精品解析：吉林长春市实验中学2026-2027学年上学期第一次模拟考试高三数学试卷

长春市实验中学2026-2027学年度上学期第一次模拟考试 高三数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，，，则三个数的大小关系是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数与轴没有公共点，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 4. 已知函数在区间上的图象是连续不断的，则是在区间上有且只有一个零点的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ） A. 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B. 横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C. 纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D. 纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 6. 已知函数的图象如图，则其解析式可能为（ ） A. B. C. D. 7. 当时函数取到最大值-3，则（ ） A. -2 B. 1 C. 3 D. 5 8. 已知函数，满足，且是偶函数，，则（ ） A. 2 B. 0 C. -1 D. -2 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 已知，则下列不等关系可能成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知定义域为的函数满足，且，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 11. 已知函数，，则下列描述正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 既无最大值，也无最小值 C. 的最大值为2 D. 的最小值为-1 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ________． 13. 对于，，不等式恒成立，则实数的取值范围是________． 14. 已知函数，若关于的方程恰有4个根，则实数的取值范围是________． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 已知函数是定义在上的函数，且是奇函数，是偶函数． （1）求的解析式； （2）解关于的不等式． 16. 已知二次函数的两个零点为1，4． （1）若顶点的纵坐标为，求的解析式； （2）若时，恒成立，求的取值范围． 17. 已知函数（）． （1）当时，求在的值域； （2）若是增函数，求的取值范围． 18. 已知函数． （1）求的单调区间和极值； （2）令（），若有两个零点，求的取值范围． 19. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上有零点，求的取值范围； （3）若在内有极值点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市实验中学2026-2027学年度上学期第一次模拟考试 高三数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，，，则三个数的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过平方、同取指数的方式将含根号、对数的表达式转化为便于比较的形式，结合e的取值范围和函数单调性推导三个数的大小关系. 【详解】首先比较和的大小：已知，，将两数分别平方得：，故. 接下来比较和大小：，， 所以，，因为，所以， 又函数在定义域上为严格增函数，所以，即， 综上三者关系. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，则，且， 若，即，解得或； 若，即，解得， 所以， 又，即，解得，所以, 所以． 3. 已知幂函数与轴没有公共点，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】幂函数要求前面系数为， 所以，解得：，， 当时：，函数图象过，和轴有交点，舍去， 当时：，，与轴没有交点，符合条件. 故. 4. 已知函数在区间上的图象是连续不断的，则是在区间上有且只有一个零点的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件利用充分条件、必要条件的定义分析判断即可作答. 【详解】由“函数在区间上的图象是连续不断的，且”可得在区间上至少存在一个零点， 但不能得出“在区间上有且只有一个零点”，如函数在上有3个零点，此时， 由“在区间上有且只有一个零点”也不一定能有“”， 如函数在区间上恰有一个零点，而，即不成立， 所以“”是“在区间上有且只有一个零点”的既不充分也不必要条件. 故选：D 5. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ） A. 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B. 横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C. 纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D. 纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 【答案】B 【解析】 【详解】由， 所以将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），即可得到函数的图象． 6. 已知函数的图象如图，则其解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图像的奇偶性、定义域以及函数值的变化趋势（渐近线），利用排除法即可得出答案。 【详解】由函数图象可知，该函数图像关于原点对称，故该函数为奇函数；观察图象可知，函数定义域为，且当时，函数值趋近于1。 对于A，，当时，，与图象不符，故排除A； 对于B，，由解得，定义域为，与图象定义域不符，故排除B； 对于C，，定义域为；验证奇偶性：，为奇函数；，时，，故，符合图象特征，故C正确； 对于D，，当时，，故，与图象不符，故排除D. 7. 当时函数取到最大值-3，则（ ） A. -2 B. 1 C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数值及极值点应用导数列式计算求解. 【详解】由题意得，解得， 对求导得， 因是极值点，故，代入解得， 因此，D选项正确. 8. 已知函数，满足，且是偶函数，，则（ ） A. 2 B. 0 C. -1 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得函数是以周期为的周期函数，利用赋值法结合对称性求得一个周期内的函数值之和，进而计算求解. 【详解】由，①， 替换，，②， ①②得，周期， 是偶函数，关于直线对称， ，记， 原式变为， 令：， 令：， 由对称性得，周期性得， ， 已知，令：， 一个周期和为：， ， . 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 已知，则下列不等关系可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】使用特值法求解. 【详解】取，，，，满足，且，选项A正确； 若，则， 若，则， 若，则，，， 若，则，，， 均不符合题意，选项B错误. 取，，，，满足，且，选项C正确； 取，，，，满足，且，选项D正确. 10. 已知定义域为的函数满足，且，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】给题中恒成立的等式赋值，对于A，令进行判断，对于B，令，赋值可求出的值，再令可求出的值，对于C，令进行判断，对于D，令，判断. 【详解】对于A，令，则，所以，所以A正确； 对于B，令，，得，所以， 令可得，所以，故B正确； 对于C，令，由得， 又因为函数的定义域为，所以为奇函数，所以C正确； 对于D，令，，得，所以，所以D错误. 11. 已知函数，，则下列描述正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 既无最大值，也无最小值 C. 的最大值为2 D. 的最小值为-1 【答案】BC 【解析】 【分析】对于AB选项，利用基本不等式即可验证求解；对于CD选项，转换代数式，利用判别式法即可求解. 【详解】已知函数，因此其定义域为， 因为，所以，整理得，，其中，， 对于A选项和B选项，因为，因此，同号， 当，时，由基本不等式可得， 当且仅当时取等号，此时有最小值2， 当时，，，无最大值， 当，时，令，，则，， 同理可得，即，但当时，分母无意义，因此 而此时，易知无最小值， 综上既无最大值，也无最小值，故B选项正确， 对于C选项和D选项，由，得， 因此代入表达式化简， 令，整理为关于的一元二次方程，得， 当时，，即，有解，故符合条件， 当时，判别式，化简得， 即， 当时，方程为，此时，，均满足定义域，故最大值为2， 当时，方程为，此时，不满足定义域，故取不到， 因此的取值范围是， 因此C选项正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用换底公式及对数运算性质计算即得. 【详解】 . 故答案为： 13. 对于，，不等式恒成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】由，，不等式恒成立， 即恒成立， 而，当且仅当，即时等号成立， 则问题为，恒成立， 而，则，即， 则实数的取值范围是. 14. 已知函数，若关于的方程恰有4个根，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，画出草图，令，解方程可得或，结合图象分析，列出不等式求解即可. 【详解】， 当时，， 当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 有极小值， 当时，，所以， 当时，，所以， 令，则原方程变形为， 即，解得或， ，所以， 所以当且时，方程恰有4个根， 解得，所以的取值范围是. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 已知函数是定义在上的函数，且是奇函数，是偶函数． （1）求的解析式； （2）解关于的不等式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义由是奇函数可得，再由是偶函数即可求解； （2）求导得到函数在上单调递增，再结合奇偶性及单调性解不等式即可. 【小问1详解】 由题意得是奇函数，则，即， 又是偶函数，则， 即，则. 【小问2详解】 由（1）知，，且， 则，当且仅当时等号成立， 则函数在上单调递增， 由，得， 则，即，则，解得， 则不等式的解集为. 16. 已知二次函数的两个零点为1，4． （1）若顶点的纵坐标为，求的解析式； （2）若时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）（或） （2） 【解析】 【分析】（1）使用待定系数法求解； （2）设，即，构造函数，对的对称轴分类讨论求解. 【小问1详解】 设，则对称轴为，则顶点为，顶点坐标代入的解析式得，所以. 【小问2详解】 设，，即对任意恒成立， 令，其对称轴为：， 当，即时，，解得，故， 当，即时，若，，符合题意， 若时，无最小值，不符合题意， 综上，，. 17. 已知函数（）． （1）当时，求在的值域； （2）若是增函数，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导判断函数单调性，进而求出函数的最值，得解； （2）由题意问题转化为对恒成立，即，分，，讨论分离参数，利用导数求出最值得解. 【小问1详解】 当时，， 则，， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以在的值域为. 【小问2详解】 ，， 因为是上的增函数，所以对恒成立， 所以，即， 当时，上式对恒成立； 当时，， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，故，即； 当时，， 由，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，故，即； 综上，的取值范围为. 18. 已知函数． （1）求的单调区间和极值； （2）令（），若有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1）单调增区间为和，单调减区间为，极大值为，极小值为0 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，再根据极值定义求解极值即可； （2），当时，，不符合题意；当时，令，则存在唯一使，利用导数分析函数的单调性，求出的最小值，对方程两边取对数可得，可得，令，即可求解. 【小问1详解】 ， 令，解得或， 当时，， 当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 所以的极大值为，极小值为. 【小问2详解】 ， ， 当时，，所以， 所以函数在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意； 当时，由（1）知在上单调递增，且， 令，则存在唯一使， 当时，，， 当时，，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，， 所以， 因为，所以， 两边取对数得，可得， 所以， 有两个零点，则， 所以，即，解得， 所以的取值范围是. 19. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上有零点，求的取值范围； （3）若在内有极值点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）令，问题转化为，，有解；分和讨论，分离参数利用导数判断单调性求出值域，得解； （3）问题转化为在有解，且该点左右导数变号，分离参数得，令，利用导数判断单调性求出的值域，得解. 【小问1详解】 当时，，， ，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 令，得，即，， 当时，，无零点； 当时，，上式变形为， 令，则， 因为，，，所以， 所以， 所以在和上单调递减， 当时，，时，，； 当时，时，，，； 所以方程有解，则或， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 ， 在内有极值点在有解，且该点左右导数变号. 当时，，则，可变形为， 令，，则， 令，则， 所以在上单调递减，故，即， 所以函数在上单调递减， 又时，，时，， 所以，故满足题意， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $