第十六章 整式的乘法【单元进阶卷】2026～2027学年人教版八年级上册数学

第十六章 整式的乘法【单元进阶卷】 2026~2027学年人教版八年级上册数学 考试时间：90 分钟　　满分：100 分　　卷别：单元进阶卷（第二层级测评） 适用范围：人教版八年级上册第 16 章 整式的乘法（16.1 幂的运算 — 16.3 乘法公式） 班级：＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿　学号：＿＿＿＿＿　得分：＿＿＿＿＿ 【本章考情简要分析】 本章围绕“运算”展开，形成一条清晰的升级链条：16.1 先用四条幂的运算法则（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除）建立“指数层面”的运算规则；16.2 把运算对象由“幂”扩展到“整式”，依次完成单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的推广；16.3 的乘法公式（平方差公式、完全平方公式）是整式乘法中最常用、最具生成力的两种特殊形式，既可直接用于计算，也可逆向用于变形、求值与几何解释。 本卷是本单元的第二层级测评卷。与侧重“法则是否记住、能否直接套用”的基础过关卷不同，本卷把考查重心上移到“法则能否逆用、公式能否变形”：不安排直接套用与一步口算的题目，全卷从中等题起步，集中检验三类能力——①把不同底数的幂化为同底或同指数、由幂的方程反推指数；②由整式乘法的展开结果反推参数（不含某一项、恒成立、一次项系数的确定）；③由乘法公式的变形完成整体代入、配方与非负性分析，并用面积表示代数恒等式。 难度按板块分层递进：选择题第 1—8 题、填空题第 11—14 题、解答题第 17—22 题，以法则的灵活运用与公式变形为主；每类题的最后 2 题进入综合与探究，依次落在幂的运算综合、整式乘法变形、乘法公式（平方差、完全平方）综合与“杨辉三角”拓展上，用以区分不同思维水平的学生。 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题只有一个选项是正确的） 1．已知 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．若 ，则 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．若 的展开式中不含 项和 项，则（　　） A．，　　B．，　　C．，　　D．， 4．若无论 取何值，关于 的等式 总成立，则 的值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5．设 ，，．若 ，则 的值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 6．如图，两个正方形的边长分别为 和 （），点 ，， 在同一条直线上，连接 ，．若 ，，则图中阴影部分的面积是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 7．已知 ，，则 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 8．已知 ，，．若 的值与 的取值无关，则当 时， 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 9．已知实数 ， 满足 ，则 的值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 10．已知 ，，则 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．已知 ，则 的值为　　　． 12．若 的展开式中不含 项，且常数项为 ，则 的值为　　　． 13．若 ，则 的值为　　　． 14．正方形 的周长比正方形 的周长长 ，它们的面积相差 ，则正方形 与正方形 的边长分别是　　　． 15．阅读材料：在计算 的一次项系数时，只需逐项选取一个因式中的一次项、其余因式中的常数项，再把所有这样的积相加，即 ．参考上述方法，若 的计算结果不含一次项，则 的值为　　　． 16．观察下列各式：；；；…．若 ，则 的值为　　　． 三、解答题（本题有 8 小题，共 52 分．解答应写出必要的文字说明、计算过程或推理步骤） 17．（6 分）计算： （1）； （2）． 18．（6 分）先化简，再求值：，其中 ， 满足 ． 19．（6 分）利用幂的运算法则解答下列各题： （1）若 ，求 的值； （2）若 ，求 的值； （3）若 为正整数，且 ，求 的值． 20．（6 分）阅读材料：我们规定一种幂的新运算“⊕”：．例如：． （1）求 的值； （2）若 ，，，求 的值； （3）若 ，求 的值． 21．（8 分）如图，用 个全等的长方形（长、宽分别为 ，，且 ）拼成一个大正方形，中间留下一个小正方形． （1）用两种不同的方法表示中间小正方形的面积，写出 ，， 之间的等量关系式； （2）若 ，，求 的值； （3）若 ，，求 与 的值． 22．（6 分）已知 ，，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 23．（6 分）综合运用幂的运算法则解答下列各题： （1）比较 与 的大小； （2）若 ，，求 与 的值； （3）若 ，，，求 的值． 24．（8 分）【阅读与探究】观察“杨辉三角”： 　　　　　　1 　　　　　1　　1 　　　　1　　2　　1 　　　1　　3　　3　　1 　　1　　4　　6　　4　　1 杨辉三角中第 行的各数，恰好是 展开式中各项的系数．例如： ； ； ； ． （1）请写出杨辉三角的第 行和第 行； （2）写出 的展开式，并求该展开式中各项系数之和； （3）利用杨辉三角，求 的展开式中含 项的系数． 【参考答案与详细解析】 第十六章 整式的乘法【单元进阶卷】　2026~2027学年人教版八年级上册数学 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．【答案】B 【解析】三个幂的指数分别是 ，，，都可化为 的倍数，故逆用幂的乘方化为同指数的幂：，，．因为 ，所以 ．故选：B． 2．【答案】C 【解析】逆用幂的乘方，把 化为以 为底的幂：．再由同底数幂相乘，底数不变、指数相加：．由 得 ，所以原式 ．故选：C． 3．【答案】A 【解析】先按多项式乘多项式展开并合并同类项：．因为展开式中不含 项和 项，所以它们的系数都为 ，即 ，，解得 ，．故选：A． 4．【答案】B 【解析】把左边展开：．恒成立即两边对应项的系数分别相等，所以 ，．由完全平方公式的变形得．把 代入，得 ．故选：B． 5．【答案】C 【解析】观察三个数的关系：，．所以 ．由 得 ，即 ．故选：C． 6．【答案】A 【解析】阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去两个空白三角形的面积：两个正方形的面积和为 ；空白三角形 的两条直角边均为 ，面积为 ；空白三角形 中 ， 上的高为 ，面积为 ．所以 ．把 ， 代入，得 ．故选：A． 7．【答案】A 【解析】把各等式两边都化为以 为底的幂，由指数相等得到关于 ， 的方程：，所以 ；，所以 ．由 得 ，代入 得 ，解得 ，从而 ，所以 ．故选：A． 8．【答案】B 【解析】先计算 ：．因为结果与 的取值无关，所以 的系数为 ，即 ，所以 ，当 时，．故选：B． 9．【答案】A 【解析】把已知等式去括号、移项并整理：，即 ．把左边的四项拆成两个完全平方式：，即 ．由非负数的性质得 ，，解得 ，．代入所求代数式：．故选：A． 10．【答案】B 【解析】把两个等式两边都化为同底数的幂，由指数相等列出方程：，，所以 ，即 ；，，所以 ．把 代入 ，得 ，解得 ，从而 ．所以 ．故选：B． 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．【答案】 【解析】把各因数都化为以 为底的幂，再逆用同底数幂的乘法与除法法则：．又 ，所以 ． 12．【答案】 【解析】先展开并合并同类项：．不含 项，所以 ；常数项为 ，所以 ，解得 ．代入 得 ，所以 ． 13．【答案】 【解析】设 ，，则 ，．由完全平方公式的变形得 ，所以 ． 14．【答案】， 【解析】设正方形 、 的边长分别为 ，（）．由周长差得 ，即 ；由面积差得 ．又 ，所以 ，得 ．解得 ，，即两正方形边长分别为 和 ． 15．【答案】 【解析】按材料中的方法，一次项系数等于“只从一个因式中取一次项、其余因式取常数项”的所有积之和：①取 中的 ：；②取 中的 ：；③取 中的 ：．所以一次项系数为 ．因为结果不含一次项，所以 ，解得 ． 16．【答案】 【解析】由 可知，四个连续正整数的积加上 ，等于“首末两数之积加 ”的平方．事实上 ，，设 ，则原式 ，与题给规律一致．取 ，则 ，所以 ． 三、解答题（共 8 小题，共 52 分） 17．（6 分）计算： （1）； 【答案】 【解析】按多项式乘多项式展开：．所以原式 ． （2）． 【答案】 【解析】先用完全平方公式把括号内四项分别展开：，，，．合并同类项得 ．所以原式 ． 【评分标准】按步给分：列式（或计算）正确得主要分值，过程完整、结果准确得满分． 18．（6 分）先化简，再求值：，其中 ， 满足 ． 【答案】化简得 ，值为 【解析】先化简：，，所以 ．再由非负性求 ，：，即 ，所以 ，，得 ，．当 ， 时，原式 ． 【评分标准】按步给分：列式（或计算）正确得主要分值，过程完整、结果准确得满分． 19．（6 分）利用幂的运算法则解答下列各题： （1）若 ，求 的值； 【答案】 【解析】把各因数化为以 为底的幂：．由 得 ，所以 ． （2）若 ，求 的值； 【答案】 或 【解析】由 得 ，所以 或 ．又 ，所以 ，即 ．当 时，；当 时，． （3）若 为正整数，且 ，求 的值． 【答案】 【解析】先把所求代数式化为含 的形式：，．把 代入，得原式 ． 【评分标准】按步给分：列式（或计算）正确得主要分值，过程完整、结果准确得满分． 20．（6 分）阅读材料：我们规定一种幂的新运算“⊕”：．例如：． （1）求 的值； 【答案】 【解析】按新运算的规定代入：． （2）若 ，，，求 的值； 【答案】 【解析】按新运算的规定，．由 与 逆用幂的乘方得 ；由同底数幂相乘得 ．所以 ． （3）若 ，求 的值． 【答案】 【解析】按新运算的规定，．由 得 ，所以 ． 【评分标准】按步给分：列式（或计算）正确得主要分值，过程完整、结果准确得满分． 21．（8 分）如图，用 个全等的长方形（长、宽分别为 ，，且 ）拼成一个大正方形，中间留下一个小正方形． （1）用两种不同的方法表示中间小正方形的面积，写出 ，， 之间的等量关系式； 【答案】 【解析】方法一：中间小正方形边长为 ，其面积为 ；方法二：大正方形的边长为 ，面积为 ，四周 个全等长方形的面积之和为 ，所以小正方形的面积也可表示为 ．由两种表示相等，得 ． （2）若 ，，求 的值； 【答案】 或 【解析】把（1）中的等量关系式变形得 ．代入 ，，得 ，所以 或 ． （3）若 ，，求 与 的值． 【答案】， 【解析】两式相减：，所以 ，得 ．由完全平方公式得 ． 【评分标准】按步给分：列式（或计算）正确得主要分值，过程完整、结果准确得满分． 22．（6 分）已知 ，，求下列各式的值： （1）； 【答案】 【解析】由完全平方公式的变形得 ，把 ， 代入，得 ． （2）； 【答案】 【解析】先把 化为含 与 的形式：．把 ， 代入，得 ． （3）． 【答案】 或 【解析】由完全平方公式得 ，所以 或 ． 【评分标准】按步给分：列式（或计算）正确得主要分值，过程完整、结果准确得满分． 23．（6 分）综合运用幂的运算法则解答下列各题： （1）比较 与 的大小； 【答案】 【解析】两个幂的指数都是 的倍数，逆用幂的乘方化为同指数的幂再比较底数：，．因为 ，所以 ，即 ． （2）若 ，，求 与 的值； 【答案】； 【解析】逆用同底数幂的乘法与幂的乘方：；． （3）若 ，，，求 的值． 【答案】 【解析】连续逆用幂的乘方，把三式串起来：由 得 ，即 ；所以 ，得 ． 【评分标准】按步给分：列式（或计算）正确得主要分值，过程完整、结果准确得满分． 24．（8 分）【阅读与探究】观察“杨辉三角”： 　　　　　　1 　　　　　1　　1 　　　　1　　2　　1 　　　1　　3　　3　　1 　　1　　4　　6　　4　　1 杨辉三角中第 行的各数，恰好是 展开式中各项的系数．例如： ； ； ； ． （1）请写出杨辉三角的第 行和第 行； 【答案】第 行：，，，，，；第 行：，，，，，， 【解析】杨辉三角中，除每行两端的 外，其余每个数都等于它“肩上”两数之和．由第 行 ，，，， 相加得第 行：，，，，，；再由第 行相加得第 行：，，，，，，． （2）写出 的展开式，并求该展开式中各项系数之和； 【答案】，系数之和为 【解析】由第 行的系数 ，，，，， 直接写出展开式：．求各项系数之和，只需令 ，得 ，即 ． （3）利用杨辉三角，求 的展开式中含 项的系数． 【答案】 【解析】把 看作 ，则 的展开式各项系数取自杨辉三角第 行：，，，，，，． 中各项按 的降幂排列为 ，所以含 项的系数为 ． 【评分标准】按步给分：列式（或计算）正确得主要分值，过程完整、结果准确得满分． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六章 整式的乘法【单元进阶卷】 2026~2027学年人教版八年级上册数学 考试时间：90 分钟　　满分：100 分　　卷别：单元进阶卷（第二层级测评） 适用范围：人教版八年级上册第 16 章 整式的乘法（16.1 幂的运算 — 16.3 乘法公式） 班级：＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿　学号：＿＿＿＿＿　得分：＿＿＿＿＿ 【本章考情简要分析】 本章围绕“运算”展开，形成一条清晰的升级链条：16.1 先用四条幂的运算法则（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除）建立“指数层面”的运算规则；16.2 把运算对象由“幂”扩展到“整式”，依次完成单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的推广；16.3 的乘法公式（平方差公式、完全平方公式）是整式乘法中最常用、最具生成力的两种特殊形式，既可直接用于计算，也可逆向用于变形、求值与几何解释。 本卷是本单元的第二层级测评卷。与侧重“法则是否记住、能否直接套用”的基础过关卷不同，本卷把考查重心上移到“法则能否逆用、公式能否变形”：不安排直接套用与一步口算的题目，全卷从中等题起步，集中检验三类能力——①把不同底数的幂化为同底或同指数、由幂的方程反推指数；②由整式乘法的展开结果反推参数（不含某一项、恒成立、一次项系数的确定）；③由乘法公式的变形完成整体代入、配方与非负性分析，并用面积表示代数恒等式。 难度按板块分层递进：选择题第 1—8 题、填空题第 11—14 题、解答题第 17—22 题，以法则的灵活运用与公式变形为主；每类题的最后 2 题进入综合与探究，依次落在幂的运算综合、整式乘法变形、乘法公式（平方差、完全平方）综合与“杨辉三角”拓展上，用以区分不同思维水平的学生。 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题只有一个选项是正确的） 1．已知 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．若 ，则 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．若 的展开式中不含 项和 项，则（　　） A．，　　B．，　　C．，　　D．， 4．若无论 取何值，关于 的等式 总成立，则 的值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5．设 ，，．若 ，则 的值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 6．如图，两个正方形的边长分别为 和 （），点 ，， 在同一条直线上，连接 ，．若 ，，则图中阴影部分的面积是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 7．已知 ，，则 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 8．已知 ，，．若 的值与 的取值无关，则当 时， 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 9．已知实数 ， 满足 ，则 的值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 10．已知 ，，则 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．已知 ，则 的值为　　　． 12．若 的展开式中不含 项，且常数项为 ，则 的值为　　　． 13．若 ，则 的值为　　　． 14．正方形 的周长比正方形 的周长长 ，它们的面积相差 ，则正方形 与正方形 的边长分别是　　　． 15．阅读材料：在计算 的一次项系数时，只需逐项选取一个因式中的一次项、其余因式中的常数项，再把所有这样的积相加，即 ．参考上述方法，若 的计算结果不含一次项，则 的值为　　　． 16．观察下列各式：；；；…．若 ，则 的值为　　　． 三、解答题（本题有 8 小题，共 52 分．解答应写出必要的文字说明、计算过程或推理步骤） 17．（6 分）计算： （1）； （2）． 18．（6 分）先化简，再求值：，其中 ， 满足 ． 19．（6 分）利用幂的运算法则解答下列各题： （1）若 ，求 的值； （2）若 ，求 的值； （3）若 为正整数，且 ，求 的值． 20．（6 分）阅读材料：我们规定一种幂的新运算“⊕”：．例如：． （1）求 的值； （2）若 ，，，求 的值； （3）若 ，求 的值． 21．（8 分）如图，用 个全等的长方形（长、宽分别为 ，，且 ）拼成一个大正方形，中间留下一个小正方形． （1）用两种不同的方法表示中间小正方形的面积，写出 ，， 之间的等量关系式； （2）若 ，，求 的值； （3）若 ，，求 与 的值． 22．（6 分）已知 ，，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 23．（6 分）综合运用幂的运算法则解答下列各题： （1）比较 与 的大小； （2）若 ，，求 与 的值； （3）若 ，，，求 的值． 24．（8 分）【阅读与探究】观察“杨辉三角”： 　　　　　　1 　　　　　1　　1 　　　　1　　2　　1 　　　1　　3　　3　　1 　　1　　4　　6　　4　　1 杨辉三角中第 行的各数，恰好是 展开式中各项的系数．例如： ； ； ； ． （1）请写出杨辉三角的第 行和第 行； （2）写出 的展开式，并求该展开式中各项系数之和； （3）利用杨辉三角，求 的展开式中含 项的系数． 学科网（北京）股份有限公司 $