2.4.2 圆的一般方程 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“圆的一般方程”，引导学生回顾圆的几何要素，通过展开圆的标准方程提出“形如x²+y²+Dx+Ey+F=0的方程是否为圆”的问题，建立标准方程与一般方程的联系，搭建从几何到代数的学习支架。 资料通过例题、变式题（如轨迹问题的直接法等四种方法）及巩固加练，强化知识应用。注重培养数学眼光（发现几何与代数联系），通过分类讨论D²+E²-4F的三种情况发展数学思维，以方程精确表达圆及轨迹问题提升数学语言能力，助力学生掌握知识并提升解题素养。

第二章　直线和圆的方程 2.4圆的方程 2.4.2圆的一般方程 学习目标回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程。 问题 前面我们已讨论了圆的标准方程为，现将其展开可。可见，任何一个圆的方程都可以变形为的形式。请大家思考一下，形如的方程表示的曲线是不是圆？ 一、圆的一般方程 （1）定义：当时，方程叫做圆的一般方程. 其中 为圆心， 为半径. （2）一般方程与标准方程关系： 由方程得 ①当时，方程只有实数解.它表示一个点. ②当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． ③当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. 【例1】圆的圆心和半径分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-1】已知实数满足，则的最大值是（ ） A．3 B．2 C． D． 【变式1-2】已知圆E经过三点A(0，1)，B(2，0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为(　　) A.＋y2＝ B.＋y2＝ C.＋y2＝ D.＋y2＝ 【例2】若曲线表示圆，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】如果圆（）关于直线对称，则有（ ）． A． B． C． D． 【变式2-2】求圆关于点对称的圆的方程为___________. 2、 与圆有关的轨迹问题 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法：利用圆的几何性质列方程； (4)代入法（相关点法）：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等. 【例3】已知过原点的动直线与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B. (1)求圆C1的圆心坐标； (2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程. 【变式3-1】点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　) A.(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B.(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C.(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝1 【变式3-2】如图，已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，求线段的中点M的轨迹方程． 易错点提示不一定表示圆。 巩固加练 1.圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 2.点在圆的内部，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3.已知A(1，0)，B(0，3)两点，则以AB为直径的圆的方程是(　　) A.x2＋y2－x－3y＝0 B.x2＋y2＋x＋3y＝0 C.x2＋y2＋x－3y＝0 D.x2＋y2－x＋3y＝0 4.已知圆关于直线对称，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 5.若k∈，方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0不表示圆，则k的取值集合中元素的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 6.若方程表示一个圆，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________. 8.平面直角坐标系中有，，，四点，这四点是否在同一个圆上？为什么？ 9.已知等腰三角形ABC的一个顶点为，底边的一个端点为，求底边的另一个端点C的轨迹方程，并说明它是什么图形． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章　直线和圆的方程 2.4圆的方程 2.4.2圆的一般方程 学习目标回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程。 问题 前面我们已讨论了圆的标准方程为，现将其展开可。可见，任何一个圆的方程都可以变形为的形式。请大家思考一下，形如的方程表示的曲线是不是圆？ 参考答案　将式子通过配方变回标准形式，依靠右侧常数的正负，判断图形种类。 一、圆的一般方程 （1）定义：当时，方程叫做圆的一般方程. 其中为圆心，为半径. （2）一般方程与标准方程关系： 由方程得 ①当时，方程只有实数解.它表示一个点. ②当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． ③当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. 【例1】圆的圆心和半径分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】先化为标准方程可得，故圆心为，半径为，故选：D. 【变式1-1】已知实数满足，则的最大值是（ ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】可化为：，所以，解得：，即的最大值是4，故选：D 【变式1-2】已知圆E经过三点A(0，1)，B(2，0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为(　　) A.＋y2＝ B.＋y2＝ C.＋y2＝ D.＋y2＝ 【答案】C 【解析】设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 则由题意得解得所以圆E的一般方程为x2＋y2－x－1＝0， 即＋y2＝. 【例2】若曲线表示圆，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】或.故选：C. 【变式2-1】如果圆（）关于直线对称，则有（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得圆心坐标为，因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，即，可得，故选：B. 【变式2-2】求圆关于点对称的圆的方程为___________. 【答案】 【解析】圆化为标准方程为：.所以，半径.故圆关于点对称的圆的半径5，圆心设为D.由中点坐标公式求得: ,所以对称圆的方程为：. 2、 与圆有关的轨迹问题 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法：利用圆的几何性质列方程； (4)代入法（相关点法）：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等. 【例3】已知过原点的动直线与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B. (1)求圆C1的圆心坐标； (2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程. 【答案】(1)(3，0) (2) 【解析】(1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x－3)2＋y2＝4，所以圆C1的圆心坐标为(3，0). (2)设M(x，y)，因为点M为线段AB的中点，所以C1M⊥AB， 所以kC1M·kAB＝－1，当x≠3时可得·＝－1，整理得＋y2＝， 又当直线与x轴重合时，M点坐标为(3，0)，代入上式成立. 设直线的方程为y＝kx，与x2＋y2－6x＋5＝0联立， 消去y得：(1＋k2)x2－6x＋5＝0. 令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k2)×5＝0，得k2＝，此时方程为x2－6x＋5＝0，解上式得x＝，因此<x≤3.所以线段AB的中点M的轨迹方程为 【变式3-1】点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　) A.(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B.(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C.(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝1 【答案】A 【解析】　设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则所以代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1. 【变式3-2】如图，已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，求线段的中点M的轨迹方程． 【答案】 【解析】设点M的坐标是，点A的坐标是，由于点B的坐标是，且M是线段的中点，所以，． 于是有，． ① 因为点A在圆上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，即． ② 把①代入②，得， 整理，得 这就是点M的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为1的圆． 易错点提示不一定表示圆。 巩固加练 1.圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】由于圆，所以其圆心坐标为，即； 半径为.故选：A. 2.点在圆的内部，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 ，所以 ，由于点在圆内 所以，所以，所以， 故选：B 3.已知A(1，0)，B(0，3)两点，则以AB为直径的圆的方程是(　　) A.x2＋y2－x－3y＝0 B.x2＋y2＋x＋3y＝0 C.x2＋y2＋x－3y＝0 D.x2＋y2－x＋3y＝0 【答案】A 【解析】　|AB|＝＝，圆心为，半径r＝，∴圆的方程为＋＝，化为一般方程为x2＋y2－x－3y＝0. 4.已知圆关于直线对称，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解析】由题得圆心的坐标为，因为已知圆关于直线对称，所以， 5.若k∈，方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0不表示圆，则k的取值集合中元素的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【解析】　方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0表示圆的条件为(k－1)2＋(2k)2－4k>0，即5k2－6k＋1>0，解得k>1或k<，又知该方程不表示圆，所以k的取值范围为，又因为k∈，所以满足条件的k＝，即k的取值集合为，故选A. 6.若方程表示一个圆，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得：，即，故选：C 7.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________. 【答案】(－2，－4)　5 【解析】　由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆. 8.平面直角坐标系中有，，，四点，这四点是否在同一个圆上？为什么？ 【答案】四点在同一个圆上（证明见解析） 【解析】设过三点的圆的一般方程为. 将三点代入得：. 所以圆的一般方程为. 将点代入得：，满足方程. 所以四点在同一个圆上. 9.已知等腰三角形ABC的一个顶点为，底边的一个端点为，求底边的另一个端点C的轨迹方程，并说明它是什么图形． 【答案】（去掉（3,5），（5,-1）两点）；表示是以为圆心，以半径，且去掉（3,5），（5,-1）两点的圆 【解析】由题意知：设另一个端点，腰长为， ∴C的轨迹方程：， 又由A、B、C构成三角形，即三点不可共线， ∴需要去掉重合点（3,5），反向共线点（5,-1）， 即表示是以为圆心，以半径，且去掉（3,5），（5,-1）两点的圆. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $