） 答：第三根木条最短需要4分米，最长需要14分米。 16．在航天领域，工程师们经常需要计算各种形状和尺寸的零件，以确保它们能够安全、有效地组装在一起。假设航天器上需要安装一个三角形的天线支架，工程师已经确定了其中两条支撑臂的长度，分别为8米和10米。为了确保天线支架的稳定性，第三条支撑臂长度最长多少米？最短多少米？请利用三角形三边关系的知识进行解答。（支撑臂长度取整米数） 【答案】17米；3米； 【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边的规律，先确定第三边的长度范围，再结合整米数的实际要求，得出最长和最短长度。 【详解】第三条边的长度要小于8米与10米的和：（米），即第三条边的长度米； 8米与第三条边的长度和要大于10米，即8＋第三条边的长度＞10米，因此第三条边的长度要大于：（米）；综上，2米＜第三条边的长度＜18米， 由于支撑臂长度为整米数，所以第三条支撑臂最长是（米），最短是（米）。 答：第三条支撑臂长度最长17米，最短3米。 17．通过本单元的学习，我们知道：根据“三角形任意两边之和大于第三边”，可以判断一组小棒能否摆成一个三角形。 (1)猜想：实际判断时，只要较短的两边之和大于第三边，就能摆成三角形。举例如下。（单位：厘米） (2)验证： (3)结论：________________________________________________________________。 【答案】(1)3；5 (2)a＋c＞b；b＋c＞a (3)用三根小棒摆三角形时，只要较短的两边之和大于第三边，就能摆成三角形 【分析】（1）三角形任意两边之和大于第三边，判断三根小棒是否可以摆成一个三角形，需要验算三组，其中最难满足的就是短边＋短边＞最长边，只要这一条成立，另外两条自动成立；先比较三根小棒的长度，再验证短边＋短边＞最长边即可； （2）因为（最长边大于中间边），再给c加上一条边a，那么一定大于b； 因为（最长边大于最短边），再给c加上一条边b，那么一定大于a； 所以，只要成立，另外两个不等式自然成立，能摆成三角形； （3）用三根小棒摆三角形时，只要较短的两边之和大于第三边，就能摆成三角形。 【详解】（1）由分析可知，因为，且，所以能摆成三角形； （2）由分析可知，，所以；，所以； （3）用三根小棒摆三角形时，只要较短的两边之和大于第三边，就能摆成三角形。 考点二、三角形的内角和 18．将一个大三角形沿一个顶角到对边的线剪成两个小三角形，任意一个小三角形内角和是（    ）。 A．90° B．180° C．360° D．无法确定 【答案】B 【分析】任意三角形的内角和都是固定值，和三角形的大小、形状没有关系。 【详解】剪开后得到的两个图形都属于三角形，根据三角形内角和的性质，任意一个三角形的内角和均为。 19．如果一个三角形中有两个角是27°和63°，那么第三个角是（    ）。 A．钝角 B．直角 C．锐角 D．无法确定 【答案】B 【分析】直角等于90°，锐角小于90°，钝角大于90°而小于180°。根据三角形内角和为，求出第三个角的度数后判断角的类型即可。 【详解】 的角是直角。 所以第三个角是直角。 20．下面关于三角形的说法，正确的是（    ）。 A．任意长度的三根小棒都可以围成一个三角形。 B．任意三角形的两条短边之和一定大于第三条边。 C．因为三角形的内角和是，所以将一个三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和都小于。 D．因为三角形的内角和是，所以由两个完全相同的三角形拼成的大三角形的内角和就是。 【答案】B 【分析】三角形的三边需要满足任意两边之和大于第三边，可以以此为依据判断A、B选项的正误； 任意三角形的内角和都是固定的180°，和三角形的大小、形状无关，可以以此为依据判断C、D选项的正误。 【详解】A．三根小棒需要满足任意两边之和大于第三边才能围成三角形，不是任意长度都可以，错误。 B．三角形任意两边之和大于第三边，两条短边是三角形中较短的两边，它们的和一定大于最长的第三边，正确。 C．任意三角形的内角和都是180°，拆分出的小三角形内角和仍然是180°，错误。 D．两个完全相同的三角形拼成的大三角形仍然是三角形，内角和为180°，不是360°，错误。 21．下面每组中的三个角，不可能在同一个三角形中的是（    ）。 A．65°、45°、40° B．100°、55°、25° C．90°、45°、45° D．90°、60°、30° 【答案】A 【分析】三角形内角和为，据此解答。 【详解】A．65°＋45°＋40° ＝110°＋40° ＝150° 内角和不为180°，三个角不可能在同一个三角形中，符合题意； B．100°＋55°＋25° ＝155°＋25° ＝180° 内角和为180°，三个角可能在同一个三角形中，不符合题意； C．90°＋45°＋45° ＝135°＋45° ＝180° 内角和为180°，三个角可能在同一个三角形中，不符合题意； D．90°＋60°＋30° ＝150°＋30° ＝180° 内角和为180°，三个角可能在同一个三角形中，不符合题意； 22．小刚将一张直角三角形纸片剪去一个直角后得到一个四边形（如下图），∠3＋∠4＝（    ）。 A．90° B．120° C．180° D．270° 【答案】D 【分析】根据题意，先根据三角形的内角和是180°，求出原直角三角形中除直角外另外两个角∠1＋∠2度数和，再根据四边形内角和是360°，求出∠3＋∠4的度数。 【详解】∠1＋∠2＝180°－90°＝90° ∠3＋∠4 ＝360°－（∠1＋∠2） ＝360°－90° ＝270° 23．一个三角形中最多有( )个钝角，最多有( )个直角，至少有( )个锐角。 【答案】 1 1 2 【分析】大于90°小于180°的角是钝角；等于90°的角是直角；大于0°小于90°的角是锐角。三角形的内角和是180°。 【详解】假设一个三角形有2个钝角，因为钝角＞90°，2个钝角的和＞180°，这与三角形内角和180°相矛盾。所以三角形中最多有一个钝角。 同理，假设三角形有2个直角，则这两个直角和＝180°，不存在第三个角了。所以三角形中最多有一个直角。 假设至少只有一个锐角，则另外两个可能为钝角或直角，它们的和可能为180°或大于180°。所以至少有2个锐角。 24．张师傅测量了一块三角形花圃内角，两个内角分别是41°、49°，第三个角是( )°。 【答案】90 【分析】问题是求三角形的第三个内角，三角形三个内角的和等于，所以第三个角的度数等于减去已知两个内角的度数和；也可以先计算已知两个角的度数和，再用减去该和，即可得到结果。 【详解】 第三个角是。 25．三角形ABC中的一个内角的度数是30°，剪去这个角（如图），剩下的∠A和∠C的内角和是( )。 【答案】150° 【分析】因为原三角形内角和为180°，已知剪去的内角为30°，剩下的∠A和∠C的内角和仍然是原三角形中∠A与∠C的和，所以用180°减30°可得到剩余∠A和∠C的和。 【详解】原来三角形ABC，∠A＋∠C＋30°＝180° 180°－30°＝150° 所以剩下的∠A和∠C的内角和是150°。 26．聪聪买了一个10倍的放大镜，他用这个放大镜去看一个三角形，这时三角形的内角和是( )度。 【答案】180 【分析】三角形的内角和是由三角形的内角定义决定的，与三角形的大小无关。根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和都是180度。 【详解】放大镜的作用是放大三角形的边长，让三角形的视觉大小变大，但不会改变角的张开程度，因此，三角形的每个内角的度数都没有变化，内角和也不会改变。用10倍放大镜看三角形时，三角形的内角和仍然是180度。 27．叔叔不小心把一块三角形的玻璃打碎成了①②③三块（如图），要配一个形状大小都一样的，他只需要带第( )块去玻璃店。已知这有两个角的度数分别是64°和75°，剩下的那个角的度数是( )°。 【答案】 ③ 41 【分析】配玻璃需要知道原来的形状和大小。三角形中如果知道两个角和它们夹的边，就能确定三角形的形状。观察三块碎片，哪一块保留了原来的两个角和一条完整的夹边，带那一块就能确定原来的三角形。已知三角形内角和是180°，用180°减两个已知角的度数和，得到剩下角的度数。 【详解】第③块有两个角、一条边，带第③块去。 剩下的那个角的度数：180°－64°－75°＝41° 28．计算未知角的度数。 【答案】78°；60° 【分析】三角形内角和是180°，用180°减去已知的65°和37°，即可求出未知角。 这是直角三角形，有一个角是90°；用180°减去90°，再减去已知的30°，剩下的就是未知角。 【详解】180°－65°－37°＝78° 180°－90°－30°＝60° 29．如图，算一算∠3和∠4各是多少度？ 【答案】∠3＝80°；∠4＝100° 【分析】三角形内角和为180°，所以可以用180°减去已知的两个内角，求出∠3的度数。 ∠3和∠4组成平角，平角为180°，所以用180°减去∠3的度数，即可求出∠4的度数。 【详解】∠3＝180°－40°－60°＝80°   ∠4＝180°－80°＝100° 30．如图，在三角形中，∠1＝60°，∠2＝65°，求∠4的度数。 【答案】∠3＝180°－60°－65°＝55° ∠4＝180°－90°－55°＝35° 【分析】先根据平角为180°，结合已知的∠1和∠2的度数，求出∠3的度数。 因为图中存在直角，根据直角三角形两个锐角和为90°，用90°减去∠3的度数，得到∠4的度数。 【详解】略 31．在三角形中，3个内角分别是∠1、∠2、∠3。已知∠1的度数是∠2的2倍，∠3的度数是∠2的3倍，则∠1、∠2、∠3的度数分别是多少？ 【答案】∠1是60°；∠2是30°；∠3是90° 【分析】三角形的内角和是180°。可以把∠2的度数看作1份，那么∠1就是2份，∠3就是3份，三个角的总份数为1＋2＋3＝6（份），这6份对应的总度数是180°。先求出1份的度数（也就是∠2的度数），再根据倍数关系分别求出∠1和∠3的度数。 【详解】∠2：180°÷（1＋2＋3） =180°÷6 ＝30°   ∠1：30°×2＝60°   ∠3：30°×3＝90° 答：∠1的度数是60°，∠2的度数是30°，∠3的度数是90°。 32．张大爷家有一块三角形的菜地，菜地的最大角的度数是108°，是最小角的3倍。请你求出这块菜地的另外两个角的度数。 【答案】两个角的度数都是36° 【分析】先根据最大角与最小角的倍数关系用最大角除以3求出最小角的度数，再利用三角形内角和为，减去最大角和最小角的度数，得到另一个角的度数。 【详解】108°÷3＝36° 180°－108°－36°＝36° 答：这块菜地的另外两个角的度数都是36°。 33．一个等腰三角形，顶角的度数比一个底角多72度，这个等腰三角形的顶角和底角分别是多少度？ 【答案】顶角是，底角是。 【分析】三角形内角和为180°，等腰三角形的两个底角度数相等。已知顶角的度数比一个底角多72°，若将顶角的度数减去72°，此时顶角的度数与底角的度数相等，三个角的总度数也对应减少72°，计算调整后的总度数，从而计算出底角度数，顶角度数。 【详解】180°－72°＝108° 108°÷3＝36° 36°＋72°＝108° 答：这个等腰三角形的顶角是108°，底角是36°。 34．如下图，两个完全相同的直角三角形拼成了一个大三角形。 如果把一个三角形分成两个小三角形后每个小三角形的内角和是多少呢？ 【答案】 不同意。每个小三角形的内角和是180°。 【分析】任意一个三角形的内角和都是180°，因此不论是把一个大三角形分成两个小三角形，还是把两个完全相同的直角三角形拼成一个大三角形，分成的小三角形的内角和和拼成的大三角形的内角和依然是180°。据此解答。 【详解】任意一个三角形的内角和都是180°。 答：不同意。只要是三角形，不论大小，不论形状，内角和都是180°。每个小三角形的内角和是180°。 35．美化城市生活，创建文明城市，为了营造良好的城市环境，某街道需要对部分花坛进行维修，图1、图2分别是张叔叔和王叔叔测量的两个三角形花坛各边的长。（单位：米） (1)你认为张叔叔和王叔叔谁测量的是对的？请说说你的理由。 (2)根据图3中的信息，求出∠1的度数。 【答案】(1)王叔叔；理由：张叔叔：9＋7＝16（m），16＜18，不符合三角形的三边关系，王叔叔：11＋6＝17（m），17＞13，符合三角形三边关系 (2)70° 【分析】（1）根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此判断张叔叔和王叔叔测量的两个三角形是否准确。 （2）三角形的一个角和145°的角组成平角，平角等于180°，用180°－145°即可求出这个角的度数，根据三角形内角和是180°，用180°减去两个已知角的度数，即可求出∠1的度数。 【详解】（1）9＋7＝16（米），16＜18，两边之和小于第三边，不能围成三角形； 11＋6＝17（米），17＞13，11－6＝5（米），5＜13，能围成三角形。 答：王叔叔测量的是对的，因为张叔叔测量的三条边不能围成三角形，王叔叔的可以。 （2）180°－145°＝35° ∠1＝180°－35°－75° ＝145°－75° ＝70° 答：∠1＝70°。 36．如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；如此反复操作，沿∠BnAnC的平分线AnBn＋1折叠，点Bn与点C重合，我们就称∠BAC是△ABC的正角。 以图2为例，△ABC中，∠B＝70°，∠C＝35°，若沿∠BAC的平分线AB1折叠，则∠AA1B1＝70°。沿A1B1剪掉重叠部分，在余下的△B1A1C中，由三角形的内角和定理可知∠A1B1C＝35°，若沿∠B1A1C的平分线A1B1第二次折叠，则点B1与点C重合。此时，我们就称∠BAC是△ABC的正角。 (1)△ABC中，∠B＝2∠C，则经过两次折叠后，∠BAC是不是△ABC的正角？____________（填“是”或“不是”）。 (2)小明经过三次折叠发现∠BAC是△ABC的正角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为____________。 根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的正角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为____________。 (3)如果一个三角形的最小角是10°，直接写出此三角形另外两个角的度数，使得此三角形的三个角均是它的正角。 【答案】(1)是 (2) ∠B＝3∠C ∠B＝n∠C (3)10°；160° 【分析】（1）利用折叠性质，折叠后∠B＝∠AA1B1；第二次折叠使B1与C重合，得∠A1B1C＝∠C。再借助三角形外角定理，∠AA1B1＝∠C＋∠A1B1C，推出∠B＝2∠C，符合两次折叠成为正角的条件。 （2）先根据三次折叠的折叠性质得到几组相等的角；再用三角形外角定理逐层推导角度之间倍数关系；结合三角形内角和定理建立等式，算出∠B与∠C的关系；最后观察规律：1次折叠∠B＝1∠C，2次折叠∠B＝2∠C，3次折叠∠B＝3∠C，猜想得到n次折叠∠B与∠C的关系。 （3）已知最小角10°是正角，根据正角的倍数规律，设另外两个内角为10m°、10mn°；利用三角形内角和180°列出方程并化简得到m（n＋1）＝17；根据17是质数，找出正整数解，求出另外两个内角度数。 【详解】（1）已知∠B＝2∠C，沿∠BAC的平分线AB1折叠，根据三角形外角定理， ∠AA1B1＝∠C＋∠A1B1C根据折叠性质得∠AA₁B₁=∠B=2∠C，因此∠A₁B₁C=∠C 沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠时，点B1与点C重合，故∠BAC是△ABC的正角。 （2）理由如下：根据折叠的性质知，∠B＝∠AA1B1，∠C＝∠A2B2C，∠A1B1C＝∠A1A2B2 由三角形的外角定理知，∠A1A2B2＝∠C＋∠A2B2C＝2∠C 由四边形的外角定理知，∠BAC＋∠B＋∠AA1B1－∠A1B1C＝∠BAC＋2∠B－2∠C＝180° 由三角形内角和定理知，∠BAC＋∠B＋∠C＝180° ∴∠B＝3∠C 1次折叠时，当∠B＝∠C时，∠BAC是△ABC的正角； 2次折叠时，当∠B＝2∠C时，∠BAC是△ABC的正角； 3次折叠时，当∠B＝3∠C时，∠BAC是△ABC的正角； 故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的正角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B＝n∠C。 （3）由（2）知，∠B＝n∠C，∠BAC是△ABC的正角 ∵最小角是10°是△ABC的正角 根据正角定义，则可设另两角分别为10m°，10mn°（其中m、n都是正整数） 由题意，得10m＋10mn＋10＝180 ∴m（n＋1）＝17 ∵m、n都是正整数 ∴m与n＋1是17的整数因子 因此有：m＝1，n＋1＝17 ∴m＝1，n＝16 ∴10m＝10°，10mn＝160° ∴该三角形的另外两个角的度数分别为：10°，160° 考点三、多边形内角和 37．古代青砖常设计为六边形，这种六边形地砖的内角和是（    ）。 A．180° B．360° C．480° D．720° 【答案】D 【分析】 三角形内角和为，计算多边形内角和可以将多边形拆分为若干个互不重叠的三角形，如下图： 【详解】由分析可知：将六边形拆分成4个三角形，所以六边形内角和为：180°×4＝720°。 38．下面的度数不可能是一个多边形的内角和的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】多边形内角和一定是的整数倍，只需判断各选项能否被180整除即可。 【详解】多边形内角和公式为：（为大于等于3的整数），因此内角和一定是的整数倍。 A．，可能是一个多边形的内角和。 B．，可能是一个多边形的内角和。 C．，可能是一个多边形的内角和。 D．，不可能是一个多边形的内角和。 39．图中∠1是（    ）。 A．148° B．108° C．140° D．72° 【答案】B 【分析】读图可知，这是一个直角梯形，直角梯形的内角和是360°，用360°减去2个直角度数，再减去40°，即可知道直角梯形最后一个角的度数是多少，这个角分为了一个32°的角和∠1，用这个角的度数减去32°，即可算出∠1的度数。据此解答。 【详解】360°－90°×2－40° ＝360°－180°－40° ＝140° 140°－32°＝108° ∠1度数是108°。 40．下列根据三角形或四边形内角和探索六边形内角和的方法正确的是（    ）。 A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．乙、丙 D．甲、丙 【答案】A 【分析】六边形内角和的推导核心是将六边形分割为已知内角和的三角形或四边形，利用已有内角和计算，且分割产生的非六边形内角的角度要扣除。 甲：从六边形的一个顶点出发，把六边形分成了4个三角形，六边形内角和就是4个三角形内角和相加，用三角形内角和乘4计算出结果即可判断是否正确。 乙：把六边形分成了2个完全一样的四边形，六边形内角和就是2个四边形内角和相加，用四边形内角和乘2计算出结果即可判断是否正确。 丙：从六边形的一个边上的点出发，把六边形分成了2个三角形和1个四边形，六边形内角和就是2个三角形内角和与1个四边形内角和相加，计算出结果后即可判断是否正确。 【详解】甲．，推导方法正确。 乙．，推导方法正确。 丙．，推导方法正确。 所以甲、乙、丙的方法都正确，选A。 41．计算五边形内角和，符合算式“”的思考方式的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】多边形内角和推导方法：从同一个顶点向不相邻的顶点画对角线，把五边形分割成若干个三角形。一个三角形内角和是180°，算式180°×3，说明要分成3个三角形。 【详解】A．从五边形中心点连接各个顶点，分成5个三角形，不符合题意。 B．从五边形的一条边上的一点连接其余三个顶点，分成4个三角形，不符合题意。 C．从五边形同一个顶点，向不相邻顶点画对角线，分成3个三角形，对应算式180°×3，符合题意。 D．连接五边形的两个顶点，得到一个三角形和一个四边形，不符合题意。 42．一个等腰三角形的顶角是，它的一个底角是( )；如果把一个底角裁去，变成一个四边形，该四边形的内角和是( )。 【答案】 55 360 【分析】求等腰三角形的底角：三角形内角和是180°，等腰三角形的两个底角度数相等，所以用总内角和减去顶角的度数，再除以2，就能得到一个底角的度数；求四边形的内角和：把四边形分成2个三角形，每个三角形内角和是180°，求四边形内角和用一个三角形的内角和乘2即可。 【详解】（180°－70°）÷2 ＝110°÷2 ＝55° 180°×2＝360° 43．任意一个三角形的内角和都是( )°，任意一个四边形的内角和是( )°。 【答案】 180 360 【分析】根据三角形内角和定理可知，任意三角形的内角和为180°；任意四边形连接一条对角线后，可分割为2个独立的三角形，每个三角形内角和为180°，因此四边形内角和为2个180°。 【详解】2×180°＝360° 任意一个三角形的内角和都是180°，任意一个四边形的内角和是360°。 44．小丽将两个完全相同的等边三角形拼成一个大图形，拼成的图形是( )边形，这个图形的内角和是( )°。 【答案】 四 360 【分析】两个完全相同的等边三角形，把一条边重合拼在一起，每个等边三角形3条边，拼的时候重合1条边，就会少掉2条边；一个三角形内角和180°，两个三角形内角和相加就是拼成图形的内角和。 【详解】根据分析可知，拼成的图形边数是：（条），所以是四边形；内角和是：。 45．照样子，分一分，填一填。 图形 分法 内角和 360° 【答案】 图形 分法 内角和 360° 540° 720° 900° 【分析】从图中可知，能把多边形分成个三角形，那么多边形的内角和是，据此解答。 【详解】把五边形分成3个三角形，那么五边形的内角和是 把六边形分成4个三角形，那么六边形的内角和是 把七边形分成5个五角形，那么七边形的内角和是 图形 分法 内角和 360° 540° 720° 900° 46．五（1）班开展剪纸活动。妙妙将三角形彩纸沿虚线剪下一个小三角形（如图），剪下的小三角形内角和是( )°，剩余部分图形的内角和是( )°。 【答案】 180 360 【分析】任意三角形内角和都是180°；剪掉一个小三角形之后，剩下的图形是四边形，四边形内角和是360°。 【详解】剪下的是小三角形，无论大小，三角形内角和固定为180°。 原来的三角形剪去一角，剩下变成四边形。 四边形可以分成2个三角形： 180°×2＝360°，所以剩余图形内角和是360°。 47．如图，正五边形的5个内角都相等，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求∠5的度数。 【答案】36° 【分析】根据图示，可以把五边形分成3个三角形，用180°乘3算出五边形的内角和，再除以5算出一个内角的度数。用180°减去一个内角的度数的差除以2可以算出∠1或∠3的度数。再用一个内角的度数减去∠1与∠3的度数之和即可算出∠5的度数。 【详解】 ＝180°×3÷5 ＝108° ∠1或∠3：（180°－108°）÷2 ＝72°÷2 ＝36° ∠5＝108°－（36°＋36°） ＝108°－72° ＝36° 答：∠5是36°。 48．如图：三角形ABC是一个等腰三角形，顶角是50度，剪去顶角后得到四边形BCDE。求∠1与∠2的和是多少度？ 【答案】 230度 【分析】先根据三角形内角和求出等腰三角形两个底角的度数和，再用四边形的内角和（固定位360°）减去两个底角的和，就能得到∠1与∠2的度数和。 【详解】∠B＋∠C＝180°－50°＝130° ∠1＋∠2＝360°－130°＝230° 答：∠1与∠2的和是230度。 49．正六边形作为中国传统形状，象征六合、六顺之意，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口、佛塔等。下图所示为古建筑物中的正六边形窗户。 (1)用数学的眼光观察，这个窗户的正六边形外框有( )条对称轴。 (2)根据已有的经验，探究下面六边形的内角和，并把思考过程用自己喜欢的方式表示出来。（提示：可以画一画，算一算，写一写） 【答案】(1)6 (2)；这个六边形的内角和就等于这4个三角形的内角总和：180°×4＝720° 【分析】（1）正六边形的对称轴分为两类，3条是过相对两个顶点的直线，3条是过每组对边中点的直线，加起来一共6条。 （2）六边形内角和是720°，思考过程如下： 我们已经知道三角形的内角和是180°，可以从正六边形的同一个顶点出发，向和它不相邻的另外3个顶点连线段，就能把这个六边形分成4个完全不重叠的三角形。这个六边形的内角和就等于这4个三角形的内角总和，计算得180°×4＝720°。 【详解】（1）用数学的眼光观察，这个窗户的正六边形外框有6条对称轴。 （2）略 180°×4＝720° 答：这个六边形的内角和就等于这4个三角形的内角总和是720°。 50．淘气在学习三角形内角和时想到：如果知道了多边形的边数，怎么求内角和呢？他想自己动手探索一下。 (1)淘气先在纸上画了一个四边形，通过连接对角线把它分成了2个三角形，算出四边形内角和是360°。请你像淘气一样，画一画、分一分、算一算，完成下面的表格。 图形 …… 名称 四边形 五边形 六边形 …… 边数 4 5 6 … 内角和 180°×2＝360° …… (2)观察表格中的数据，你发现多边形的内角和与边数之间有怎样的关系？用一句话写下来：______________________________________________________________________________ (3)根据你发现的规律，不用画图，直接计算。 ①八边形内角和＝________________________。 ②十六边形内角和＝________________________。 【答案】(1) 图形 …… 名称 四边形 五边形 六边形 …… 边数 4 5 6 …… 内角和 180°×2＝360° 180°×3＝540° 180°×4＝720° …… (2)多边形的内角和等于边数减2，再乘180° (3) 180°×（8－2）＝1080° 180°×（16－2）＝2520° 【分析】（1）五边形：从一个顶点引对角线，可分成3个三角形，内角和即为三角形的内角和乘三角形的个数； 六边形：连接上下对应顶点，再连接左上和右下顶点，可分成4个三角形，内角和即为三角形的内角和乘三角形的个数； （2）观察表格可知，分割成的三角形的个数比边数少2，所以多边形的内角和就等于边数减2，再乘三角形的内角和即可； （3）根据推出的多边形的内角和与边数之间的关系，代入边数计算即可。 【详解】（1）画图略；填表略； （2）由分析可知，多边形的内角和与边数之间的关系是：多边形的内角和等于边数减2，再乘180°； （3）；； 51．本学期，我们探究了三角形的内角和是180°，其实三角形不仅有内角，还有外角。 【阅读材料】 外角就是三角形中一条边与另一条边的延长线组成的角。下图三角形中，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个内角，∠4、∠5、∠6是它的三个外角。三角形的外角和是多少度呢？我们一起来研究一下。 因为∠1＋∠4＝180°，∠2＋∠5＝180°，∠3＋∠6＝180°，所以三角形的内角和＋外角和＝3×180°＝540°，又因为三角形的内角和是180°，所以三角形的外角和＝540°－180°＝360° 【应用解答】探究四边形的外角和 (1)四边形的内角和＋外角和＝_________，因为四边形的内角和是360°，所以四边形的外角和＝_________。 五边形的内角和＋外角和＝5×180°＝900°，因为五边形的内角和是540°，所以五边形的外角和为360° (2)通过以上阅读与思考，我猜想八边形的外角和＝_________。 【答案】(1) 720°/720度 360°/360度 (2)360°/360度 【分析】（1）由三角形的外角和计算过程可知，是几边形，外角和与内角和之和就等于几个180°；四边形的内角和为；所以四边形的外角和就是2个180°。 （2）由三角形和四边形的外角和计算过程可知，是几边形，外角和与内角和之和就等于几个180°；五边形的内角和＋外角和，五边形的内角和为；所以五边形的外角和就是2个180°。根据三角形、四边形、五边形外角和推导过程，可以发现几个图形的外角和都是360°。据此解答。 【详解】（1）因为，，，，所以四边形的内角和＋外角和，又因为四边形的内角和是360°，所以四边形的外角和 答：四边形的内角和＋外角和＝720°，因为四边形的内角和是360°，所以四边形的外角和＝360°。 （2）八边形的内角和＋外角和，八边形的内角和，所以八边形的外角和。 答：八边形的外角和＝360° 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $