北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年高三上学期统练六数学试题

人大附中2025-2026学年度高三年级第一学期统练六 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 2. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列函数在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列为等比数列，则“数列为单调递增数列”的_____条件是“对任意有恒成立”．（ ） A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分且必要 D. 非充分非必要 5. 若，，，则、、的大小关系为（　　） A. B. C. D. 6. 已知数列与均是公差不为0的等差数列，且数列也是等差数列，若，则（ ） A. 24 B. 21 C. 18 D. 15 7. 若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切，若点P是圆B上的动点，则的最大值是（ ） A. B. C. 4 D. 8 9. 双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与C在第二象限交于点P，若坐标原点O到直线的距离为，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 10. 若集合，其中、…、为非空集合，，，则称集合为集合的一个划分.例如：集合、、均为集合的一个2划分.设为有理数集的一个2划分，且满足对任意，任意，都有.则对于、有： ①中的元素存在最大值，中的元素不存在最小值； ②中的元素不存在最大值，中的元素存在最小值； ③中的元素不存在最大值，中的元素不存在最小值； ④中的元素存在最大值，中的元素存在最小值； 对于以上四种情况，可能成立的序号有（ ） A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 二、填空题（每题5分，共25分） 11. 已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，且，点O为坐标原点，的面积为________． 12. 已知，则________． 13. 已知函数，直线与曲线的两个交点如图所示.若，且在区间上单调递减，则______；______. 14. 18世纪英国数学家辛普森运用定积分，推导出了中学数学教材中柱、锥、球、台体等几何体的统一体积公式：（其中分别为几何体的上底面面积、中截面面积、下底面面积和高），我们也称为“万能求积公式”．例如，正四棱锥的底面边长为a，高为h，则该正四棱锥的体积为．类似地，可运用该公式求解下述问题：如图，在五面体中，平面，四边形为矩形，，直线与平面所成角的正切值为，则该五面体的体积为________． 15. 已知数列满足，则下列说法正确的是________． ①．若且，则单调递减 ②．若存在无数多个n使得，则或 ③当时，存在使 ④．当时， 三、解答题（共85分） 16. 在中，. （1）求的大小； （2）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积. 条件①：边上中线的长为； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 如图，在梯形中，E是中点，，，，连接，将沿折起使A点至P点处，得四棱锥，且，点M为棱上的一点． （1）若O是的中点，求证：平面； （2）若直线与直线所成的角为，求的值； （3）若M是的中点，求二面角的正弦值． 18. 一个盒子装有10张卡牌，卡牌背面分别写着10个函数：，，，，，，，，，. （1）现从盒子中逐一抽取卡牌，且每次抽出后均不放回，若取到一张记有奇函数的卡牌则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列； （2）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率； （3）甲乙两人玩游戏，规则如下：甲先抽1张，接着乙和甲轮流每次抽两张，抽完为卡（最后一次乙只能抽1张）.过程中谁先抽到常数函数卡牌谁就赢（同时游戏结束）.问：这个游戏规则对乙而言公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一款对甲乙均公平的比赛规则. 19. 已知椭圆的右焦点为，且过点． （1）求的方程； （2）过点且不垂直于坐标轴的直线交于两点，记在两点处的切线交于点． （i）试判断点的横坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由； （ii）若为坐标原点，点是直线上的一点，且，求的最小值． 20. 已知函数（）. （1）若，求函数的单调区间； （2）若函数在区间和上各恰有一个零点，分别记为和， （ⅰ）证明：函数在两点，处的切线平行； （ⅱ）记曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为S，求的最大值. 21. 对于数列，定义．设的前项和为． （1）设，写出； （2）证明：“对任意，有”的充要条件是“对任意，有”； （3）已知首项为0，项数为的数列满足：①对任意且，有；②．求所有满足条件的数列的个数． 人大附中2025-2026学年度高三年级第一学期统练六 一、单选题（每小题4分，共40分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】B 二、填空题（每题5分，共25分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ①. 2 ②. 【14题答案】 【答案】336 【15题答案】 【答案】①②④ 三、解答题（共85分） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 选条件①：.选条件③，或；选条件②，不存在这样的. 【17题答案】 【答案】（1）证明：因为在梯形中，E是中点， ，，， 所以四边形是正方形，，， 将沿折起使A点至P点处，有，， 因为，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 因为，O是中点，所以， 又平面，平面平面， 所以平面． （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1）的分布列为： 1 2 3 4 5 6 7 （2） （3） 游戏公平，理由如下： 记甲赢为事件，乙赢为事件， 则， 所以，则，故游戏公平. 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）为定值4；（ii）12. 【20题答案】 【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间 （2）（ⅰ）证明：当时，， 根据题意，零点分别在区间和内，不等于1，因此是方程的两个根， 故，，则，， 且有，则， ， 则， 同理 ， 故函数在两点，处的切线平行； （ⅱ） 【21题答案】 【答案】（1） （2） 证明：必要性：对，有，因此， 对任意，且，有，两式作差，得， 即，因此， 综上，对任意，有． 充分性：若对任意，有，则， 所以， 综上，“对任意”，有”的充要条件是“对任意”，有”． （3）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $