精品解析：吉林省长春博硕学校2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试题

长春博硕学校2025—2026学年度上学期 高三年级月考考试 数学学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每道题4个选项中只有一个符合题目要求. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以. 2. 已知角的终边上有一点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简的坐标，再根据任意角三角函数的定义分别求出，的值，相加即可． 【详解】由题知， ，， 所以． 3. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】将分式不等式转化为等价的一元二次不等式求解. 【详解】由得，即，等价于， 解得或， 即原不等式的解集为或. 4. 已知，则“”是“角为第一或第四象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要 【答案】B 【解析】 【分析】利用定义法进行判断. 【详解】充分性：当时，不妨取时轴线角不成立.故充分性不满足； 必要性：角为第一或第四象限角，则，显然成立. 故选：B. 5. 已知，，则等于（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正切二倍角公式建立关于的方程，结合角在第三象限舍去负的正切值，再借助同角三角函数平方关系求出，并依据象限符号确定最终结果． 【详解】由，得， 解得或， 因为，所以，即， 所以， 因为，所以，解得， 因为，所以． 6. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性及1，为桥梁，可比较三个数的大小. 【详解】， ， ， 只需比较，的大小， ， ， 又， ， 所以. 7. 函数，则方程的解的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】令，则，根据分段函数解出的值，得到的值，利用分段函数得到的个数. 【详解】，， 令，则， ①当时，，解得或， 情况1：，，满足题意； 情况2：，满足题意. ②当时，，，满足题意. 综上得到三个方程：， 方程1：， 当时，，不可能等于， 当时，，1个解， 方程2：，， 当时，，解得， 当时，有1解；当时，有1解；共2个解， 当时，，1个解， 方程3： 当时，，不可能等于 ，无解， 当时，，1个解， 则全部解个数为. 8. 已知是的导函数，如图是函数在上的图象，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 在处取极值 D. 在处取极值 【答案】D 【解析】 【分析】结合图象确定导函数在区间，，，上的正负，结合导数与单调性的关系判断结论. 【详解】由图象可得当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递减， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 又，，为连续函数， 所以在和取极值， 故ABC错误，D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于实数，关于x的不等式的解集可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】分、和，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】当时，则有，显然不成立， 此时原不等式的解集为，故A正确； 当时，原不等式即为， 当时，不等式，即为， 其解集为，故B正确； 当时，不等式，即为， 不等式的解集为，故D正确. 10. 已知函数，，要得到的图象，可由的图象（ ） A. 先将横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 B. 先将横坐标缩短为原来的倍，纵坐标扩大为原来的倍，再向右平移个单位长度 C. 先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的倍，纵坐标扩大为原来的倍 D. 先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的倍，纵坐标扩大为原来的倍 【答案】BC 【解析】 【分析】先将化简为余弦型辅助角形式，再根据三角函数图像的伸缩、平移变换规则，逐一对各选项的变换过程验证，判断是否得到的图像. 【详解】由题意可得：， 对A选项，横坐标伸长为原来的倍可得， 右移可得：，振幅为，与解析式不符，A错误， 对B选项，横坐标缩短为原来的倍可得， 纵坐标扩大为原来的倍可得， 右移可得，B正确， 对C选项，向右平移可得，横坐标缩短为原来的倍可得， 纵坐标扩大为原来的倍可得，C正确， 对D选项，向右平移得，横坐标缩短为原来的倍可得， 纵坐标扩大为原来的倍可得，与解析式不符，D错误. 11. 已知三次函数，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的对称中心是 B. 若函数有3个零点，则 C. 若函数的极值点为m，n，则 D. 若的三个根分别为，，， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A ，构造奇函数，利用奇函数对称中心平移，直接得到的对称中心；对B ，求导找到极值点，算出极大、极小值，依据三次函数有三个零点的充要条件，解不等式判断正误；对C ，由导函数方程得到两个极值点，代入式子通分或直接代入计算，可得两极值点倒数之和为 0；对D ，将三次多项式写成零点因式乘积形式，展开后和原式对比对应项系数，利用多项式恒等求出根两两乘积之和. 【详解】对于A：令，满足， 即是奇函数，对称中心为， 因此的对称中心为，A正确； 对于B：求导得，令得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 若有3个零点，需极大值大于0且极小值小于0， 即，解得，B错误； 对于C：由以上计算可知的极值点为， 则，C正确； 对于D：若的三根分别为， 则， 又， 所以，即，D正确. 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若扇形的周长为4，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】代入扇形周长和面积公式，即可求解. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则， 由条件可知，则，， 则该扇形的面积为. 13. 函数（，），若，求a的值______. 【答案】或 【解析】 【详解】由题意， 所以或，所以或. 14. 函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】先判断出函数是R上的奇函数，再利用基本函数的单调性及单调性法则判断出函数在R上单调递增，由此将所求不等式转化为，然后利用正弦函数性质求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以函数是R上的奇函数， 又因为在R上单调递增，在R上单调递增， 所以函数在R上单调递增， 所以不等式，即为， 即，所以，所以， 可得，解得， 故不等式的解集为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求在上的值域； （2）若在上单调递增，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过换元将指数型函数转化为二次函数，结合二次函数单调性求解值域； （2）利用换元转化为二次函数单调性问题，结合复合函数"同增异减"规则求参数范围。 【小问1详解】 当时，; 令，因是上的单调递增函数，且，故， 此时函数转化为，； 该二次函数开口向上，对称轴为： 当时，；当时，； 故在上的值域为. 【小问2详解】 令， 当时，，且是上的单调递增函数， 此时转化为，； 根据复合函数单调性“同增异减”规则，要使在上单调递增，需在上单调递增； 是开口向上的二次函数，对称轴为，故需满足， 解得； 故实数的取值范围为. 16. 如图是函数（，，）的部分图象. （1）求的解析式； （2）设函数，求的值域和单调区间. 【答案】（1）， （2）值域为，单调递增区间为，单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）从图象中得到的值，利用两个零点分别为和得到两点之间距离为，结合最小正周期的公式求出，将点代入求出，从而得到； （2）利用余弦函数的图象和性质求解. 【小问1详解】 由图象可知的最大值为，最小值为，得到， 又， 解得， 又，解得，则， 将点代入，得到， 即，解得，， 即， 又，取，得， 则. 【小问2详解】 ， 而 ， 则 ， 因为，所以，则， 则的值域为. 由， 得， 即， 由， 得， 即. 则的单调递增区间为， 单调递减区间为. 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若的周长为9，面积为，求a. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简得解. （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式及余弦定理列式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得， 则， 因此，而，则，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）及已知得，解得， 由，得， 由余弦定理得，则， 所以. 18. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡.最后将两次称得的黄金交给顾客. （1）试分析顾客购得的黄金是小于，等于，还是大于？为什么？ （2）如果售货员又将的砝码放在天平左盘中，然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，请问要使得三次黄金质量总和最小，商家应该将左臂长和右臂长之比设置为多少？请说明理由. 【答案】（1） 设天平左臂长为，右臂长为，第一次放的黄金为，第二次为， 则，，两式相除可得，，化简得， 于是顾客所得黄金为，当且仅当时取等号， 又，若，则；若，则，即，有， 所以顾客购得的黄金大于. （2） 设第三次放的黄金为，则，而，则有， 因此三次黄金质量总和为， 当且仅当，，时取到等号， 所以当时，三次黄金质量总和最小. 【解析】 【分析】（1）设出天平左右两臂长，及两次放的黄金克数，利用杠杆平衡原理及基本不等式计算即得. （2）设出第三次放的黄金克数，利用（1）的信息结合基本不等式计算得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知函数. （1）若函数在点处的切线过点，求a的值； （2）若函数在上单调递增，求a的值； （3）在（2）的条件下，设，证明：存在最小值且最小值小于1. 【答案】（1） （2） （3）由（2）得，于是，其中， 求导得． 因为与在上均严格递增，所以在上严格递增． 为判断的符号，设，其中， 则． 当时，，所以在上单调递增， 从而，即，故． 又，且在上连续， 由零点存在定理及其严格递增性，存在唯一的，使得． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 从而在处取得最小值． 因为，所以． 综上，存在最小值，且最小值小于1． 【解析】 【分析】（1）求出与，利用切线斜率及切线经过给定点的条件求． （2）利用单调递增的必要条件，结合在两侧的符号确定，再检验其充分性． （3）代入（2）的结果，利用与的单调性说明严格递增，构造辅助函数证明，进而确定的唯一零点位于，最后与比较． 【小问1详解】 函数的定义域为， 求导得． 又，，所以曲线在点处的切线方程为． 由切线经过点，得，解得． 【小问2详解】 由（1）得． 若在上单调递增，则对一切成立． 当时，，故对一切成立，从而； 当时，，故对一切成立，从而． 因此． 反之，当时，对一切成立，且仅在时取等号， 所以在上单调递增． 综上，． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春博硕学校2025—2026学年度上学期 高三年级月考考试 数学学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每道题4个选项中只有一个符合题目要求. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的终边上有一点，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 4. 已知，则“”是“角为第一或第四象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要 5. 已知，，则等于（ ） A. 2 B. C. D. 6. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 函数，则方程的解的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知是的导函数，如图是函数在上的图象，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 在处取极值 D. 在处取极值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于实数，关于x的不等式的解集可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，，要得到的图象，可由的图象（ ） A. 先将横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 B. 先将横坐标缩短为原来的倍，纵坐标扩大为原来的倍，再向右平移个单位长度 C. 先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的倍，纵坐标扩大为原来的倍 D. 先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的倍，纵坐标扩大为原来的倍 11. 已知三次函数，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的对称中心是 B. 若函数有3个零点，则 C. 若函数的极值点为m，n，则 D. 若的三个根分别为，，， 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若扇形的周长为4，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的面积为__________. 13. 函数（，），若，求a的值______. 14. 函数，则不等式的解集为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求在上的值域； （2）若在上单调递增，求实数a的取值范围. 16. 如图是函数（，，）的部分图象. （1）求的解析式； （2）设函数，求的值域和单调区间. 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若的周长为9，面积为，求a. 18. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡.最后将两次称得的黄金交给顾客. （1）试分析顾客购得的黄金是小于，等于，还是大于？为什么？ （2）如果售货员又将的砝码放在天平左盘中，然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，请问要使得三次黄金质量总和最小，商家应该将左臂长和右臂长之比设置为多少？请说明理由. 19. 已知函数. （1）若函数在点处的切线过点，求a的值； （2）若函数在上单调递增，求a的值； （3）在（2）的条件下，设，证明：存在最小值且最小值小于1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $