精品解析：北京市广渠门中学2026-2027学年度第一学期阶段性学业调研九年级数学

北京市广渠门中学2026—2027学年度第一学期阶段性学业调研 初三年级 数学学科 时间：120分钟 一、选择题 1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，既是轴对称又是中心对称的图形是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，△ABC与△A′B′C′成中心对称，下列说法不正确的是( ) A. S△ABC＝S△A′B′C′ B. AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B′C′ C. AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′ D. S△ACO＝S△A′B′O 4. 下表示用计算器探索函数时所得的数值： 则方程的一个解的取值范围为（ ） A. 0<x<0.25 B. 0.25<x<0.5 C. 0.5<x<0.75 D. 0.75<x<1 5. 若一元二次方程的两根为，，则的值为（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 0 6. 抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. “不倒翁”是一种十分有趣的玩具，下图中的“不倒翁”的纵截面底部边缘呈现抛物形状．若将这个“不倒翁”放在水平桌边附近处于静止状态，纵截面底部边缘的最高点距桌面的垂直距离为，若其垂直于桌面边缘的纵截面上一点与桌边的水平距离为，与桌面的垂直距离为，例如某点距桌面的垂直距离和距桌边的水平距离都是，最低点距桌边．关于的函数部分图象如图所示，那么这个“不倒翁”静止时超出桌面边缘的水平距离是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知二次函数，其中．下列四个结论中： ①若这个函数的图象经过点，则函数必有最大值； ②若时，随的增大而减小，则必有； ③若这个函数的图象经过点，则不等式的解集为或； ④若方程有一根为，且，则必有． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ①②④ 二、填空题 9. 反比例函数的图象经过点，当时，的值是_________． 10. 某公司一月份的生产成本为万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，月份的生产成本是万元，设平均每个月的下降率为，则可列方程为________． 11. 抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是 ______ 12. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是______. 13. 正比例函数（）与反比例函数（）的一个交点为，则另一个交点坐标为________． 14. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解集是______． 15. 如图，将含角的直角三角尺绕点B顺时针旋转后得到，连接．若，则的面积为__________________． 16. 某校为校庆做筹备工作，共有十项工序，筹备过程需满足以下要求： （1）只能在两项工序均完成后才能开始； （2）只能在两项工序均完成后才能开始； （3）只能在两项工序均完成后才能开始； （4）其余每项工序相互独立，无先后依赖关系； （5）一项工序只能由一名员工负责，该工序完成后员工才能接手其他工序．各项工序所需时间如表所示： 工序 所需时间（天） 20 18 19 15 14 11 6 5 4 3 在不考虑其他因素的前提下，若由若干名员工合作完成筹备工作，则至少需要___________天才能全部完成；若要在最短时间内合作完成筹备工作，则最少需要_______________名员工共同参与． 三、解答题 17. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 18. 一个反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的解析式． （2）当时，求的取值范围． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）画出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． 20. 关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 21. 已知二次函数． （1）将化成的形式，并写出其图象的顶点坐标； （2）将化成的形式，并写出此函数图象与轴交点的坐标； （3）在平面直角坐标系中，画出此函数的图象，并直接写出当时的取值范围． 22. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． （1）求二次函数的表达式． （2）求的面积． 23. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求正比例函数的解析式； （2）点是轴正半轴上的一点，若的面积为8，求点的坐标． 24. 商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答： （1）当每件商品售价定为140元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？ （2）当每件商品销售价定为多少元时，商场日盈利可达1500元？ （3）当每件商品销售价定为多少元时，商场日盈利可达最大值？是多少？ 25. 小强发现家里智能冰箱内的温度刚好为时，制冷启动，当温度降低到设定温度时，制冷停止，然后温度逐渐上升，当温度上升到时，制冷又启动，开始下一个周期的运行． 他想知道按此规律运行，冰箱内的温度与时间之间存在怎样的关系，并且预测任意时刻冰箱内的温度．于是，小强记录了一个运行周期内部分温度及对应时间的数据如表所示： 时间 0 2 3 4 6 8 9 12 18 24 温度 然后以x的数值为横坐标，y的数值为纵坐标建立平面直角坐标系如图所示，在坐标系中描出以表中的数对为坐标的点．请完成下列问题： （1）用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来； （2）结合表格中的数据，观察（1）中作出的图象，经过猜想、验证可得： 当时，y与x的函数表达式为______； 当时，y与x的函数表达式为______； （3）冰箱的一个运行周期时长为______分钟； （4）当冰箱温度刚好达到时，继续运行120分钟，此时冰箱内的温度是______． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大．求a的取值范围． 27. 如图，四边形是正方形，点E是边上一点，连接、，以为斜边作等腰直角三角形，连接交于G，过点G作交延长线于点H． （1）求证：； （2）判断与有什么数量关系，并说明理由； （3）若，，请直接写出的长． 28. 在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点和函数图象，给出如下定义：过点作竖直直线交图象于点；过点作水平直线交图象于点，若存在多个交点，选取横坐标与点最接近的交点为，称线段的长度为点对图象的纵横距． 已知：反比例函数，抛物线，直线． （1）求点对反比例函数的纵横距． （2）当时，点的纵坐标为，若点对抛物线的纵横距等于，直接写出点的横坐标． （3）点在直线上运动，定点，点在线段上，且．当点对反比例函数的纵横距等于时，求此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市广渠门中学2026—2027学年度第一学期阶段性学业调研 初三年级 数学学科 时间：120分钟 一、选择题 1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，既是轴对称又是中心对称的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形、中心对称图形的识别，解题的关键是掌握：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形．据此判断即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形不是轴对称图形也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法的运用，先移项，在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，由此即可求解． 【详解】解：， 移项得，， 等式两边同时加上1得，， ∴， 故选：B ． 3. 如图，△ABC与△A′B′C′成中心对称，下列说法不正确的是( ) A. S△ABC＝S△A′B′C′ B. AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B′C′ C. AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′ D. S△ACO＝S△A′B′O 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称的性质即可解答． 【详解】选项A，根据中心对称的两个图形全等，可得△ABC≌△A′B′C′，即可得S△ABC＝S△A′B′C′； 选项B，根据中心对称的两个图形全等，可得△ABC≌△A′B′C′，所以AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B′C′； 选项C，根据对称点到对称中心的距离相等，即可证得对应线段平行，所以AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′； 选项D，S△A′B′O=S△ABO≠S△ACO． 故选D. 【点睛】本题主要考查了中心对称的性质：成中心对称的两个图形全等，且对称点到对称中心的距离相等． 4. 下表示用计算器探索函数时所得的数值： 则方程的一个解的取值范围为（ ） A. 0<x<0.25 B. 0.25<x<0.5 C. 0.5<x<0.75 D. 0.75<x<1 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式找出对称轴，即可知何时y随x的增大而增大，本题易解． 【详解】∵二次函数中，a=1>0， ∴抛物线开口方向向上， ∵对称轴 ∴时y随x的增大而增大， ∵当x=0.5时，y=−0.25<0，当x=0.75时，y=1.31>0， ∴方程的一个正根：0.5<x<0.75， 故选C. 【点睛】解答此题的关键是求出对称轴,然后由图象解答,锻炼了学生数形结合的思想方法. 5. 若一元二次方程的两根为，，则的值为（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】利用根与系数的关系，将所求代数式变形后代入求值. 【详解】解：∵ 一元二次方程的两根为，， ∴ ，， ∵ ， ∴ 原式. 6. 抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数，二次函数图象分布的规律求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 令，得，解得，， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，符合要求； B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； C．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； D．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求． 7. “不倒翁”是一种十分有趣的玩具，下图中的“不倒翁”的纵截面底部边缘呈现抛物形状．若将这个“不倒翁”放在水平桌边附近处于静止状态，纵截面底部边缘的最高点距桌面的垂直距离为，若其垂直于桌面边缘的纵截面上一点与桌边的水平距离为，与桌面的垂直距离为，例如某点距桌面的垂直距离和距桌边的水平距离都是，最低点距桌边．关于的函数部分图象如图所示，那么这个“不倒翁”静止时超出桌面边缘的水平距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据待定系数法求出函数解析式为，然后把代入，求出的值，即可求解. 【详解】解：设抛物线的解析式为， ∵图象过点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 解得，， ∵点  关于 轴的对称点在  轴左侧， ∴， ∴超出桌面边缘的水平距离为. 8. 在平面直角坐标系中，已知二次函数，其中．下列四个结论中： ①若这个函数的图象经过点，则函数必有最大值； ②若时，随的增大而减小，则必有； ③若这个函数的图象经过点，则不等式的解集为或； ④若方程有一根为，且，则必有． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，包括最值、单调性、不等式解集及根的范围，灵活运用反例或结合性质找到，的范围，从而判断选项是否错误是解题关键． 结合条件，利用二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：①：若经过点，则有， 又∵， ∴有， 解得， ，故函数必有最大值，①正确； ②：可取反例，当时，，， 则此时当时，随的增大而减小， ∴②错误； ③：若经过点，则有， ∵， ∴有， 解得， ， 令， 解得或， ，结合图象可知， ∴不等式的解集为或， ∴③选项正确； ④：由，即， ∴可知二次函数经过定点， 方程的其中一根为， ∵， ∴，， ∴，， 解得，， ∴④错误， 综上所述，①③正确， 故选：A． 二、填空题 9. 反比例函数的图象经过点，当时，的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用已知点坐标求出反比例函数解析式，再代入求解的值． 【详解】解：把代入，得， 解得 ， ∴反比例函数解析式为 ， 把代入，得， 解得 ． 10. 某公司一月份的生产成本为万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，月份的生产成本是万元，设平均每个月的下降率为，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意找出等量关系列出一元二次方程是解题的关键．设平均每个月的下降率为，根据公司月份的生产成本及月份的生产成本，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设平均每个月的下降率为， 根据题意得：， 故答案为：． 11. 抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是 ______ 【答案】m＜2 【解析】 【详解】试题解析：根据题意得△=22-4（m-1）＞0， 解得m＜2． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 12. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是______. 【答案】 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移所得对应点的坐标为（1，2），然后根据顶点式写出新抛物线解析式． 【详解】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得对应点的坐标为（1，2），所以新抛物线的解析式为y=（x-1）2+2 故答案为y=（x-1）2+2． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 13. 正比例函数（）与反比例函数（）的一个交点为，则另一个交点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，因此两个函数的交点也关于原点对称，根据关于原点对称的点的坐标规律即可求出另一个交点坐标． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 14. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解集是______． 【答案】或 【解析】 【分析】观察函数图象即可求解． 【详解】解：观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方， ∴不等式的解集为或． 15. 如图，将含角的直角三角尺绕点B顺时针旋转后得到，连接．若，则的面积为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】过D点作，垂足为F，根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，根据旋转的性质以及等积法求出的长，再根据三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：过D点作，垂足为F， 由题意，在中，， ∴，， ∵旋转， ∴，，， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴，即， ∴， ∴的面积为. 16. 某校为校庆做筹备工作，共有十项工序，筹备过程需满足以下要求： （1）只能在两项工序均完成后才能开始； （2）只能在两项工序均完成后才能开始； （3）只能在两项工序均完成后才能开始； （4）其余每项工序相互独立，无先后依赖关系； （5）一项工序只能由一名员工负责，该工序完成后员工才能接手其他工序．各项工序所需时间如表所示： 工序 所需时间（天） 20 18 19 15 14 11 6 5 4 3 在不考虑其他因素的前提下，若由若干名员工合作完成筹备工作，则至少需要___________天才能全部完成；若要在最短时间内合作完成筹备工作，则最少需要_______________名员工共同参与． 【答案】 ①. 25 ②. 5 【解析】 【分析】本题可通过分析各工序的先后依赖关系，理安排工序，分别计算出单独完成和合作完成时的最短时间与最少员工数． 工序A(20天)、B(18天)可并行这部分最长时间由 A 决定，为20天，之后H(5天)才能开始．工序C(19天)、D(15天)可并行最长时间由C决定，为19天，之后J(3天)才能开始． 工序E(14天)、G(6天)可并行最长时间由E决定，为14天，之后I(4天)才能开始． 工序 F(11天)可单独进行．然后，计算各部分的时间即可得出答案． 把各工序的时间相加然后除以最短的天数即可得出答案。 【详解】解：A、B并行后H所需时间∶(天)． C、D 并行后J所需时间∶(天)． E、G并行后I时间∶(天) F单独所需时间∶11天． 取各部分时间的最大值，即25天，所以单独完成最少需要25天． （人） 因为员工为整数， 所以人数取5， 所以，最少需5名员工共同参与． 故答案为：25；5 三、解答题 17. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解：原方程为， 方程两边同除以，得 ， 直接开平方得， ∴， ； 【小问2详解】 解：原方程为 ， 移项得， 提取公因式得 ， ∴ 或 ， 解得， . 18. 一个反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的解析式． （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1）该反比例函数的解析式为． （2）的取值范围是． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求反比例函数的解析式即可． （2）当时，求出x的值，再结合反比例函数的图象和性质求解即可． 【小问1详解】 解：把代入， 则， 解得， 则该反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：当时，则， 解得． ∵， ∴反比例函数在第二、四象限，且在各自的象限内y随着x的增大而增大． ∴当时，． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）画出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． 【答案】（1）解： 如图所示； （2） 如图所示，点坐标为． 【解析】 【分析】（1）关于原点对称的两点横纵坐标分别互为相反数，分别求出点，，的坐标依次描点连线即可； （2）根据网格结构找出点、、分别绕点旋转后的对应点，，的位置，顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出的坐标． 【小问1详解】 坐标关于原点对称 ，，，在坐标系中依次找到，连接，，； 【小问2详解】 略． 20. 关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）已知方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式大于等于0，列不等式求解即可得到的取值范围； （2）根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知等式求解，验证符合第一问的取值范围即可得到结果. 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，其中，，， 代入得 ， 解得； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可得：，， ∵， ∴，解得. ∵，符合的取值范围， ∴的值为. 21. 已知二次函数． （1）将化成的形式，并写出其图象的顶点坐标； （2）将化成的形式，并写出此函数图象与轴交点的坐标； （3）在平面直角坐标系中，画出此函数的图象，并直接写出当时的取值范围． 【答案】（1）， （2），， （3）如图： 【解析】 【分析】（1）将一般式转化为顶点式，再写出顶点坐标即可； （2）将一般式转化为交点式，再写出交点坐标即可； （3）利用描点法画出函数图象，结合图象判断的范围即可． 【小问1详解】 解：， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：， 将代入，得， ， 解得，， ∴与轴的交点坐标为， 【小问3详解】 解：由图象可知，当，取得最大值；当，取得最小值； ∴当时，的取值范围为． 22. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． （1）求二次函数的表达式． （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点M作y轴的平行线交于点H，利用分割法求出三角形的面积即可. 【小问1详解】 解：设函数的表达式为， 将点代入得，解得， 故二次函数的表达式为， 即； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，， ． ∵A点坐标为，对称轴为直线， ， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴直线函数表达式为， 把代入得， 过点M作y轴的平行线交于点H，则点， ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求正比例函数的解析式； （2）点是轴正半轴上的一点，若的面积为8，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据代入求解即可． 【小问1详解】 解：在反比例函数的图象上， ，则， 点在正比例函数的图象上， ，则， ∴正比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：联立和得，即，则， ∴， 的面积为8，即， ， ， ∵点是轴正半轴上的一点， 点的坐标为． 24. 商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答： （1）当每件商品售价定为140元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？ （2）当每件商品销售价定为多少元时，商场日盈利可达1500元？ （3）当每件商品销售价定为多少元时，商场日盈利可达最大值？是多少？ 【答案】（1）每天可销售60件商品，商场获得的日盈利是1200元 （2）每件商品售价为150元或170元时，商场日盈利达到1500元 （3）当每件商品的销售价定为160元时，能使商场的日盈利最多，1600元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程解实际问题的运用，解答时灵活运用销售问题的数量关系是解答的关键． （1）首先求出每天可销售商品数量，然后可求出日盈利； （2）设商场日盈利达到1500元时，每件商品售价为x元，根据每件商品的盈利×销售的件数=商场的日盈利，列方程求解即可； （3）设每件商品售价为x元，则每日销售商品为件，根据“总利润=单件利润×销售量”得出函数关系式，再配方即可得其最值情况． 【小问1详解】 解：当每件商品售价为140元时，比每件商品售价130元高出10元， 即（元）， 则每天可销售商品60件，即（件）， 商场可获日盈利为（元）． 答：每天可销售60件商品，商场获得的日盈利是1200元； 【小问2详解】 解：设商场日盈利达到1500元时，每件商品售价为x元， 则每件商品比130元高出元，每件可盈利元， 每日销售商品为（件）， 依题意得方程， 整理，得， 解得：． 答：每件商品售价为150元或170元时，商场日盈利达到1500元； 【小问3详解】 解：设每件商品售价为x元，则每日销售商品为件， 则商场的日盈利 ， ∴当时，w取得最大值，最大值为1600， 答：当每件商品的销售价定为160元时，能使商场的日盈利最多，1600元． 25. 小强发现家里智能冰箱内的温度刚好为时，制冷启动，当温度降低到设定温度时，制冷停止，然后温度逐渐上升，当温度上升到时，制冷又启动，开始下一个周期的运行． 他想知道按此规律运行，冰箱内的温度与时间之间存在怎样的关系，并且预测任意时刻冰箱内的温度．于是，小强记录了一个运行周期内部分温度及对应时间的数据如表所示： 时间 0 2 3 4 6 8 9 12 18 24 温度 然后以x的数值为横坐标，y的数值为纵坐标建立平面直角坐标系如图所示，在坐标系中描出以表中的数对为坐标的点．请完成下列问题： （1）用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来； （2）结合表格中的数据，观察（1）中作出的图象，经过猜想、验证可得： 当时，y与x的函数表达式为______； 当时，y与x的函数表达式为______； （3）冰箱的一个运行周期时长为______分钟； （4）当冰箱温度刚好达到时，继续运行120分钟，此时冰箱内的温度是______． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）； （3）36 （4） 【解析】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的应用： （1）用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来得函数图象； （2）根据函数图象猜想函数满足得函数关系，然后用待定系数法求出函数解析式，再逐一验证即可； （3）令，求出x的值即可； （4）根据冰箱运行的周期求出124分钟为3个周期零16分钟，则求出时y的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：结合表格中的数据，观察（1）中作出的图象，经过猜想，当时，y与x的函数为一次函数，当时，y与x的函数为反比例函数， 当时，设y与x的函数表达式为， 把代入函数解析式得： ，解得：， ∴当时，设y与x的函数表达式为； 当时，y与x的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴当时，y与x的函数表达式为； 故答案为：；； 【小问3详解】 解：当时，， 解得：， ∴冰箱的一个运行周期时长为36分钟， 故答案为：36； 【小问4详解】 解：当冰箱温度刚好达到时，继续运行120分钟，总共为124分钟， ∵， ∴124分钟冰箱运行3个周期零16分钟， 当时，， ∴冰箱内的温度是， 故答案为：． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大．求a的取值范围． 【答案】（1），． （2）①的长为9；②． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）将和点代入解析式即可求解； （2）①当，抛物线表达式为，直线表达式为，继而求出，，则，即可求解； ②先求出，，得到， 令，即，解得或，推导出，分类讨论：第一种情况：分，第二种情况：，逐个分析求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线，经过点和点， ∴， ∴ ∴； 【小问2详解】 ①如图， 当时，，抛物线表达式为，直线表达式为， ∵点作x轴的垂线，， ∴当时，，即， ，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将，代入，得 ，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， ∵在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大， ∴， 第一种情况：当时，有，即点在轴右侧，即点从原点向右运动，如图 有点N在点M的上方，， ∴ ， ，抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，随t的增大而增大， ∵从点O运动到点的过程中，的长始终随的长的增大而增大， ∴，即， ∵， ∴． 第二种情况：当时，，即点在轴左侧，即点P(t，0)从原点向左运动，如图 有点M在点N的上方，且， ∴ ， ，抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，的值随t的增大而增大， ∵ ∴ ∴当时，随t的增大而增大，此时随t的增大而减小， 即当时，随t的增大而增大，而从点O向左运动到点的过程中，的长会先随的长的增大而减小，不符合题意，舍去． 综上所述，． 27. 如图，四边形是正方形，点E是边上一点，连接、，以为斜边作等腰直角三角形，连接交于G，过点G作交延长线于点H． （1）求证：； （2）判断与有什么数量关系，并说明理由； （3）若，，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：如图，过点G作交于点P， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）， 理由：如图，在上截取，过点F作交延长线于点M，过点F作交延长线于点N，连接，，，，， ∵是正方形的对角线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，点H，G，K三点共线，， ∵，， ∴，，四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， ∵， ∴， 设， 在中，，即点G为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴， 由正方形的对称性，可得， ∴， ∴，且, ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． （3） 【解析】 【分析】（1）过点G作交于点P，由等腰直角三角形的性质和角度和差关系证明，从而证得结论； （2）在上截取，过点F作交延长线于点M，过点F作交延长线于点N，连接，，，，，先证明，再证明，得出是等腰直角三角形，紧接着利用等腰直角三角形的性质和一线三垂直模型证明，得到，最后通过倒角证得四边形是正方形，继续证得，通过全等三角形的性质即可得出最终结论； （3）由（2）的结论并利用勾股定理求出，的长度，再通过勾股定理求出等腰直角三角形的斜边长，最终利用等腰直角三角形的性质求出的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知，四边形是正方形， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的边长为， ∵， ∴正方形的边长为3， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵是等腰直角三角形， ∴． 28. 在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点和函数图象，给出如下定义：过点作竖直直线交图象于点；过点作水平直线交图象于点，若存在多个交点，选取横坐标与点最接近的交点为，称线段的长度为点对图象的纵横距． 已知：反比例函数，抛物线，直线． （1）求点对反比例函数的纵横距． （2）当时，点的纵坐标为，若点对抛物线的纵横距等于，直接写出点的横坐标． （3）点在直线上运动，定点，点在线段上，且．当点对反比例函数的纵横距等于时，求此时点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）根据题意计算出点、的坐标，再求出线段的长即可； （2）先计算出点的坐标，设点，表示出点的坐标后，利用勾股定理构造方程，求解出即可； （3）设点的坐标为，表示出点、的坐标，再根据的长构造方程求解出的值．由题意可知，点为的中点，使用中点公式计算出点的坐标． 【小问1详解】 解：由题意可知，轴， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， 同理，将代入，得， ∴点的坐标为， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可得，抛物线解析式为， 将代入，得， ， 解得， ∴点的坐标为， 设点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴， 设，则原方程为， 因式分解，得， 解得，， ∵， ∴，即， 解得，， ∴点的横坐标为或； 【小问3详解】 解：设点的坐标为， 将代入，得；将，代入，得； ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴，即 ∴， 当时， 整理，得， 解得或， 当时， 整理，得， 解得或， 经检验，或，都符合原方程， ∴点的坐标为或或或， ∵点在线段上，且， ∴点为的中点， 又∵， ∴点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $