精品解析：吉林通化市梅河口市第五中学2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

高三数学9月考 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合的子集个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 无数个 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式得到集合A，由集合中元素个数判断子集个数. 【详解】解不等式，得，所以， 则集合的子集个数是. 故选：C. 2. 设复数，其中，若在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先表示复数，再根据其对应的点位于第四象限，列不等式组可求的取值范围. 【详解】由题意. 因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以. 故选：D 3. 记为等差数列的前项和.若，则（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质及前项和公式即可求解. 【详解】，，， . 故选：C. 4. 的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据题干得到，然后求得通项公式，根据常数项的特点计算即可. 【详解】由题可知：，通项公式为， 令，所以常数项为. 故选：C 5. 曲线上的点到直线的最短距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求曲线的切线方程，再求两平行线间距离. 【详解】 如图所示，设曲线上一点，且在该点处切线斜率为， ，所以斜率， 解得，故切点为， 切线方程为，即， 两直线间距离为， 故选：B. 6. 已知函数的定义域为，其图象关于直线对称且，当时，，则下列说法不正确的是（ ） A. 函数为偶函数 B. 函数在上单调递增 C. 函数的图象关于直线对称 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得函数的周期性，再根据函数的对称性得到函数的奇偶性可判断AC；对于B，根据函数在的函数解析式结合函数的周期性，即可判断函数在上的单调性；最后根据周期性与奇偶性求出即可判断D. 【详解】对于A，因为函数的定义域为，其函数图象关于直线对称， 所以，又，所以， 所以，即，即该函数为偶函数，故A正确； 对于B，因为，所以， 即，所以函数是以为一个周期的函数， 当时，，因为当时，， 易得此时函数在上单调递增，因是函数的一个周期， 故函数在上也单调递增，故B正确； 对于C，因为函数的图象关于直线对称， 所以，又函数是偶函数，所以， 则，而， 故，即函数的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，， 又时，， 故，故D错误. 故选：D. 7. 已知函数（且）是奇函数，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，代入化简得到，解出后得到函数解析式，最后再代入计算即可. 【详解】由题意得，函数且的定义域为． 因为是奇函数，所以，即． 得，即，所以． 解得或（舍去），所以． 所以． 故选：C． 8. 已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】分别画出两函数图象，根据交点个数即可求出零点个数. 【详解】由题意，分别画出函数和的图象，如下图所示： 显然的值域为,易知，且当时，两函数图象无交点， 由图可知，与的图象共有10个交点，故原函数有10个零点． 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设正数x，y，z满足，则下列结论可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】因为均为正数，所以可通过比较它们两两之间的商与1的大小来判断这它们的大小关系. 【详解】由，得，，，所以，． 当，即时，因为，所以，，所以，所以选项A正确． 当，即时，，所以选项C正确． 当，即时，因为，所以，，所以，所以选项D正确． 故选：ACD. 10. 已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 方程有两个不相等的实数根，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据奇偶性构造方程组求出函数，，然后根据解析式代入计算可 判断AB；判断函数的单调性，结合奇偶性去掉函数符号求解可判断C；令，将问题转化为方程有两个不相等的正实根，根据韦达定理和判别式列不等式组求解可判断D. 【详解】因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且①， 所以，即②， 联立①②解得， 对A， ，A错误； 对B，，B正确； 对C，因为都是在上的增函数，所以在上单调递增， 由为奇函数，所以不等式， 即，解得，C错误； 对D，方程有两个不相等的实数根，则有两个不相等的实根， 整理得， 令，则有两个不相等的正实根， 由韦达定理和判别式可得，解得，D正确. 故选：BD 11. 给定数集，，方程①：，方程②：，则下列说法正确的是（ ） A. 任给，对应关系f使方程①的解v与u对应，则是函数 B. 任给，对应关系k使方程②的解v与u对应，则是函数 C. 任给，对应关系g使方程①的解u与v对应，则是函数 D. 任给，对应关系h使方程②的解u与v对应，则是函数 【答案】AB 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，，对于，有唯一的与之对应， 因此是函数，A正确； 对于B，，对于，有唯一的与之对应， 因此是函数，B正确； 对于C，取，则，即在中存在一个数，在中有两个数与之对应， 因此不是函数，C错误； 对于D，取，不存在实数，使得，即在中存在一个数， 在中没有数与之对应，因此不是函数，D错误. 故选：AB 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质直接求解即可. 【详解】，，又， ，即的最小值为. 故答案为：. 13. 已知函数在上单调递增，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设易得，进而求解不等式即可. 【详解】因为函数在上单调递增，， 所以，即，所以，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14. 已知函数设，若关于的不等式恰有一个整数解，则的最大值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的简图，将看作一个整体，分类讨论关于t的一元二次不等式的解的情况可得. 【详解】作出函数的图象如图所示，有， 当时，令，即， 因为，所以方程有两个不同的实数根， 设为，且，所以的解集为， 由于，则， 当时，，所以，则，由图可知的解为或， 此时关于的不等式的解中至少有2个整数，不符合题意； 当时，，由图象可知，当时，对应的值唯一， 因为的解恰有一个整数，所以这个整数为， 所以，即，此时， 即的最大值是． 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集，利用韦达定理即可解； （2）讨论不等式对一切实数恒成立的条件，然后求解即可. 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以方程的两根为，且. 所以，解得. 【小问2详解】 当时，， 若，不等式转化为，对一切实数都成立，满足题意； 若，不等式转化为即，不满足题意； 当时，由题意可知解得或. 综上所述，实数的取值范围为. 16. 已知集合关于的方程有两个不相等的实数根，． （1）若，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再利用集合的运算，即可求解； （2）根据条件，将问题转化成当时，恒成立，令，通过变形得，再利用基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 因为关于的方程有两个不相等的实数根， 所以，解得，所以， 当时，， 所以． 【小问2详解】 由（1）知， 因为“”是“”的必要条件，所以， 即对任意的，不等式恒成立， 又，即对任意的，恒成立． 令，则， ， 当且仅当，即时，取“”． 所以，即实数的取值范围是． 17. 已知函数是上的奇函数，函数. （1）求实数的值； （2）若函数在上的最小值为11，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程来求得的值； （2）利用换元法，结合函数单调性和二次函数的性质来求实数的值. 【小问1详解】 因为是上的奇函数，所以， 即，整理得， 所以，， 所以，检验可知符合题意，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，所以. 令， 因为函数和在上区间都单调递增， 所以函数在区间上单调递增，所以， 则（的最小值11就是的最小值），抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即时，，解得. 当，即时，， 解得，无解. 综上所述，实数的值为. 18. 已知椭圆的方程为，且椭圆的短轴长为2，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）已知不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点，点，若所在的直线与所在的直线关于轴对称，直线是否恒过定点，若是，求出该定点的坐标． 【答案】（1）；（2）直线l恒过定点(，0)． 【解析】 【分析】（1）根据离心率求得a,b的关系，进而求得椭圆的标准方程； （2）设直线l的方程为y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组，利用判别式求得m,k满足的不等关系，由QA所在的直线与QB所在的直线关于x轴对称，得，利用韦达定理表示，并化简得到化简得，直线l的方程为，进而得到结论. 【详解】（1）因为椭圆C：(a>b>0)的离心率e=， 所以，即， 又椭圆的短轴长为2，所以b=1，a=2， 所以椭圆C的方程为． （2）设直线l的方程为y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程组，消去y，得 ，即， ， 因为QA所在的直线与QB所在的直线关于x轴对称， 所以， 即 3 得 化简得，直线l的方程为， 所以，直线l恒过定点(，0)． 【点睛】本题考查利用离心率求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系中的直线过定点问题，属中档题，关键是利用设而不求思想，利用韦达定理化简，进而得到m,k的关系,从而判定直线过定点. 19. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若与恰有两个交点，求的取值范围. （3）当时，，求a的取值范围. 【答案】（1）函数在上单调递减，在上单调递增. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导后构造函数再次求导后可得； （2）变形不等式后令，问题转化为有两个零点，求导分和两种情况结合零点存在定理分析可得； （3）当时显然成立；当时，分离参数可得，构造函数求导结合隐零点分析最值即可. 【小问1详解】 当时，，， 令，则恒成立， 所以在单调递增， 又， 所以当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 ， 令，问题转化为有两个零点， 求导， 若，则，单调递增，在上至多有一个零点，不符合题意； 若，令， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 由零点存在定理可得要使有两个零点，则， 当时，，，则； 当，由指数爆炸模型可知， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 当时，，即，整理可得， 当时显然成立； 当时，分离参数可得， 令，求的最大值即可， 求导， 令分子为， 则， 再令， 则， 所以当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 又， 故存在，使得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 又， 所以时，，即，单调递增； 时，，即，单调递增， 所以. 所以a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学9月考 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合的子集个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 无数个 2. 设复数，其中，若在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 记为等差数列的前项和.若，则（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 4. 的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 5. 曲线上的点到直线的最短距离是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，其图象关于直线对称且，当时，，则下列说法不正确的是（ ） A. 函数为偶函数 B. 函数在上单调递增 C. 函数的图象关于直线对称 D. 7. 已知函数（且）是奇函数，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 8. 已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 18 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设正数x，y，z满足，则下列结论可能成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 方程有两个不相等的实数根，则 11. 给定数集，，方程①：，方程②：，则下列说法正确的是（ ） A. 任给，对应关系f使方程①的解v与u对应，则是函数 B. 任给，对应关系k使方程②的解v与u对应，则是函数 C. 任给，对应关系g使方程①的解u与v对应，则是函数 D. 任给，对应关系h使方程②的解u与v对应，则是函数 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则的最小值是_____． 13. 已知函数在上单调递增，则不等式的解集为__________. 14. 已知函数设，若关于的不等式恰有一个整数解，则的最大值是_____． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 16. 已知集合关于的方程有两个不相等的实数根，． （1）若，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 17. 已知函数是上的奇函数，函数. （1）求实数的值； （2）若函数在上的最小值为11，求实数的值. 18. 已知椭圆的方程为，且椭圆的短轴长为2，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）已知不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点，点，若所在的直线与所在的直线关于轴对称，直线是否恒过定点，若是，求出该定点的坐标． 19. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若与恰有两个交点，求的取值范围. （3）当时，，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $