第十五章 轴对称 单元自测卷2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十五章 轴对称 单元自测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共10题，每题2分，共20分） 1．下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A．平行四边形　　B．等腰三角形　　C．直角三角形　　D．一般梯形 2．下列图形中，对称轴最多的是（　　） A．等边三角形　　B．正方形　　C．圆　　D．正六边形 3．下面是四款人工智能大模型图标，其图案是轴对称图形的是（   ） A． B．腾讯元宝 C．微云人工智能 D．通义千问 4．如图， 中，，，沿过 B 点的直线折叠这个三角形，使点A落在边上的点E处，的周长为15，则长为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 5．对于问题：如图，已知，只用直尺和圆规判断是否为直角？小意同学的方法如图：在、上分别取、，以点为圆心，长为半径画弧，交的反向延长线于点，若测量得，则．则小意同学判断的依据是(    ) A．垂线段最短 B．等腰三角形“三线合一” C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D．等腰三角形的两个底角相等 6．点点同学在学习“生活中的轴对称”之后，对图形的变换进行操作实践． P为长方形纸片的边上一点，点E，M分别为上的动点，如图，先把纸片沿对折，点A翻折至点F：再把纸片沿对折，点B翻折至点H．当点E，M运动时，若，则的值是（   ） A．90° B．106° C．122° D．148° 7．在平面直角坐标系中，已知点、，为等腰三角形，且其面积等于面积的一半，则符合条件的点P共有（    ） A．6个 B．8个 C．10个 D．12个 8．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形底角的度数为（   ） A．24° B．66° C．66°或24° D．66°或42° 9．如图，在中，点D在边上，连接，且，直线是边的垂直平分线．若点M在直线上运动，连接，则周长的最小值为（   ） A．8 B．16 C．18 D．20 10．如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，下列结论中正确的个数是（　　） ①； ②若点D在线段的垂直平分线上，则； ③若点D为中点，则； ④若为等腰三角形，则． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11．已知点A(2,−3)与点B关于x轴对称，则点B的坐标为__________。 12．在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，则∠B=__________°。 13．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，则图中共有__________个等腰三角形。 14．如图，将一张宽度相等的纸条沿折叠，若，则的度数是__________度． 15．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，则BC=__________。 三、解答题（共8题，共65分） 16．（8分）如图，∠AOB内有一点P，分别作点P关于OA、OB的对称点P₁、P₂，连接P₁P₂分别交OA、OB于点M、N，若P₁P₂=8，求△PMN的周长。 17．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． (1)在图中画出关于x轴对称的图形； (2)在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是__________，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为__________． 18．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD。求证：AD⊥BC。 19．（7分）实验操作： 如图1，将两个含角的全等的三角尺摆放在一起，你能通过实验操作，借助这个图形，找到的直角边与斜边之间的数量关系．教材中有这样的结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． (1)请结合图2，已知：在中，，，求证：． (2)实践思考：如图3，四边形是一张长方形纸片，将纸片折叠，使点A与点D，点B与点C重合，得到折痕后再把纸片展平；在上选一点P，沿折叠，使点D恰好落在折痕上的点M处．求证：． (3)拓展运用：如图4，已知三角形衣架中，，，求的面积． 20．（8分）如图，为等边三角形，，，求的度数． 21．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，连接AD。 (1)求证：AD=BD； (2)求∠CAD的度数。 22．（9分）在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于轴对称的（其中，，分别是A、B、C的对应点，不写画法）； (2)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有 个． 23．（9分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−2,3)、B(−4,1)、C(−1,1)。 (1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A₁B₁C₁，并写出A₁、B₁、C₁的坐标； (2)画出△ABC关于x轴对称的图形△A₂B₂C₂，并写出A₂的坐标。 第十五章 轴对称 单元自测卷 参考答案 1. 【答案】B 解题步骤： ① 轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合。 ② 等腰三角形沿底边上的中线（高）折叠，两旁完全重合，是轴对称图形；平行四边形、直角三角形、一般梯形不一定对称。 ③ 所以选B。 【知识点睛】轴对称图形定义：沿对称轴折叠能完全重合；等腰三角形是轴对称图形（对称轴为底边上的高线）。 2. 【答案】C 解题步骤： ① 对称轴数量：等边三角形有3条，正方形有4条，正六边形有6条，圆有无数条。 ② 圆的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，对称轴最多。 ③ 所以选C。 【知识点睛】对称轴：等边三角形3条、正方形4条、正六边形6条、圆有无数条（任意直径所在直线）。 3. 【答案】C 解题步骤： ① 轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合。 ② A、B、D 三个图标折叠后左右不能完全重合，不是轴对称图形。 ③ C 沿竖直中轴线折叠左右完全重合，是轴对称图形，选 C。 【知识点睛】轴对称图形的判断：找一条对称轴，沿它折叠，看两旁部分能否完全重合；图形沿某条直线对折后完全重合即为轴对称图形。 4. 【答案】C 解题步骤： ① 由折叠可知，点 A 与点 E 关于直线 BD 对称，所以 AD=DE，BE=AB=14。 ② 在 △CDE 中，CD+DE=CD+AD=AC=12，所以 CE=△CDE 的周长−(CD+DE)=15−12=3。 ③ BC=BE+CE=14+3=17，选 C。 【知识点睛】折叠（轴对称）的性质：对应点连线被对称轴垂直平分，对应线段相等（AD=DE、BE=AB）。解题关键是利用折叠相等关系进行线段等量代换，再用周长公式求未知边。 5. 【答案】B 解题步骤： ① 小意在 OA、OB 上取 C、D，使 OC=OD；以 C 为圆心 CD 为半径画弧交 OB 反向延长线于 E，OE=OD。 ② 由 OC=OD=OE，得点 D、E 关于点 O 对称，CD=CE（半径），△CDE 是等腰三角形，且 O 是 DE 的中点。 ③ 等腰三角形底边中线就是高（三线合一），所以 CO⊥DE，∠AOB=90°，依据是等腰三角形“三线合一”，选 B。 【知识点睛】等腰三角形“三线合一”：底边上的中线、高和顶角平分线重合。判断直角时，构造等腰三角形并利用中点证明垂直。 6. 【答案】B 解题步骤： ① 设 ∠APE=∠FPE=α，∠BPM=∠HPM=β（折叠前后对应角相等）。 ② ∠EPM=∠FPE+∠FPH+∠HPM=α+β+32°。 ③ 由 ∠APE+∠EPM+∠BPM=180°（平角），得 α+(α+β+32°)+β=180°，即 2(α+β)=148°，α+β=74°。 ④ 所以 ∠EPM=α+β+32°=74°+32°=106°，选 B。 【知识点睛】折叠的性质：折叠前后对应角相等；平角为 180°。设折叠角为未知数，利用“一条直线上三个角之和为 180°”列方程，先求 α+β 再求目标角。 7. 【答案】C 解题步骤： ① S△AOB=×3×4=6，△POA 面积等于其一半为 3；△POA 以 OA 为底，高=|y_P|，所以 |y_P|×3÷2=3，得 y_P=±2，点 P 在直线 y=2 或 y=−2 上。 ② OA 的垂直平分线 x= 与两直线的交点有 2 个；以 O 为圆心、OA=3 为半径画弧与两直线交点共 4 个；以 A 为圆心、OA=3 为半径画弧与两直线交点共 4 个。 ③ 合计 2+4+4=10 个符合条件的点 P，选 C。 【知识点睛】等腰三角形存在性问题：按“顶点分情况”——OA 为底（垂直平分线上点）与 OA 为腰（以 O 或 A 为圆心画弧）；面积条件先把点限制在固定高度的直线上，再数交点个数。 8. 【答案】C 解题步骤： ① 一腰上的高与另一腰的夹角为 42°，即 ∠ABD=42°（D 在另一腰 AC 上，BD⊥AC）。 ② 在 Rt△ABD 中，∠BAD=90°−42°=48°。 ③ 若 △ABC 为锐角三角形，底角 ∠ABC=∠C=(180°−48°)÷2=66°；若 △ABC 为钝角三角形，∠BAD=48° 是底角的 2 倍，底角=48°÷2=24°。所以底角为 66° 或 24°，选 C。 【知识点睛】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角已知时，需分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论：锐角时高在形内，钝角时高在形外；分别计算底角。 9. 【答案】C 解题步骤： ① 点 M 在直线 EF（AC 的垂直平分线）上运动，由垂直平分线性质得 CM=AM。 ② △CDM 的周长=CD+CM+DM=5+AM+DM，要使周长最小，只需 AM+DM 最小。 ③ 当 A、M、D 三点共线时，AM+DM=AD=13 最小，周长最小值为 13+5=18，选 C。 【知识点睛】垂直平分线上的点到线段两端点距离相等：CM=AM 把动点问题转化为求折线最小值；“两点之间线段最短”，A、M、D 共线时 AM+DM 最小。 10. 【答案】C 解题步骤： ① 由三角形外角性质 ∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，且 ∠ADE=∠B=30°，得 ∠BAD=∠CDE，①正确。 ② 点 D 在 AE 的垂直平分线上，则 DA=DE，∠DAE=∠DEA。设 ∠CDE=∠BAD=α，∠DEA=∠CDE+∠C=α+30°，∠DAE=120°−α，由相等解得 α=45°，此时 ∠BDA=∠CED=105°，且 AD=DE、∠BAD=∠CDE，△ABD≌△DCE，得 AB=DC，②正确。 ③ 点 D 为 BC 中点时，AB=AC 三线合一得 AD⊥BC，∠BAD=60°，∠CED=90°，DE⊥AC，③正确。 ④ 若 △ADE 为等腰三角形：∠DAE=120°−α，∠ADE=30°，∠DEA=α+30°。AD=AE 时 α=0°不合题意；AD=DE 时 α=45°；AE=DE 时 α=90°。∠BAD 为 45° 或 90°，不是只有 45°，④错误。 综上①②③正确，选 C。 【知识点睛】综合考查：三角形外角性质、线段垂直平分线性质、等腰三角形“三线合一”、三角形内角和与全等三角形判定（AAS）。多结论问题逐一验证，注意“等腰三角形”需分三种情况讨论，不能漏解。 11. 【答案】(2,3) 解题步骤： ① 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数。 ② 点A(2,−3)的纵坐标−3的相反数为3，所以点B的坐标为(2,3)。 ③ 所以点B为(2,3)。 【知识点睛】坐标轴对称规律：关于x轴对称横坐标不变、纵坐标变号；关于y轴对称纵坐标不变、横坐标变号。 12. 【答案】50° 解题步骤： ① AB=AC，△ABC是等腰三角形，底角相等：∠B=∠C。 ② 由内角和：∠B+∠C=180°−∠A=180°−80°=100°，∠B=100°÷2=50°。 ③ 所以∠B=50°。 【知识点睛】等腰三角形性质：等边对等角（两底角相等）；三角形内角和为180°，顶角已知时底角=(180°−顶角)÷2。 13. 【答案】3 解题步骤： ① AB=AC，∠A=36°，底角∠ABC=∠C=(180°−36°)÷2=72°。 ② BD平分∠ABC，∠ABD=∠DBC=36°。△ABD中∠A=∠ABD=36°，AD=BD，△ABD是等腰三角形。 ③ △BCD中，∠DBC=36°，∠C=72°，∠BDC=72°，BD=BC，△BCD也是等腰三角形；加上△ABC，共3个等腰三角形。 【知识点睛】等腰三角形判定：等角对等边；含36°、72°的三角形是典型等腰结构，逐三角形找等角确定等腰。 14. 【答案】125 解题步骤： ① ∠1 与 ∠5 是邻补角，∠1+∠5=180°，所以 ∠5=180°−110°=70°。 ② 由折叠可知 ∠3=∠4，又 ∠3+∠4+∠5=180°（平角），所以 ∠3=∠4=(180°−70°)÷2=55°。 ③ 纸条上下边平行，∠2 与 ∠3 是同旁内角互补，∠2=180°−∠3=180°−55°=125°。 【知识点睛】折叠的性质：折叠前后对应角相等；平行线性质：两直线平行，同旁内角互补；邻补角之和为 180°。利用折叠把已知角转移到相邻角，再借助平行关系求目标角。 15. 【答案】5 解题步骤： ① 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ② ∠A=30°，它所对的直角边是BC，BC=AB÷2=10÷2=5。 ③ 所以BC=5。 【知识点睛】含30°角的直角三角形性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半；先确定哪个角是30°及它所对的边。 16. 【答案】8 解题步骤： ① P₁是点P关于OA的对称点，点M在对称轴OA上，由轴对称性质：PM=P₁M。 ② P₂是点P关于OB的对称点，点N在对称轴OB上，由轴对称性质：PN=P₂N。 ③ △PMN的周长=PM+MN+PN=P₁M+MN+P₂N=P₁P₂=8。 【知识点睛】轴对称性质：对称轴上的点到一对对称点的距离相等；把折线PM+MN+PN的长度转化为线段P₁P₂的长，实现“化折为直”。 17. 【答案】(1) 作图见解析；(2) y 轴，(−2,3) 解题步骤： ① (1) 关于 x 轴对称，横坐标相同、纵坐标互为相反数：A₁(1,−1)、B₁(4,−2)、C₁(2,−3)，在坐标系中描点并顺次连接得 △A₁B₁C₁。 ② (2) B(4,2) 与 B₂(−4,2) 横坐标互为相反数、纵坐标相同，所以它们关于 y 轴对称，对称轴是 y 轴。 ③ (2) C(2,3) 关于 y 轴对称，横坐标取相反数、纵坐标不变，得 C₂(−2,3)。 【知识点睛】坐标轴对称规律：关于 x 轴对称（x 不变、y 变号），关于 y 轴对称（y 不变、x 变号）。由一对对称点确定对称轴，再求其余点的对称坐标。 18. 【答案】证明见解析 解题步骤： ① AB=AC，△ABC是等腰三角形。 ② D是BC的中点，AD是BC边上的中线。 ③ 等腰三角形三线合一：底边上的中线垂直于底边，所以AD⊥BC。 【知识点睛】等腰三角形三线合一：底边上的中线、高和顶角平分线互相重合；由“等腰+中线”直接推出垂直。 19. 【答案】(1) 证明见解析；(2) 证明见解析；(3) 100cm² 解题步骤： ① (1) 证明：延长 BC 至 D，使 CD=BC，连接 AD。在 △ACD 与 △ACB 中，AC=AC、CD=CB、∠ACD=∠ACB=90°，所以 △ACD≌△ACB（SAS），AD=AB。 ② (1) ∠DAB=∠DAC+∠CAB=30°+30°=60°，且 AD=AB，所以 △ABD 是等边三角形，BD=AB；而 BD=2BC，所以 2BC=AB，即 BC=AB。 ③ (2) 由第一次折叠知 EF 是 AD 的中点线且 EF⊥AD；沿 AP 折叠 △ADP，得 △AMP≌△ADP，所以 AM=AD、∠PAM=∠PAD。设 M 到 AD 的竖直距离为 （M 在 EF 上），在 Rt△AMN 中 cos∠MAD=)÷AD=，所以 ∠MAD=60°，∠PAM=30°，在 Rt△PMA 中 PM=PA。 ④ (3) 过 C 作 CD⊥BA 交 BA 的延长线于 D。AB=AC=20cm，∠ABC=∠ACB=15°，所以 ∠DAC=30°，CD=AC=10cm，S△ABC=×AB×CD=×20×10=100cm²。 【知识点睛】含 30° 角的直角三角形性质：30° 角所对的直角边等于斜边的一半（可用等边三角形证明）；折叠是轴对称，对应边相等、对应角相等；求面积时先作高，利用 30° 角求出高再代面积公式。 20. 【答案】75° 解题步骤： ① △ABC 为等边三角形，∠ACB=60°；BC⊥CD，∠BCD=90°，所以 ∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+90°=150°。 ② AC=CD，△ACD 是等腰三角形，∠CAD=∠D=(180°−∠ACD)÷2=(180°−150°)÷2=15°。 ③ 在 Rt△CED 中，∠D=15°，∠CED=90°−∠D=90°−15°=75°。所以 ∠CED 的度数为 75°。 【知识点睛】等边三角形三内角都是 60°；等腰三角形等边对等角；直角三角形两锐角互余。由已知角逐步推出 ∠ACD，再用等腰三角形求 ∠D，最后在直角三角形中求 ∠CED。 21. 【答案】(1)证明见解析；(2)30° 解题步骤： ① (1)DE是AB的垂直平分线，点D在垂直平分线上，所以AD=BD（垂直平分线性质）。 ② (2)AB=AC，∠B=∠C=(180°−∠BAC)÷2=(180°−120°)÷2=30°。 ③ (1)AD=BD，∠DAB=∠B=30°（等边对等角）。 ④ (2)∠CAD=∠BAC−∠DAB=120°−30°=90°。 【知识点睛】垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等（AD=BD）；等腰三角形等边对等角；由顶角求底角再用角差求目标角。 22. 【答案】(1) 作图见解析；(2) 10 解题步骤： ① (1) 关于 y 轴对称，纵坐标不变、横坐标取相反数，分别作 A、B、C 的对称点 A′、B′、C′ 并顺次连接。 ② (2) 以 BC 为底的等腰三角形：作 BC 的垂直平分线，与坐标轴交点有 2 个；以 B 为圆心、BC 为半径画圆与坐标轴交点、以 C 为圆心、BC 为半径画圆与坐标轴交点。 ③ (2) 数出所有交点（去掉重合与不合条件的点）共 10 个，所以符合条件的 Q 点有 10 个。 【知识点睛】等腰三角形顶点个数问题：BC 为底时顶点在 BC 的垂直平分线上；BC 为腰时分别以 B、C 为圆心画弧；计数时注意圆与坐标轴的交点个数，去掉重复点。 23. 【答案】(1) A₁(2,3)、B₁(4,1)、C₁(1,1)；(2) A₂(−2,−3) 解题步骤： ① (1)关于y轴对称：横坐标取相反数、纵坐标不变。A(−2,3)→A₁(2,3)，B(−4,1)→B₁(4,1)，C(−1,1)→C₁(1,1)。 ② (1)在坐标系中描出A₁、B₁、C₁并顺次连接，得△A₁B₁C₁。 ③ (2)关于x轴对称：横坐标不变、纵坐标取相反数。A(−2,3)→A₂(−2,−3)。 【知识点睛】坐标轴对称规律：关于y轴对称横坐标变号纵坐标不变；关于x轴对称纵坐标变号横坐标不变；作图先写对称点坐标再描点连线。 学科网（北京）股份有限公司 $