第12讲 运动 想象／转化 表达 讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年 苏科版七年级数学上册

第12讲 运动 想象/转化 表达 优等生讲义 2026-2027 苏科版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 通过图形的剪拼与七巧板拼图活动，体会图形运动与组合过程中的面积不变性，发展空间想象能力 · 经历将平面图形剪开、移动、拼接的过程，学会用面积关系列方程求边长、求阴影部分面积 · 认识常见几何体（圆柱、棱柱、圆锥、正方体等）的展开图，能根据展开图判断几何体 · 会判断一个平面展开图能否折叠成正方体或长方体，理解展开与折叠的互逆关系 · 掌握正方体展开图中相对面的判断方法，能求相对面上的数字、字母或汉字问题 📚 知识梳理 ☆ 1.图形的剪拼 图形的剪拼：把一个平面图形剪成若干块，再重新拼成另一个图形，剪拼前后图形的面积保持不变（面积守恒） 剪拼常见类型：剪四块拼正方形、剪两个小正方形拼大正方形、剪长方形拼正方形等，关键是找剪拼前后边长与面积的关系 列方程求边长：根据剪拼前后面积相等或边长关系设未知数列方程，如正方形边长比矩形宽多1等条件 作辅助线观察：剪拼问题常需在原图上画剪裁线，观察小块之间的拼接关系，用面积或线段长建立等量关系 概念辨析例题：把长为5，宽为1的长方形按图示方式裁剪，并拼成一个大正方形，则大正方形的边长为（　　） 解析：剪拼前后面积不变：原长方形面积为5×1＝5，拼成的大正方形面积仍为5，故大正方形边长为。 ☆ 2.七巧板 七巧板由7块板组成：5块等腰直角三角形、1块小正方形、1块平行四边形，整体可拼成一个正方形 面积关系：七巧板拼成的大正方形面积为S时，各板块面积分别为大正方形的 、、 等，阴影部分面积按板块面积之和计算 求面积的方法：先确定大正方形（或原图形）的面积，再按板块占整体的比例求出目标部分面积 七巧板可以拼出马、兔子、房子、小猫、小天鹅等图案，拼图只改变板块的位置与方向，不改变面积 概念辨析例题：用七巧板拼成一只小猫，若小猫头部（涂色部分）的面积是16cm2，则原正方形的边长为（　　） 解析：小猫头部由两块小三角形拼成，占整个正方形面积的 ，故原正方形面积为16×4＝64，边长为8。 ☆ 3.几何体的展开图 展开图：将一个几何体沿某些棱剪开，展平成平面图形，这个平面图形叫几何体的展开图 正方体展开图共有11种，可概括为“一四一”6种、“二三一”3种、“二二二”1种、“三三”1种 圆柱的侧面展开图是长方形（长＝底面周长，宽＝圆柱的高）；圆锥的侧面展开图是扇形；棱柱的侧面展开图是长方形 判断能否围成正方体：口诀“一线不过四，田凹应弃之”，即出现“田”字、“凹”字、超过四格连成一线的图形不能折叠成正方体 概念辨析例题：下列图形中，不是正方体的展开图的是（　　） 解析：正方体展开图中不能出现“田”字形（四个小正方形围成一圈）、不能出现“凹”字形，出现这样的结构就无法折叠成正方体。 ☆ 4.展开图折叠成几何体与相对面 展开图折叠成几何体：把平面图形沿虚线折起，判断折成的是正方体、长方体、三棱柱还是其他几何体，注意各面与棱的对应关系 相对面判断（同行隔一个）：在展开图中，同一行（或列）相隔一个正方形的两个面是相对面，如“1—2—3—4”中1与3、2与4相对 相对面判断（异层相对）：不在同一行时，可通过旋转展开图或找“Z”字形两端的面来确定相对面 相对面问题常见题型：求相对面上的数字之和、判断“素”“知”“学”“建”等汉字所在的相对面、求字母相对面等 概念辨析例题：如图是一个正方体的展开图，每个面上各写有一个字，那么“素”字相对面的字是（　　） 解析：在展开图中，“素”字所在面与相隔一个正方形的面相对，按展开图位置判断相对面上的字。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 图形剪拼 剪拼前后面积不变，可列方程求边长 注意剪拼时小块拼接关系，勿重复计面积 七巧板 7块板=5块等腰直角三角形+1个正方形+1个平行四边形 各板块面积占大正方形的 、、 等 正方体展开图 共11种：一四一6种、二三一3种、二二二1种、三三1种 一线不过四、田凹应弃之 圆柱/圆锥展开图 圆柱侧面展开为长方形，圆锥侧面展开为扇形 长方形长=底面周长、宽=高 折叠成几何体 展开图沿虚线折叠可还原成立体图形 折叠时注意面的对应与棱的重合 相对面判断 同行隔一个相对、异层“Z”字形两端相对 先标出展开图的面，再逐面判断相对关系 ⚠️ 核心考点 【考点1】5.2 运动想象（图形的剪拼、七巧板）（第1-19题） · 剪拼问题用面积守恒：剪拼前后总面积不变，据此列方程求边长、求面积 · 七巧板面积按比例算：先确定大正方形面积，再按板块占整体的比例求目标部分面积 · 旋转体问题定轴找半径：长方形绕边旋转成圆柱，旋转轴所在直线是圆柱的高，另一条边是底面半径 · 求阴影面积：把阴影部分拆成若干板块，逐块求面积后相加，或整体面积减去空白部分面积 1．（2025秋•清苑区期末）中华武术是中国传统文化之一，是独具民族风貌的武术文化体系．“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为（　　） A．点动成线，线动成面 B．线动成面，面动成体 C．点动成线，面动成体 D．点动成面，面动成线 2．（2026•碑林区校级三模）如图，将矩形硬纸片绕AB边所在直线旋转一周，形成的立体图形是（　　） A． B． C． D． 3．（2026•让胡路区校级模拟）如图，已知长方形的长为a、宽为b（其中a＞b），将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙，则这两个圆柱的侧面积和体积的关系为（　　） A．甲乙的侧面积相同，体积不同 B．甲乙的侧面积相同，体积也相同 C．甲乙的侧面积不相同，体积相同 D．甲乙的侧面积不相同，体积也不相同 4．（2026•武功县一模）如图，将直角梯形绕直角腰所在直线l旋转一周，得到的立体图形是（　　） A． B． C． D． 5．（2026春•东海县期末）观察图，依次几何变换顺序正确的是（　　） A．轴对称、旋转、平移 B．旋转、轴对称、平移 C．