第十三章 三角形（单元自测卷·内蒙古专用）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 适用于八年级上册三角形单元复习，以生活情境、传统文化及动态探究为载体，覆盖三角形核心知识，梯度设计契合单元复习需求，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|三边关系、稳定性、内角和计算|第2题空调安装体现三角形稳定性（现实应用）| |填空题|4/12|等腰三角形周长、中线性质|第12题结合《周礼考工记》角的计算（文化传承）| |解答题|6/64|飞镖模型、动态旋转、翻折问题|第18题飞镖模型探究培养模型意识（创新应用）|

2026-2027学年八年级上册数学单元自测(内蒙古专用) 第十三章 三 角 形 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2.空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是(    ) A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 垂线段最短 3.在中，，，则等于  (    ) A. B. C. D. 4.如图，处在处的北偏西方向，处在处的北偏西方向，则的度数为(    ) A. B. C. D. 5.如图，有一块厚薄均匀的硬纸板被分为的正方形网格，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起若三角形硬纸板处于平衡状态，利用格点的性质可知这一点是(    ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 6.如图，是的中线，是上一点，，连接并延长交于点若的面积为，则的面积是(    ) A. B. C. D. 7.静止在斜坡上的小正方体木块的受力情况如图所示，其中摩擦力的方向，支持力的方向，重力的方向若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，沿将此三角形翻折，交于点，又沿再一次翻折，点落在上的点处，此时，则原三角形的的度数为  (    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.等腰三角形的两边长，满足，则这个等腰三角形的周长为          ． 10.如图，在中，，，是的中线，且把的周长分为两部分，若两部分的差为，则的长度为          ． 11.如图，，点，在的两条边上运动，和的平分线交于点，则在点，的运动过程中，的度数为          ． 12.周礼考工记中记载：“半短谓之宣，一宣有半谓之橘”意思是：“直角的一半的角叫作宣，一宣半的角叫作橘”宣矩，橘宣，矩 问题：图为中国古代一种强弩图，图为这种强弩图的部分组件的示意图若矩，橘，则          ． 3、 解答题：本题共6小题，共64分。 13.10分如图，为的中线，为的中线． ，，求的度数； 在中作边上的高； 若的面积为，，则点到边的距离为多少？ 14.7分如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，且与的长的和为． 求，的长． 求边的长的取值范围． 15.10分 如图，点在上，点在上，，相交于点． 若，，，求的度数 试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 16.12分 如图，是的高线，为边上的一点，连接交于点，，． 求的度数． 若平分，求的度数． 17.12分取一副三角尺按图拼接，固定三角尺，将三角尺绕点按顺时针方向旋转得到，如图所示设． 当时，求证： 连接，当时，的度数是否变化，若变化，求出变化范围若不变，求出其度数． 18.13分【问题背景】研究了三角形的内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角之间的数量关系． 如图，探究，，，之间的数量关系，并证明． 请利用上述结论，完成下面的问题： 【类比探究】 如图，已知，，求的度数 【拓展延伸】 如图，已知，，，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测（内蒙古专用） 第十三章三角形（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 C C B B A D 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 9. 22 10. 8 11. 130° 12. 22.5° 三、解答题（共6小题，共64分） 13.(10分) 【详解】 解：(I),'∠BED是△ABE的一个外角， .∠BED=∠ABE+∠BAD=15+35°=50°.3分 (2)解：如图，线段F即为所求.· 5分 DE C (3)解：，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线， 6分 BD=5, 1/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 SAED5BD·EP 7分 即2×5EF=4, 8分 解得EF= 5 …….9分 8 “点E到边BC的距离为 10分 14.(7分) 【详解】 (1)解： AD是边BC上的中线， .BD=CD.2分 由题意， (AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=2,AB+AC=10,...........3 .∴.AB=6,AC=4. 4分 (2).AB=6,AC=4, .6-4<BC<6+4,6分 即2<BC<10. 040iit4n60004,7 15.(10分) 【详解】 (1).'∠A=50°，∠C=25, .2BD0∠A+∠C75 3分 .2B180°2BD0-∠B0D180757035 5分 (2)猜想：∠B0C-∠A+人B+∠C7分 证明：.'∠BDO=∠A+∠C,∠BOC-∠BDO+∠B, .∠B0CA+B+C.10分 16.(12分) 2/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】 (I):∠BCD=10°，∠AEB=75°，∠AEB=∠BCD+∠CFE, .∠CFE=750-10°=650,2分 ∴.∠AFD=∠CFE=65°， 3分 CD是△ABC的高线， .LADC=90°，5分 .∠BAE叶∠AFD=90°，.6分 ∴.∠BAE=90°-65°=25°. 7分 (2)AE平分∠BAC, .∴.∠BAC=2∠BAE=50°， ∴.∠ACD=90°-∠DAC=40°. 12分 17.(12分) 【详解】 (1)【证明】 ∠BAC=∠BAC-∠CAC=45°-15=30°， BAC=C-30 2分 .AB//CD...... 3分 (2)【解】 当0°<a≤45时，∠DBC+∠CAC+∠BDC的度数不变，为105°..5分 连接CC,设DC,BC交于点O,6分 如图.在△BDO和△OCC中，∠BOD=∠COC, .BD0+2DB0-2oCc+20cC.… 9分 .∴.∠DBC+∠CAC+∠BDC =∠BDO+a+∠DBO =ㄥOCC+ㄥOCC+a =180°-45°-30 3/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 f1051…11分 即当0°<Q≤45°时，∠DBC+∠CAC+∠BDC的度数不变，为105°12分 B 18.(13分) 【详解】 (I)解：∠ABC=∠A+∠ADC+∠C.2分 证明如下：如图，连接DB,并延长至点E, B D C ·.·∠ABE=∠A+∠ADB,∠CBE=∠C+∠CDB,∠ABC-∠ABE+∠CBE, ∴.∠ABC∠A+∠ADB+∠CDB+∠C, 2ABC=A+ADC+C. 5分 (2)①如图，连接CF, .6分 4/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C B F E 由(I)可知∠B=∠A+∠AFC+∠BCF,∠D=∠E+∠EFC+∠DCF, .·∠A+∠BCD+∠E=90°，∠B+∠D=150°， .1502A+∠AC+2BCP+∠E+2EC+∠DCF=2A+2BCD+∠B+2APE90+∠AE8分 fE09分 ②如图，在射线EN上取一点P,连接AP10分 A M 2 B 3 D 由可知∠B+∠D=150°=∠1+∠3+∠C+∠E. .·C+∠E-50, ∠1∠3=10011分 .AM//EN, 22 3, 12分 ∠ ∴.∠1+∠2=100°， 516 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠NMAB-100013分 6/6 2026-2027学年八年级上册数学单元自测(内蒙古专用) 第十三章 三 角 形 建议用时：90分钟，满分：100分 1、 选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，核心判定依据：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 【详解】 A. 1+2=3，两边之和等于第三边，不能组成三角形； B. 1+2＜4，两边之和小于第三边，不能组成三角形； C. 2+3＞4，2+4＞3，3+4＞2，满足三边关系，能组成三角形； D. 2+2=4，两边之和等于第三边，不能组成三角形。 故选：C。 2.空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是(    ) A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 垂线段最短 【答案】C 【分析】本题考查三角形的几何性质，区分直线、线段、垂线段、三角形稳定性的实际应用。 【详解】 空调支架固定后形成三角形结构，利用了三角形具有稳定性的几何原理，可固定物体不易变形。 故选：C。 3.在中，，，则等于  (    ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形内角和为180°，通过联立角度关系式求解未知角。 【详解】 在△ABC中，∠C=55°， ∴ ∠A+∠B=180°−∠C=180°−55°=125°， 又∠A−∠B=35°， 两式相减得：2∠B=90°，解得∠B=45°。 故选：C。 4.如图，处在处的北偏西方向，处在处的北偏西方向，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查方位角与三角形内角计算，结合平行线性质、三角形内角和求解角度。 【详解】 由题意得：B地正北方向与A地正北方向互相平行， C在B北偏西40°，C在A北偏西75°， 可得∠ABC=50°，∠BAC=35°， ∴ ∠ACB=180°−50°−95°=35°。 故选：B。 5.如图，有一块厚薄均匀的硬纸板被分为的正方形网格，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起若三角形硬纸板处于平衡状态，利用格点的性质可知这一点是(    ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【分析】本题考查三角形重心的定义，三角形悬挂平衡的点为重心，即三条中线的交点。 【详解】 三角形重心是三角形三条中线的交点，也是三角形的几何中心，物体悬挂平衡时，悬挂点必为重心，结合格点位置可知对应点为C。 故选：C。 6.如图，是的中线，是上一点，，连接并延长交于点若的面积为，则的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查三角形中线与面积关系，等高三角形面积比等于底边长之比，中线平分三角形面积。 【详解】 ∵ OB=2OD，△ABO与△ADO等高， ∴ S△ABO=2S△ADO，已知S△ABO=2，则S△ADO=1， ∴ S△ABD=S△ABO+S△ADO=3。 ∵ BD是△ABC的中线，∴ S△ABC=2S△ABD=6。 故选：B。 7.静止在斜坡上的小正方体木块的受力情况如图所示，其中摩擦力的方向，支持力的方向，重力的方向若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查直角、平行线性质与角度推导，结合垂直定义、三角形内角和转化角度。 【详解】 由题意：OF₁∥AC，OF₂⊥OF₁，OF₃⊥AB，∠A=α， 根据平行线性质与垂直角度转化，可得∠F₂OF₃=180°−α。 故选：A。 8.如图，在中，，沿将此三角形翻折，交于点，又沿再一次翻折，点落在上的点处，此时，则原三角形的的度数为  (    ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查三角形折叠性质与角度综合计算，折叠前后对应角相等，结合三角形内角和、外角性质求解。 【详解】 由两次折叠性质可知，角度等量关系统一，设∠C=x， 结合∠A=20°，∠C'DB=74°，利用三角形内角和与折叠等角代换， 逐步推导得：∠C=79°。 故选：D。 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.等腰三角形的两边长，满足，则这个等腰三角形的周长为          ． 【答案】22 【分析】本题考查非负数性质与等腰三角形三边分类讨论，绝对值与平方数均为非负数，非负数和为0则各项为0，再结合三边关系验证。 【详解】 ∵ |a−4|+(b−9)²=0，且|a−4|≥0，(b−9)²≥0， ∴ a−4=0，b−9=0，即a=4，b=9。 ① 若腰长为4，三边长为4、4、9，4+4＜9，无法构成三角形，舍去； ② 若腰长为9，三边长为9、9、4，满足三边关系，周长=9+9+4=22。 故答案为：22。 10.如图，在中，，，是的中线，且把的周长分为两部分，若两部分的差为，则的长度为          ． 【答案】8 【分析】本题考查三角形中线定义与周长差问题，中线平分底边，周长差即为腰长之差。 【详解】 ∵ AD是△ABC中线，∴ BD=CD， 两部分周长差：(AB+AD+BD)−(AC+AD+CD)=AB−AC， 已知周长差为3cm，AC=5cm，AB＞AC， ∴ AB−5=3，解得AB=8cm。 故答案为：8。 11.如图，，点，在的两条边上运动，和的平分线交于点，则在点，的运动过程中，的度数为          ． 【答案】130° 【分析】本题考查三角形内角和与角平分线性质，利用角平分线拆分角度，结合内角和公式推导定值。 【详解】 在△MON中，∠MON=80°，∴ ∠OAB+∠OBA=180°−80°=100°， ∵ AC、BC分别平分∠OAB、∠OBA， ∴ ∠CAB+∠CBA=1/2(∠OAB+∠OBA)=50°， ∴ ∠BCA=180°−50°=130°。 故答案为：130°。 12.周礼考工记中记载：“半短谓之宣，一宣有半谓之橘”意思是：“直角的一半的角叫作宣，一宣半的角叫作橘”宣矩，橘宣，矩 问题：图为中国古代一种强弩图，图为这种强弩图的部分组件的示意图若矩，橘，则          ． 【答案】22.5° 【分析】本题考查新定义角度换算与三角形内角和，先根据题意换算角度，再利用三角形内角和求未知角。 【详解】 由题意：1矩=90°，1宣=1/2矩=45°， 1橘=1.5宣=67.5°，即∠A=90°，∠B=67.5°， ∴ ∠C=180°−90°−67.5°=22.5°。 故答案为：22.5°。 三、解答题：本题共6小题，共64分。 13.10分 如图，为的中线，为的中线． ，，求的度数； 在中作边上的高； 若的面积为，，则点到边的距离为多少？ 【答案】 (1) 解：∵∠BED是△ABE的一个外角， ∴∠BED＝∠ABE+∠BAD＝15°+35°＝50°．  (2)解：如图，线段EF即为所求.   (3)解：∵AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线， ∴． ∵BD＝5， ∴， 即， 解得． ∴点E到边BC的距离为．  14.7分如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，且与的长的和为． 求，的长． 求边的长的取值范围． 【答案】 (1) 解： ∵AD是边BC上的中线， ∴BD＝CD． 由题意，得(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)＝AB-AC＝2，AB+AC＝10， ∴AB＝6，AC＝4．  (2)∵AB＝6，AC＝4， ∴6-4＜BC＜6+4， 即2＜BC＜10．  15.10分 如图，点在上，点在上，，相交于点． 若，，，求的度数 试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】 (1)A=,C=, BDO=A+C=, B=-BDO-BOD=--=. (2)猜想:BOC=A+B+C. 证明:BDO=A+C,BOC=BDO+B, BOC=A+B+C. 16.12分 如图，是的高线，为边上的一点，连接交于点，，． 求的度数． 若平分，求的度数． 【答案】 (1) ∵∠BCD＝10°，∠AEB＝75°，∠AEB＝∠BCD+∠CFE， ∴∠CFE＝75°-10°＝65°， ∴∠AFD＝∠CFE＝65°， ∵CD是△ABC的高线， ∴∠ADC＝90°， ∴∠BAE+∠AFD＝90°， ∴∠BAE＝90°-65°＝25°．  (2)∵AE平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠BAE＝50°， ∴∠ACD＝90°-∠DAC＝40°．  17.12分 取一副三角尺按图拼接，固定三角尺，将三角尺绕点按顺时针方向旋转得到，如图所示设． 当时，求证： 连接，当时，的度数是否变化，若变化，求出变化范围若不变，求出其度数． 【答案】 (1) 【证明】 BAC=BA-CA=-=, BAC=C=. AB//CD.  (2)【解】 当<时,DB+CA+BDC的度数不变,为. 连接C,设DC,B交于点O, 如图.在BDO和OC中,BOD=CO, BDO+DBO=OC+OC. DB+CA+BDC =BDO++DBO =OC+OC+ =-- =, 即当<时,DB+CA+BDC的度数不变,为105°. 18.13分 【问题背景】研究了三角形的内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角之间的数量关系． 如图，探究，，，之间的数量关系，并证明． 请利用上述结论，完成下面的问题： 【类比探究】 如图，已知，，求的度数 【拓展延伸】 如图，已知，，，求的度数． 【答案】(1)解:ABC=A+ADC+C. 证明如下:如图,连接DB,并延长至点E, ABE=A+ADB,CBE=C+CDB,ABC=ABE+CBE, ABC=A+ADB+CDB+C, ABC=A+ADC+C. (2)①如图,连接CF, 由(1)可知B=A+AFC+BCF,D=E+EFC+DCF, A+BCD+E=,B+D=, =A+AFC+BCF+E+EFC+DCF=A+BCD+E+AFE=+AFE, AFE=. ②如图,在射线EN上取一点P,连接AP, 由可知B+D==1+3+C+E. C+E=,1+3=. AM//EN,2=3, 1+2=,MAB=. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测(内蒙古专用) 第十三章 三 角 形 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2.空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是(    ) A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 垂线段最短 3.在中，，，则等于  (    ) A. B. C. D. 4.如图，处在处的北偏西方向，处在处的北偏西方向，则的度数为(    ) A. B. C. D. 5.如图，有一块厚薄均匀的硬纸板被分为的正方形网格，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起若三角形硬纸板处于平衡状态，利用格点的性质可知这一点是(    ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 6.如图，是的中线，是上一点，，连接并延长交于点若的面积为，则的面积是(    ) A. B. C. D. 7.静止在斜坡上的小正方体木块的受力情况如图所示，其中摩擦力的方向，支持力的方向，重力的方向若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，沿将此三角形翻折，交于点，又沿再一次翻折，点落在上的点处，此时，则原三角形的的度数为  (    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.等腰三角形的两边长，满足，则这个等腰三角形的周长为          ． 10.如图，在中，，，是的中线，且把的周长分为两部分，若两部分的差为，则的长度为          ． 11.如图，，点，在的两条边上运动，和的平分线交于点，则在点，的运动过程中，的度数为          ． 12.周礼考工记中记载：“半短谓之宣，一宣有半谓之橘”意思是：“直角的一半的角叫作宣，一宣半的角叫作橘”宣矩，橘宣，矩 问题：图为中国古代一种强弩图，图为这种强弩图的部分组件的示意图若矩，橘，则          ． 3、 解答题：本题共6小题，共64分。 13.10分如图，为的中线，为的中线． ，，求的度数； 在中作边上的高； 若的面积为，，则点到边的距离为多少？ 14.7分如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，且与的长的和为． 求，的长． 求边的长的取值范围． 15.10分 如图，点在上，点在上，，相交于点． 若，，，求的度数 试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 16.12分 如图，是的高线，为边上的一点，连接交于点，，． 求的度数． 若平分，求的度数． 17.12分取一副三角尺按图拼接，固定三角尺，将三角尺绕点按顺时针方向旋转得到，如图所示设． 当时，求证： 连接，当时，的度数是否变化，若变化，求出变化范围若不变，求出其度数． 18. 13分 【问题背景】研究了三角形的内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角之间的数量关系． 如图，探究，，，之间的数量关系，并证明． 请利用上述结论，完成下面的问题： 【类比探究】 如图，已知，，求的度数 【拓展延伸】 如图，已知，，，求的度数． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $