第十七章 因式分解 单元自测 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十七章 因式分解 单元自测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共10题，每题2分，共20分） 1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．x²−4+3x=(x+2)(x−2)+3x　　B．(x+2)(x−2)=x²−4 C．x²−4=(x+2)(x−2)　　D．x²−2x+1=x(x−2)+1 2．如图，一块正方形菜地被分割成四部分，其面积分别为，，，，其中，，则原正方形菜地的边长为（    ） A．m+n B．m−n C．m+2n D．2m+n 3．如图，长方形的长、宽分别为、，且比大，面积为，则的值为（   ）    A．10 B．21 C．9 D．49 4．多项式8a³b²+12a²b³c中各项的公因式是（　　） A．4a²b²　　B．4a³b³　　C．4a²b²c　　D．8a³b² 5．把多项式x²−9y²分解因式，结果是（　　） A．(x+3y)(x−3y)　　B．(x−9y)²　　C．(x+9y)(x−9y)　　D．(x−3y)² 6．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（　　） A．x²+4x+4　　B．x²+4　　C．x²−2x−1　　D．x²+2xy−y² 7．若x²+mx+16=(x−4)²，则m的值为（　　） A．8　　B．−8　　C．4　　D．−4 8．分解因式x³−4x的结果是（　　） A．x(x²−4)　　B．x(x+2)(x−2)　　C．x(x−2)²　　D．(x+2)(x−2) 9．已知a+b=3，ab=2，则a²b+ab²的值为（　　） A．6　　B．12　　C．5　　D．9 10．分解因式4x⁴−4x²+1的结果是（　　） A．(2x²−1)²　　B．(2x²+1)²　　C．(4x²−1)²　　D．(2x−1)² 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11．分解因式：a²−6a+9=________。 12．分解因式：2x²−8=________。 13．分解因式：a³−4ab²=________。 14．分解因式= ___________________________． 15．若多项式x²+ax−6可分解为(x+2)(x+b)，则a+b=________。 三、解答题（共8题，共65分） 16．（8分）因式分解： 17．（8分）分解因式： (1)2x²−8y²； (2)x³−2x²y+xy²。 18．（8分）在日常生活中我们经常用到密码，如取款、上网购物需要密码，有一种用因式分解法产生密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解：例如，当，时，，，，则可以得到密码是145171，171451…，等等，根据上述方法当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码？ 19．（7分）已知为整数，求证：能被8整除． 20．（8分）利用因式分解简便计算： (1)3.14×51²−3.14×49²； (2)2025²−2024×2026。 21．（8分）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 22．（9分）已知a+b=3，ab=−2，求a³b+2a²b²+ab³的值。 23．（9分）观察：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)（十字相乘法）．试用十字相乘法分解因式： (1)x²+5x+6； (2)x²−7x+12； (3)x²+3x−10。 第十七章 因式分解 单元自测卷 参考答案 1. 【答案】C 解题步骤： ① 因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，且结果中不含加减运算。 ② A、D结果中仍含加减，不是因式分解；B是整式乘法。 ③ C把x²−4化为(x+2)(x−2)的积，是因式分解，选C。 【知识点睛】因式分解与整式乘法互为逆变形：因式分解的结果必须是几个整式相乘的积，不能含加减号。 2. 【答案】C 解题步骤： ① 四块面积之和为 2mn+4n²+m²+2mn=m²+4mn+4n²。 ② m²+4mn+4n²=(m+2n)²，即原正方形菜地的面积为 (m+2n)²。 ③ 正方形边长等于面积开平方，所以边长为 m+2n，选 C。 【知识点睛】完全平方公式逆用：a²+2ab+b²=(a+b)²。把分割图形的面积相加，配成完全平方式，开平方得边长（m、n 为正数）。 3. 【答案】B 解题步骤： ① 长方形的长、宽分别为 a、b，且 a−b=3，ab=7。 ② a²b−ab²=ab(a−b)（提公因式 ab）。 ③ 代入：7×3=21，所以选 B。 【知识点睛】提公因式法：a²b−ab²=ab(a−b)。先提取公因式，再把已知条件 ab 与 a−b 整体代入，避免直接解 a、b。 4. 【答案】A 解题步骤： ① 系数8、12的最大公约数是4；字母取各项相同字母的最低次幂：a²、b²。 ② 公因式为4a²b²。 ③ 所以选A。 【知识点睛】找公因式：系数取各项系数的最大公约数，字母取各项都含有的相同字母，指数取最低次幂。 5. 【答案】A 解题步骤： ① x²−9y²=x²−(3y)²，符合平方差公式a²−b²=(a+b)(a−b)。 ② 所以x²−9y²=(x+3y)(x−3y)。 ③ 选A。 【知识点睛】平方差公式：a²−b²=(a+b)(a−b)；先把9y²写成(3y)²，再套公式。 6. 【答案】A 解题步骤： ① 完全平方公式a²±2ab+b²=(a±b)²。 ② A：x²+4x+4=x²+2·x·2+2²=(x+2)²，可用。 ③ B是两项相加，C、D中间项与末项不符合±2ab结构，不能用完全平方公式。选A。 【知识点睛】完全平方公式特征：三项式，首末两项是平方项且同号，中间项是两底数乘积的2倍。 7. 【答案】B 解题步骤： ① (x−4)²=x²−8x+16。 ② 对比x²+mx+16，得m=−8。 ③ 所以选B。 【知识点睛】完全平方公式：(x−4)²=x²−8x+16；由已知的平方展开，再与待定式对比对应项系数。 8. 【答案】B 解题步骤： ① 先提公因式x：x³−4x=x(x²−4)。 ② x²−4=(x+2)(x−2)（平方差公式）。 ③ 所以x³−4x=x(x+2)(x−2)，选B。 【知识点睛】因式分解要分解彻底：先提公因式，再对剩余多项式用公式继续分解，直到每个因式都不能再分解。 9. 【答案】A 解题步骤： ① a²b+ab²=ab(a+b)（提公因式ab）。 ② 代入a+b=3，ab=2：原式=2×3=6。 ③ 所以选A。 【知识点睛】提公因式后再整体代入：把已知的a+b、ab看作整体，避免解出a、b的具体值。 10. 【答案】A 解题步骤： ① 4x⁴−4x²+1=(2x²)²−2·(2x²)·1+1²，符合完全平方公式。 ② 所以原式=(2x²−1)²。 ③ 选A。 【知识点睛】完全平方公式：a²−2ab+b²=(a−b)²；先把4x⁴看作(2x²)²，再套公式。 11. 【答案】(a−3)² 解题步骤： ① a²−6a+9=a²−2·a·3+3²，符合完全平方公式。 ② 所以a²−6a+9=(a−3)²。 【知识点睛】完全平方公式：a²−2ab+b²=(a−b)²；末项9=3²，中间项−6a=−2·a·3。 12. 【答案】2(x+2)(x−2) 解题步骤： ① 先提公因式2：2x²−8=2(x²−4)。 ② x²−4=(x+2)(x−2)（平方差公式）。 ③ 所以2x²−8=2(x+2)(x−2)。 【知识点睛】分解因式先提公因式，再考虑公式；平方差公式a²−b²=(a+b)(a−b)。 13. 【答案】a(a+2b)(a−2b) 解题步骤： ① 先提公因式a：a³−4ab²=a(a²−4b²)。 ② a²−4b²=a²−(2b)²=(a+2b)(a−2b)。 ③ 所以a³−4ab²=a(a+2b)(a−2b)。 【知识点睛】提公因式＋平方差公式两步分解；注意a²−4b²中4b²=(2b)²。 14. 【答案】(x+y−xy−1)(x+y−xy+1) 解题步骤： ① 原式 =(x+y)²−2xy(x+y)+(xy)²−1。 ② 前三项是完全平方式：(x+y)²−2xy(x+y)+(xy)²=(x+y−xy)²。 ③ 原式 =(x+y−xy)²−1²=(x+y−xy−1)(x+y−xy+1)。 【知识点睛】完全平方公式与平方差公式综合：把 (x+y) 看作整体、xy 看作整体，配成 (x+y−xy)²，再用平方差公式 a²−b²=(a+b)(a−b) 分解。 15. 【答案】−4 解题步骤： ① (x+2)(x+b)=x²+(b+2)x+2b。 ② 对比x²+ax−6：2b=−6，b=−3；a=b+2=−1。 ③ a+b=−1+(−3)=−4。 【知识点睛】多项式乘法展开后与待定式对比系数（十字相乘法的逆用）；常数项相等、一次项系数相等建立方程。 16. 【答案】(a−b)(2x+1) 解题步骤： ① 原式 =2x(a−b)−(b−a)，注意 −(b−a)=+(a−b)。 ② 原式 =2x(a−b)+(a−b)。 ③ 提取公因式 (a−b)：原式 =(a−b)(2x+1)。 【知识点睛】提公因式法：先把 −(b−a) 化为 +(a−b)（符号变化），再提取公因式 (a−b)；注意提取后剩余项的符号。 17. 【答案】(1) 2(x+2y)(x−2y)；(2) x(x−y)² 解题步骤： ① (1)先提公因式2：2x²−8y²=2(x²−4y²)。 ② x²−4y²=x²−(2y)²=(x+2y)(x−2y)，所以(1)=2(x+2y)(x−2y)。 ③ (2)先提公因式x：x³−2x²y+xy²=x(x²−2xy+y²)=x(x−y)²。 【知识点睛】分解因式：先提公因式，再对括号内多项式用平方差公式或完全平方公式继续分解，直至每个因式不可再分。 18. 【答案】124420，122044，441220，442012，201244，204412 解题步骤： ① 对 x²y−y³ 因式分解：x²y−y³=y(x²−y²)=y(x+y)(x−y)。 ② 代入 x=32、y=12：y=12，x+y=44，x−y=20。 ③ 三个因数 12、44、20 任意排列组合成密码：124420，122044，441220，442012，201244，204412。 【知识点睛】因式分解产生密码：把多项式分解成几个因式的乘积，将数值按不同顺序排列组合成密码；分解要彻底（先提公因式再用公式）。 19. 【答案】证明见解析 解题步骤： ① (m+1)²−(m−3)² 用平方差公式：a²−b²=(a+b)(a−b)，a=m+1、b=m−3。 ② =[(m+1)+(m−3)]·[(m+1)−(m−3)]=2m−2 与 4 的乘积：(2m−2)×4。 ③ (2m−2)×4=8(m−1)，含有因数 8，所以 (m+1)²−(m−3)² 能被 8 整除。 【知识点睛】平方差公式与整除：把两个平方差转化为两数和×两数差，化简后出现 8(m−1)，含因数 8 即能被 8 整除；注意提公因式把 8 显式提出。 20. 【答案】(1) 628；(2) 1 解题步骤： ① (1)原式=3.14×(51²−49²)=3.14×(51+49)(51−49)=3.14×100×2=628。 ② (2)2025²−2024×2026=2025²−(2025−1)(2025+1)=2025²−(2025²−1)=1。 【知识点睛】用平方差公式简化计算：a²−b²=(a+b)(a−b)；把接近的数写成相同数加、减1的形式，抵消后口算出结果。 21. 【答案】(1) (x+1)(x+4)；(2) (x+1)(x−7) 解题步骤： ① (1) 竖分二次项与常数项：x²=x·x，4=1×4。 ② (1) 交叉相乘验中项：1×4+1×1=5，恰好为一次项系数 5，所以 x²+5x+4=(x+1)(x+4)。 ③ (2) x²=x·x，−7=(+1)×(−7)；交叉相乘：1×(−7)+1×1=−6，恰为一次项系数 −6，所以 x²−6x−7=(x+1)(x−7)。 【知识点睛】十字相乘法：x²+px+q 分解为 (x+a)(x+b)，满足 a+b=p、ab=q。竖分二次项与常数项，交叉相乘验中项，横向写出两因式。 22. 【答案】−18 解题步骤： ① 原式=ab(a²+2ab+b²)=ab(a+b)²（先提公因式ab，再用完全平方公式）。 ② 代入：(−2)×3²=−2×9=−18。 ③ 所以原式的值为−18。 【知识点睛】因式分解综合运用：先提公因式，再用完全平方公式；将已知的a+b、ab整体代入，避免解出a、b。 23. 【答案】(1) (x+2)(x+3)；(2) (x−3)(x−4)；(3) (x+5)(x−2) 解题步骤： ① (1)常数6=2×3，且2+3=5，所以x²+5x+6=(x+2)(x+3)。 ② (2)常数12=(−3)×(−4)，且(−3)+(−4)=−7，所以x²−7x+12=(x−3)(x−4)。 ③ (3)常数−10=5×(−2)，且5+(−2)=3，所以x²+3x−10=(x+5)(x−2)。 【知识点睛】十字相乘法：找两个整数，使其乘积等于常数项、和等于一次项系数；注意符号（两负相乘为正、一正一负为负）。 学科网（北京）股份有限公司 $