专题05 函数及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）（期中复习讲义）高一数学上学期人教A版

专题05 函数及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性） 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 用定义法证明函数单调性 考点二 求（复合）函数的单调区间 考点三 根据函数（含分段函数）的单调性求参数 考点四 根据函数单调性解不等式 考点五 判断函数的奇偶性 考点六 利用函数奇偶性求参数，求值 考点七 函数的对称性、周期性、奇偶性综合应用 05 重难题型突破 题型一 函数图象识别 题型二 定义法证明函数的单调性 题型三 根据函数的奇偶性+单调性解不等式（小题） 题型四 根据函数的奇偶性+单调性解不等式（大题） 题型五 根据分段函数的单调性求参数 题型六 根据函数奇偶性求值 题型七 根据函数奇偶性求解析式 题型八 函数周期性、奇偶性，对称性 综合应用 题型九抽象函数问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 一、考点和题型 核心考点：函数单调性的定义、判断与证明（定义法）；单调区间求解；奇偶性的判定、奇偶函数图像特征；利用奇偶性化简、求值；周期性定义与简单应用；函数对称性（轴对称、中心对称）；性质综合（单调+奇偶，奇偶+周期）。 题型：选择、填空为主，解答题高频。小题常考性质判断、求值、比较大小；解答题多为用定义证明单调性，结合奇偶性求解不等式，经常和分段函数综合命题。 二、难易度 基础题：简单函数单调区间判断、奇偶性识别、利用奇偶性直接求值，属于基础必得分。 中档题：定义法证明单调性、奇偶性与单调性结合解抽象函数不等式；利用周期性进行函数值转化，为本专题期中重难点。 难题：多种性质（奇偶+周期+对称）综合抽象函数小题，属于区分题，一般不作为大题压轴。 三、考情总结 本专题是期中函数板块核心重点，侧重考查数形结合与逻辑推理。命题常将多个性质融合考查；高频失分点：证明单调性时缺少作差变形、忽略定义域；判断奇偶性忘记先看定义域是否关于原点对称；混淆周期、轴对称、中心对称结论。常和前面函数概念、不等式结合，是期中考试拉开分数的核心板块。 识记 1. 单调性：记住增函数、减函数定义；熟记用定义证明单调性的步骤：取值、作差、变形、定号、下结论；记住单调区间书写规范（区间之间不能用并集符号）。 2. 奇偶性：记住奇函数、偶函数定义；奇偶函数图像特征：奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于轴对称；记住奇函数在处有定义则。 3. 周期性：周期函数定义，，为一个周期；熟记简单周期变换结论。 4. 对称性：记住轴对称，中心对称的表达式。 理解 1. 单调性：理解单调性是局部性质，只针对区间；理解定义中任意，的含义，不能用特殊值判断增减。 2. 奇偶性：理解判断奇偶性先看定义域是否关于原点对称，定义域不关于原点对称则非奇非偶；区分函数奇偶性与单调性之间的关系（奇同偶异）。 3. 周期性与对称性：区分周期、轴对称、中心对称不同的代数关系式；理解抽象条件背后的图像含义；分清 “周期性” 是函数整体性质。 应用 1. 基础应用：判断简单函数、分段函数的奇偶性；根据图像写出单调区间；利用奇偶性直接求函数值。 2. 中档应用：用定义法证明函数单调性；利用单调性比较函数值大小；奇偶性+单调性结合，求解抽象函数不等式；利用周期性将自变量转化到已知区间求值。 3. 综合应用：奇偶、周期、对称性三者结合的抽象函数小题；分段函数多性质综合；结合前面不等式、函数定义域知识综合解题。 考点一 用定义法证明函数单调性 ⚠️记忆口诀 定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且 ②作差：计算 ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数 ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数 ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）利用单调性定义证明函数在上的单调性并求其最值． 2．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，证明：函数在上单调递减； 3．（24-25高一上·天津和平·期中）用函数单调性的定义证明：在上为单调递增函数． 4．（25-26高一上·陕西安康·期中）已知函数（）的图象经过点. (1)求函数的解析式，并求的值； (2)判断函数在区间单调性，并用定义证明. 考点二 求（复合）函数的单调区间 ⚠️避坑指南 解题时注意容易忽视考虑定义域 5．（26-27高三上·四川遂宁·开学考试）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·云南昆明·期中）函数的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 7．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·上海静安·期中）函数的单调递增区间为______． 考点三 根据函数（含分段函数）的单调性求参数 ⚠️记忆口诀 1、分段函数单调递增：需满足二个条件 ①各段在对应区间上均单调递增 ②在分段点处，左侧函数在处的值右侧函数在处的值（即左右） 2、分段函数单调递减：需满足二个条件 ①各段在对应区间上均单调递减 ②在分段点处，左侧函数在处的值右侧函数在处的值（即左右） 9．（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·江西宜春·期末）已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（多选）（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数在区间上单调递减，则实数的可能取值为（    ） A．0 B． C． D．1 12．（25-26高一上·贵州铜仁·期末）设函数，若对，都有，则实数的取值范围为______． 考点四 根据函数单调性解不等式 ⚠️记忆口诀 1、转化原理：若在定义域上单调递增，则；若单调递减，则 2、定义域限制：转化时务必注意函数的定义域，确保均在定义域内。 13．（25-26高一上·广西北海·期末）已知函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是______. 15．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在上的减函数，且，求的取值范围. 16．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数，. (1)证明：是增函数； (2)若，求实数的取值范围. 考点五 判断函数的奇偶性 17．（26-27高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3) 18．（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性： (1) (2)； (3) 19．（26-27高一上·全国·课堂例题）根据定义，判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) 20．（24-25高一上·全国·课前预习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 考点六 利用函数奇偶性求参数，求值 ⚠️记忆口诀 1、定义法：利用（偶函数）或（奇函数）在定义域上恒成立，代入解析式后比较系数，建立方程求参数 2、奇函数在处有定义：若奇函数在处有定义，则必有。这一结论是求奇函数参数的快捷条件 21．（26-27高一上·天津·期中）已知，是偶函数，则（ ） A． B． C． D．或 22．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数，且，那么（　　） A．10 B． C． D． 23．（26-27高一上·全国·课后作业）已知定义在R上的函数（k为常数）．若，则______. 24．（26-27高一上·全国·课堂例题）若函数为奇函数，求的值. 考点七 函数的对称性、周期性、奇偶性综合应用 ⚠️记忆口诀 1、轴对称：若函数关于直线对称，则 ①②③ 2、点对称：若函数关于直线对称，则 ①② ③ 3、点对称：若函数关于直线对称，则 ①②③ 4、设函数， ①若，则函数的周期 ②若，则函数的周期 ③若，则函数的周期 ④若，则函数的周期 ⑤，则函数的周期 25．（多选）（26-27高三上·湖北荆州·开学考试）若函数是定义域为的奇函数，且，，则下列说法正确的是（ ） A． B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点中心对称 D． 26．（多选）（25-26高三上·四川雅安·开学考试）已知定义在R上的偶函数满足：对任意的，都有，则下列结论中正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．是以为周期的周期函数 C．的图象关于直线对称 D． 27．（多选）（26-27高三上·海南海口·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，为偶函数，，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的一个周期为4 C． D．的图象关于点对称 28．（多选）（26-27高三上·甘肃平凉·阶段检测）已知定义域为的函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．为奇函数 C．是周期为4的函数 D．为偶函数 29．（多选）（26-27高三上·河北·开学考试）已知是定义域为的奇函数，且为偶函数，则（    ） A． B．的图象关于点对称 C．若函数在上单调递增，则不等式的解集为 D．若，则 30．（多选）（25-26高二下·河北沧州·期末）已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的一个周期为4 C． D．的图象关于点对称 题型一 函数图象识别 典例1 （26-27高一上·全国·期中）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ①特殊值法 ②奇偶性 ③单调性 迁移应用 1．（25-26高一下·湖南益阳·期中）函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·重庆九龙坡·期中）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·北京顺义·期中）函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 题型二 定义法证明函数的单调性 典例1 （26-27高一上·北京·期中）已知函数. (1)判断函数在上的单调性并用定义证明； (2)若函数满足不等式，求实数的取值范围. 💡破题要诀 定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且 ②作差：计算 ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数 ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数 ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 迁移应用 1．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数满足，. (1)求 (2)用定义法判断在上的单调性，并求在上的值域. 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，且定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性定义证明：在上单调递减； (3)解关于m的不等式． 3．（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数满足，． (1)求a，b的值，判断的奇偶性并证明； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求不等式的解集． 题型三 根据函数的奇偶性+单调性解不等式（小题） 典例1 （25-26高一上·河北承德·期中）已知奇函数在定义域上单调递减，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 迁移应用 1．（25-26高一下·江西九江·期中）若定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·重庆江北·期中）定义在上的奇函数为减函数，且，则实数的取值范围是__________. 3．（25-26高一上·天津红桥·期中）已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意两个不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为______． 题型四 根据函数的奇偶性+单调性解不等式（大题） 典例1 （25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义域在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)解不等式． 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数， (1)若，其中 （i）求，的解析式； （ii）若对于任意，都有，求实数a的取值范围. (2)若函数在上单调递增，求不等式的解集. 2．（25-26高一上·云南昭通·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式． 3．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数，，为偶函数. (1)求实数m的值； (2)判断并用定义证明在上的单调性； (3)解不等式. 题型五 根据分段函数的单调性求参数 典例1 （24-25高一上·四川宜宾·期中）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 迁移应用 1．（25-26高一上·云南昆明·期中）已知函数是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·重庆·期中）若函数在上是单调递增函数，则的取值集合是（    ）. A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知函数 满足：对任意时， 当时，都有 成立，则实数a的取值范围是（   ） A．( ,2] B． C．[2,+∞) D．[1,2] 题型六 根据函数奇偶性求值 典例1 （25-26高二下·江苏常州·期中）若函数的定义域为，且为奇函数，，则______． 迁移应用 1．（25-26高一上·广西玉林·期中）已知函数，若，则（    ） A．7 B． C．1 D． 2．（25-26高一上·广西贺州·期中）已知函数为奇函数，且当时，，则（   ） A．-9 B．-7 C．-10 D．10 3．（24-25高二下·陕西榆林·期中）已知偶函数满足：当时，，则_______． 题型七 根据函数奇偶性求解析式 典例1 （25-26高一上·安徽合肥·期中）已知偶函数的定义域为，且当时，，当，______． 迁移应用 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·贵州遵义·期中）函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·福建宁德·期中）设奇函数的定义域为，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 题型八 函数周期性、奇偶性，对称性 综合应用 典例1 （多选）（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知函数的定义域为，和均为偶函数，且当时，，则（   ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上单调递增 D．函数的图象关于点中心对称 迁移应用 1．（多选）（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，．则（    ） A．的最小正周期为4 B．的图象关于点对称 C．为奇函数 D．的解集为 2．（多选）（25-26高三下·云南昆明·期中）已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．为周期函数 B．的图象关于点对称 C．当时， D． 3．（25-26高三上·上海·期中）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则_______． 题型九 抽象函数问题 典例1 （25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知满足对任意，都有，且，当时，． (1)计算，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断并证明在上的单调性； (3)求不等式的解集． 迁移应用 1．（多选）（26-27高一上·全国·期中）设是定义在整数集上的函数，且满足，，对任意的都有，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．， D． 2．（多选）（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数的定义域是，对任意的实数满足，且，当1时，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．函数为偶函数 D．不等式的解集为 3．（25-26高一下·陕西安康·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. (1)求证：，且当时，； (2)判断在上的单调性； (3)若存在，使得，求实数的取值范围. 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27高一上·天津·期中）若函数是偶函数，则的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·全国·期中）是定义在上的奇函数，下列结论中，不正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·江苏·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·四川宜宾·期中）下列函数既是奇函数，又在其定义域上是单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知，则函数在下列区间内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·北京·期中）二次函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高一上·安徽·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．函数在内单调递减 B．函数在内没有最小值 C．函数的图象关于点对称 D．对，函数均为偶函数 8．（多选）（25-26高一上·江苏苏州·期中）对于函数（），下面几个结论中正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数是奇函数 C．函数的值域为 D．函数在上是增函数 9．（25-26高三下·上海宝山·期中）若函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为______. 10．（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知函数为偶函数，则__________. 11．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数. (1)当时，分别求出函数在上的值域； (2)求关于x的不等式的解集. 12．（25-26高一上·陕西延安·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，. (1)当时，求的解析式； (2)画出函数的图象： 13．（25-26高一上·海南儋州·期中）设函数 (1)求的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并加以证明. 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知的定义域为，为偶函数，且对，恒成立，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河北唐山·期中）若任取，且成立，则称是上的凸函数，下列函数中是凸函数的为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知定义域为的偶函数满足，且当时，，则（   ） A．2 B． C． D．0 5．（25-26高一下·云南昭通·期中）已知函数的定义域为．当时，；当时，；当时，．则（   ） A． B． C．0 D．2 6．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，则下列命题正确的是（   ） A． B． C．在区间内单调递增 D．在时取最大值 7．（多选）（25-26高一上·河北唐山·期中）已知函数，则（   ） A． B． C．在区间上单调递减 D．在区间上的最小值为1 8．（多选）（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数满足，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C．是偶函数 D．当时， 9．（25-26高一下·云南昆明·期中）已知函数为奇函数，当时，，若在上单调递增，则的取值范围是______. 10．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数是增函数，则实数的取值范围是__________． 11．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：． 12．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知函数 ，， (1)当时，求关于不等式的解集 (2)当时，若对任意1，不等式 恒成立，求实数k的取值范围 (3)若对任意 恒成立，则实数的取值范围 13．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知是定义域为的奇函数． (1)当时，，且，求实数的值． (2)当实数时，， （i）求的值； （ii）当时，若，求实数m的取值范围． 14．（24-25高一上·重庆渝中·期中）定义在上的函数满足：①；②，其中，为任意正实数；③任意正实数，满足当时，.试回答下列问题： (1)求，的值； (2)试判断函数的单调性； (3)如果，试求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性） 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 用定义法证明函数单调性 考点二 求（复合）函数的单调区间 考点三 根据函数（含分段函数）的单调性求参数 考点四 根据函数单调性解不等式 考点五 判断函数的奇偶性 考点六 利用函数奇偶性求参数，求值 考点七 函数的对称性、周期性、奇偶性综合应用 05 重难题型突破 题型一 函数图象识别 题型二 定义法证明函数的单调性 题型三 根据函数的奇偶性+单调性解不等式（小题） 题型四 根据函数的奇偶性+单调性解不等式（大题） 题型五 根据分段函数的单调性求参数 题型六 根据函数奇偶性求值 题型七 根据函数奇偶性求解析式 题型八 函数周期性、奇偶性，对称性 综合应用 题型九抽象函数问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 一、考点和题型 核心考点：函数单调性的定义、判断与证明（定义法）；单调区间求解；奇偶性的判定、奇偶函数图像特征；利用奇偶性化简、求值；周期性定义与简单应用；函数对称性（轴对称、中心对称）；性质综合（单调+奇偶，奇偶+周期）。 题型：选择、填空为主，解答题高频。小题常考性质判断、求值、比较大小；解答题多为用定义证明单调性，结合奇偶性求解不等式，经常和分段函数综合命题。 二、难易度 基础题：简单函数单调区间判断、奇偶性识别、利用奇偶性直接求值，属于基础必得分。 中档题：定义法证明单调性、奇偶性与单调性结合解抽象函数不等式；利用周期性进行函数值转化，为本专题期中重难点。 难题：多种性质（奇偶+周期+对称）综合抽象函数小题，属于区分题，一般不作为大题压轴。 三、考情总结 本专题是期中函数板块核心重点，侧重考查数形结合与逻辑推理。命题常将多个性质融合考查；高频失分点：证明单调性时缺少作差变形、忽略定义域；判断奇偶性忘记先看定义域是否关于原点对称；混淆周期、轴对称、中心对称结论。常和前面函数概念、不等式结合，是期中考试拉开分数的核心板块。 识记 1. 单调性：记住增函数、减函数定义；熟记用定义证明单调性的步骤：取值、作差、变形、定号、下结论；记住单调区间书写规范（区间之间不能用并集符号）。 2. 奇偶性：记住奇函数、偶函数定义；奇偶函数图像特征：奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于轴对称；记住奇函数在处有定义则。 3. 周期性：周期函数定义，，为一个周期；熟记简单周期变换结论。 4. 对称性：记住轴对称，中心对称的表达式。 理解 1. 单调性：理解单调性是局部性质，只针对区间；理解定义中任意，的含义，不能用特殊值判断增减。 2. 奇偶性：理解判断奇偶性先看定义域是否关于原点对称，定义域不关于原点对称则非奇非偶；区分函数奇偶性与单调性之间的关系（奇同偶异）。 3. 周期性与对称性：区分周期、轴对称、中心对称不同的代数关系式；理解抽象条件背后的图像含义；分清 “周期性” 是函数整体性质。 应用 1. 基础应用：判断简单函数、分段函数的奇偶性；根据图像写出单调区间；利用奇偶性直接求函数值。 2. 中档应用：用定义法证明函数单调性；利用单调性比较函数值大小；奇偶性+单调性结合，求解抽象函数不等式；利用周期性将自变量转化到已知区间求值。 3. 综合应用：奇偶、周期、对称性三者结合的抽象函数小题；分段函数多性质综合；结合前面不等式、函数定义域知识综合解题。 考点一 用定义法证明函数单调性 ⚠️记忆口诀 定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且 ②作差：计算 ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数 ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数 ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）利用单调性定义证明函数在上的单调性并求其最值． 【答案】函数在上是减函数，最大值是5，最小值是4. 【详解】任取，且， 则， 由于，则，即， 于是，即，故在上单调递减， 从而最大值是，最小值是. 2．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，证明：函数在上单调递减； 【答案】证明见解析 【分析】通过作差法即可求证. 【详解】设是区间上的任意两个实数，且， 则 由于， 所以， 所以， 即， 所以函数在区间上单调递减. 3．（24-25高一上·天津和平·期中）用函数单调性的定义证明：在上为单调递增函数． 【答案】证明：设，则， 由题意得，，， 则有，即，且， 故在上为单调递增函数. 【详解】略 4．（25-26高一上·陕西安康·期中）已知函数（）的图象经过点. (1)求函数的解析式，并求的值； (2)判断函数在区间单调性，并用定义证明. 【答案】(1)，； (2) 在区间上单调递减.证明如下： 由（1）知，函数， 任取，且， 则， 因为，可得，所以， 即，所以函数在区间上单调递减. 【分析】（1）将点代入解析式求得，求得解析式，得解； （2）利用函数单调性定义判断证明. 【详解】（1）因为函数的图象经过点， 可得，解得，所以， 可得，所以. （2）略 考点二 求（复合）函数的单调区间 ⚠️避坑指南 解题时注意容易忽视考虑定义域 5．（26-27高三上·四川遂宁·开学考试）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数的定义域，设，分别判断内外函数的单调性，利用复合函数的性质即得. 【详解】由解得或，所以函数的定义域为， 设，函数在上单调递增， 二次函数的开口向上，对称轴为直线， 则二次函数在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的“同增异减”的性质，可知函数的单调递增区间为. 6．（25-26高一上·云南昆明·期中）函数的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数法可求出函数的递增区间. 【详解】对于函数，有，即，解得， 故函数的定义域为， 因为内层函数在上为增函数，在上为减函数， 外层函数在上为增函数， 由复合函数法可知，函数的递增区间为. 故选：B. 7．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，再根据复合函数单调性的判断方法求解出的单调递减区间. 【详解】由可得，所以函数的定义域为， 令，利用复合函数单调性判断方法来分析的单调性，如下表： 单调递增 单调递增 单调递增 单调递减 单调递增 单调递减 由表知，的单调递减区间为． 故选：C． 8．（24-25高二下·上海静安·期中）函数的单调递增区间为______． 【答案】， 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得. 【详解】令，解得且， 所以的定义域为， 又是一个复合函数，它由与复合而成． 由下表可知，的单调递增区间为，． 单调递减 单调递减 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 单调递减 单调递减 故答案为：， 考点三 根据函数（含分段函数）的单调性求参数 ⚠️记忆口诀 1、分段函数单调递增：需满足二个条件 ①各段在对应区间上均单调递增 ②在分段点处，左侧函数在处的值右侧函数在处的值（即左右） 2、分段函数单调递减：需满足二个条件 ①各段在对应区间上均单调递减 ②在分段点处，左侧函数在处的值右侧函数在处的值（即左右） 9．（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【详解】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 10．（25-26高二上·江西宜春·期末）已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，分析的单调性，并根据的单调性，求解不等式，得到实数的取值范围. 【详解】令函数. 因为，，，都有， 所以，所以， 即，即， 所以函数是定义在上的减函数. 若，且，则， 即，所以，即. 故选：A. 11．（多选）（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数在区间上单调递减，则实数的可能取值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】AC 【分析】先将分离常数得，结合在区间上单调递减，则有，进而可解得的取值范围. 【详解】由分离常数法可知，反比例型函数可化为， 因为在区间上单调递减，所以，即， 故选项中只有AC满足， 故选：AC. 12．（25-26高一上·贵州铜仁·期末）设函数，若对，都有，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】首先判断函数的单调性，再结合每段单调性，分段点处的函数值关系，建立不等式求解即可. 【详解】由题意知函数在上单调递减，需满足以下条件： ，解得 故答案为：. 考点四 根据函数单调性解不等式 ⚠️记忆口诀 1、转化原理：若在定义域上单调递增，则；若单调递减，则 2、定义域限制：转化时务必注意函数的定义域，确保均在定义域内。 13．（25-26高一上·广西北海·期末）已知函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数的单调性，分和解不等式即可. 【详解】由，所以在上单调递减. 又，所以当时，；当时，. 因为或或， 即或. 故选：C 14．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】由函数在上单调递减， 可得，可得，解得. 故答案为：. 15．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在上的减函数，且，求的取值范围. 【答案】 【分析】结合函数定义域与减函数性质列不等式组，取交集即可. 【详解】∵ 是定义在上的减函数，且， ∴，解得. ∴的取值范围是. 16．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数，. (1)证明：是增函数； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) 证明：任取，且，， 则 ， 又，且，，则， ，，， 得到，即， 函数在区间上是增函数. (2)或. 【分析】（1）利用函数的单调性的定义的证明步骤进行处理即可； （2）利用（1）得出的单调性，结合函数的定义域解不等式. 【详解】（1）略 （2）函数是定义在区间上的增函数， 由，得到， 解得或， 所以实数的取值范围为或. 考点五 判断函数的奇偶性 17．（26-27高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)偶函数 (2)既是奇函数又是偶函数 (3)偶函数 【详解】（1）∵函数的定义域为R，关于原点对称， 又， ∴为偶函数． （2）∵函数的定义域为，关于原点对称，且， ∵， ∴既是奇函数又是偶函数． （3）的定义域是，关于原点对称． 当时，， ； 当时，， ． 综上可知，对于，都有，为偶函数． 18．（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性： (1) (2)； (3) 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数． 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称，又， 所以是奇函数. （2）的定义域为，关于原点对称，又， 所以是偶函数. （3）的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数. 19．（26-27高一上·全国·课堂例题）根据定义，判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)奇函数； (2)偶函数； (3)偶函数； (4)偶函数； (5)非奇非偶函数 【分析】（1）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （2）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （3）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （4）判断函数的定义域为，再说明总有,由函数奇偶性的定义即可得解. （5）判断函数的定义域为，由函数奇偶性的定义即可得解. 【详解】（1）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有, 所以函数是奇函数； （2）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有， 所以函数是偶函数； （3）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有， 所以函数是偶函数； （4）依题意知函数的定义域为， 当时，，所以，，则， 当时，，所以，，则 所以为偶函数. （5）函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以函数既不是奇函数，也不是偶函数. 20．（24-25高一上·全国·课前预习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)偶函数 (2)奇函数 (3)奇函数 【分析】（1）（2）（3）求得定义域，利用奇偶性的定义判断即可；. 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数． （2）因为的定义域为，它关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （3）由题设得：，所以函数定义域为，关于原点对称， 且，所以， 所以， 所以， 所以是奇函数． 考点六 利用函数奇偶性求参数，求值 ⚠️记忆口诀 1、定义法：利用（偶函数）或（奇函数）在定义域上恒成立，代入解析式后比较系数，建立方程求参数 2、奇函数在处有定义：若奇函数在处有定义，则必有。这一结论是求奇函数参数的快捷条件 21．（26-27高一上·天津·期中）已知，是偶函数，则（ ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据偶函数的定义，定义域关于原点对称求得，再利用列式求得，即可得. 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 ，且 ，解得； 由为偶函数，得，即， 即，因不恒为0，故，则． 22．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数，且，那么（　　） A．10 B． C． D． 【答案】D 【详解】，， ， ， 解得． 23．（26-27高一上·全国·课后作业）已知定义在R上的函数（k为常数）．若，则______. 【答案】2026 【详解】设，则， 所以， 所以. 24．（26-27高一上·全国·课堂例题）若函数为奇函数，求的值. 【答案】 【详解】由题意得，则且， 因为为奇函数，其定义域关于原点对称， 所以，故， 又，即， 所以，则. 考点七 函数的对称性、周期性、奇偶性综合应用 ⚠️记忆口诀 1、轴对称：若函数关于直线对称，则 ①②③ 2、点对称：若函数关于直线对称，则 ①② ③ 3、点对称：若函数关于直线对称，则 ①②③ 4、设函数， ①若，则函数的周期 ②若，则函数的周期 ③若，则函数的周期 ④若，则函数的周期 ⑤，则函数的周期 25．（多选）（26-27高三上·湖北荆州·开学考试）若函数是定义域为的奇函数，且，，则下列说法正确的是（ ） A． B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点中心对称 D． 【答案】BCD 【分析】对于A，根据，赋值令，即可得结果；对于B，根据是奇函数及可得，即可得结果；对于C，根据可得，即可得结果；对于D，分析可知4为的周期，结合周期性即可求解. 【详解】对于选项A，令，可得，故A不正确； 对于选项B，因为函数是定义域为的奇函数，则， 则，所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于选项C：因为，所以. 则. 即，所以的图象关于点中心对称，故C正确； 对于选项D，因为，， 令，可得. 令，可得， 又因为，则. 可知4为的周期，可得，即. 因为，所以，故D正确. 26．（多选）（25-26高三上·四川雅安·开学考试）已知定义在R上的偶函数满足：对任意的，都有，则下列结论中正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．是以为周期的周期函数 C．的图象关于直线对称 D． 【答案】ACD 【分析】A选项，根据对称中心的充要条件即可判断；B选项，结合偶函数与，推得，即可得出周期；C选项，由以及偶函数，推出，即可判断对称轴；D选项，先通过取值判断一个周期的和，而，即可求解. 【详解】对于A：函数图象关于点对称的充要条件是， 由，即，所以的图象关于点对称，故A正确； 对于B、C：因为，把换成，得，即， 又因为是偶函数，将上式中的换成， 所以，所以，所以的图象关于直线对称， 再将换成，所以，所以是以4为周期的周期函数，故B错误、C正确； 对于D：将代入，得，即； 将代入，得； 将代入，得，即， 所以， 故一个周期的和为， 而从到共2027项，， 所以，故D正确. 27．（多选）（26-27高三上·海南海口·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，为偶函数，，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的一个周期为4 C． D．的图象关于点对称 【答案】ABC 【分析】利用抽象函数的对称性、周期性一一判定选项即可. 【详解】对于A项，因为为偶函数，即， 所以的图象关于直线对称，即A正确； 对于B项，易知， 所以，即， 所以的一个周期为4，即B正确； 对于C项，由条件及上述选项结论可知， 且， 所以，即C正确； 对于D项，若的图象关于点对称，则有， 而，显然矛盾，即D错误. 28．（多选）（26-27高三上·甘肃平凉·阶段检测）已知定义域为的函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．为奇函数 C．是周期为4的函数 D．为偶函数 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义、函数对称性逐项分析判断. 【详解】为奇函数，得到， 的图象关于直线对称，则， 对于A，由，得的图象关于点中心对称，则A正确； 对于C，由，得， 又，则，即， 故，所以，则是周期为的函数，则C正确. 对于BD，因为函数的定义域为， 由得：， 所以函数为偶函数，故D正确，B错误. 29．（多选）（26-27高三上·河北·开学考试）已知是定义域为的奇函数，且为偶函数，则（    ） A． B．的图象关于点对称 C．若函数在上单调递增，则不等式的解集为 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对于A，由为奇函数与为偶函数推出，进而即可得到周期；对于B，由两边求导得，即可得到关于对称；对于C，结合周期性可知的解集是区间的无限并集，不只是；对于D，求出一个周期内四项之和为0，2020是4的整数倍，即可得到总和为0． 【详解】对于A，由于是偶函数，故, 又因为是奇函数，故， 所以， 用替换，得， 再用替换，可得，故A正确； 对于B，由于，故， 因此关于中心对称，故B正确； 对于C，由于是奇函数，且在上单调递增，， 所以当时，， 因为是偶函数，故关于对称，故在上单调递减， 又，故当时，， 由于的周期，所以的解集不只有，而是，故C错误； 对于D，，，， 故， 因此，故D正确． 30．（多选）（25-26高二下·河北沧州·期末）已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的一个周期为4 C． D．的图象关于点对称 【答案】ABC 【分析】根据抽象函数的对称性，及条件的变形即可判断ABD选项，再通过函数的周期可求解选项C 【详解】对于A：因为为偶函数，所以， 所以关于直线对称，故A正确. 对于B：因为， 因为为奇函数，所以，即， ，所以的最小正周期为4，故B正确. 对于C：因为， 所以； 所以， 故C正确， 对于D：由B的解析可知， 所以的图象关于点对称.故D错误 题型一 函数图象识别 典例1 （26-27高一上·全国·期中）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得函数的定义域为. ， 且， 为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，故排除D； 又且时，，故排除C； 当时，，故A不正确，B正确. 💡破题要诀 ①特殊值法 ②奇偶性 ③单调性 迁移应用 1．（25-26高一下·湖南益阳·期中）函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于函数的定义域为，且对任意的，，故为偶函数，其图像关于轴对称，此时排除CD选项， 当时，，此时可排除A，故选B. 2．（25-26高一上·重庆九龙坡·期中）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断的奇偶性可排除A和B，再分析时的符号可排除C，从而可得正确选项. 【详解】由，可得， 所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除A和B， 又当时，，故排除C. 故选：D. 3．（25-26高一上·北京顺义·期中）函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇偶性的定义判断的奇偶性，结合及上的值域，应用排除法确定图象. 【详解】令，其定义域为R，且， 所以是偶函数，排除A，又，排除B， 当，则，此时，当且仅当时取等号， 所以，有，则，排除C. 故选：D 题型二 定义法证明函数的单调性 典例1 （26-27高一上·北京·期中）已知函数. (1)判断函数在上的单调性并用定义证明； (2)若函数满足不等式，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，证明如下： 、且， ， 因为，所以，，，则， 所以，则，即， 故函数在上单调递增. (2) 【分析】（1）根据单调性的定义证明即可； （2）不等式等价于，利用（1）的结论即可列出不等式，进而求解. 【详解】（1）略 （2）因为，，且在上单调递增， 由可得，所以，解得或， 所以不等式的解集为. 💡破题要诀 定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且 ②作差：计算 ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数 ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数 ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 迁移应用 1．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数满足，. (1)求 (2)用定义法判断在上的单调性，并求在上的值域. 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上的值域为 【分析】（1）利用换元法求解函数的解析式； （2）利用定义法证明的单调性，并求解值域. 【详解】（1）令，则，将其代入得 ，将替换为，得； （2）任取，且，则 因为，所以，因为，所以，即 分母恒成立， 因此，即，所以在上单调递减。 由单调性可知，在上单调递减，最大值在左端点处取得： 最小值在右端点处取得： 所以在上的值域为. 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，且定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性定义证明：在上单调递减； (3)解关于m的不等式． 【答案】(1) 函数为奇函数，理由如下： 因为函数定义域为，定义域关于原点对称， 且， 所以函数为奇函数. (2) 证明：取，规定， 则 因为，所以， 所以，即， 由，所以函数在上单调递减. (3) 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义判断即可； （2）利用函数单调性定义证明即可； （3）利用函数奇偶性与单调性建立不等式组求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为函数在上单调递减，且函数为奇函数， 所以函数在上单调递减，由， 所以函数在上单调递减， 所以不等式即， 因为函数是奇函数，所以， 又函数在上单调递减， 所以不等式的解集等价于或， 解得或， 所以关于m的不等式的解集为：. 3．（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数满足，． (1)求a，b的值，判断的奇偶性并证明； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) 由题意可得，解得，故， 为偶函数，证明如下： 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 故为偶函数； (2) 在上单调递减，理由如下： 令，则 ， 由，则，，故， 故在上单调递减； (3). 【分析】（1）将点与代入计算即可得a，b的值，再利用奇偶性定义即可证明的奇偶性； （2）令，再利用函数单调性定义证明即可得； （3）利用函数单调性及其奇偶性，可得，解出即可得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由为偶函数且在上单调递减， 则由可得， 即有，化简得， 解得或. 所以不等式的解集为. 题型三 根据函数的奇偶性+单调性解不等式（小题） 典例1 （25-26高一上·河北承德·期中）已知奇函数在定义域上单调递减，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合函数的定义域、奇偶性与单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，即可得解. 【详解】因为函数为奇函数，， 所以， 又因为函数在定义域上单调递减，所以， 解得，即. 故选：A． 迁移应用 1．（25-26高一下·江西九江·期中）若定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，将不等式转化为不等式组，再结合偶函数及函数单调性求解. 【详解】由上的偶函数满足，得， 不等式，化为或， 而函数在区间上单调递减，则或， 解得或，所以原不等式的解集为. 2．（25-26高一上·重庆江北·期中）定义在上的奇函数为减函数，且，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性化简不等式为，再根据单调性得不等式即可得实数的取值范围. 【详解】因为定义在上的奇函数为减函数， 若，则， 所以，解得：， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 3．（25-26高一上·天津红桥·期中）已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意两个不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】先判断函数的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】因为当，且时，， 所以函数在上单调递减. 又函数为偶函数， 所以， 所以. 所以所求不等式的解集为. 故答案为： 题型四 根据函数的奇偶性+单调性解不等式（大题） 典例1 （25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义域在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)解不等式． 【答案】(1)，， (2) 由（1）得，其中， 任取，且， 则， 因为，且，可得， 所以，即， 所以函数是上的单调递增函数. (3) 【分析】（1）根据题意，结合和，列出方程，即可求得的值； （2）由（1）得，根据函数单调性的概念与判定方法，即可证得是上的单调递增； （3）根据题意，把不等式转化为，结合函数的定义域和单调性，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）由函数是定义域在上的奇函数，可得， 又由，可得，则， 此时满足题意，所以， （2）略 （3）因为函数是定义域在上的奇函数，且在上的单调递增函数， 则不等式，即为， 则满足，解得， 所以不等式的解集为. 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数， (1)若，其中 （i）求，的解析式； （ii）若对于任意，都有，求实数a的取值范围. (2)若函数在上单调递增，求不等式的解集. 【答案】(1)（i），；（ii） (2) 【分析】（1）（i）将替换为，再利用奇偶性得出关于的方程组求解； （ii）令，结合单调性定义得出在上单调递减，再分、、三种情况讨论； （2）将不等式化为，结合的奇偶性和单调性求解. 【详解】（1）（i）因，则， 因是奇函数，是偶函数，则， 则， 得，； （ii），即， 令，则在上单调递减， 当时，在上单调递增，不符合题意； 当时，则，得，舍； 当时，则，得； 故实数a的取值范围为； （2），则 ， 又定义域为关于原点对称，则是偶函数， 因在上单调递增，则在上单调递减， 等价于，即， 则，即或，得或， 故不等式的解集为. 2．（25-26高一上·云南昭通·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式． 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以，，，， 因此，即， 所以函数在上单调递增． (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质及求解，进而验证即可； （2）根据函数单调性的定义求证即可； （3）根据函数的奇偶性及单调性转化问题为解不等式组，进而求解即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，故， 又因为，则， 此时，，则， 所以函数为奇函数，满足题意， 故函数的解析式为. （2）略 （3）因为函数为奇函数， 由，则， 由（2）知，函数在上单调递增， 则，解得， 所以不等式的解集为. 3．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数，，为偶函数. (1)求实数m的值； (2)判断并用定义证明在上的单调性； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)单调递增，证明： 由（1）当，得， 令， 则， 因为，所以，， 所以， 所以在上单调递增； (3) 【分析】（1）由函数为偶函数，通过特殊值求解并验证即可； （2）由单调性的定义即可求证； （3）由函数单调性、奇偶性和定义域得到求解即可. 【详解】（1）由， ， 因为为偶函数， 所以，解得， 经验证符合题意， 所以. （2）略 （3）由题意知为偶函数，且在上单调递增, 等价于； 所以，等价于，解得：， 所以不等式的解集为. 题型五 根据分段函数的单调性求参数 典例1 （24-25高一上·四川宜宾·期中）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在上单调，且开口向下，在区间上不可能单调递减， 函数在上不可能单调递减，故在上单调递增， ，解得， 的取值范围是． 迁移应用 1．（25-26高一上·云南昆明·期中）已知函数是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，当时，单调递增，又因为是单调函数，所以在上单调递增，据此列出关于的不等式组求解即可. 【详解】当时，是单调递增函数， 因为函数是单调函数， 则函数在上单调递增函数， 则,解得：, 所以实数的取值范围是. 故选：B 2．（25-26高一上·重庆·期中）若函数在上是单调递增函数，则的取值集合是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分情况讨论函数在各段区间上的单调性，结合函数在上单调，列不等式，解不等式即可. 【详解】由已知，当时，， 又函数在上是单调递增函数，则，即； 当，， 由函数在上单调递增可知，，解得， 综上所述，， 故选：B. 3．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知函数 满足：对任意时， 当时，都有 成立，则实数a的取值范围是（   ） A．( ,2] B． C．[2,+∞) D．[1,2] 【答案】B 【分析】由题意得，函数在上单调递增，进而结合分段函数单调性求解即可. 【详解】由题意得，函数在上单调递增， 则，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：B. 题型六 根据函数奇偶性求值 典例1 （25-26高二下·江苏常州·期中）若函数的定义域为，且为奇函数，，则______． 【答案】 【分析】令，利用函数的奇偶性，运用换元法得出是周期为4的周期函数，再根据奇函数，得出，结合已知条件求出，最后利用函数的周期性求解． 【详解】令，则为奇函数，故， 即，故， 令，则， 又， 则， 故，即， 则，故是周期为4的周期函数； 由为奇函数，则， 故，解得， 由得， ， 故． 迁移应用 1．（25-26高一上·广西玉林·期中）已知函数，若，则（    ） A．7 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】由，， 则，故函数为偶函数， 则. 2．（25-26高一上·广西贺州·期中）已知函数为奇函数，且当时，，则（   ） A．-9 B．-7 C．-10 D．10 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义和性质求解计算即可. 【详解】因为当时，， 当时，，此时. 因为为奇函数，所以，所以. 即时. 所以. 故选：C. 3．（24-25高二下·陕西榆林·期中）已知偶函数满足：当时，，则_______． 【答案】18 【详解】因为为偶函数，所以． 题型七 根据函数奇偶性求解析式 典例1 （25-26高一上·安徽合肥·期中）已知偶函数的定义域为，且当时，，当，______． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【详解】当时，，而是偶函数， 所以. 故答案为： 迁移应用 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质即可求出时，的解析式. 【详解】由题可知，时，， 取，则，， 由奇函数性质可得：. 2．（24-25高一上·贵州遵义·期中）函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质求解. 【详解】当时，所以，故， 又为奇函数，则，故. 故选：A. 3．（25-26高一上·福建宁德·期中）设奇函数的定义域为，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由奇函数的定义可得出，即可得解. 【详解】当时，， 由奇函数的定义可得. 故选：C 题型八 函数周期性、奇偶性，对称性 综合应用 典例1 （多选）（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知函数的定义域为，和均为偶函数，且当时，，则（   ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上单调递增 D．函数的图象关于点中心对称 【答案】BC 【分析】先由和为偶函数推导函数的对称性、周期性，再结合的解析式逐一判断选项. 【详解】是偶函数，故，图象关于对称； 是偶函数，故，图象关于对称； 所以， 故是周期为2的周期函数， 选项A：，错误； 选项B：对任意，，，故，图象关于直线对称，正确； 选项C：当时，，故，该二次函数开口向下，对称轴为，在上单调递增，正确； 选项D：若关于中心对称，则，又，所以，令，得，但，矛盾，错误. 迁移应用 1．（多选）（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，．则（    ） A．的最小正周期为4 B．的图象关于点对称 C．为奇函数 D．的解集为 【答案】ACD 【分析】根据已知得到的图象关于直线、对称，进而得到的最小正周期为4，利用奇偶性和周期性依次判断各项的正误即可. 【详解】因为 是定义在上的偶函数，所以， 即，函数的图象关于直线对称， 因为，所以，函数的图象关于点中心对称， 由，令，则， 因为，即， 所以，即， 进一步得，所以是函数的一个周期， 若存在更小的正周期，则，而上，， 结合其对称性，在上的唯一解是， 故不存在小于的正周期，最小正周期为，A 正确； 由，则， 由于，显然不恒为，因此图象不关于点对称，B 错误； 令，由的图象关于直线以及的最小正周期为， ， 所以的图象关于点对称，而的图象是的图象向右平移一个单位得到的， 所以的图象关于原点对称，即为奇函数，C 正确； 当时，，结合函数图象的对称性， 当时，， 当时，， 当时，， 由， 即，解得， 结合最小正周期为，解集为，D 正确. 2．（多选）（25-26高三下·云南昆明·期中）已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．为周期函数 B．的图象关于点对称 C．当时， D． 【答案】AC 【分析】利用周期函数的定义可判断A；利用对称性的代数定义可判断B;利用周期性与奇偶性以及时的解析式可判断C；利用周期性可计算的值，然后求出的范围可判断D. 【详解】由可得得， 所以，故是周期为4的周期函数，选项A正确； 由和偶函数性质，得， 因此，图象关于直线对称，而非点对称，故选项B错误； 利用和已知区间上的解析式， 当时，，则， 再由偶函数得时， 故当时，选项C正确； 由的周期，， 所以， 又因为为奇函数，当时，，所以， 从而的值域为，在此区间上，所以， 故恒成立，选项D错误. 3．（25-26高三上·上海·期中）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则_______． 【答案】0 【分析】根据题中函数奇偶性，得出函数的周期为4且，可求出结果. 【详解】根据题意知为偶函数，为奇函数， 所以， ， ， 可得， 所以，则是以4为周期的函数， 又因为奇函数，令，可得， 所以. 题型九 抽象函数问题 典例1 （25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知满足对任意，都有，且，当时，． (1)计算，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断并证明在上的单调性； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) 依题意，函数对任意的，都有， 令，得， 是奇函数，理由如下： 用代替，得，则， 所以是奇函数. (2) 在上是单调递减的函数，证明如下： 任取，则，由已知得， 则， ∴，∴在上是单调递减函数． (3) 【分析】（1）利用赋值法求得，根据函数奇偶性的定义判断并证明函数的奇偶性. （2）根据函数的单调性的定义进行判断并证明即可. （3）利用特殊值法，结合代入法进行求解，再根据已知等式，结合函数的单调性及一元二次不等式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由于，则，所以， 又因为，所以． 因为， 又因为，所以不等式可化为， 由于在上是单调递减， ，即，即， 所以不等式的解集为. 迁移应用 1．（多选）（26-27高一上·全国·期中）设是定义在整数集上的函数，且满足，，对任意的都有，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．， D． 【答案】BCD 【分析】利用赋值法逐项分析，判断选项ABC，利用周期性求解选项D． 【详解】对于A：令可得，因为，所以， A错误； 对于B：令可得，所以， 令可得，所以； 故B正确； 对于C：因为，所以， 所以，所以，C正确； 对于D：若，，则， 所以； 若，，则， 所以； 所以． 2．（多选）（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数的定义域是，对任意的实数满足，且，当1时，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．函数为偶函数 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】对于A：赋值令，代入运算即可；对于B：根据题意赋值分析即可；对于C：构造，结合奇偶性的定义分析判断；对于D：分析可知函数在上为增函数，结合单调性分析求解. 【详解】对任意的实数、满足， 对于选项A： 令，可得，解得，故A正确； 对于选项B：令，可得， 则，故B错误； 对于选项C：令， 由，可得， 即，且， 令，则， 即，所以， 所以函数为偶函数，故C正确； 对于选项D：对于， 令，可得， 即，解得， 由题意可知，当时，， 则，， 可知当时，， 任取，且， 则， 可知函数在上为增函数， 因为， 则， 可得，解得， 所以不等式的解集为，故D正确 3．（25-26高一下·陕西安康·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. (1)求证：，且当时，； (2)判断在上的单调性； (3)若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) 由题可知，所以， 因为，则，又， 所以， 所以当时，； (2)单调递增 (3) 【分析】（1）利用已知条件，对自变量赋值可证且当时； （2）根据函数单调性的定义判断； （3）利用（2）的单调性和函数的定义域建立不等式组，求解； 【详解】（1）略 （2）任取，则，则， 又， 所以， 所以在上的单调递增； （3）由题意，需满足定义域条件 ，解得，且， 由（2）知 单调递增，原不等式等价于 ， 要使该不等式有解，只需 小于 在其定义域 上的最大值， 令，则， 所以，解得， 所以的取值范围为 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27高一上·天津·期中）若函数是偶函数，则的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数是偶函数， 则， 即， 解得，此时， 因为的图象是开口向下对称轴为轴的抛物线， 所以的单调递增区间是. 2．（26-27高一上·全国·期中）是定义在上的奇函数，下列结论中，不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由是定义在上的奇函数，得，. 对于A，成立，故A正确； 对于B，成立，故B正确； 对于C，令，则，不成立，故C不正确； 对于D，， 由，所以成立，故D正确. 3．（26-27高一上·江苏·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是奇函数，所以， 当时，，所以， 所以． 4．（24-25高一上·四川宜宾·期中）下列函数既是奇函数，又在其定义域上是单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数、反比例函数的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，函数为偶函数，不满足题意； 对于B，函数是奇函数，且单调递增，满足题意； 对于C，函数为非奇非偶函数，不满足题意； 对于D，函数为奇函数，但在定义域上不单调，不满足题意. 5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知，则函数在下列区间内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质即可确定答案. 【详解】由于的图象的对称轴为，且开口向上， 故在上单调递增，在上单调递减， 故只有C选项符合题意. 6．（24-25高一上·北京·期中）二次函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的单调性求解即可. 【详解】函数开口向上，对称轴为， 因为函数在上单调递增， 所以，解得，则实数的取值范围是. 故选：A 7．（多选）（25-26高一上·安徽·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．函数在内单调递减 B．函数在内没有最小值 C．函数的图象关于点对称 D．对，函数均为偶函数 【答案】ACD 【分析】由幂函数定义可得A；借助基本不等式计算可得B；借助对称性定义可得C；由偶函数定义判断D. 【详解】对A：幂函数在内单调递减，故A正确； 对B：函数，当且仅当时等号成立， 故在内有最小值，故B错误； 对C：因为， 所以的图象关于点对称，故C正确； 对D：对， 又定义域为关于原点对称，故对，均为偶函数，故D正确． 故选：ACD． 8．（多选）（25-26高一上·江苏苏州·期中）对于函数（），下面几个结论中正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数是奇函数 C．函数的值域为 D．函数在上是增函数 【答案】BCD 【分析】利用函数奇偶性定义可判断AB，再利用分段讨论单调性来求值域，可判断CD. 【详解】因为，且定义域为，所以函数是奇函数，故A错误，B正确； 当时，， 此时在时单调递增，所以， 当时，， 当时，由奇函数的对称性可知，此时， 综上可得：函数的值域为，故C正确； 当时，， 此时在时单调递增，根据奇函数对称性可知， 在时也单调递增，由于函数的定义域为，且， 所以函数在上是增函数，故D正确； 故选：BCD 9．（25-26高三下·上海宝山·期中）若函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为______. 【答案】1 【分析】利用函数奇偶性分析求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以且， 当时，， 所以，解得：， 所以当时，，所以. 10．（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知函数为偶函数，则__________. 【答案】5 【分析】根据偶函数的定义，代入整理，即可得答案. 【详解】因为函数为偶函数，所以， 则， 解得，所以. 11．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数. (1)当时，分别求出函数在上的值域； (2)求关于x的不等式的解集. 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【分析】（1）根据二次函数的图象及性质确定区间上的最大值和最小值即可； （2）分类讨论求含参一元二次不等式解集. 【详解】（1）当时，，对称轴为， 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，当时，所以的最大值为， 当时，有最小值. 故函数在上的值域为. （2）函数，所以， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 12．（25-26高一上·陕西延安·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，. (1)当时，求的解析式； (2)画出函数的图象： 【答案】(1)； (2)   【分析】（1）利用奇函数的性质求函数解析式； （2）根据解析式画出大致图象即可. 【详解】（1）当时，，则， 因为是定义域为的奇函数，则， 所以； （2）的图象如图所示，    13．（25-26高一上·海南儋州·期中）设函数 (1)求的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并加以证明. 【答案】(1) (2) 为偶函数. 由（1）知：的定义域关于原点对称， 又，所以为偶函数. 【分析】（1）由求解即可得定义域； （2）先判断函数奇偶性，再利用函数奇偶性的定义证明即可. 【详解】（1）由题意，解得， 所以的定义域为； （2）略 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知的定义域为，为偶函数，且对，恒成立，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用题中等式求出的值，推导出函数是周期为的周期函数，即可得解. 【详解】因为的定义域为，为偶函数，则， 所以，即， 对，恒成立，则①，可得②， 由①②可得，即， 故函数是周期为的周期函数，所以， ，恒成立，则，解得， 故. 2．（25-26高一上·河北唐山·期中）若任取，且成立，则称是上的凸函数，下列函数中是凸函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，令，，则，A不是； 对于B，令，， 则，B不是； 对于C，令，， 则，C不是； 对于D，令，， 则，D是. 3．（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数单调性与奇偶性计算即可得. 【详解】由已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 则函数在上单调递增， 又，所以， 即当时，，当或时，， 所以不等式的解集为. 4．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知定义域为的偶函数满足，且当时，，则（   ） A．2 B． C． D．0 【答案】A 【详解】由题意知周期，所以 又因为为偶函数，所以. 5．（25-26高一下·云南昭通·期中）已知函数的定义域为．当时，；当时，；当时，．则（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】根据周期性和奇函数的性质求解. 【详解】当时，，所以当时，函数是周期为1的周期函数， 所以．又当时，为奇函数，所以， 所以. 6．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，则下列命题正确的是（   ） A． B． C．在区间内单调递增 D．在时取最大值 【答案】D 【分析】由函数的对称性与单调性逐项分析判断即可. 【详解】当时，恒成立， 所以在上单调递减，由于的图象关于对称， 所以在上单调递增，故C错误； 由于在上单调递增，在上单调递减，在时取最大值，故D正确； 由于的图象关于对称，所以， 由于在上单调递减，所以，故B错误； 与的大小关系不确定，故A错误. 故选：D 7．（多选）（25-26高一上·河北唐山·期中）已知函数，则（   ） A． B． C．在区间上单调递减 D．在区间上的最小值为1 【答案】ABD 【分析】利用代入法，结合函数单调性的性质、偶函数的定义和性质、最值的定义逐一判断即可. 【详解】，定义域为， 选项A：因为，所以A正确。 选项B：因为，所以B正确。 选项C：， 因为函数在上单调递减，且此时， 所以函数在上单调递增，所以C错误。 选项D：由A知是偶函数，的图象关于纵轴对称， 由上可知：在上单调递增， 所以当时，， 又因为，的图象关于纵轴对称， 所以在区间上的最小值为1，所以D正确. 8．（多选）（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数满足，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C．是偶函数 D．当时， 【答案】ABD 【详解】由，可得， 故函数是上的奇函数，则即A，B正确，C错误； 当时，，则，故D正确. 9．（25-26高一下·云南昆明·期中）已知函数为奇函数，当时，，若在上单调递增，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为函数为奇函数，所以关于点中心对称. 又在上单调递增，则在区间上也单调递增. 当时，，对称轴为； 当时，的图象开口向下，且， 此时在区间上单调递减，不合题意，所以， 解得，所以的取值范围是. 10．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数是增函数，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据分段函数单调性的求法，结合一次函数的性质，分析求解，即可得答案. 【详解】因为为增函数，所以，解得， 则实数的取值范围是. 11．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：． 【答案】(1)，； (2)函数在R上单调递增，理由如下：                                       任取，，且，                                                     则，   由，得， ，                                   则，即， 所以函数在R上单调递增. (3)． 【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数定义求出解析式. （2）确定函数的单调性，再利用单调函数的定义推理得证. （3）利用奇函数的性质及单调性求出不等式的解集. 【详解】（1）由是定义在R上的奇函数，得，                         当时，，则                           所以函数在R上的解析式为，.   （2）略 （3）由是奇函数，得，   又在R上单调递增，则，解得，                         所以原不等式的解集为． 12．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知函数 ，， (1)当时，求关于不等式的解集 (2)当时，若对任意1，不等式 恒成立，求实数k的取值范围 (3)若对任意 恒成立，则实数的取值范围 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】(1)对进行分类讨论求解不等式； (2)利用分离参数法求k的取值范围； (3)把看作自变量，构造函数，求解实数的取值范围. 【详解】（1）因为，． ①当时，不等式为，解集为； ②当时，，不等式可化为，解集为； ③当时，，不等式可化为，解集为； ④当时，，不等式可化为，解集为， 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． （2）当时，， 知不等式对任意恒成立，只需． 因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，， 故实数的取值范围为 （3）设，则若对任意，恒成立， 即，解得. 13．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知是定义域为的奇函数． (1)当时，，且，求实数的值． (2)当实数时，， （i）求的值； （ii）当时，若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据奇函数性质建立关于的方程，再结合已知条件代入求解； （2）（i）根据奇函数性质建立关于的方程，结合解析式特点求解即可.（ii）利用对勾函数单调性，将，转化为求解不等式，进而利用换元法求解即可. 【详解】（1）因为是定义域为的奇函数， 故，且，得， 当时，，代入得，即； 再代入得，解得， 即. （2）（i）因为是上的奇函数，对任意，满足， 则，由不恒为0，故， 即，解得. （ii）当时，时， 由对勾函数单调性，可得在上单调递增. 由题意得，则，， 所以由，可得. 令，可得，即， 由得，即，解得， 即的取值范围为. 14．（24-25高一上·重庆渝中·期中）定义在上的函数满足：①；②，其中，为任意正实数；③任意正实数，满足当时，.试回答下列问题： (1)求，的值； (2)试判断函数的单调性； (3)如果，试求的取值范围. 【答案】(1)0，4 (2)在上单调递增 (3) 【分析】（1）利用赋值法可求，； （2）结合单调性的定义可得结论； （3）由已知可得，结合单调性求解即可. 【详解】（1）取，由②得，， ∴. 又由①得， 由②得，. （2）设， 则根据条件③，得， ∴在上单调递增. （3）根据满足的条件②及， 由得，， ∴根据为增函数得：， 再由的定义域，便得到不等式组 解得， ∴的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $