第17章 因式分解 单元质量检测卷 2026-2027学年人教版数学八年级上册

人教版八年级上册数学第17章《因式分解》单元质量检测卷 姓名：___________班级：___________得分：___________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．下列四个多项式，不是完全平方式的是（     ） A． B． C． D． 4．市列从左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 5．把提公因式后，则另一个因式为（    ） A． B． C． D． 6．结果为（     ） A． B． C． D． 7．下列各式：①x2＋y2；②y2－x2；③－y2＋x2；④－x2－y2，其中能用平方差公式因式分解的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．若多项式可以用平方差公式进行因式分解，则表示的单项式可以是（     ） A． B． C． D． 9．某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 x … 明文 … 福 爱 田 外 我 幸 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（   ） A．我爱福田 B．我爱福外 C．我爱幸福 D．幸福福田 10．已知x，y，z是的三边长，其中x，y满足，则的值可能为（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 11．已知，，则代数式的值是（　　） A．2 B． C．15 D． 12．若长为、宽为的长方形周长为，面积为，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．因式分解：__________． 14．若，，则_______． 15．若，则的值为________． 16．如图，有两张①型正方形卡片和一张②型长方形卡片，请用它们拼一个大长方形，再据此写出一个多项式的因式分解______． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（12分）分解因式： (1) (2) (3) (4) 18．（10分）先因式分解，再求值：，其中，． 19．（10分）如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角各剪去一个边长为b的正方形，若，，求剩余部分的面积． 20．（10分）如图，大正方形A的边长为a，小正方形B的边长为b，两个正方形重叠部分（阴影部分）的面积为m． (1)用含b，m的代数式表示正方形B中空白部分的面积：______． (2)若，，设正方形A中空白部分的面积为，正方形B中空白部分的面积为，求的值． 21．（10分）现有甲、乙、丙三种卡片，如图所示．某同学从中取出若干张卡片，拼成如图和图的图形，如图所示． (1)若图的面积为，图的面积为，求和；（用代数式表示） (2)已知卡片乙的周长为，若，求的值． 22．（10分）【发现】当两个不同的正整数同为偶数或同为奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差． 【验证】（1）当两个不同的正整数为，时，，能被整除，请把与的积写成两个正整数的平方差的形式． 【探究】（2）设【发现】中两个正整数分别为，，请论证【发现】中的结论正确． 23．（12分）如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式分割成块，其中有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形，三块是长为，宽为的长方形（）． (1)观察图形，根据面积相等，可以发现代数式可因式分解为________； (2)将图中阴影部分的面积记作，非阴影部分的面积记作，若，求的值． 24．（12分）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释、如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释等式，例如图2可以解释乘法：，也可以解释因式分解：． (1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤ (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到拼成一个长方形，使其面积为，则的值为______．（直接写出结果） 25．（12分）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 根据材料，回答问题． 问题1：若用4个类材料，围成图2的大正方形，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）__________． ①；②；③；④；⑤． 问题2：若利用图1中三类图形各若干，恰好能拼出一个无重叠且无缝隙的长方形．我们将这样的长方形称为“类长方形”． （1）利用1个类，3个类，2个类图形，能否拼出一个“类长方形”？若能，请画出拼出的长方形，并直接写出此长方形的面积．若不能，请说明理由． （2）若取3个类图形，个类图形，2个类图形拼出一个“类长方形”，则的值为________．（直接写出结果） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《因式分解》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C A A B C A B 题号 11 12 答案 D A 1．B 【分析】本题考查了提公因式法，公式法进行因式分解．根据提公因式法，公式法以及十字相乘法进行因式分解，分别判断即可． 【详解】解：A．不能因式分解，故选项不符合题意； B．，故选项符合题意； C．，故选项不符合题意； D．，故该选项不符合题意， 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了因式分解，根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故A不符合题意； B、不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故B不符合题意； C、不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故C不符合题意； D、，故D符合题意． 故选：D． 3．A 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方公式的结构逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，不是完全平方式，符合题意； B. ，是完全平方式，不合题意；     C. ，是完全平方式，不合题意；     D. ，是完全平方式，不合题意； 故选：A． 4．C 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题关键．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此逐一判断即可得答案． 【详解】解：A．是多项式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意， B．是恒等变形，不是因式分解，故该选项不符合题意， C．是因式分解，故该选项符合题意， D．等号右边不是积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意， 故选：C． 5．A 【分析】本题考查了提公因式法因式分解．通过将转化为，然后提取公因式，即可得到另一个因式． 【详解】∵， ∴， 因此另一个因式为． 故选：A． 6．A 【分析】观察式子特征，提取公因式后可利用完全平方公式简化运算． 【详解】解： ． 7．B 【分析】本题考查平方差公式因式分解的条件，平方差公式因式分解要求多项式能写成两个平方项的差的形式，即的形式，逐个判断四个式子即可得到结果． 【详解】解：① 是两个平方项的和，不符合要求，不能用平方差公式因式分解； ② 符合的形式，符合要求，可以用平方差公式因式分解； ③ ，符合的形式，符合要求，可以用平方差公式因式分解； ④ ，本质是两个平方项的和的相反数，不符合要求，不能用平方差公式因式分解． 8．C 【分析】根据平方差公式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、，不能用平方差公式分解，不符合题意； B、，不能用平方差公式分解，不符合题意； C、 ，能用平方差公式分解，符合题意； D、，不能用平方差公式分解，不符合题意． 9．A 【分析】先将密文因式分解，再对应密码手册解答即可． 【详解】解： ， 由密码手册可知，8对应明文“我”，对应明文“爱”，对应明文“福”，对应明文“田”， 则密文解码后，明文可能是我爱福田． 10．B 【分析】先对给定的等式进行变形，因为平方数和算术平方根都具有非负性，两个非负数相加为0，则各自为0，所以可以分别求出和的值．因为是三角形的三边长，所以根据三角形三边关系定理，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可列出关于的不等式，确定的取值范围．对照选项，判断哪个选项的数值在的取值范围内即可． 【详解】解：可化为． ∵，， ∴，， 解得，， 根据三角形三边关系，得， 即． 选项中只有5符合该范围，故选项B符合题意． 11．D 【分析】本题考查因式分解的应用以及用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．本题的关键是把所求代数式分解因式．由题意利用分组分解的方法把因式分解，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵ ， ∵，， ∴， 故选：D． 12．A 【分析】先根据长方形周长和面积公式得到与的值，再对所求代数式因式分解，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵长方形长为，宽为，周长为，面积为， ∴，， ∴， ∴． 13． 【分析】先提取公因式，再连续利用平方差公式分解，直到每个因式都不能再分解． 【详解】解： ． 14． 【分析】利用平方差公式分解，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：， ， ， ． 15． 【分析】对所求代数式运用平方差公式进行因式分解，然后整体代入求值． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，属于基础题，熟练掌握平方差公式即可解答． 16． 【分析】可以拼成一个大长方形，利用面积相等写出结果即可． 【详解】解：如图，用两张①型正方形卡片和一张②型长方形卡片可以拼成一个长为，宽为a的长方形，则长方形的面积可以表示为：； 大长方形的面积也可以看作两个正方形和一个长方形的面积之和，则大长方形的面积为：， ∴． 17．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 18．， 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 19．10.4 【分析】本题考查了因式分解的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．先根据题意列出算式，再代入求出即可． 【详解】解：剩余部分的面积是， 当，时剩余部分的面积是： ． 答： 剩余部分得面积为 10.4. 20．(1) (2)． 【分析】本题考查了平方差公式的几何应用． （1）利用正方形B的面积减去m即可求解； （2）分别求得，；求得，利用平方差公式分解，再整体代入数据求解即可． 【详解】（1）解：正方形B中空白部分的面积为：； 故答案为：； （2）解：正方形B中空白部分的面积为：； 正方形A中空白部分的面积为：； ∴ ， ∵，， ∴． 21．(1)， (2) 【分析】（1）根据长方形的面积公式，用含，的代数式分别表示出和即可； （2）根据卡片乙的周长为得出，再根据，进行整式的加减运算，再因式分解，结合整体思想进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ； （2）解：卡片乙的周长为， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ． 22．（1）； （2）证明： ． ，是正整数， 一定能被整除． 由上面的算式可知， ． 正整数，同为偶数或同为奇数，且， ，均为偶数， 与都是正整数， 一定能表示为两个正整数的平方差． 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，解题的关键是熟练应用完全平方公式． （1）根据题意直接列式即可． （2）由，，是正整数，得出一定能被整除；进而得到，结合，同为偶数或同为奇数，且，即可得证． 【详解】（1）解：． （2） 略 23．(1) (2)的值为 【分析】（1）根据题意可得长方形纸片的面积为，或者表示为，即可求解； （2）观察图形得到，，根据得到，即可得出答案． 【详解】（1）解：由图形可知，大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的面积为， ∵大长方形中，有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形，三块是长为，宽为的长方形， ∴大长方形的面积为， ∴代数式可因式分解为． （2）解：由图形可知，，， ∵， ∴， 整理得，，即， ∴， ∴． 24．(1)①③④⑤ (2)见解析， (3)9或21或12 【分析】（1）由图形可得，，然后逐项求解判断即可； （2）根据题意画出图形，然后根据所画图形因式分解； （3）根据题意分三种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：由图形可得，，，故①正确， ∴，故②错误； 由图形可得，，即，故③正确； ∵，， ∴，即，故④正确； ∵，即，故⑤正确． ∴正确的是①③④⑤； （2）解：由题意可得，图形如图所示， ∴； （3）解：由题意可得， ①当，， ②当，， ③当，． ∴的值为9或21或12． 25．问题1：①③④⑤ 问题2：（1）能，根据题意，图形如下， 此长方形面积为：； （2）5或7 【分析】本题考查整式乘法与图形面积的关系，掌握数形结合思想成为解题关键． 问题1：根据图形表示出两个正方形边长与、的关系，结合面积加减计算逐个判断即可； 问题2：（1）根据整式得到2个大正方形、1个小正方形、3个长方形，然后画出图形即可解答； （2）根据因式分解平方项凑长方形的长宽，进而求解即可解答． 【详解】解：问题1：由图形可得，、，故①正确， ，故②错误； 由图形可得，，故③正确； 、， ，故④正确； ，，即故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． 问题2：（1）略 （2）由题意可得， 当时，解得，； 当时，解得，； 故答案为：5或7． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $