精品解析：北京交通大学附属中学2026--2027学年度第一学期九年级9月阶段性练习 数 学

北京交大附中2026—2027学年度第一学期初三年级9月阶段性练习 数学 （试卷满分100分，考试时间120分钟．） 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）． A. 1 B. －1 C. D. 不存在 3. 抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 某年5个城市的人均生活用电量如下表所示： 城市 A B C D E 人均生活用电量／ （） 根据人均生活用电量的组内离差平方和最小的原则，把这5个城市分为两组．现有四种分组方法，并分别算出四种分法的组内离差平方和，如下表所示．正确的分组方法是（ ） 分组 组内离差平方和 第一种：和 第二种：和 第三种：和 第四种：和 A. 第一种 B. 第二种 C. 第三种 D. 第四种 7. 随着科技的飞速发展，新能源汽车越来越多地走进人们的生活．北京市新能源汽车保有量从2022年的万辆到2024年的万辆，呈现出逐年增加的趋势．设新能源汽车的保有量从2022年到2024年的年平均增长率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，点，．若点C不与点A重合，且以B，O，C为顶点的三角形与全等，则称C为B的“友好点”．给出下面四个结论： ①对于所有的点B，在y轴上都有B的“友好点”； ②能够找到点B，使得在x轴上有B的“友好点”； ③对于所有的点B，在第一象限内都有B的“友好点”； ④能够找到点B，使得在第四象限内有B的“友好点”． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是________________． 10. 在中，若，则的度数为______度． 11. 一次实验竞赛由笔试、实践操作、结果分析、答辩四项构成，甲、乙两组的各项成绩（十分制）如下表所示． 小组 笔试 实践操作 结果分析 答辩 甲组 9 7 7 9 乙组 7 8 9 m 对笔试、实践操作、结果分析、答辩成绩分别赋权2，4，2，2，计算每组的平均成绩．如果甲、乙两组的平均成绩相同，那么m的值为________． 12. 如图，矩形的对角线、相交于点O，，那么的长是______． 13. 如果a是一元二次方程的一个根，那么代数式=__________. 14. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 15. 如图，在中，，点D，E分别在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点为F，点F刚好落在边上．若，，则的长为_______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于点，与函数的图象交于，两点．有以下三个结论： ①关于的方程的解是； ②关于的不等式的解集是； ③是直角三角形． 所有正确结论的序号是_________________． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题6分，第22题4分，第23题6分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 用适当的方法解方程：． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，该方程总有实数根； （2）若这个一元二次方程的一根大于2，求的取值范围． 20. 在数学课上，老师布置任务：利用尺规“作以线段为对角线的正方形”． 小丽的作法如下： ①分别以点、为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于、两点； ②连接，与交于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，与交于、两点； ④分别连接线段．所以四边形就是所求作的正方形． 根据小丽的作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵， ∴四边形为平行四边形．（ ）（填推理的依据） ∵，即， ∴四边形为矩形．（ ）（填推理的依据） ∵ ， ∴四边形为正方形．（ ）（填推理的依据） 21. 已知抛物线与轴的交点为，抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）直接写出抛物线的顶点坐标，并在平面直角坐标系中画出抛物线； （3）当时，直接写出的取值范围． 22. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 23. 如图，在中，，点D、E分别是、的中点．连接并延长至点F，使得． 连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接．若，， ． 24. 某校为促进学生养成健康生活习惯，组织该校A，B两个校区的全体学生开展了青少年健康知识测试．为了解八年级学生对健康知识的掌握情况，从A，B两个校区的八年级学生中各随机抽取了20名学生的成绩（百分制且为整数），并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 表1 成绩x/分 人数 1 3 2 4 m 4 2 a．从A校区抽取的学生成绩如表1所示； b．从B校区抽取的学生成绩按由小到大顺序排列如下： 70 74 77 77 78 79 79 81 82 85 85 85 85 87 88 88 91 96 96 97 c．从A，B两个校区抽取的学生成绩的箱线图如图1（不完整）； d．从A，B两个校区抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表2： 表2 校区 平均数 中位数 众数 A校区 84 n 82 B校区 84 85 p 根据以上信息，回答下列问题： （1）表1中________；表2中________，________； （2）在图1中补全B校区的箱线图，并标注相关数据； （3）已知从A校区抽取的学生成绩中某位学生的成绩是90分，请判断从A校区抽取的学生成绩中是否还有其他学生的成绩也是90分，并说明理由； （4）已知A，B校区八年级各有160名学生，估计这两个校区八年级学生中成绩不低于90分的学生一共有多少人． 25. 小静根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小静的探究过程，请补充完整： （1）函数的自变量x的取值范围是_______； （2）下表是y与x的几组对应值． … 0 1 3 4 … … 1 4 4 1 … 表中的________； （3）如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象，并写出一个该函数的性质：_______； （4）结合函数图象，点和点在函数的图象上，且成立，则a的取值范围是______． 26. 竹编是我国历史悠久的经典传统手工艺，并成功入选国家级非物质文化遗产名录．竹编以竹篾为原料，采用平编、绞编等传统技法，编织成各类实用器具与工艺精品． 为提升生产效率，某竹编工厂引入机器人作业，将平编与绞编两项技法编写为计算机程序．已知一件产品只采用一种编织技法，机器人每完成一件产品后，便会从头开始执行程序编织下一件产品，直至完成全部生产任务．记平编或绞编的编织时间为，平编的编织面积为（单位：），绞编的编织面积为（单位：），部分数据如下： 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 … 0 1.2 2.4 m 4.8 6.0 7.2 … 0 0.8 2.0 3.8 6.2 9.0 12.0 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与t，与t之间的关系，其中与t的关系可以近似用正比例函数刻画． （1）表中m的值为______（结果保留小数点后一位）； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出与t，与t的函数图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决以下问题： ①两台机器人分别用平编和绞编各编织一个面积为的产品，若它们同时开始编织，则它们完成产品所用的时间相差______； ②该工厂接到一批补购订单，需要平编产品200件，绞编产品100件，且每件产品的面积都为．开始时机器人A编织平编产品，机器人B编织绞编产品，工作一段时间后，机器人B出现故障无法工作．机器人A完成所有平编产品后，调整为绞编程序，接着机器人B的进度完成剩余的绞编产品．当编织完所有产品时，机器人A编织的总面积为．若生产两件产品之间的时间间隔忽略不计，则机器人B出现故障前大约工作了______（结果保留小数点后一位）． 27. 已知：在正方形中，点E是延长线上一点，且，连接，过点D作的垂线交直线于点F，连接，取的中点G，连接． （1）当时， ①补全图1； ②求证：； ③用等式表示线段之间的数量关系，并证明． （2）如图2，当时，请你直接写出线段之间的数量关系． 28. 在平面直角坐标系中，对于线段和不在直线上的点，给出如下定义：作点关于直线的对称点，若线段上存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则称点是线段的“关联点”． （1）如图，点，，在点，，中，线段的“关联点”是________； （2）已知点，，，．若线段上的任意一点都是线段的“关联点”，直接写出的取值范围； （3）已知点，点在x轴上方且．若点是线段的“关联点”，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京交大附中2026—2027学年度第一学期初三年级9月阶段性练习 数学 （试卷满分100分，考试时间120分钟．） 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；依次进行选择即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不合题意； B．不是轴对称图形，不合题意； C．是轴对称图形，符合题意； D．不是轴对称图形，不合题意． 2. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）． A. 1 B. －1 C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，需同时满足次数和系数条件．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为零． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴ 且， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 3. 抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解：抛物线向右平移2个单位得，再向下平移1个单位得． ​​​​​​​故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解答本题的关键． 4. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分求边长，再结合面积法求． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，， ， ， ，即， 解得． 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式． 根据一元二次方程根的判别式及方程有两个相等的实数根，即可求得． 【详解】解： 解得， 故选：C． 6. 某年5个城市的人均生活用电量如下表所示： 城市 A B C D E 人均生活用电量／ （） 根据人均生活用电量的组内离差平方和最小的原则，把这5个城市分为两组．现有四种分组方法，并分别算出四种分法的组内离差平方和，如下表所示．正确的分组方法是（ ） 分组 组内离差平方和 第一种：和 第二种：和 第三种：和 第四种：和 A. 第一种 B. 第二种 C. 第三种 D. 第四种 【答案】C 【解析】 【分析】只需比较题目给出的四种分组的组内离差平方和大小，选取最小值对应的分组即可． 【详解】解：∵四种分组的组内离差平方和分别为，，，， ∴比较大小得， ∵分组原则为组内离差平方和最小， ∴第三种分组符合要求． 7. 随着科技的飞速发展，新能源汽车越来越多地走进人们的生活．北京市新能源汽车保有量从2022年的万辆到2024年的万辆，呈现出逐年增加的趋势．设新能源汽车的保有量从2022年到2024年的年平均增长率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据年平均增长率的定义，每年增长相同的比例，故2024年的保有量等于2022年的保有量乘以． 【详解】解：设年平均增长率为x， ∵ 2022年保有量为万辆， ∴ 2023年保有量为万辆， ∴2024年保有量为万辆， 又∵2024年保有量为万辆， ∴． 故选：D． 8. 在平面直角坐标系中，点，．若点C不与点A重合，且以B，O，C为顶点的三角形与全等，则称C为B的“友好点”．给出下面四个结论： ①对于所有的点B，在y轴上都有B的“友好点”； ②能够找到点B，使得在x轴上有B的“友好点”； ③对于所有的点B，在第一象限内都有B的“友好点”； ④能够找到点B，使得在第四象限内有B的“友好点”． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】 先明确的边长特征，再逐个判断每个结论，通过计算或举例验证结论是否成立． 【详解】解：∵，，， ∴是直角三角形，，三边长为，，， ① 对任意，取点，该点在轴上，此时，，为公共边， ∴，且不与重合， 因此轴上一定存在友好点，①正确； ② 假设轴上存在友好点，不与重合，也不能与重合（否则无法构成三角形）， ∵全等三角形斜边相等，斜边为， ∴， 解得或，均不符合要求， 因此轴上不存在友好点，②错误； ③ 当时，所有符合条件的友好点为（在轴），第一象限内没有友好点， 因此不是对所有点都成立，③错误； ④ 举例：取，如图，设与轴交于点，过点作轴于点， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，该点在第四象限， 因此存在这样的点，使得在第四象限内有B的“友好点”，故④正确， 综上，正确结论为①④． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需大于等于0，本题分母为常数，不限制的取值，据此列不等式求解即可． 【详解】解：要使代数式有意义，则需， 解得． 10. 在中，若，则的度数为______度． 【答案】65 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形邻角互补求解即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 11. 一次实验竞赛由笔试、实践操作、结果分析、答辩四项构成，甲、乙两组的各项成绩（十分制）如下表所示． 小组 笔试 实践操作 结果分析 答辩 甲组 9 7 7 9 乙组 7 8 9 m 对笔试、实践操作、结果分析、答辩成绩分别赋权2，4，2，2，计算每组的平均成绩．如果甲、乙两组的平均成绩相同，那么m的值为________． 【答案】7 【解析】 【分析】先根据加权平均数计算公式求出甲组的加权平均成绩，再根据两组平均成绩相等建立关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：权重总和：． 甲组的加权平均成绩：， 乙组的加权平均成绩：， 由题意得， 即， 解得． 12. 如图，矩形的对角线、相交于点O，，那么的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，利用矩形的性质可得出，利用等边三角形的判断与性质可求出，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形的对角线、相交于点O， ∴，，，， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如果a是一元二次方程的一个根，那么代数式=__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a2-3a=5，再把8-a2+3a变形为8-（a2-3a），然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：把x=a代入x2-3x-5=0得a2-3a-5=0， 所以a2-3a=5， 所以8-a2+3a=8-（a2-3a）=8-5=3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 14. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合判断两点横坐标的位置，即可比较与的大小． 【详解】解：对函数解析式配方得， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， ， ． 15. 如图，在中，，点D，E分别在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点为F，点F刚好落在边上．若，，则的长为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的不变性是解题的关键．设，则，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知， 设，则， ∵，， ∴，即， 解得， 故答案为：3． 16. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于点，与函数的图象交于，两点．有以下三个结论： ①关于的方程的解是； ②关于的不等式的解集是； ③是直角三角形． 所有正确结论的序号是_________________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】①先算出、、的坐标，再根据函数图象求解；②先对进行变形，再根据函数图象求解；③分别求出，，，再根据勾股定理判断即可． 【详解】解：据图可知，点的坐标为， 当，代入可得，则点的坐标为， 当，代入可得，则点的坐标为， 即为直线与直线交点的横坐标，直线与直线交于点， 的解是，①正确； ， ，即直线图象大于直线的图象的范围， 直线与交于点， ，②错误； 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ，，， ， 是直角三角形，③正确， 综上，正确结论的序号是①③． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题6分，第22题4分，第23题6分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】解： ． 18. 用适当的方法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查完全平方公式，将方程的一边配成一个完全平方式，进而求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 即． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，该方程总有实数根； （2）若这个一元二次方程的一根大于2，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴对于任意实数m，该方程总有实数根； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式及解一元二次方程，正确运用判别式是解题的关键： （1）根据一元二次方程判别式为，即可解答； （2）解方程，求得，，根据题意得到，解不等式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的两个实数根为，， ， ∴，， ∵这个一元二次方程的一根大于2， ∴， 解得：， ∴m的取值范围． 20. 在数学课上，老师布置任务：利用尺规“作以线段为对角线的正方形”． 小丽的作法如下： ①分别以点、为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于、两点； ②连接，与交于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，与交于、两点； ④分别连接线段．所以四边形就是所求作的正方形． 根据小丽的作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵， ∴四边形为平行四边形．（ ）（填推理的依据） ∵，即， ∴四边形为矩形．（ ）（填推理的依据） ∵ ， ∴四边形为正方形．（ ）（填推理的依据） 【答案】（1） 补全图形，如图所示； （2） 对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形；；对角线互相垂直的矩形是正方形． 【解析】 【分析】此题主要考查了基本作图和证明四边形是正方形，熟练掌握正方形的判定方法是解决此题的关键． （1）根据作图步骤画出图形即可； （2）根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形进行判定即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知抛物线与轴的交点为，抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）直接写出抛物线的顶点坐标，并在平面直角坐标系中画出抛物线； （3）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）它的顶点坐标为； 图象如图所示： ； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次函数的图象成为解答本题的关键． （1）利用待定系数法求得二次函数的解析式，再运用配方法将原解析式化为顶点式即可； （2）根据（1）所得的顶点式，利用五点作图法直接画出图象即可； （3）根据函数图象确定当时对应的y的取值范围即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：； ∴它的顶点坐标为； 列表如下： x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 图象略； 【小问3详解】 解：当时，的最大值为4， 由图象可得，当时，． 22. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，画出临界状态图象分析即可． 【小问1详解】 解：由题意，将代入得：， 解得：， 将，，代入函数中， 得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， 即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为： 由图象得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意， ∴当直线与直线平行时，， ∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方时，， ∴m的取值范围为． 23. 如图，在中，，点D、E分别是、的中点．连接并延长至点F，使得． 连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接．若，， ． 【答案】（1） 证明：∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ 在中，，点D是的中点， ∴ ， ∴ 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形与平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记相关内容是解题关键． （1）根据．，先求证四边形是平行四边形；结合即可求证； （2）过点F作交的延长线于点G．根据勾股定理分别求出即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点F作交的延长线于点G． ∴． ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． 24. 某校为促进学生养成健康生活习惯，组织该校A，B两个校区的全体学生开展了青少年健康知识测试．为了解八年级学生对健康知识的掌握情况，从A，B两个校区的八年级学生中各随机抽取了20名学生的成绩（百分制且为整数），并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 表1 成绩x/分 人数 1 3 2 4 m 4 2 a．从A校区抽取的学生成绩如表1所示； b．从B校区抽取的学生成绩按由小到大顺序排列如下： 70 74 77 77 78 79 79 81 82 85 85 85 85 87 88 88 91 96 96 97 c．从A，B两个校区抽取的学生成绩的箱线图如图1（不完整）； d．从A，B两个校区抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表2： 表2 校区 平均数 中位数 众数 A校区 84 n 82 B校区 84 85 p 根据以上信息，回答下列问题： （1）表1中________；表2中________，________； （2）在图1中补全B校区的箱线图，并标注相关数据； （3）已知从A校区抽取的学生成绩中某位学生的成绩是90分，请判断从A校区抽取的学生成绩中是否还有其他学生的成绩也是90分，并说明理由； （4）已知A，B校区八年级各有160名学生，估计这两个校区八年级学生中成绩不低于90分的学生一共有多少人． 【答案】（1）4：85，85 （2） （3）没有，理由：由图1可知A校区样本成绩的第三四分位数是91.5，而成绩均为整数，因此A校区的样本中有5名学生的成绩大于91.5．由表1可知A校区的样本中共有6名学生的成绩不低于90分，因此只有1名学生的成绩是90分． （4）80人 【解析】 【分析】（1）根据总数可得，结合中位数、众数的求解方式可得； （2）根据题意画出箱线图即可； （3）根据箱线图的第三四分位数是91.5，结合A校区的样本中共有6名学生的<>成绩不低于90分即可判断； （4）根据样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：； 由箱线图可知A校区学生成绩的中位数； B校区抽取的学生成绩出现次数最多的是，则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：（人）． 估计这两个校区八年级学生中<>成绩不低于90分的学生一共约有80人． 25. 小静根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小静的探究过程，请补充完整： （1）函数的自变量x的取值范围是_______； （2）下表是y与x的几组对应值． … 0 1 3 4 … … 1 4 4 1 … 表中的________； （3）如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象，并写出一个该函数的性质：_______； （4）结合函数图象，点和点在函数的图象上，且成立，则a的取值范围是______． 【答案】（1） （2） （3）解：由（2）中表格可作函数图象如下： ；图象关于直线对称（答案不唯一） （4）且 【解析】 【分析】（1）根据分式有意义的条件可进行求解； （2）把代入函数解析式进行求解即可； （3）根据列表、描点、连线可进行作图，然后根据函数图象可进行求解； （4）根据（3）中函数图象可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：， ∴函数的自变量x的取值范围是； 【小问2详解】 解：把代入函数得：， 即； 【小问3详解】 解：图略； 由图象可知：该函数的图象关于直线对称（答案不唯一）； 【小问4详解】 解：由（3）的图象可知：当点和点在函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴， 综上所述：a的取值范围是且． 26. 竹编是我国历史悠久的经典传统手工艺，并成功入选国家级非物质文化遗产名录．竹编以竹篾为原料，采用平编、绞编等传统技法，编织成各类实用器具与工艺精品． 为提升生产效率，某竹编工厂引入机器人作业，将平编与绞编两项技法编写为计算机程序．已知一件产品只采用一种编织技法，机器人每完成一件产品后，便会从头开始执行程序编织下一件产品，直至完成全部生产任务．记平编或绞编的编织时间为，平编的编织面积为（单位：），绞编的编织面积为（单位：），部分数据如下： 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 … 0 1.2 2.4 m 4.8 6.0 7.2 … 0 0.8 2.0 3.8 6.2 9.0 12.0 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与t，与t之间的关系，其中与t的关系可以近似用正比例函数刻画． （1）表中m的值为______（结果保留小数点后一位）； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出与t，与t的函数图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决以下问题： ①两台机器人分别用平编和绞编各编织一个面积为的产品，若它们同时开始编织，则它们完成产品所用的时间相差______； ②该工厂接到一批补购订单，需要平编产品200件，绞编产品100件，且每件产品的面积都为．开始时机器人A编织平编产品，机器人B编织绞编产品，工作一段时间后，机器人B出现故障无法工作．机器人A完成所有平编产品后，调整为绞编程序，接着机器人B的进度完成剩余的绞编产品．当编织完所有产品时，机器人A编织的总面积为．若生产两件产品之间的时间间隔忽略不计，则机器人B出现故障前大约工作了______（结果保留小数点后一位）． 【答案】（1） （2） 与t，与t的函数图象如图所示： （3）①；② 【解析】 【分析】（1）先求出与t的关系式为，再求出当时的值，即可得解； （2）描点、连线即可画出函数图象； （3）①当时，，解得；根据表格数据可得，当时，，由此即可得出结果； ②先求出机器人B编织的总面积，再结合表格计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵与t的关系可以近似用正比例函数刻画， ∴设， 将代入解析式可得， 解得：， ∴与t的关系式为， 当时，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当时，， 解得：； 根据表格数据可得，当时，， ∴它们完成产品所用的时间相差； ②由题意可得：平编产品总面积为， 绞编产品总面积为， ∵当编织完所有产品时，机器人A编织的总面积为， ∴机器人B编织的总面积为， ， 即机器人B编织了45件，又编制了， 根据图象可得：机器人B编织需要的时间约为，编制需要，即机器人B编织1件产品需要， 故机器人B出现故障前大约工作了． 27. 已知：在正方形中，点E是延长线上一点，且，连接，过点D作的垂线交直线于点F，连接，取的中点G，连接． （1）当时， ①补全图1； ②求证：； ③用等式表示线段之间的数量关系，并证明． （2）如图2，当时，请你直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1）①如图即为所求， ②证明：四边形是正方形， ，， ， ，， 即， ， ∴； ③，理由如下： 在上取一点，使得，连接， ， ； ，点是的中点， 是的中位线， ， 由②得，，， ，， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意作出图形即可； ②由正方形的性质 得，，进而 又，得，从而，于是证明； ③在上取一点，使得，连接，证是的中位线，得，再证明，利用勾股定理得，从而即可得解； （2）在延长线上取一点，使得，连接，由正方形的性质得，，进而证明，得，又证是的中位线，得再证，利用勾股定理得，从而即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 理由如下：在延长线上取一点，使得，连接． 四边形是正方形， ， ，， ，， 即， ， ， ， 点是的中点， 是的中位线，， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的中位线的判定及性质及垂线定义，熟练掌握三角形的中位线的判定及性质和正方形的性质是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，对于线段和不在直线上的点，给出如下定义：作点关于直线的对称点，若线段上存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则称点是线段的“关联点”． （1）如图，点，，在点，，中，线段的“关联点”是________； （2）已知点，，，．若线段上的任意一点都是线段的“关联点”，直接写出的取值范围； （3）已知点，点在x轴上方且．若点是线段的“关联点”，直接写出的值． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）分别作、、关于直线的对称点、、，通过题意可得轴，结合平行四边形的性质得出垂直且平分，分别求出点关于、、的对称点的坐标，即可求解； （2）结合定义得出，结合平行四边形的性质推得垂直且平分，垂直且平分，当点与点重合时，点与点重合，此时有最大值，根据垂直平分线的性质和勾股定理列出方程求出的最大值为；当点在线段上时，不存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，得出或；当点与点重合时，点与点重合，此时有最小值，根据垂直平分线的性质和勾股定理列出方程求出的最小值为，即可求解； （3）先根据待定系数法求出线段所在直线的解析式为（且），令点关于线段的对称点为点，点为与线段的交点；设的坐标为，则的中点的坐标为，根据一次函数的性质求出点的坐标为，分、、是以点，，，为顶点的四边形的对角线三种情况，结合平行四边形的性质和平移的特征确定出点的坐标，根据一次函数的性质求出的值，即可． 【小问1详解】 解：分别作、、关于直线的对称点、、，如图： 则点、在轴上， ∵点、关于直线对称， 故； ∵点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点、均在轴上， 故， ∵对角线、互相平分， ∴垂直且平分． 故点关于的对称点的坐标为， 点关于的对称点的坐标为， 点关于的对称点的坐标为， ∵点的坐标为，的坐标为， 故点、在线段上， ∴在点，，中，线段的“关联点”是，． 【小问2详解】 解：∵，， 故线段在轴上， ∵线段上的任意一点都是线段的“关联点”， 若点是线段上的一点，则令点关于线段的对称点为点，点是对角线和的交点， 故； 结合定义可得，点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 故，， 即垂直且平分，垂直且平分， 如图：当点与点重合时，点与点重合，此时有最大值， 则， ∵垂直且平分，垂直且平分， ∴，， ∴， ∵点在轴上， 即轴， 故轴， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴， 故， 解得． 当点在线段上时，不存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 此时，即， 故符合要求的满足或． 如图：当点与点重合时，点与点重合，此时有最小值， 则， ∵垂直且平分，垂直且平分， ∴，， ∴， ∵点在轴上， 即轴， 故轴， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴， 故， 解得． 综上，的取值范围为或． 【小问3详解】 解：∵点在x轴上方且， 故且． 设线段所在直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 故线段所在直线的解析式为（且）， 令点关于线段的对称点为点，点为与线段的交点； 设的坐标为，则的中点的坐标为； ∵点在线段上， 故将代入，得， 整理得， 故点的坐标可以表示为， 当是以点，，，为顶点的四边形的对角线时，如图： 根据题意可得四边形为平行四边形，， 故，， ∴点的坐标为， 因为点在线段上， 故将代入，得， 整理得， 解得． 当是以点，，，为顶点的四边形的对角线时，如图： 根据题意可得四边形为平行四边形，， 故，， ∴点的坐标为， 因为点在线段上， 故将代入，得， 整理得， 解得（不符合题意，舍去）． 当是以点，，，为顶点的四边形的对角线时，如图： 根据题意可得四边形为平行四边形，， 故，， 将点向左平移个单位，向下平移个单位可以得到点， ∴将点向左平移个单位，向下平移个单位可以得到点， 故点的横坐标为，纵坐标为 ∴点的坐标为， 因为点在线段上， 故将代入，得， 整理得， 解得． 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $