2.5.2 圆与圆的位置关系（导学案） 数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦圆与圆的位置关系，涵盖外离、外切、相交、内切、内含五种类型及几何法、代数法两种判断方法。以“父母生活圈”类比导入，通过类比直线与圆位置关系构建知识支架，引导学生迁移旧知学习新知。 资料突出类比迁移与数形结合思想，设置探究活动培养学生数学眼光与推理思维。习题分层且易错提醒明确，帮助学生掌握几何法优先原则，提升用数学语言解决含参问题等应用能力，适合引导学生自主探究与教师课堂教学。

2.5.2 圆与圆的位置关系 （导学案） （1）理解圆与圆外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系的定义，能准确区分它们的几何特征。 （2）掌握用几何法（比较圆心距与半径的和差）判断圆与圆位置关系的方法，能熟练运用。 （3）掌握用代数法（联立方程、判别式）判断圆与圆位置关系的方法，理解其局限性。 （4）能解决圆与圆相交时的公共弦方程与弦长问题，能根据位置关系判断公切线条数。 （5）在类比直线与圆位置关系研究圆与圆位置关系的过程中，感悟类比迁移与数形结合的数学思想。 教学重点： (1) 圆与圆的五种位置关系及其几何判定方法。 (2) 两圆相交时公共弦所在直线方程及公共弦长的求法。 (3) 公切线条数与位置关系的对应。 教学难点： (1) 代数法判断的局限性（不能区分外切/内切、外离/内含）及其原因分析。 (2) 两圆方程相减得公共弦方程的几何意义理解。 (3) 含参数位置关系问题的完整分类讨论。 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　圆与圆的位置关系 (1)两圆相交，有 公共点； (2)两圆相切，包括外切与内切，只有 公共点； (3)两圆相离，包括外离与内含， 公共点． [拓展]　两圆位置关系与两圆公切线条数的关系 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 公切线条数 4 3 2 1 0 知识点二　圆与圆位置关系的判断方法 (1)代数法 设两圆的一般方程为C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含 (2)几何法 若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| [说明]　代数法只能判断出相离、相交、相切三种位置关系，而不能像几何判断法一样，能判断出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，因此一般情况下，使用几何法判断两圆的位置关系． 这里有一个完美的爱情故事：黑色的代表你妈妈的生活圈，黄色的代表你爸爸的生活圈. 这也是我们今天要学习的两圆之间的五大位置关系. 思考：之前根据直线与圆的公共点个数来确定不同位置关系，类比，根据圆与圆的公共点个数来确定，有哪几种位置关系？ 学生：两个圆之间存在以下三种位置关系： (1) 两圆相交，有两个公共点； (2) 两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点； (3) 两圆相离，包括外离与内含，没有公共点． 探究：如何利用两圆的半径和圆心距的关系判定圆与圆的位置关系？ 师生：共同分析可以类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，探究圆与圆的位置关系 师生活动： （1）学生回顾初中所学圆与圆的位置关系的判定方法，类比直线与圆的位置关系的判定方法，自主归纳圆与圆的位置关系的判定方法. （2）教师巡视全班并展示部分学生的做法： 探究：类比直线与圆的位置关系的判断，是否可以用代数法判断呢？ 又如何利用代数法判断两圆的位置关系呢？ 例5 已知圆，圆，试判断圆与圆的位置关系． 思路2：借助图形，可以依据连心线的长与两半径的和或两半径的差的绝对值的大小关系，判断两圆的位置关系． 思考：画出圆与圆以及方程③表示的直线，你发现了什么？你能说明为什么吗？ 师生总结：求两相交圆的公共弦所在直线方程方法： 将两圆的方程相减，消去与得二元一次方程即为所求. 思考：为什么不需要把圆与圆的两个公共点，的具体坐标求出来？ 思考：在解法1中，如果两圆方程联立消元后得到的方程的，它说明什么? 你能据此确定两圆是内切还是外切吗? 如何判断两圆是内切还是外切呢? 当时，两圆是什么位置关系? 追问：如何判断两圆是内切还是外切（是外离还是内含）？ 例6 已知圆的直径，动点与点的距离是它与点的距离的倍． 试探究点的轨迹，并判断该轨迹与圆的位置关系． 师生： 给出题目后，教师通过以下问题引导学生思考： （1）如何建立平面直角坐标系？有哪些几何对象需要用坐标表示？ （2）问题中的几何对象之间有哪些关系，如何用坐标进行表示？ （3）说说你对动点M的轨迹及轨迹方程的理解？ 1. 知识清单 五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含。 两种判断方法： 几何法： 与 、 比较（完备，推荐优先使用）。 代数法：联立方程， 判断（能判断相交/相切/相离，但不能细分）。 两个重要结论： 两圆相交时，方程相减得公共弦方程。 公切线条数与位置关系一一对应。 2. 方法归纳：优先几何法，代数法辅助。 判断位置关系 → 几何法（直观完备） 求公共弦方程 → 代数法（相减即得） 求公共弦长 → 几何法（） 含参问题 → 几何法列不等式 3. 易错提醒 易错点 正确做法 混淆外切与内切 外切：；内切： 混淆外离与内含 外离：；内含： 代数法 直接说“相切” 应说“外切或内切”，再用几何法区分 求公共弦方程时忘记验证 两圆必须相交才能相减得公共弦，否则无意义 1.（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2.（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.（24-25高二上·广东佛山·期末）已知点关于直线的对称点在圆上，则______. 4.（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 5.（25-26高二上·江西赣州·期末）若圆：与圆：外切，则（   ） A．1 B．2 C．9 D．1或9 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.2 圆与圆的位置关系 （导学案） （1）理解圆与圆外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系的定义，能准确区分它们的几何特征。 （2）掌握用几何法（比较圆心距与半径的和差）判断圆与圆位置关系的方法，能熟练运用。 （3）掌握用代数法（联立方程、判别式）判断圆与圆位置关系的方法，理解其局限性。 （4）能解决圆与圆相交时的公共弦方程与弦长问题，能根据位置关系判断公切线条数。 （5）在类比直线与圆位置关系研究圆与圆位置关系的过程中，感悟类比迁移与数形结合的数学思想。 教学重点： (1) 圆与圆的五种位置关系及其几何判定方法。 (2) 两圆相交时公共弦所在直线方程及公共弦长的求法。 (3) 公切线条数与位置关系的对应。 教学难点： (1) 代数法判断的局限性（不能区分外切/内切、外离/内含）及其原因分析。 (2) 两圆方程相减得公共弦方程的几何意义理解。 (3) 含参数位置关系问题的完整分类讨论。 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　圆与圆的位置关系 (1)两圆相交，有两个公共点； (2)两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点； (3)两圆相离，包括外离与内含，没有公共点． [拓展]　两圆位置关系与两圆公切线条数的关系 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 公切线条数 4 3 2 1 0 知识点二　圆与圆位置关系的判断方法 (1)代数法 设两圆的一般方程为C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含 (2)几何法 若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| [说明]　代数法只能判断出相离、相交、相切三种位置关系，而不能像几何判断法一样，能判断出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，因此一般情况下，使用几何法判断两圆的位置关系． 这里有一个完美的爱情故事：黑色的代表你妈妈的生活圈，黄色的代表你爸爸的生活圈. 这也是我们今天要学习的两圆之间的五大位置关系. 设计意图：以生活中熟悉的 “父母生活圈” 爱情故事为载体，将抽象的圆与圆位置关系具象化，快速激发学生兴趣，自然引出五大位置关系，降低知识理解门槛. 教学建议：讲解时可配合动态图示展示对应位置关系，故事后引导学生举例身边类似圆的位置场景，强化对五大位置关系的初步感知，为后续深入学习铺垫. 思考：之前根据直线与圆的公共点个数来确定不同位置关系，类比，根据圆与圆的公共点个数来确定，有哪几种位置关系？ 学生：两个圆之间存在以下三种位置关系： (1) 两圆相交，有两个公共点； (2) 两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点； (3) 两圆相离，包括外离与内含，没有公共点． 设计意图：通过具体的情景，帮助学生回顾初中几何中已学的圆与圆的位置关系. 探究：如何利用两圆的半径和圆心距的关系判定圆与圆的位置关系？ 师生：共同分析可以类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，探究圆与圆的位置关系 师生活动： （1）学生回顾初中所学圆与圆的位置关系的判定方法，类比直线与圆的位置关系的判定方法，自主归纳圆与圆的位置关系的判定方法. （2）教师巡视全班并展示部分学生的做法： 预设：圆 , 圆 , 两圆的圆心距 , 则有 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1， r2的关系 探究：类比直线与圆的位置关系的判断，是否可以用代数法判断呢？ 又如何利用代数法判断两圆的位置关系呢？ 预设：代数法:圆 , 圆 , 两圆的方程联立得方程组,则有 方程组解的情况 2组 1组 0组 两圆的公共点 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 设计意图：类比直线与圆的位置关系的研究圆与圆的位置关系. 例5 已知圆，圆，试判断圆与圆的位置关系． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 师生：共同分析：思路1：圆与圆的位置关系由它们有几个公共点确定，而它们有几个公共点又由它们的方程所组成的方程组有几组实数解确定； 思路2：借助图形，可以依据连心线的长与两半径的和或两半径的差的绝对值的大小关系，判断两圆的位置关系． 预设：解法1：将圆与圆的方程联立，得到方程组 ，得 ③ 由③，得 ． 把上式代入①，并整理，得 ④ 方程④的根的判别式 ， 所以，方程④有两个不相等的实数根，． 把，分别代入方程③，得到，． 因此圆与圆有两个公共点，，这两个圆相交． 解法2：把圆的方程化成标准方程，得，圆的圆心是，半径． 把圆的方程化成标准方程，得，圆的圆心是，半径，圆与圆的连心线的长为． 圆与圆的两半径之和，两半径长之差． 因为，即，所以圆与圆相交（图2.5-6），它们有两个公共点，． 思考：画出圆与圆以及方程③表示的直线，你发现了什么？你能说明为什么吗？ 学生：回顾解题过程，并总结答案 预设：当两圆相交时，两圆方程相减，所得二元一次方程是两圆公共弦所在直线的方程. 师生总结：求两相交圆的公共弦所在直线方程方法： 将两圆的方程相减，消去与得二元一次方程即为所求. 思考：为什么不需要把圆与圆的两个公共点，的具体坐标求出来？ 学生：思考、交流、讨论，体会设而不求的重要数学思想； 预设：本题只要判断圆与圆是否有公共点，并不需要求出公共点的坐标，因此不必解方程④，具体求出两个实数根． 思考：在解法1中，如果两圆方程联立消元后得到的方程的，它说明什么? 你能据此确定两圆是内切还是外切吗? 如何判断两圆是内切还是外切呢? 当时，两圆是什么位置关系? 学生：与同桌讨论和思考，尝试着得出答案. 预设：当时，它说明两个圆只有一个公共点，两圆相切但无法确定是内切，还是外切； 当时，它说明两个圆没有公共点，两个圆相离，但无法确定是外离，还是内含. 追问：如何判断两圆是内切还是外切（是外离还是内含）？ 学生：几何法 例6 已知圆的直径，动点与点的距离是它与点的距离的倍． 试探究点的轨迹，并判断该轨迹与圆的位置关系． 师生：共同分析：我们可以通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的轨迹方程，从而得到点M的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系． 师生： 给出题目后，教师通过以下问题引导学生思考： （1）如何建立平面直角坐标系？有哪些几何对象需要用坐标表示？ （2）问题中的几何对象之间有哪些关系，如何用坐标进行表示？ （3）说说你对动点M的轨迹及轨迹方程的理解？ 预设：如图 2. 5-7， 以线段的中点为原点，所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．由，得，． 设点的坐标为，由，得， 化简，得，即． 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的一个圆（图 2.5-7)． 因为两圆的圆心距为，两圆的半径分别为，， 又，所以点的轨迹与圆相交． 1. 知识清单 · 五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含。 · 两种判断方法： · 几何法： 与 、 比较（完备，推荐优先使用）。 · 代数法：联立方程， 判断（能判断相交/相切/相离，但不能细分）。 · 两个重要结论： · 两圆相交时，方程相减得公共弦方程。 · 公切线条数与位置关系一一对应。 2. 方法归纳 优先几何法，代数法辅助。 · 判断位置关系 → 几何法（直观完备） · 求公共弦方程 → 代数法（相减即得） · 求公共弦长 → 几何法（） · 含参问题 → 几何法列不等式 3. 易错提醒 易错点 正确做法 混淆外切与内切 外切：；内切： 混淆外离与内含 外离：；内含： 代数法 直接说“相切” 应说“外切或内切”，再用几何法区分 求公共弦方程时忘记验证 两圆必须相交才能相减得公共弦，否则无意义 1.（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】将两圆的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标与半径，计算圆心距后与两半径的和、差比较，即可判断两圆位置关系。 【详解】对于圆：，配方得，故圆心，半径； 对于圆：，配方得，故圆心，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为，两半径之和为， 显然满足，即，因此两圆相交. 2.（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以圆与圆的公切线条数为3. 3.（24-25高二上·广东佛山·期末）已知点关于直线的对称点在圆上，则______. 【答案】/ 【知识点】求两点的对称轴、求两圆的交点坐标 【分析】分析出点在以原点为圆心，2为半径的圆上，从而联立与，求出，根据的中点在上得到方程，求出答案. 【详解】设点关于直线的对称点为， 显然在上， 由对称性可知，，故点在以原点为圆心，2为半径的圆上， 即， 联立与得， 故点，显然的中点在上， 即，解得. 故答案为：. 4.（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆的公切线方程 【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 5.（25-26高二上·江西赣州·期末）若圆：与圆：外切，则（   ） A．1 B．2 C．9 D．1或9 【答案】A 【知识点】由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【分析】利用两圆外切的性质列方程求解即得. 【详解】圆：的圆心为，半径为， 而圆：的圆心为，半径为， 因两圆外切，则，解得. 故选：A. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $