2.5.2 圆与圆的位置关系导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“圆与圆的位置关系”，通过日食现象中太阳与月球轮廓的相对移动导入，引导学生观察现实情境中的位置关系，衔接直线与圆位置关系的已有知识，以表格形式归纳外离、外切等五种位置关系的图形、量的关系及公切线条数，结合例题与变式构建学习支架。 资料以情境化问题驱动探究，例题与变式梯度设计，涵盖位置关系判断、公共弦问题等核心内容，易错点提示与多样化巩固练习助力学生深化理解，培养用数学眼光观察现实、用数学思维推理关系、用数学语言表达规律的素养，提升直观想象与运算推理能力。

第二章　直线和圆的方程  2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.2圆与圆的位置关系 学习目标能根据给定直线、圆的方程，判断圆与圆的位置 。 问题 观测日食时，把太阳轮廓看作一个大圆、月球轮廓看作一个小圆，两个圆形在天空中不断发生相对移动。请大家观察整个日食全过程，有几种位置关系？ 一、圆与圆的位置关系 设两圆的半径分别为R，r(R＞r)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图形 量的关系 公切线条数 【例1】已知两圆分别为圆和圆，这两圆的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【变式1-1】已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0. (1)m取何值时两圆外切？ (2)m取何值时两圆内切？ 【变式1-2】已知圆截直线所得的弦长为，则圆C与圆的位置关系是（ ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 2、 两圆的公共弦问题 圆：，① 圆：，② ①-②：为两相交圆公共弦方程. 【例2】已知圆：和圆：，则（ ） A．公共弦长为 B．公共弦长为 C．公切线长 D．公切线长 【变式2-1】已知圆：平分圆：的周长，则（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2-2】过点P(2，4)引圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，设两个切点为A，B，求切点弦AB所在的直线方程. 易错点提示1、当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆可能外离也可能内含。2、当两圆的方程组成的方程组有一个解时，两圆可能外离也可能外切或内切。 巩固加练 1.已知圆和，则两圆的位置关系是（ ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 2.在平面直角坐标系中，圆：与圆：，则两圆的公切线的条数是（ ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 3.圆与圆的公共弦所在直线的方程为（ ） A． B． C． D． 4.圆与的公共弦长为（ ） A． B． C． D． 5.已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于（ ） A．14 B．34 C．14或45 D．34或14 6.（多选）圆与圆的位置关系可能是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 7.若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________. 8. 求经过点M（2，﹣2）以及圆x2+y2﹣6x=0与圆x2+y2=4交点的圆的方程． 9.已知圆，P为直线上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，当四边形的面积最小时，求直线的方程。 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章　直线和圆的方程  2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.2圆与圆的位置关系 学习目标能根据给定直线、圆的方程，判断圆与圆的位置 。 问题 观测日食时，把太阳轮廓看作一个大圆、月球轮廓看作一个小圆，两个圆形在天空中不断发生相对移动。请大家观察整个日食全过程，有几种位置关系？ 参考答案　一共有五种位置关系，结合日食过程对应说明：月球还未靠近太阳，两个圆完全分离，没有交点，对应日食发生前的状态；月球边缘刚刚触碰太阳边缘，只有一处公共点，就是日食的初亏时刻；月球遮挡住太阳一部分区域，两圆相交产生两个交点，对应日偏食阶段；月球完全进入太阳范围内，月球外圈与太阳内圈仅有一个公共点，是日全食开始和结束的瞬间；月球整体完全包裹在太阳圆形内部，对应完整的日全食时段。 一、圆与圆的位置关系 设两圆的半径分别为R，r(R＞r)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图形 量的关系 d＞R＋r d＝R＋r R－r＜d＜R＋r d＝R－r d＜R－r 公切线条数 4 3 2 1 0 【例1】已知两圆分别为圆和圆，这两圆的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【解析】由题意得，圆圆心，半径为7；圆，圆心，半径为4，两圆心之间的距离为，因为，故这两圆的位置关系是相交，故选：B 【变式1-1】已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0. (1)m取何值时两圆外切？ (2)m取何值时两圆内切？ 【答案】(1)25＋10 (2)25－10 【解析】因为两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11， (x－5)2＋(y－6)2＝61－m， 所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为，， (1)当两圆外切时，由＝＋，得m＝25＋10. (2)当两圆内切时，因为定圆半径小于两圆圆心之间的距离5，所以－＝5，解得m＝25－10. 【变式1-2】已知圆截直线所得的弦长为，则圆C与圆的位置关系是（ ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【解析】圆C的圆心为，半径为a，其圆心到直线的距离为， 所截得的弦长为，解得．所以，C的圆心为，半径为2；又的圆心为，半径为1，， 故可得，则两圆的位置关系是相交．故选：． 2、 两圆的公共弦问题 圆：，① 圆：，② ①-②：为两相交圆公共弦方程. 【例2】已知圆：和圆：，则（ ） A．公共弦长为 B．公共弦长为 C．公切线长 D．公切线长 【答案】B 【解析】因为圆的圆心为，半径；对圆，其圆心为，半径， 圆心距，又，故两圆相交，设交于两点. 故所在直线方程为：， 整理得：，故到直线的距离， 故.故选：B 【变式2-1】已知圆：平分圆：的周长，则（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】由圆：平分圆：的周长可知，圆经过圆的一条直径的两个端点，所以圆的圆心在圆与圆的公共弦上，两圆方程相减整理得圆与圆的公共弦所在直线的方程为，又圆心，所以，所以，故选：C. 【变式2-2】过点P(2，4)引圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，设两个切点为A，B，求切点弦AB所在的直线方程. 【答案】x＋3y－5＝0 【解析】由题意得，点P，A，C，B在以PC为直径的圆上， 此圆的方程为(x－2)(x－1)＋(y－4)(y－1)＝0， 整理得x2＋y2－3x－5y＋6＝0，①， 圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1展开得x2＋y2－2x－2y＋1＝0，② 由②－①得x＋3y－5＝0，即为直线AB的方程. 易错点提示1、当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆可能外离也可能内含。2、当两圆的方程组成的方程组有一个解时，两圆可能外离也可能外切或内切。 巩固加练 1.已知圆和，则两圆的位置关系是（ ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】C 【解析】由题意，知圆的圆心，半径.圆的方程可化为，则其圆心，半径.因为两圆的圆心距，故两圆外切，故选：C. 2.在平面直角坐标系中，圆：与圆：，则两圆的公切线的条数是（ ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】A 【解析】圆：的圆心，半径， 圆：的圆心，半径， ，显然，即圆与圆外离， 所以两圆的公切线的条数是4， 故选：A 3.圆与圆的公共弦所在直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径为，圆的标准方程为，圆心为，半径为，因为，则，所以，圆与圆相交，将两圆方程作差得，即.因此，两圆的相交弦所在直线的方程为.故选：A. 4.圆与的公共弦长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知圆，圆， 两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：：， 而圆心到直线的距离为， 圆的半径为，所以，所以. 故选：D 5.已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于（ ） A．14 B．34 C．14或45 D．34或14 【答案】D 【解析】圆：的圆心为,圆：的圆心为,，因为圆与圆有且仅有一个公共点，故圆与圆相内切或外切，故或，从而或，所以或，解得：或所以实数a等于34或14，故选：D 6.（多选）圆与圆的位置关系可能是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】ABC 【解析】整理为：， 从而圆心为，半径为2，而的圆心为，半径为2， 从而圆的圆心距为， 当，即或时，此时两圆外离； 当，此时，此时两圆外切； 由于恒成立，故当，即时，两圆相交； 且，故两圆不会内含或内切， 综上：两圆得位置关系可能是外离，外切或相交，故选：ABC 7.若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________. 【答案】8 【解析】圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1， 圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2， ∴|C1C2|＝5.又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点， ∴线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8. 8. 求经过点M（2，﹣2）以及圆x2+y2﹣6x=0与圆x2+y2=4交点的圆的方程． 【答案】x2+y2﹣3x﹣2=0 【解析】设过圆x2+y2﹣6x=0与圆x2+y2=4交点的圆的方程为：x2+y2﹣6x+λ（x2+y2﹣4）=0 …①把点M的坐标（2，﹣2）代入①式得λ=1，把λ=1代入①并化简得x2+y2﹣3x﹣2=0， ∴所求圆的方程为：x2+y2﹣3x﹣2=0 9.已知圆，P为直线上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，当四边形的面积最小时，则直线的方程为______. 【答案】 【解析】如图，， 所以四边形的面积，所以当最小时，S也最小， 此时，易求得的方程为， 联立解得：，，所以， 故直线的方程为，化简得：. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $