第十六章 整式的乘法 单元自测卷 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十六章 整式的乘法 单元自测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共10题，每题2分，共20分） 1．若多项式是完全平方式，则m的值为（   ） A．−5 B．25 C．±5 D．±25 2．下列计算正确的是（　　） A．a²·a³=a⁶　　B．(a²)³=a⁵　　C．(−2a)³=−8a³　　D．a⁸÷a⁴=a² 3．下列运算正确的是（    ） A．a÷a=a B．2a+4a=6a C．2a×3a=6a D．(−2ab)=−4ab 4．计算： （    ） A．1 B．−1 C． D．− 5．下列计算正确的是（    ） A．a×a=a B．(3a)=6a C．3a−a=2a D．a÷a=a 6．计算结果正确的是（   ） A．9x−12x+4 B．9x+12x+4 C．9x−12x−4 D．−9x−12x+4 7．若(x+a)(x−2)的展开式中不含x的一次项，则a的值为（　　） A．2　　B．−2　　C．0　　D．4 8．小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把正确结果的最后一项染黑了，正确的结果为，则被染黑的这一项应是（    ） A．2b B．3b C．4b D．6b 9．已知x+y=5，xy=3，则x²+y²的值为（　　） A．19　　B．16　　C．25　　D．13 10．在下列的计算中，正确的是（    ） A．m+m=m B．m÷m=m C．2m=6m D．m+=m+1 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11．若x²−kx+9是一个完全平方式，则k=________。 12．已知关于的多项式是一个完全平方式，则________． 13．若，则__________． 14．当时，代数式的值为__________． 15．如图，左边是一个张长方形卡片，把五张相同的小长方形卡片放入一个大长方形中，若阴影部分的面积为5，大长方形的周长为12，则一张小长方形卡片的面积为________． 三、解答题（共8题，共65分） 16．（8分）先化简，再求值：，其中． 17．（8分）计算： (1)(2a+b)(2a−b)； (2)(x+3)²−(x+2)(x−2)。 18．（8分）一套住房的部分结构如图所示（单位：），这套房子的主人打算将卧室铺设500元的地板，客厅铺设100元的地砖，浴室和厨房铺设80元的地砖，求购买所需地板和地砖共多少元？ 19．（7分）观察下面各式，你发现有什么规律？将你发现的规律用等式表示出来并证明． (1)观察与发现： ； …… 那么 ； ；（直接写出答案） (2)猜想与验证：请用字母m，n（m，n均为正整数）表示出来你发现的规律，并举例验证你的猜想． 规律： ； 例如：当 ， 时， 则： ； (3)请证明（2）中的规律成立． 证明： 20．（8分）先化简，再求值：(2x+1)²−(x+3)(x−3)，其中x=−1。 21．（8分）计算： (1)(π−4)⁰+(−2)²+2⁵×2³÷2⁶； (2)（用整式乘法公式计算）． 22．（9分）已知a+b=5，ab=6，求： (1)a²+b²； (2)(a−b)²。 23．（9分）为响应儿童友好空间建设的号召，某市政公园规划出一片长为，宽为的长方形区域，用来打造儿童活动区域．如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区，其中、游戏娱乐区和文化体验区均为长方形，绿化休息区为边长为的正方形． (1)分别求出游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区这三个区域的面积（用含的式子表示）． (2)该公园计划对这片儿童活动区域的地面进行处理，为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米元；为绿化休息区铺设草坪，造价为每平方米元．求处理这片儿童活动区域的地面所需的费用（用含的式子表示）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 第十六章 整式的乘法 单元自测卷 参考答案 1. 【答案】C 解题步骤： ① x²+10x+m² 是完全平方式，其形式应为 (x±5)²=x²±10x+25，所以 m²=25。 ② m²=25，开平方得 m=±5。 ③ 所以 m 的值为 ±5，选 C。 【知识点睛】完全平方式：a²±2ab+b²。首项和末项都是平方项，中间项是两底数乘积的 2 倍；由中间项系数确定 ±2ab，从而求出 b（即 m）并注意取正负两个值。 2. 【答案】C 解题步骤： ① A：a²·a³=a²⁺³=a⁵，不等于a⁶，错误；B：(a²)³=a²ˣ³=a⁶，不等于a⁵，错误。 ② C：(−2a)³=(−2)³·a³=−8a³，正确。 ③ D：a⁸÷a⁴=a⁸⁻⁴=a⁴，不等于a²，错误。所以选C。 【知识点睛】幂运算：同底数幂相乘指数相加、幂的乘方指数相乘、积的乘方各因式分别乘方、同底数幂相除指数相减；逐项验证。 3. 【答案】C 解题步骤： ① A：a⁶÷a³=a³ 不等于 a²，错误；B：2a² 与 4a³ 不是同类项，不能合并，错误。 ② C：2a³×3a²=(2×3)a³⁺²=6a⁵，正确。 ③ D：(−2ab)²=(−2)²a²b²=4a²b²，不是 −4a²b²，错误。所以选 C。 【知识点睛】整式运算：同底数幂相除指数相减；单项式相乘系数相乘、同底数幂指数相加；积的乘方把每个因式分别乘方（注意符号）；只有同类项才能合并。 4. 【答案】D 解题步骤： ① (−2x²)³=(−2)³(x²)³=−8x⁶；(−3x³)²=(−3)²(x³)²=9x⁶。 ② (−8x⁶)÷(9x⁶)=。 ③ 所以结果是 ，选 D。 【知识点睛】积的乘方与同底数幂除法：幂的乘方指数相乘；除以同底数幂指数相减；结果用最简分数表示，注意符号与系数的计算。 5. 【答案】C 解题步骤： ① A：a³×a⁴=a⁷，不是 a¹²，错误；B：(3a)²=9a²，不是 6a²，错误。 ② C：3a²−a²=2a²，正确。 ③ D：a⁶÷a³=a³，不是 a²，错误。所以选 C。 【知识点睛】幂的运算法则辨析：同底数幂相乘指数相加、幂的乘方指数相乘、积的乘方系数与字母分别乘方、同底数幂相除指数相减；合并同类项时系数相加减、字母与指数不变。 6. 【答案】B 解题步骤： ① (−2−3x²)² 变形为 (3x²+2)²，用完全平方公式 (a+b)²=a²+2ab+b²。 ② (3x²)²=9x⁴，2×3x²×2=12x²，2²=4。 ③ 所以结果为 9x⁴+12x²+4，选 B。 【知识点睛】完全平方公式：(−a−b)²=(a+b)²。先整理符号再套公式 (a+b)²=a²+2ab+b²；易错点：中间项是 2ab 不是 ab，末项为平方项不带负号。 7. 【答案】A 解题步骤： ① (x+a)(x−2)=x²−2x+ax−2a=x²+(a−2)x−2a。 ② 展开式中不含x的一次项，则一次项系数a−2=0，a=2。 ③ 所以选A。 【知识点睛】多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再合并同类项；“不含某项”即该项系数为0。 8. 【答案】C 解题步骤： ① 完全平方结果 9a²+12ab+■，首项 9a²=(3a)²，中间项 12ab=2×3a×b，所以末项 ■=b²。 ② 但选项为 2b²、3b²、4b²、6b²——中间项 12ab=2×(3a)×(2b)，所以另一个底数是 2b，末项 ■=(2b)²=4b²。 ③ 所以被染黑的这一项是 4b²，选 C。 【知识点睛】完全平方公式逆用：由首项、中间项确定另一个底数。中间项 2ab 中 a 已知，b=中间项÷2÷a；末项为 b²。注意系数符号。 9. 【答案】A 解题步骤： ① (x+y)²=x²+2xy+y²。 ② x²+y²=(x+y)²−2xy=5²−2×3=25−6=19。 ③ 所以选A。 【知识点睛】完全平方公式变形：x²+y²=(x+y)²−2xy；已知两数和与积，可整体代入求平方和。 10. 【答案】B 解题步骤： ① A：m³ 与 m² 不是同类项不能相减，错误；B：m⁵÷m²=m³，正确。 ② C：(2m)³=8m³，不是 6m³，错误；D：(m+1)²=m²+2m+1，不是 m²+1，错误。 ③ 所以正确的是 B。 【知识点睛】整式运算综合判断：同底数幂相除指数相减；积的乘方系数乘方；完全平方公式中间项不能漏；只有同类项才能合并。 11. 【答案】±6 解题步骤： ① 完全平方式：x²−kx+9=(x±3)²=x²±6x+9。 ② 对比系数：−k=±6，所以k=∓6，即k=±6。 ③ 所以k=±6。 【知识点睛】完全平方式a²±2ab+b²：末项9=(±3)²，中间项系数为±6；求中间项系数时注意正负两个值。 12. 【答案】4 解题步骤： ① x²+4x+n 是完全平方式，形式为 (x+2)²=x²+4x+4。 ② 对照系数：一次项 4x=2×2x，所以 n=2²=4。 ③ 所以 n=4。 【知识点睛】完全平方式求常数项：中间项 2ab 确定另一个底数 b=中间项系数÷2，末项 n=b²。 13. 【答案】32 解题步骤： ① 由 3m+2n−5=0，得 3m+2n=5。 ② 8^m·4^n=(2³)^m·(2²)^n=2^(3m)·2^(2n)=2^(3m+2n)=2⁵。 ③ 所以 8^m·4^n=2⁵=32。 【知识点睛】幂的运算逆用：把不同底数的幂都化成以 2 为底（8=2³、4=2²），再用同底数幂相乘指数相加，最后代入已知的指数和。 14. 【答案】−2 解题步骤： ① 化简：(x−1)(3x+2)=3x²+2x−3x−2=3x²−x−2；3x(x+3)=3x²+9x。 ② 原式=3x²−x−2−3x²−9x+10x=−2，化简结果与 x 无关。 ③ 所以当 x=2025 时，原式的值为 −2。 【知识点睛】先化简再求值：多项式乘法展开后用“合并同类项”抵消含 x 的项，得到常数；化简结果不含 x 时，代数式的值与 x 无关，直接得常数。 15.【答案】 解题步骤： ① 设小长方形卡片的长为 x、宽为 y。大长方形长 = 2x+y、宽 = x+2y，周长 12 得 2[(2x+y)+(x+2y)]=12，即 x+y=2。 ② 阴影面积 = 大长方形面积 − 5 张小卡片面积 =(2x+y)(x+2y)−5xy=2x²+5xy+2y²−5xy=2(x²+y²)=5，所以 x²+y²=。 ③ (x+y)²=x²+2xy+y²=4，代入 x²+y²= 得 2xy==，xy=。 ④ 所以一张小长方形卡片的面积为 。 【知识点睛】面积与周长列式：把大长方形的长、宽用卡片的长 x、宽 y 表示，周长条件得 x+y，阴影面积条件得 x²+y²，再用完全平方公式 (x+y)²=x²+2xy+y² 求 xy。 16. 【答案】−11 解题步骤： ① 化简：(x+3)(x−3)=x²−9（平方差公式）；x(1−x)=x−x²。 ② 原式=x²−9+x−x²=x−9。 ③ 当 x=−2 时，原式=−2−9=−11。 【知识点睛】先化简再求值：平方差公式 (a+b)(a−b)=a²−b² 与单项式乘多项式展开，合并同类项化简后再代入求值。 17. 【答案】(1) 4a²−b²；(2) 6x+13 解题步骤： ① (1)(2a+b)(2a−b)=(2a)²−b²=4a²−b²（平方差公式）。 ② (2)(x+3)²=x²+6x+9；(x+2)(x−2)=x²−4。 ③ (2)原式=x²+6x+9−(x²−4)=x²+6x+9−x²+4=6x+13。 【知识点睛】平方差公式(a+b)(a−b)=a²−b²；完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²；去括号时括号前是减号要变号。 18. 【答案】3040xy 元 解题步骤： ① 由图：卧室面积 4xy 平方米，客厅面积 8xy 平方米，浴室面积 xy 平方米，厨房面积 2xy 平方米。 ② 总费用 = 500×4xy + 100×8xy + 80×(xy+2xy)。 ③ 计算：2000xy+800xy+240xy=3040xy，所以共需 3040xy 元。 【知识点睛】列代数式解决实际问题：先根据图形读出各部分面积（长×宽），再按“单价×面积”求各部分费用，最后合并同类项。 19. 【答案】(1) 1600，40000；(2) (m−n)(m+n)+n²=m²；(3) 证明见解析 解题步骤： ① (1) 36×44+16=(40−4)(40+4)+4²=40²=1600；195×205+25=(200−5)(200+5)+5²=200²=40000。 ② (2) 规律：(m−n)(m+n)+n²=m²（m、n 为正整数，m>n）。例如 m=7、n=2 时，(7−2)(7+2)+2²=5×9+4=49=7²。 ③ (3) 证明：左边=(m−n)(m+n)+n²=(m²−n²)+n²=m²=右边，所以规律成立。 【知识点睛】平方差公式的运用：(a−b)(a+b)=a²−b²。把两数相乘转化为“平均数平方减偏差平方”，再加偏差平方得平均数平方；观察给出的例子找 m（平均数）、n（偏差）即可。 20. 【答案】9 解题步骤： ① (2x+1)²=4x²+4x+1；(x+3)(x−3)=x²−9。 ② 原式=4x²+4x+1−(x²−9)=4x²+4x+1−x²+9=3x²+4x+10。 ③ 当x=−1时，原式=3×(−1)²+4×(−1)+10=3−4+10=9。 【知识点睛】先化简再求值：用完全平方公式、平方差公式展开合并，再代入x的值；注意(−1)²=1。 21. 【答案】(1) 9；(2) 405 解题步骤： ① (1) (π−4)⁰=1（任何非零数的 0 次幂为 1）；(−2)²=4；2⁵×2³÷2⁶=2²=4。 ② (1) 原式=1+4+4=9。 ③ (2) 201²−198×202=(200+1)²−(200−2)(200+2)=40000+400+1−(40000−4)。 ④ (2) =40000+400+1−40000+4=405。 【知识点睛】零指数幂：a⁰=1（a≠0）；同底数幂相乘指数相加，相除指数相减。用完全平方公式和平方差公式简便计算 201² 与 198×202。 22. 【答案】(1) 13；(2) 1 解题步骤： ① (1)a²+b²=(a+b)²−2ab=5²−2×6=25−12=13。 ② (2)(a−b)²=(a+b)²−4ab=5²−4×6=25−24=1。 ③ 所以a²+b²=13，(a−b)²=1。 【知识点睛】完全平方公式变形：a²+b²=(a+b)²−2ab，(a−b)²=(a+b)²−4ab；已知和与积整体代入，无需解出a、b。 23. 【答案】(1) 游戏娱乐区 (2a+4b)(2a+5b)=4a²+18ab+20b²，文化体验区 3a(5b−a)=15ab−3a²，绿化休息区 9a²（单位：m²）；(2) c(10a²+33ab+20b²)−360a² 元 解题步骤： ① (1) 大长方形长 5a+4b、宽 2a+5b；绿化休息区是边长 3a 的正方形，面积=(3a)²=9a²。 ② (1) 游戏娱乐区：宽 (5a+4b)−3a=2a+4b、高 2a+5b，面积=(2a+4b)(2a+5b)=4a²+8ab+10ab+20b²=4a²+18ab+20b²。 ③ (1) 文化体验区：宽 3a、高 (2a+5b)−3a=5b−a，面积=3a(5b−a)=15ab−3a²。 ④ (2) 费用 = c×(游戏+文化) + (c−40)×绿化 = c(4a²+18ab+20b²+15ab−3a²)+9a²(c−40)。 ⑤ (2) 整理：c(10a²+33ab+20b²)−360a² 元。 【知识点睛】图形分割求面积：先确定各区域的长与宽（用大长方形尺寸减重叠部分），再列乘积并展开合并。总费用 = 单价×面积 分项计算后合并同类项。 $