第十七章 因式分解（重难点单元自测）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦“因式分解”核心内容，通过基础辨析、情境应用及探究拓展题，全面覆盖因式分解定义、方法及综合应用，适配初中数学单元复习，强化抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|因式分解定义、公因式提取、分解彻底性判断|结合几何面积（第6题）、密码生成（第10题）等情境，考查数学眼光| |填空题|8/32|公因式确定、因式分解结果验证、代数式求值|如第13题结合已知条件求代数式值，体现运算能力| |解答题|8/78|分组分解法、整体思想（第26题）、构造完全平方（第24题）|设置类比探究（第20题）、跨学科应用（密码生成），培养模型意识与创新思维|

第十七章因式分解 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（25-26八年级下·山东济南·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对A选项，从左到右是整式乘法，结果是多项式和的形式，不属于因式分解， 对B选项，从左到右是整式乘法，结果是多项式和的形式，不属于因式分解， 对C选项，等式右边中是分式，不是整式，因此不属于因式分解， 对D选项，是多项式，变形后是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，属于因式分解. 2．（25-26八年级下·山西晋中·期末）对多项式进行因式分解，可以提取的公因式为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵多项式中，两项系数和的最大公约数为，两项共有的字母为和，的最低次数为，的最低次数为， ∴公因式为． 3．（25-26八年级下·福建漳州·期末）一次课堂练习，小敏同学做了如下四道因式分解的习题，你认为小敏同学分解不彻底的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：，分解彻底，不符合要求； B选项：，分解彻底，不符合要求； C选项：，分解彻底，不符合要求； D选项：，其中仍可利用平方差公式继续分解为，因此该选项分解不彻底，符合题意． 4．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知多项式因式分解后是，则的值为（     ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：， 根据题意可得， 可得， 解得． 5．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）已知多项式与一个单项式的和能因式分解，则这个单项式不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对选项A：和为 ，可以因式分解，故A不符合要求； 对选项B：和为，可以因式分解，故B不符合要求； 对选项C：和为，可以因式分解，故C不符合要求； 对选项D：和为，整理得，无法在整式范围内分解为多个整式的乘积，因此该多项式不能因式分解，故D符合要求． 6．（25-26七年级下·河北唐山·期末）已知正实数，，，，满足，，若图1中阴影部分的面积为，则图2中阴影面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图1可知，阴影部分为长方形，长为，宽为； 图1阴影面积． 图2阴影部分为长方形，长为，宽为， 图2阴影面积． 已知，即；，即． ∴， ∴， ， ， ． ， ， ， 即图2中阴影面积为8． 7．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）若a、b、c为三角形的三条边长，且，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】解： ， ∵为三角形的三条边长， ∴， ， ∴， ， ∴， 即． 8．（2025七年级上·上海·专题练习）数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内因式分解，则整数m的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数m的值有几个？（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【详解】解：∵能在有理数的范围内因式分解，且要使得m为整数， ∴常数项20需分解成两个整数的乘积，即，，，，，， ∴，，，，，， ∴，，，，，， 综上，整数的值有2个， 故选：B． 9．（2025·河北保定·一模）若算式的结果为整数，则整数的值不可能是（   ） A．100 B．50 C．17 D．3 【答案】D 【详解】解：， A、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， B、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， C、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， D、，不是的因子，不可使结果为整数，符合题意， 故选：D． 10．（25-26八年级上·广东深圳·期末）利用因式分解可以生成密码，其方法为：先对给定多项式进行因式分解，再对各因式赋值得到因式码，最后将因式码按照从小到大的顺序排列即可得到密码．例如多项式，可分解因式得到．若取，，可得，，，其中12，17，13即为各因式对应的因式码，将这些因式码按从小到大排序后即可得到密码121317．现有多项式，当取，时，按照上述方法生成的密码是（     ） A．4840 B．4820 C．8420 D．4480 【答案】A 【详解】解：对多项式因式分解 再对用平方差公式分解，得 将，代入各因式计算： 得到因式码为，按从小到大排序后拼接得密码． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（25-26八年级上·湖南常德·期末）把多项式分解因式时，应提取的公因式是_________． 【答案】/ 【详解】解：的公因式为． 故答案为：． 12．（24-25八年级上·河北邢台·期末）将因式分解的结果为，那么“”表示的数是_______． 【答案】 【详解】解：设“”表示的数是， 根据题意得 ， ， , ． 13．（25-26七年级下·浙江台州·期末）已知，满足，，则_________． 【答案】2 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（21-22七年级下·贵州铜仁·期中）若x，y满足方程组，则的值为________． 【答案】 【详解】解： 由①得 ． 15．（24-25九年级下·福建厦门·期中）若 ，则_________（请用“”“”或“”表示) 【答案】 【详解】设，则． ， 将代入，得， ． 故答案为：． 16．（25-26七年级下·浙江·期末）计算：= 【答案】 【详解】解：原式 ． 17．（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知，的值 为________________； 【答案】255或 【详解】解：，得， 当时： 当时：答：的值为或． 18．（24-25八年级下·浙江·阶段检测）已知 为互不相等的非零实数，满足 ，则 __________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 即， 则． ∵， ∴， 可得． ∵， ∴， ∴， 即． ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-25题每题10分，26题12分，答案写在答题卡上） 19．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是因式分解；不是整式乘积的形式 (2)是因式分解；是两个整式乘积的形式 (3)不是因式分解；不是整式乘积的形式 【详解】（1）解：，左边是整式的乘积形式，右边是多项式，是整式的乘法，故不是因式分解； （2）解：，左边是多项式，右边是两个多项式的乘积形式，故是因式分解； （3）解：，右边不是整式乘积的形式，故不是因式分解． 20．（22-23七年级下·山东菏泽·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得 则，，解得：， 另一个因式为，的值为． 仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】另一个因式为，的值为 【详解】解：设另一个因式为，则． ， ． ． 由， ， ． 把代入， ， ． 另一个因式为，的值为． 21．（24-25七年级下·河北唐山·期末）乘法公式的探究及应用． (1)如图①，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，如图②，通过比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式：______________． (2)可以被10和20之间某两个整数整除，则这两个数分别为____________． (3)计算：． 【答案】(1) (2)15，17 (3) 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为， 故； （2）解： ， ∴可以被10和20之间某两个整数和整除； （3）解：原式 ． 22．（24-25八年级上·河北邢台·期末）探究不同情境，回答下面问题： (1)观察与发现—因式分解： ； ； ； ． (2)归纳与猜想：若也可以分解成完全平方的形式，那么系数、之间有何数量关系？说明理由． (3)拓展与应用：若多项式加上一个含字母的单项式就能变形为一个完全平方式，请直接写出所有满足条件的单项式． 【答案】(1)；；； (2)，理由： 若是完全平方式，设， ∴，， ∴； (3)满足条件的单项式为或或 【详解】（1）解：；；；． （2）见答案 （3）解：分两种情况讨论构造完全平方式： ①把和作为完全平方公式的两个平方项：需要补充的是中间的2倍交叉项，即， 此时、； ②把作为中间的2倍交叉项，1作为其中一个平方项：设补充的项为， 则，展开得，即单项式． 23．（23-24七年级下·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【答案】(1)不能 (2)3，5，3，5，3，5 (3)①；② 【详解】（1）解：∵不是完全平方式， ∴不能利用完全平方公式进行因式分解； 故答案为：不能； （2）∵， ∴； （3）①； ②． 24．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）【阅读理解】阅读材料：形如的式子称为完全平方式．当多项式不是完全平方式时，我们常通过“加项再减项”的方法构造完全平方式，这种方法不仅可以分解因式，还能解决与非负数相关的最值问题． 例1：分解因式： 例2：求最值：， ，，∴当时，的最小值为－1． 【类比探究】请用上述方法解决问题： (1)将多项式因式分解； (2)求多项式的最大值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ∴， ∴当时，的最大值为． 25．（25-26八年级下·江西鹰潭·期末）阅读下列分解因式的过程： ① ② 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解答下列问题： (1)分解因式：； (2)已知：，，求代数式的值； (3)已知的三边，，满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)解：是等腰三角形；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是等腰三角形． 【详解】（1）解： . （2）解：∵，， ∴ . （3）解：见答案． 26．（25-26八年级下·河南郑州·期末）阅读以下材料． 材料：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式． 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)试证明：无论为何值，式子的值一定是一个不小于2的数． 【答案】(1)(2) (3)证明：令， ， 将还原， ， 无论为何值， ， 即式子的值一定是一个不小于2的数． 【详解】（1）解：令， ， 将“”还原，得； （2） 解：令， ， 将“”还原，得： ； （3）证明详见答案 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七章因式分解 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（25-26八年级下·山东济南·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山西晋中·期末）对多项式进行因式分解，可以提取的公因式为（     ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·福建漳州·期末）一次课堂练习，小敏同学做了如下四道因式分解的习题，你认为小敏同学分解不彻底的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知多项式因式分解后是，则的值为（     ） A． B． C．4 D．5 5．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）已知多项式与一个单项式的和能因式分解，则这个单项式不可能是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·河北唐山·期末）已知正实数，，，，满足，，若图1中阴影部分的面积为，则图2中阴影面积为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）若a、b、c为三角形的三条边长，且，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 8．（2025七年级上·上海·专题练习）数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内因式分解，则整数m的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数m的值有几个？（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 9．（2025·河北保定·一模）若算式的结果为整数，则整数的值不可能是（   ） A．100 B．50 C．17 D．3 10．（25-26八年级上·广东深圳·期末）利用因式分解可以生成密码，其方法为：先对给定多项式进行因式分解，再对各因式赋值得到因式码，最后将因式码按照从小到大的顺序排列即可得到密码．例如多项式，可分解因式得到．若取，，可得，，，其中12，17，13即为各因式对应的因式码，将这些因式码按从小到大排序后即可得到密码121317．现有多项式，当取，时，按照上述方法生成的密码是（     ） A．4840 B．4820 C．8420 D．4480 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（25-26八年级上·湖南常德·期末）把多项式分解因式时，应提取的公因式是_________． 12．（24-25八年级上·河北邢台·期末）将因式分解的结果为，那么“”表示的数是_______． 13．（25-26七年级下·浙江台州·期末）已知，满足，，则_________． 14．（21-22七年级下·贵州铜仁·期中）若x，y满足方程组，则的值为________． 15．（24-25九年级下·福建厦门·期中）若 ，则_________（请用“”“”或“”表示) 16．（25-26七年级下·浙江·期末）计算：= 17．（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知，的值 为________________； 18．（24-25八年级下·浙江·阶段检测）已知 为互不相等的非零实数，满足 ，则 __________． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-25题每题10分，26题12分，答案写在答题卡上） 19．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)； (2)； (3)． 20．（22-23七年级下·山东菏泽·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得 则，，解得：， 另一个因式为，的值为． 仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 21．（24-25七年级下·河北唐山·期末）乘法公式的探究及应用． (1)如图①，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，如图②，通过比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式：______________． (2)可以被10和20之间某两个整数整除，则这两个数分别为____________． (3)计算：． 22．（24-25八年级上·河北邢台·期末）探究不同情境，回答下面问题： (1)观察与发现—因式分解： ； ； ； ． (2)归纳与猜想：若也可以分解成完全平方的形式，那么系数、之间有何数量关系？说明理由． (3)拓展与应用：若多项式加上一个含字母的单项式就能变形为一个完全平方式，请直接写出所有满足条件的单项式． 23．（23-24七年级下·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 24．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）【阅读理解】阅读材料：形如的式子称为完全平方式．当多项式不是完全平方式时，我们常通过“加项再减项”的方法构造完全平方式，这种方法不仅可以分解因式，还能解决与非负数相关的最值问题． 例1：分解因式： 例2：求最值：， ，，∴当时，的最小值为－1． 【类比探究】请用上述方法解决问题： (1)将多项式因式分解； (2)求多项式的最大值． 25．（25-26八年级下·江西鹰潭·期末）阅读下列分解因式的过程： ① ② 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解答下列问题： (1)分解因式：； (2)已知：，，求代数式的值； (3)已知的三边，，满足，判断的形状，并说明理由． 26．（25-26八年级下·河南郑州·期末）阅读以下材料． 材料：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式． 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)试证明：无论为何值，式子的值一定是一个不小于2的数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $