第十四章 全等三角形 单元自测卷 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十四章 全等三角形 单元自测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共10题，每题2分，共20分） 1．如图，已知，则根据图中提供的信息，可得的值为（   ） A．30 B．27 C．32 D．40 2．下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（　　） A．三边分别相等　　B．两边及夹角分别相等　　C．两角及夹边分别相等　　D．两边及其中一边的对角分别相等 3．在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E，判定△ABC≌△DEF的依据是（　　） A．SSS　　B．SAS　　C．ASA　　D．AAS 4．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF，判定△ABC≌△DEF的依据是（　　） A．SSS　　B．SAS　　C．AAS　　D．HL 5．OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，则下列结论错误的是（　　） A．PC=PD　　B．∠CPO=∠DPO　　C．OC=OD　　D．OP=PC+PD 6．AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE，点B、D、E、C在同一直线上，则下列结论：①BD=CE；②∠ABD=∠ACE；③AD=BC。其中正确的有（　　） A．0个　　B．1个　　C．2个　　D．3个 7．在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠C=∠F，则下列结论：①AB=DE；②∠A=∠D；③∠B=∠E。其中正确的有（　　） A．0个　　B．1个　　C．2个　　D．3个 8．如图，，，于D，于E，且．若，，则的长是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．如图，在和中，，，，．连接交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④，⑤其中正确的结论个数有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 10．下列说法正确的是（　　） A．两个周长相等的三角形全等　　B．两个面积相等的三角形全等　　C．两个全等三角形的周长相等　　D．两个等底等高的三角形全等 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11．如图，AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE，则△ABC≌△ADE，判定依据是__________。 12．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若DE=3，则DF=__________。 13．已知△ABC≌△DEF，若AB=5，BC=7，AC=9，则△DEF的周长为__________。 14．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，AC=CB，点A的坐标为(0,5)，点C的坐标为(2,0)，过点B作BE⊥x轴于点E，则点B的坐标为__________。 15．如图分别平分，则下列说法中正确的是___________． ①若，则；②；③；④． 三、解答题（共8题，共65分） 16．（8分）如图，AB=AD，CB=CD。求证：△ABC≌△ADC。 17．（8分）如图，AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，点F是CD的中点。求证：AF⊥CD。 18．（8分）如图，已知∠AOB=90°，OM平分∠AOB，将三角板的直角顶点P放在射线OM上，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D。求证：PC=PD。 19．（7分）如图，点、、、在同一条直线上，，，，．求证：． 20．（8分）如图，已知（点A、B、E的对应点分别为点A、C、D）． (1)若，，则________； (2)若，，求的度数． 21．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F。求证：BE=CF。 22．（9分）如图，点A、E、F、C在同一直线上，AD∥BC，AD=CB，AE=CF。求证：△ADF≌△CBE。 23．（9分）下面为某班级在完成项目式学习“测量旗杆的高度”之后撰写的项目活动报告，根据报告内容完成相应任务： 项目主题 测量旗杆的高度 驱动问题 能利用哪些数学原理来测量旗杆的高度 测量方案 测量示意图 测量方法 第一步，如图1，测量员从旗杆的底部沿直线远离旗杆到达点，在点处用测角仪测出旗杆顶端的仰角为（即），同时用皮尺量出的距离和测角仪的高度． 第二步，在地面上找一点，以为顶点画，在边上量取，得到点；利用三角板过点作的垂线，与交于点，得到． 第三步，测量的长度，即可得到旗杆的高度 测量数据 ，， 结果 …… 成果展示 …… 评价反思 …… 任务： (1)该项目中，测量旗杆高度主要运用的数学原理是__________． A．三角形内角和定理     B．平行线的性质     C．全等三角形的判定与性质 (2)求旗杆的高度． (3)对本次项目式学习的“评价反思”，写出一条意见或建议． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 第十四章 全等三角形 单元自测卷 参考答案 1. 【答案】A 解题步骤： ① △ABC≌△DEF，对应角相等：∠B=50° 对应 ∠E，∠C=60° 对应 ∠F，∠A=70° 对应 ∠D=70°。 ② 对应顶点 A↔D、B↔E、C↔F，所以对应边 BC 对应 EF。 ③ 图中 BC=30，故 EF=x=30，选 A。 【知识点睛】全等三角形对应边相等、对应角相等；按对应顶点确定对应边，图中标出的长度直接对应。 2. 【答案】D 解题步骤： ① 三角形全等判定方法有：SSS（三边相等）、SAS（两边及夹角相等）、ASA（两角及夹边相等）、AAS（两角及其中一角的对边相等）、HL（直角边斜边）。 ② 两边及其中一边的对角分别相等，不能判定两个三角形全等（反例：两边相等但夹角不同）。 ③ 所以不能判定的是D。 【知识点睛】全等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 五条公理；SAS 必须是“两边及夹角”，两边及其中一边的对角相等不能判定全等。 3. 【答案】C 解题步骤： ① 已知 AB=DE（夹边）、∠A=∠D、∠B=∠E，两角及其夹边分别相等。 ② 由 ASA 判定：△ABC≌△DEF。 ③ 所以选C。 【知识点睛】ASA：两角及它们的夹边分别相等的两个三角形全等；本题 AB 与 DE 是两角 ∠A、∠B 的夹边。 4. 【答案】D 解题步骤： ① ∠C=∠F=90°，两三角形为直角三角形。 ② 已知斜边 AB=DE、一条直角边 AC=DF，斜边和一条直角边分别相等。 ③ 由 HL 判定：Rt△ABC≌Rt△DEF，选D。 【知识点睛】HL 只适用于直角三角形：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 5. 【答案】D 解题步骤： ① OP平分∠AOB，PC⊥OA、PD⊥OB，由角平分线性质：PC=PD，A正确。 ② 由 HL 证 Rt△OPC≌Rt△OPD，得∠CPO=∠DPO、OC=OD，B、C正确。 ③ D 中 OP=PC+PD 无依据，错误。所以选D。 【知识点睛】角平分线上的点到角两边的距离相等（PC=PD）；由 HL 可证两个直角三角形全等得对应边、对应角相等。 6. 【答案】C 解题步骤： ① 在△ABD和△ACE中：AB=AC（已知），∠BAD=∠CAE（已知），AD=AE（已知），所以△ABD≌△ACE（SAS）。 ② 全等得BD=CE（①正确）、∠ABD=∠ACE（②正确）。 ③ AD=BC无法由已知推出，③错误。所以①②正确，选C。 【知识点睛】全等三角形判定SAS：两边及其夹角对应相等；由全等得对应边、对应角相等。多结论题逐条验证。 7. 【答案】D 解题步骤： ① 在△ABC和△DEF中：AC=DF（已知），∠C=∠F（已知），BC=EF（已知），所以△ABC≌△DEF（SAS）。 ② 全等三角形对应边相等：AB=DE；对应角相等：∠A=∠D，∠B=∠E。 ③ ①②③都正确，选D。 【知识点睛】全等三角形判定SAS及性质：对应边、对应角相等；注意“两边及夹角”才是SAS，两边和其中一边的对角不能判定全等。 8. 【答案】B 解题步骤： ① 由 ∠BAC=90°，∠BAD+∠CAE=90°；BD⊥AE，∠ABD+∠BAD=90°，所以 ∠ABD=∠CAE（同角的余角相等）。 ② 在 △ABD 与 △CAE 中，∠ADB=∠CEA=90°，∠ABD=∠CAE，AB=AC，所以 △ABD≌△CAE（AAS）。 ③ 全等得 AD=EC=2，BD=AE=AD+DE=2+3=5，选 B。 【知识点睛】全等三角形判定 AAS 与性质：对应边相等；直角三角形中“同角的余角相等”常用来找等角；两直角三角形全等后，对应边相等，按线段和差求未知边。 9. 【答案】D 解题步骤： ① ②由 OA=OB、OC=OD，∠AOC=∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC=∠BOD，得 △OAC≌△OBD（SAS），所以 AC=BD，②正确。 ② ③由全等得 AC 与 BD 边上的对应高相等，即点 O 到 AC、BD 的距离相等，所以 OM 平分 ∠AMD，③正确。 ③ ①∠BOM 与 ∠COM 无直接相等关系，①错误；④∠AOC 大小不确定，∠AOD 不一定为 144°，④错误；⑤△MOC 与 △MOD 缺少对应边、角相等条件，⑤错误。 综上正确的有②③，选 D。 【知识点睛】全等三角形判定 SAS 与性质（对应边、对应高相等）；角平分线判定：到角两边距离相等的点在角平分线上。多结论问题要逐一证明或举反例否定。 10. 【答案】C 解题步骤： ① 全等三角形的对应边相等，所以周长相等，C正确。 ② A错：周长相等不一定全等（如不同形状等周三角形）；B错：面积相等不一定全等；D错：等底等高三角形面积相等但不一定全等。 ③ 所以选C。 【知识点睛】全等三角形性质：对应边相等、对应角相等，故周长、面积相等；但周长（面积）相等的三角形不一定全等。 11. 【答案】SAS 解题步骤： ① 在△ABC和△ADE中：AB=AD（已知），∠BAC=∠DAE（已知），AC=AE（已知）。 ② 两边及夹角分别相等，所以△ABC≌△ADE（SAS）。 ③ 判定依据是SAS。 【知识点睛】SAS：两边及它们的夹角分别相等的两个三角形全等；注意 ∠BAC 与 ∠DAE 是所给两边的夹角。 12. 【答案】3 解题步骤： ① AD平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，点D是角平分线上的点。 ② 角平分线上的点到角两边的距离相等：DE=DF。 ③ DE=3，所以DF=3。 【知识点睛】角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；题中 DE、DF 正是点 D 到两边的距离。 13. 【答案】21 解题步骤： ① △ABC≌△DEF，对应边相等：DE=AB=5，EF=BC=7，DF=AC=9。 ② △DEF的周长=DE+EF+DF=5+7+9=21。 ③ 所以△DEF的周长为21。 【知识点睛】全等三角形的对应边相等；全等三角形的周长相等。求周长先找对应边，再求和。 14. 【答案】(7,2) 解题步骤： ① 由∠ACB=90°，∠ACO+∠BCE=90°；在Rt△AOC中，∠ACO+∠CAO=90°，所以∠BCE=∠CAO（同角的余角相等）。 ② 在△AOC与△CEB中：∠AOC=∠CEB=90°，∠CAO=∠BCE，AC=CB，所以△AOC≌△CEB（AAS）。 ③ 全等得BE=OC=2，CE=OA=5。OE=OC+CE=2+5=7，点B在E上方2个单位，所以点B的坐标为(7,2)。 【知识点睛】由∠ACB=90°与同角的余角相等找等角，AAS判定全等后由对应边相等求坐标。 15. 【答案】①③④ 解题步骤： ① 在 △ACF 与 △BCF 中，∠ACF=∠BCF（CF 平分 ∠ACB），CF=CF，∠AFC=∠BFC=90°，所以 △ACF≌△BCF（ASA），AF=BF，①正确。 ② ∠BEC=180°(∠ABC+∠ACB)=180°×120°=120°≠135°，②错误。 ③ 作 ∠BEC 的平分线 EH 交 BC 于点 H，推出 ∠BEF=∠BEH=60°，∠CED=∠CEH=60°，由 ASA 得 △BEF≌△BEH、△CDE≌△CHE，所以 BF=BH、CD=CH，BC=BH+CH=BF+CD，③正确。 ④ 过 H 作 HM⊥AB、HN⊥AC，角平分线性质得 HM=HN，S△BEF:S△CDE=BE:EC，④正确。综上正确的有①③④。 【知识点睛】全等三角形判定（ASA）、角平分线定义与性质（角平分线上的点到角两边距离相等）、三角形内角和、面积比（等高三角形面积比等于底边比）。几何多结论题要逐条证明，构造辅助线（角平分线、垂线）是关键技巧。 16. 【答案】证明见解析 解题步骤： ① 在△ABC和△ADC中：AB=AD（已知），CB=CD（已知），AC=AC（公共边）。 ② 三边分别相等，所以△ABC≌△ADC（SSS）。 ③ 故△ABC≌△ADC得证。 【知识点睛】SSS判定：三边分别相等的两个三角形全等；两三角形共用的边（AC）是公共边，可直接作为对应边。 17. 【答案】证明见解析 解题步骤： ① 在△ABC和△AED中：AB=AE（已知），∠B=∠E（已知），BC=ED（已知），所以△ABC≌△AED（SAS）。 ② 全等得AC=AD。 ③ F是CD的中点，CF=DF。在△ACF和△ADF中：AC=AD（已证），CF=DF（中点），AF=AF（公共边），所以△ACF≌△ADF（SSS）。 ④ 全等得∠AFC=∠AFD。又∠AFC+∠AFD=180°，所以∠AFC=∠AFD=90°，即AF⊥CD。 【知识点睛】先由SAS证第一次全等得AC=AD，再由SSS证第二次全等得∠AFC=∠AFD，由平角定义得90°；证明垂直常通过证两角相等且和为180°。 18. 【答案】证明见解析 解题步骤： ① 过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F。 ② OM平分∠AOB，由角平分线性质：PE=PF。 ③ 四边形OEPF中，∠OEP=∠OFP=90°，∠AOB=90°，所以∠EPF=90°。三角板直角∠CPD=90°，∠EPC与∠FPD都是∠CPF的余角，所以∠EPC=∠FPD（同角的余角相等）。 ④ 在Rt△PEC和Rt△PFD中：∠PEC=∠PFD=90°，∠EPC=∠FPD（已证），PE=PF（已证），所以Rt△PEC≌Rt△PFD（ASA），PC=PD。 【知识点睛】角平分线性质：作垂线得PE=PF；由四边形内角和推∠EPF=90°，再用“同角的余角相等”找等角∠EPC=∠FPD；ASA判定全等。 19. 【答案】证明见解析 解题步骤： ① 由 AE=FB，两边同加 EF，得 AE+EF=FB+EF，即 AF=EB（等式性质）。 ② CA⊥AB，DB⊥AB，所以 ∠CAF=∠DBE=90°，△ACF 与 △BDE 都是直角三角形。 ③ 在 Rt△ACF 与 Rt△BDE 中，CF=DE（已知），AF=EB（已证），所以 Rt△ACF≌Rt△BDE（HL）。全等三角形对应角相等，所以 ∠AFC=∠DEB。 【知识点睛】直角三角形全等的判定定理 HL（斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等）；等式性质：等式两边同加同减，等式仍成立。证明线段（角）相等，常通过证明两个三角形全等，再由对应边（角）相等得出结论。 20. 【答案】(1) 10；(2) 15° 解题步骤： ① (1) 由 △ABE≌△ACD，对应边相等：BE=CD=6。 ② (1) BD=BE−DE=6−2=4，所以 BC=BD+CD=4+6=10。 ③ (2) 全等得 ∠BAE=∠CAD；∠CAD=∠BAC−∠BAD=75°−30°=45°，所以 ∠BAE=45°，∠DAE=∠BAE−∠BAD=45°−30°=15°。 【知识点睛】全等三角形对应边、对应角相等；由全等得到 CD=BE 后再用线段和差求 BC；求角时先由全等得到 ∠BAE=∠CAD，再用角的和差关系计算 ∠DAE。 21. 【答案】证明见解析 解题步骤： ① AD是BC边上的中线，BD=CD。 ② BE⊥AD、CF⊥AD，∠BED=∠CFD=90°。 ③ ∠BDE=∠CDF（对顶角相等）。 ④ 在△BDE和△CDF中：∠BED=∠CFD（已证），∠BDE=∠CDF（已证），BD=CD（已证），所以△BDE≌△CDF（AAS），BE=CF。 【知识点睛】三角形中线平分对边（BD=CD）；对顶角相等；垂直产生直角；AAS判定：两角及其中一角的对边分别相等。 22. 【答案】证明见解析 解题步骤： ① AD∥BC，所以∠A=∠C（两直线平行，内错角相等）。 ② AE=CF，两边同加EF，得AF=CE（等式性质）。 ③ 在△ADF和△CBE中：AD=CB（已知），∠A=∠C（已证），AF=CE（已证），所以△ADF≌△CBE（SAS）。 【知识点睛】平行线性质：内错角相等；等式性质：AE=CF两边同加EF得AF=CE；SAS判定全等。 23. 【答案】(1) C；(2) 15m；(3) 答案不唯一，合理即可 解题步骤： ① (1) 由测量方案可知，通过构造 △HFG 与 △ACE 全等来求旗杆高度，主要运用的数学原理是全等三角形的判定与性质，选 C。 ② (2) ∠HGF=90°=∠AEC（直角相等）；FG=DB=CE（等量代换）；∠HFG=∠ACE=α。所以 △HFG≌△ACE（ASA），HG=AE=14m。 ③ (2) AB=AE+BE=14+1=15(m)。(3) 建议：测量时保持测角仪竖直、皮尺拉直，多次测量取平均值以减少误差（答案不唯一）。 【知识点睛】全等三角形的判定与性质的实际应用：把不可直接测量的旗杆高度转化为构造的全等三角形对应边；ASA 判定两三角形全等后，对应边相等，再按“旗杆高=全等边+测角仪高”求和。 $