轴对称、平移、旋转 D．平移、轴对称、旋转 6．（2026春•安庆校级期中）如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则（　　） A． B． C． D．1 7．（2026•开封校级开学）如图，由七巧板拼成的兔子图形中，兔子耳朵（阴影部分）的面积是10平方厘米，则兔子图形的面积是_______ 平方厘米． 8．（2026•陕西校级模拟）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．图1，图2均是小晨用同一副七巧板拼成的．若图1拼成的正方形的边长为12，则图2拼成的“扬帆起航”图案中阴影部分的面积为_____ ． 9．（2026春•福州期末）在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为acm的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽a＝____________________ cm． 10．（2026•宜春二模）七巧板由可以错综分合的案几（即“燕几”）演化而来，它是一种拼板玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．图2是由图1拼成的风车形状，则tan∠ADE＝__________________ ． 11．（2026•雁塔区校级四模）七巧板被西方人称为“东方魔术”，下面的两幅图是由同一个七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形（如图1）边长为acm，则图2的“小狐狸”图案中阴影部分面积是 ____________________ cm2（用含a的代数式表示）． 12．（2026•碑林区校级模拟）如图，同一副七巧板分别拼成图1、图2两种图案，图1是面积为16的正方形，图2是小兔图案，则图2中阴影部分面积为_____ ． 13．（2026•商洛二模）七巧板（如图①）是由可以错综分合的案几（即“燕几”）演变而来，它是一种拼板玩具，体现我国古代劳动人民的智慧，图②是由图①拼成的风车形状，连接AD，AB，BC，CD，则tan∠ADE＝__________________ ． 14．（2026•高邮市模拟）在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将长为4cm，宽为acm（a＜4）的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，则该矩形卡纸的宽a＝____________________ cm． 15．（2025秋•东海县期末）如图，长方形的相邻两边的长分别为x、y，将它分别绕相邻两边旋转一周． （1）两次旋转所形成的几何体都是_______ ； （2）若x+y＝w（w是常数），分别记绕长度为x、y的边旋转一周的几何体的体积为Vx、Vy，其中x、Vx、Vy的部分取值如下表所示： x 1 2 3 4 5 Vx 32π m Vy n ①通过表格中的数据计算：w＝_____ ，m＝________ ，n＝________ ； ②当x逐渐增大时，Vy的变化情况：____________ ； ③若把旋转一周所得的两个几何体叠放在一起，组成一个新的几何体，请直接写出这个新的几何体的体积的最大值． 16．（2026春•鲤城区校级期末）图1是一款学生课桌，主要由一块桌面、一块桌腿挡板及部分铁架组成．经测量，该款课桌的桌面为长方形板材，尺寸为50cm×36cm，桌腿挡板为长方形板材，尺寸为50cm×12cm．学校批量采购课桌，某工厂仓库已储备足量课桌铁架，仅需购进板材加工桌面和桌腿挡板．如图2所示，该型号板材为长方形，长200cm，宽48cm．（板材切割无损耗，仅沿直线裁切，裁切后的小块板材不可拼接使用） 【任务一】拟定裁切方式 （1）若将一张该型号板材全部用来裁切桌腿挡板，则最多可裁切出桌腿挡板_______ 块； （2）若将一张该型号板材同时裁切出若干桌腿挡板和若干桌面，且整张板材无剩余、无废料．请求出所有满足条件的裁切方案（每种方案需明确：单张板材裁切出桌面多少块，桌腿挡板多少块）； 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作如图1所示的360张完整的学生课桌，工厂仓库现有80块桌面，无桌腿挡板，缺少的桌面和桌腿挡板均需通过采购该型号板材进行裁切获得． 要求： ①从【任务一】第（2）问设计出的所有可行裁切方案中，任选其中两种不同的方案进行搭配裁切，（即这两种方案均须被使用）； ②裁切出的所有桌面、桌腿挡板恰好全部用完、无剩余板材； 请直接写出满足条件的该型号板材需要购买多少张，以及所选的两种裁切方案各需使用多少张板材． 17．（2026春•鲤城区校级月考）综合与实践：阅读下列材料，解决问题． 阅读材料：张力为了装修新房，需要购置木板进行裁剪得到适当的基础材料．如图1所示，已知每张木板的尺寸（单位：dm）都是12×24，每张的价格是200元．装修中需要甲、乙两种不同型号的基础材料，甲型尺寸是8×8；乙型尺寸是3×9．为了充分利用木板（多余的材料越少越好），张力设计了三种不同的裁剪方法： 方法一：每张木板裁剪3个甲型材料，再裁剪2个乙型材料，剩下的是余料； 方法二：每张木板裁剪2个甲型材料，再裁剪4个乙型材料，剩下的是余料； 方法三：每张木板裁剪1个甲型材料，再裁剪7个乙型材料，剩下的是余料． （1）按方法一的裁剪，请在图1中画出示意图； （2）按方法二的裁剪，请在图2中画出示意图； （3）按方法一，方法二，方法三裁剪，每张剩下的余料面积分别是_______ dm2，_______ dm2，_______ dm2； （4）如果张力购进一批木板，三种裁剪方法都用到，共得到甲型基础材料58个，乙型基础材料136个．且按照方法二裁剪的木板不超过10张，那么张力购买的这些木板费用是多少？ 18．（2025•沈丘县开学）求如图图形阴影部分的面积． 19．（2025秋•西湖区校级期中）如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积为16cm2的大正方形纸片如图（2）． （1）原小正方形的边长为________________ cm； （2）如图3，把两个长为3，宽为1的长方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片，发现大正方形内部是一个小正方形，求小正方形的面积与边长． 【考点2】5.3 转化 表达（几何体的展开图、展开图折叠成几何体、正方体相对两个面上的文字专题）（第20-40题） · 判断能否围成正方体：用“一线不过四，田凹应弃之”口诀排除错误选项 · 识别展开图对应几何体：圆柱侧面是长方形、圆锥侧面是扇形、棱柱侧面是长方形，先看侧面形状再看底面形状 · 相对面判断：同一行（列）隔一个的两个面相对；异层的面用旋转或“Z”字形确定 · 相对面数字/汉字题：先确定相对面，再把相对面上的数字（或代数式）相加、比较或代入求值 20．（2026秋•金堂县校级月考）下列四个图形中，经过折叠不可以围成一个三棱柱的是（　　） A． B． C． D． 21．（2026•市中区校级开学）下列图形中不是正方体的展开图的是（　　） A． B． C． D． 22．（2026•湘潭开学）下面四个图形中，沿线折叠后不能围成正方体的是（　　） A． B． C． D． 23．（2026•长治开学）一个圆柱体茶叶纸筒（如图），沿着虚线把侧面的商标纸剪开，展开后得到一个面积为62.8cm2的平行四边形，那么这个茶叶筒的体积是（　　）cm3． A．12.56 B．62.8 C．31.4 D．18.84 24．（2025秋•夏县期末）数学是研究数量关系和空间形式的科学．数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每个公民应该具有的基本素养．如图是一个正方体盒子的展开图，每个面上各写有一个字，那么“素”字相对面的字是（　　） A．核 B．心 C．学 D．数 25．（2025秋•松山区期末）下列选项中，左边的平面图形能够折叠成右边封闭的立体图形的是（　　） A． B． C． D． 26．（2026秋•金堂县校级月考）一个直棱柱的侧面展开图是一个_______ 形，这个展开图的长等于直棱柱的_________ ，宽等于直棱柱的___________ ． 27．（2025秋•扶绥县校级月考）如图是一个正方体的平面展开图，若将其按虚线折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均为6，x﹣y+z＝_____ ． 28．（2026•市中区校级开学）一个正方体的每个面都写有一个汉字，其表面展开图如图所示，则在该正方体中，和“知”相对的面上写的汉字是_____ ． 29．（2026•市中区校级开学）一个正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形如图所示，则数字6的对面是_____ ，数字2的对面是_____ ． 30．（2025秋•绿园区期末）南朝宋•范晔在《后汉书•联食传》中写道：“将军前在南阳，建此大策，常以为落落难合，有志者事竟成也．”将“有”“志”“者”“事”“竟”“成”六个字分别写在某个正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“志”字所在面相对的面上的汉字是_____ ． 31．（2025秋•高邮市期末）如图，是某个正方体的平面展开图，折叠成正方体后相对的两个面上的两个数字之和相等，则x﹣y的值为_______ ． 32．（2025秋•澄迈县期末）有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动2025次后，骰子朝上一面的点数是_____ ，朝下一面的点数是_____ ． 33．（2026•槐荫区校级开学）一个正方体展开后如图所示，则该正方体在展开前，与“建”字相对的面上的字是_____ ，与“态”字所在面相对的面上的字是_____ ． 34．（2026•槐荫区校级开学）若要使得图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为15，求x+y+z的值． 35．（2025秋•二道区校级期末）2025年6月5日的世界环境日主题为“终结塑料污染”，呼吁减少塑料污染，保护生态环境，推动可持续发展．七（1）班综合实践小组开展废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒． 【空间想象】 （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的 _____ （填序号）经过折叠不能围成一个无盖正方体纸盒； 【实践操作】 （2）如图2，有一张边长为50cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成一个无盖长方体纸盒． ①请你在图2中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若四角各剪去了一个边长为5cm的小正方形，求这个纸盒的容积．（纸张的厚度忽略不计） 36．（2025秋•阎良区期末）如图是一个正方体的表面展开图，将这个展开图折叠成一个正方体后，相对面上所标的两个数互为相反数，求a+bc的值． 37．（2026秋•市南区校级同步）【问题情境】《制作无盖的长方体纸盒》是苏科版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】 （1）如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是________ ；（填序号） （2）综合实践小组利用边长为a（cm）的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为b（cm）的小正方形，再沿虚线折合起来．若a＝10cm，b＝2cm，则长方体纸盒的底面周长为_______ cm； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b（cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果a＝30cm，b＝5cm．则该长方体纸盒的体积为_________ cm3； 【问题进阶】 （3）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为_________ ． 38．（2026•望奎县开学）下面是一个正方体纸盒的展开图，请说出这个正方体中几号面与几号面相对． 39．（2026•望奎县开学）翻动骰子时，只能向它所在格的左、右、前、后格翻动．图中骰子在3C处． （1）当将骰子从3C处翻到3B处，骰子形态是；再将骰子从3B处翻到2B处，骰子形态是；继续将骰子从2B处翻到2A处，朝上的一面是几？ （2）继续将骰子从2A处翻到1A处，朝上的一面是几？ （3）如果从3C处开始，要使朝上，可以怎样翻动？这时骰子在什么位置？ 40．（2025秋•邯郸校级月考）求阴影部分的面积．（单位：厘米） 💯 课后巩固 复习建议 · 做剪拼与七巧板题时，先想“剪拼前后面积不变”，用面积守恒列方程，不要只看图形形状 · 熟记正方体展开图11种形式与口诀“一线不过四，田凹应弃之”，快速排除不能折叠的图形 · 求相对面上的数字、字母、汉字时，先标出展开图各面，再按“同行隔一个、异层Z字形”判断相对面 · 圆柱、圆锥、棱柱的展开图要分清侧面形状（长方形/扇形），结合底面形状判断是哪个几何体 · 多动手折一折、剪一剪、拼一拼，把空间想象建立在操作经验上，积累图形的表象 【作业1】（2026春•威县校级期末）已知图2是由图1的七巧板拼成的马形图，且正方形ABCD的边长为4，则马形图边框长方形EFGH的面积为（　　） A．48 B． C． D． 【作业2】（2026春•海淀区校级期末）把长为5，宽为1的长方形按如图所示的方式进行裁剪，并拼成一个大正方形，则大正方形的边长为（　　） A．2 B． C． D．5 【作业3】（2026春•齐河县期末）七巧板是中国传统的智力玩具．如图1，七巧板共由七块板组成：5块等腰直角三角形、1块小正方形和1块平行四边形，其完整图案为一正方形．将其打乱顺序后拼成图2所示的矩形．若图1中由七巧板拼成的正方形的面积为4，则图2中矩形的宽为（　　） A． B． C．1 D． 【作业4】（2026春•宿迁期末）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．如图，用图①的一副七巧板拼成图②房子的图案，若七巧板的面积为32，则图②中阴影部分的面积是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【作业5】（2025秋•亭湖区期末）如图，用正方形制作的“七巧板”拼成了一只小猫，若小猫头部（图中涂色部分）的面积是16cm2，则原正方形的边长为 _____ cm． 【作业6】（2025秋•靖江市期末）如图1所示的七巧板，是我国古代劳动智慧的结晶，被西方人称为“东方魔板”．小明同学用同一副七巧板拼成的“小天鹅”图案如图2所示，若图1中的大正方形边长为4，则图2中阴影部分的面积为_____ ． 【作业7】（2025秋•姜堰区期末）“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”，若“七巧板”拼成的正方形边长为6，则图中阴影部分面积为_____ ． 【作业8】（2025秋•静安区校级期末）如图，用正方形制作的“七巧板”拼成了一只小猫，若小猫头部（图中涂色部分）的面积是25cm2，则原正方形的边长为_______ cm． 三．解答题（共18小题） 【作业9】（2025秋•单元）分别将图中的阴影部分剪拼成一个正方形（在图中画出剪拼的示意图，并用文字说明）． 【作业10】（2026•铁西区校级开学）如图是一个正方体纸盒的展开图，当还原折成纸盒时，与点1重合的点是点（　　） A．6和11 B．6和10 C．2和6 D．2和7 【作业11】（2026•济南校级开学）如图是某几何体的展开图，则该几何体是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共24小题） 【作业12】（2025秋•凉州区期末）如图是一个正方体的表面展开图，将它折叠成一个正方体后，相对面上的数字和都相等，那么x+y的值是_______ ． 【作业13】（2026•龙岗区校级开学）正方体的6个面分别写着A、B、C、D、E、F，根据图示判断，与D相对的面是_____ ． 【作业14】（2025秋•青羊区校级期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，与“学”字所在面的相对面上的汉字是_____ ． 【作业15】（2025秋•武都区期末）如图所示的是一个正方体的平面展开图，将其折叠成正方体后，各对面的数字之和相等，则x+y＝_____ ． 【作业16】（2025秋•龙华区校级期中）【问题提出】连接五边形ABCDE的五个顶点和它内部的n个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得多少个三角形？（不计被分割的三角形） 【问题探究】为了解决上面的问题，我们将运用归纳的策略，先在若干简单情形中寻找相应的规律． 探究一：如图①当五边形内有1个点时，可分得_____ 个三角形； 探究二：当五边形内有2个点时，可分得多少个三角形？ 在探究一的基础上，我们在图①五边形ABCDE的内部再添加1个点，这个点的位置会有两种情况：可能在图①分割成的某个三角形的内部，如图②所示；也可能在三角形的某条公共边上，如图③所示、显然，不管哪种情况，都可分得_____ 个三角形． 探究三：当五边形内有3个点时，可分得_____ 个三角形．（可借助图④画图分析） 【问题解决】连接五边形ABCDE的五个顶点和它内部的n个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得___________ 个三角形． 【反思提高】若连接五边形ABCDE的五个顶点和它内部的若干个点，可把五边形区域分割成2024个三角形吗？如果能，请求出该五边形内部点的个数；如果不能，请说明理由． 【策略应用】若连接六边形的六个顶点和它内部的m个点，可把六边形区域分割成___________ 个三角形．（不计被分割的三角形） 【作业17】（2025秋•秦都区期末）如图是一个正方体的表面展开图，已知在原正方体中，相对面上的数互为相反数，求代数式﹣2x+y﹣z的值． 【作业18】（2025秋•志丹县期末）如图是一个几何体的展开图． （1）该几何体的名称是______________ ； （2）根据图中标注的长度（单位：cm），求该几何体的体积． 【作业19】（2025秋•金凤区期末）在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们用若干个正方形和长方形拼成一个长方体的展开图．拼完后，小明发现所拼图形多了一块． （1）请你帮小明把图中多余块涂黑； （2）长方体共有 _______ 条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开 _____ 条棱； （3）根据图中的数据，求出修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积． 【作业20】（2025秋•广东校级期末）小雅同学在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，于是她在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒（如图②），可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分如图①．根据你所学的知识，回答下列问题： （1）小雅想将剪断的重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小雅在①上补全．（一种情况即可） （2）已知这个长方体纸盒高为10cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是440cm，求这个长方体纸盒的体积． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 运动 想象/转化 表达 优等生讲义 2026-2027 苏科版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 通过图形的剪拼与七巧板拼图活动，体会图形运动与组合过程中的面积不变性，发展空间想象能力 · 经历将平面图形剪开、移动、拼接的过程，学会用面积关系列方程求边长、求阴影部分面积 · 认识常见几何体（圆柱、棱柱、圆锥、正方体等）的展开图，能根据展开图判断几何体 · 会判断一个平面展开图能否折叠成正方体或长方体，理解展开与折叠的互逆关系 · 掌握正方体展开图中相对面的判断方法，能求相对面上的数字、字母或汉字问题 📚 知识梳理 ☆ 1.图形的剪拼 图形的剪拼：把一个平面图形剪成若干块，再重新拼成另一个图形，剪拼前后图形的面积保持不变（面积守恒） 剪拼常见类型：剪四块拼正方形、剪两个小正方形拼大正方形、剪长方形拼正方形等，关键是找剪拼前后边长与面积的关系 列方程求边长：根据剪拼前后面积相等或边长关系设未知数列方程，如正方形边长比矩形宽多1等条件 作辅助线观察：剪拼问题常需在原图上画剪裁线，观察小块之间的拼接关系，用面积或线段长建立等量关系 概念辨析例题：把长为5，宽为1的长方形按图示方式裁剪，并拼成一个大正方形，则大正方形的边长为（　　） 解析：剪拼前后面积不变：原长方形面积为5×1＝5，拼成的大正方形面积仍为5，故大正方形边长为。 ☆ 2.七巧板 七巧板由7块板组成：5块等腰直角三角形、1块小正方形、1块平行四边形，整体可拼成一个正方形 面积关系：七巧板拼成的大正方形面积为S时，各板块面积分别为大正方形的 、、 等，阴影部分面积按板块面积之和计算 求面积的方法：先确定大正方形（或原图形）的面积，再按板块占整体的比例求出目标部分面积 七巧板可以拼出马、兔子、房子、小猫、小天鹅等图案，拼图只改变板块的位置与方向，不改变面积 概念辨析例题：用七巧板拼成一只小猫，若小猫头部（涂色部分）的面积是16cm2，则原正方形的边长为（　　） 解析：小猫头部由两块小三角形拼成，占整个正方形面积的 ，故原正方形面积为16×4＝64，边长为8。 ☆ 3.几何体的展开图 展开图：将一个几何体沿某些棱剪开，展平成平面图形，这个平面图形叫几何体的展开图 正方体展开图共有11种，可概括为“一四一”6种、“二三一”3种、“二二二”1种、“三三”1种 圆柱的侧面展开图是长方形（长＝底面周长，宽＝圆柱的高）；圆锥的侧面展开图是扇形；棱柱的侧面展开图是长方形 判断能否围成正方体：口诀“一线不过四，田凹应弃之”，即出现“田”字、“凹”字、超过四格连成一线的图形不能折叠成正方体 概念辨析例题：下列图形中，不是正方体的展开图的是（　　） 解析：正方体展开图中不能出现“田”字形（四个小正方形围成一圈）、不能出现“凹”字形，出现这样的结构就无法折叠成正方体。 ☆ 4.展开图折叠成几何体与相对面 展开图折叠成几何体：把平面图形沿虚线折起，判断折成的是正方体、长方体、三棱柱还是其他几何体，注意各面与棱的对应关系 相对面判断（同行隔一个）：在展开图中，同一行（或列）相隔一个正方形的两个面是相对面，如“1—2—3—4”中1与3、2与4相对 相对面判断（异层相对）：不在同一行时，可通过旋转展开图或找“Z”字形两端的面来确定相对面 相对面问题常见题型：求相对面上的数字之和、判断“素”“知”“学”“建”等汉字所在的相对面、求字母相对面等 概念辨析例题：如图是一个正方体的展开图，每个面上各写有一个字，那么“素”字相对面的字是（　　） 解析：在展开图中，“素”字所在面与相隔一个正方形的面相对，按展开图位置判断相对面上的字。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 图形剪拼 剪拼前后面积不变，可列方程求边长 注意剪拼时小块拼接关系，勿重复计面积 七巧板 7块板=5块等腰直角三角形+1个正方形+1个平行四边形 各板块面积占大正方形的 、、 等 正方体展开图 共11种：一四一6种、二三一3种、二二二1种、三三1种 一线不过四、田凹应弃之 圆柱/圆锥展开图 圆柱侧面展开为长方形，圆锥侧面展开为扇形 长方形长=底面周长、宽=高 折叠成几何体 展开图沿虚线折叠可还原成立体图形 折叠时注意面的对应与棱的重合 相对面判断 同行隔一个相对、异层“Z”字形两端相对 先标出展开图的面，再逐面判断相对关系 ⚠️ 核心考点 【考点1】5.2 运动想象（图形的剪拼、七巧板）（第1-19题） · 剪拼问题用面积守恒：剪拼前后总面积不变，据此列方程求边长、求面积 · 七巧板面积按比例算：先确定大正方形面积，再按板块占整体的比例求目标部分面积 · 旋转体问题定轴找半径：长方形绕边旋转成圆柱，旋转轴所在直线是圆柱的高，另一条边是底面半径 · 求阴影面积：把阴影部分拆成若干板块，逐块求面积后相加，或整体面积减去空白部分面积 1．（2025秋•清苑区期末）中华武术是中国传统文化之一，是独具民族风貌的武术文化体系．“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为（　　） A．点动成线，线动成面 B．线动成面，面动成体 C．点动成线，面动成体 D．点动成面，面动成线 【考点】点、线、面、体． 【分析】从运动的观点来看点动成线，线动成面，面动成体，再结合题意即可求解． 【解答】解：枪挑一条线即为点动成线，棍扫一大片即为线动成面， 故选：A． 【点评】本题考查点、线、面、体，熟练掌握点动成线，线动成面，面动成体的运动规律是解题的关键． 2．（2026•碑林区校级三模）如图，将矩形硬纸片绕AB边所在直线旋转一周，形成的立体图形是（　　） A． B． C． D． 【考点】点、线、面、体． 【分析】根据面动成体即可解答． 【解答】解：将矩形硬纸片绕AB边所在直线旋转一周，形成的立体图形是圆柱． 故选：C． 【点评】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握面动成体是解题的关键． 3．（2026•让胡路区校级模拟）如图，已知长方形的长为a、宽为b（其中a＞b），将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙，则这两个圆柱的侧面积和体积的关系为（　　） A．甲乙的侧面积相同，体积不同 B．甲乙的侧面积相同，体积也相同 C．甲乙的侧面积不相同，体积相同 D．甲乙的侧面积不相同，体积也不相同 【考点】几何体的表面积；点、线、面、体． 【分析】根据长方形旋转后得到圆柱体，分别求出两个圆柱体的侧面积和体积，即可得出结果． 【解答】解：甲图圆柱的底面直径是2b，高是a，侧面积为2πab，体积为πab2； 乙图圆柱的底面直径是2a，高是b，侧面积为：2πab，体积为πba2； 故甲乙的侧面积相同，体积不同； 故选：A． 【点评】本题主要考查几何体的表面积和体积的计算方法．解决问题的关键的是理解长方形旋转后得到圆柱体，以及所得圆柱体的底面直径和高与长方形的长和宽之间的关系． 4．（2026•武功县一模）如图，将直角梯形绕直角腰所在直线l旋转一周，得到的立体图形是（　　） A． B． C． D． 【考点】点、线、面、体． 【分析】根据直角梯形绕直角所在的腰旋转一周形成的几何体即可解答． 【解答】解：根据题意可知，将直角梯形绕直角腰所在直线l旋转一周，得到的立体图形为：． 故选：C． 【点评】本题考查了点、线、面、体，掌握面旋转成体是关键． 5．（2026春•东海县期末）观察图，依次几何变换顺序正确的是（　　） A．轴对称、旋转、平移 B．旋转、轴对称、平移 C．轴对称、平移、旋转 D．平移、轴对称、旋转 【考点】几何变换的类型． 【分析】根据轴对称的性质、旋转的性质、平移的性质即可得到结论． 【解答】解：依次几何变换顺序是轴对称、平移、旋转， 故选：C． 【点评】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质、平移的性质是解题的关键． 6．（2026春•安庆校级期中）如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则（　　） A． B． C． D．1 【考点】图形的剪拼． 【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为（a+b），右图是一个长方形，长宽分别为（b+a+b）、b，并且它们的面积相等，由此即可列出等式（a+b）2＝b（b+a+b），解方程即可求出． 【解答】解：依题意得（a+b）2＝b（b+a+b）， 整理得：a2+b2+2ab＝2b2+ab， 则a2﹣b2+ab＝0， 方程两边同时除以b2， （）21＝0， ∴（负值已经舍去）， 故选：A． 【点评】此题主要考查了图形的剪拼，此题是一个信息题目，首先正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题． 7．（2026•开封校级开学）如图，由七巧板拼成的兔子图形中，兔子耳朵（阴影部分）的面积是10平方厘米，则兔子图形的面积是　80　 平方厘米． 【考点】七巧板． 【分析】七巧板拼成的兔子图形面积等于原七巧板正方形的总面积．观察图形可知，兔子耳朵（阴影部分）对应七巧板中的平行四边形，其面积占总面积的，据此列式计算即可． 【解答】解：七巧板由7块图形组成，包括2 个小的等腰直角三角形、2个大的等腰直角三角形、1个中等的等腰直角三角形、1个正方形和 1个平行四边形． 设七巧板拼成的正方形总面积为S，其中平行四边形的面积占总面积的． 由图可知，兔子耳朵（阴影部分）即为七巧板中的平行四边形． ∵阴影部分的面积是10 平方厘米， ∴， ∴S＝80， 故答案为：80． 【点评】本题考查七巧板，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 8．（2026•陕西校级模拟）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．图1，图2均是小晨用同一副七巧板拼成的．若图1拼成的正方形的边长为12，则图2拼成的“扬帆起航”图案中阴影部分的面积为　9　 ． 【考点】七巧板． 【分析】根据七巧板的结构特征，确定图1中大正方形的面积，再分析图2中阴影部分对应七巧板中的哪一块图形，利用各块图形面积与大正方形面积的比例关系进行计算即可． 【解答】解：∵图1拼成的正方形边长为12， 大正方形面积：12×12＝144． ∵七巧板中最小三角形（阴影部分）占整个正方形面积的， ∴阴影部分面积：． ∴阴影部分的面积为9． 故答案为：9． 【点评】题目考查了七巧板，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 9．（2026春•福州期末）在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为acm的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽a＝　（6﹣2）　 cm． 【考点】图形的剪拼． 【分析】根据线段之间的关系，用含a的式子表示出正方形的边长，再根据长方形的面积和正方形的面积相等，列方程，求得合适的解即可． 【解答】解：由题意得：直角三角形①的较短直角边和梯形②的上底重合， ∴直角三角形①的较短直角边长＝梯形②的上底长， ∵图2所示为正方形， ∴直角梯形的高等于直角梯形的下底长， ∴正方形的边长为（4﹣a）cm， ∵图1的矩形和图2所示的正方形的面积相等， ∴（a+1）2＝4a， 解得a＝2±， ∵a＜4， ∴a＝6﹣2， 故答案为：（6﹣2）． 【点评】本题考查图形的剪拼问题．判断出梯形的高和下底长相等是解决本题的关键． 10．（2026•宜春二模）七巧板由可以错综分合的案几（即“燕几”）演化而来，它是一种拼板玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．图2是由图1拼成的风车形状，则tan∠ADE＝　　 ． 【考点】七巧板． 【分析】根据七巧板的几何特征及图2所示的风车形状，设图1中正方形的边长为4a，从而求得图2中的相关线段的表达式，进而求得正切值． 【解答】解：如图， 设题图1中正方形的边长为4a， 根据七巧板的性质可得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查七巧板，掌握解直角三角形是解题的关键． 11．（2026•雁塔区校级四模）七巧板被西方人称为“东方魔术”，下面的两幅图是由同一个七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形（如图1）边长为acm，则图2的“小狐狸”图案中阴影部分面积是 　a2 cm2（用含a的代数式表示）． 【考点】七巧板；列代数式． 【分析】根据图中各部分面积之间的关系求解即可． 【解答】解：如图， 由图可知，阴影部分面积＝大正方形面积﹣S1﹣S2﹣S3＝a（cm2）， 故答案为：a2． 【点评】本题主要考查了七巧板，正方形和等腰直角三角形的性质，熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系是解题的关键． 12．（2026•碑林区校级模拟）如图，同一副七巧板分别拼成图1、图2两种图案，图1是面积为16的正方形，图2是小兔图案，则图2中阴影部分面积为　6　 ． 【考点】七巧板． 【分析】根据七巧板的结构特征，确定各块图形面积占总面积的比例，识别图2中阴影部分由哪些图形组成，利用总面积计算各部分面积之和即可． 【解答】解：设图1大正方形的面积为S， ∴S＝16， 根据七巧板的性质，小正方形的面积为，平行四边形的面积为，小等腰直角三角形的面积为， 观察图2可知，阴影部分由一个平行四边形、一个正方形和两个小等腰直角三角形组成， ∴阴影部分的面积为： ＝2+2+2 ＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查七巧板，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 13．（2026•商洛二模）七巧板（如图①）是由可以错综分合的案几（即“燕几”）演变而来，它是一种拼板玩具，体现我国古代劳动人民的智慧，图②是由图①拼成的风车形状，连接AD，AB，BC，CD，则tan∠ADE＝　　 ． 【考点】七巧板． 【分析】根据七巧板的几何特征及图2所示的风车形状，设图1中正方形的边长为4a，从而求得图2中的相关线段的表达式，进而求得正切值． 【解答】解：图②是由图①拼成的风车形状，连接AD，AB，BC，CD，如图所示，标注点F，P，Q，设图①中大正方形的边长为4a， 根据七巧板的性质可得，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查七巧板，正确进行计算是解题关键． 14．（2026•高邮市模拟）在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将长为4cm，宽为acm（a＜4）的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，则该矩形卡纸的宽a＝　（6﹣2）　 cm． 【考点】图形的剪拼． 【分析】根据线段之间的关系，用含a的式子表示出正方形的边长，再根据长方形的面积和正方形的面积相等，列方程，求得合适的解即可． 【解答】解：由题意得：直角三角形①的较短直角边和梯形②的上底重合， ∴直角三角形①的较短直角边长＝梯形②的上底长， ∵图2所示为正方形， ∴直角梯形的高等于直角梯形的下底长， ∴正方形的边长为（4﹣a）cm， ∵图1的矩形和图2所示的正方形的面积相等， ∴（4﹣a）2＝4a， 解得， ∵a＜4， ∴． 故答案为：（6﹣2）． 【点评】本题考查图形的剪拼问题．判断出梯形的高和下底长相等是解决本题的关键． 15．（2025秋•东海县期末）如图，长方形的相邻两边的长分别为x、y，将它分别绕相邻两边旋转一周． （1）两次旋转所形成的几何体都是　圆柱　 ； （2）若x+y＝w（w是常数），分别记绕长度为x、y的边旋转一周的几何体的体积为Vx、Vy，其中x、Vx、Vy的部分取值如下表所示： x 1 2 3 4 5 Vx 32π m Vy n ①通过表格中的数据计算：w＝　6　 ，m＝　16π　 ，n＝　25π　 ； ②当x逐渐增大时，Vy的变化情况：　先增大，后减小　 ； ③若把旋转一周所得的两个几何体叠放在一起，组成一个新的几何体，请直接写出这个新的几何体的体积的最大值． 【考点】点、线、面、体；因式分解的应用；配方法的应用． 【分析】（1）根据圆柱的定义可知，旋转所得的几何体是圆柱； （2）①根据，计算即可； ②列出表格分析数据的变化情况； ③表示出V＝Vx+Vy，结合配方法解题即可． 【解答】解：（1）根据圆柱的定义可知，旋转所得的几何体是圆柱； 故答案为：圆柱； （2）①当x＝2时，， 解得y＝4， ∴w＝x+y＝2+4＝6； 当x＝5时，y＝6﹣5＝1，， ∴n＝25π； 当x＝4时，y＝6﹣4＝2，， ∴m＝16π； 故答案为：6，16π，25π； ②， 表格补全如下： x 1 2 3 4 5 Vy 5π 16π 27π 32π 25π 可以发现，当x逐渐增大时，Vy先增大，后减小； 故答案为：先增大，后减小； ③V＝Vx+Vy ＝πy2x+πx2y ＝π（6﹣x）2x+πx2（6﹣x） ＝π（6﹣x）x[（6﹣x）+x] ＝6π（﹣x2+6x） ＝﹣6π[（x﹣3）2﹣9] 则当x＝3时，V有最大值54π． 【点评】本题考查了点、线、面、体、因式分解、配方法求最值，熟练掌握圆柱的体积公式解题的关键． 16．（2026春•鲤城区校级期末）图1是一款学生课桌，主要由一块桌面、一块桌腿挡板及部分铁架组成．经测量，该款课桌的桌面为长方形板材，尺寸为50cm×36cm，桌腿挡板为长方形板材，尺寸为50cm×12cm．学校批量采购课桌，某工厂仓库已储备足量课桌铁架，仅需购进板材加工桌面和桌腿挡板．如图2所示，该型号板材为长方形，长200cm，宽48cm．（板材切割无损耗，仅沿直线裁切，裁切后的小块板材不可拼接使用） 【任务一】拟定裁切方式 （1）若将一张该型号板材全部用来裁切桌腿挡板，则最多可裁切出桌腿挡板　16　 块； （2）若将一张该型号板材同时裁切出若干桌腿挡板和若干桌面，且整张板材无剩余、无废料．请求出所有满足条件的裁切方案（每种方案需明确：单张板材裁切出桌面多少块，桌腿挡板多少块）； 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作如图1所示的360张完整的学生课桌，工厂仓库现有80块桌面，无桌腿挡板，缺少的桌面和桌腿挡板均需通过采购该型号板材进行裁切获得． 要求： ①从【任务一】第（2）问设计出的所有可行裁切方案中，任选其中两种不同的方案进行搭配裁切，（即这两种方案均须被使用）； ②裁切出的所有桌面、桌腿挡板恰好全部用完、无剩余板材； 请直接写出满足条件的该型号板材需要购买多少张，以及所选的两种裁切方案各需使用多少张板材． 【考点】图形的剪拼． 【分析】（1）将200cm×48cm的板材先切成四个50cm×48cm的小长方形板材，每个50cm×48cm又可以切成四个50cm×12cm的小长方形板材即可求解； （2）先将200cm×48cm的板材先切成四个50cm×48cm的小长方形板材，每个50cm×48cm小长方形板材可以切成一块桌面和一块桌腿挡板或四块桌腿挡板，据此设计方案即可； （3）根据题意还需要360﹣80＝280块桌面，360块桌腿挡板，分别选择两种方案，设出每种方案需要用到的板材数量，根据桌面和桌腿挡板数量列方程组求解即可． 【解答】解：（1）将200cm×48cm的板材先切成四个50cm×48cm的小长方形板材，每个50cm×48cm又可以切成四个50cm×12cm的小长方形板材，即桌腿挡板尺寸， ∴将一张该型号板材全部用来裁切桌腿挡板，则最多可裁切出桌腿挡板4×4＝16块； 故答案为：16； （2）∵48cm＜50cm， ∴只能先将200cm×48cm的板材先切成四个50cm×48cm的小长方形板材，再去切割桌面或者桌腿挡板， ∵桌面为长方形板材，尺寸为50cm×36cm，桌腿挡板为长方形板材，尺寸为50cm×12cm， ∴每个50cm×48cm小长方形板材可以切成一块桌面和一块桌腿挡板或四块桌腿挡板， ∴200cm×48cm板材最多可以切出四块桌面， ∵将一张该型号板材同时裁切出若干桌腿挡板和若干桌面，且整张板材无剩余、无废料， ∴满足条件的裁切方案： 方案一：单张板材裁切出桌面4块，此时桌腿挡板4块； 方案二：单张板材裁切出桌面3块，此时桌腿挡板3+4＝7块； 方案三：单张板材裁切出桌面2块，此时桌腿挡板2+4×2＝10块； 方案四：单张板材裁切出桌面1块，此时桌腿挡板1+4×3＝13块； （3）∵现需要制作如图1所示的360张完整的学生课桌，工厂仓库现有80块桌面，无桌腿挡板， ∴还需要360﹣80＝280块桌面，360块桌腿挡板， ①选择方案一和方案二， 设方案一和方案二用到的板材分别为x张和y张， 由题意可得：， 解得， 此时该型号板材需要购买55+20＝75张，方案一和方案二用到的板材分别为55张和20张板材； ②选择方案一和方案三， 设方案一和方案三用到的板材分别为x张和y张， 由题意可得：， 解得， 此时该型号板材需要购买65+10＝75张，方案一和方案三用到的板材分别为65张和10张板材； ③选择方案一和方案四， 设方案一和方案四用到的板材分别为x张和y张， 由题意可得：， 解得不是整数，不合题意； ④选择方案二和方案三， 设方案二和方案三用到的板材分别为x张和y张， 由题意可得：， 解得，不合题意； ⑤选择方案二和方案四， 设方案二和方案四用到的板材分别为x张和y张， 由题意可得：， 解得，不合题意； ⑥选择方案三和方案四， 设方案三和方案四用到的板材分别为x张和y张， 由题意可得：， 解得y＝﹣130，不合题意； 综上所述，该型号板材需要购买75张，方案一和方案二用到的板材分别为55块和20块张板材；或者方案一和方案三用到的板材分别为65块和10块张板材． 【点评】本题考查图形的剪拼，正确进行计算是解题关键． 17．（2026春•鲤城区校级月考）综合与实践：阅读下列材料，解决问题． 阅读材料：张力为了装修新房，需要购置木板进行裁剪得到适当的基础材料．如图1所示，已知每张木板的尺寸（单位：dm）都是12×24，每张的价格是200元．装修中需要甲、乙两种不同型号的基础材料，甲型尺寸是8×8；乙型尺寸是3×9．为了充分利用木板（多余的材料越少越好），张力设计了三种不同的裁剪方法： 方法一：每张木板裁剪3个甲型材料，再裁剪2个乙型材料，剩下的是余料； 方法二：每张木板裁剪2个甲型材料，再裁剪4个乙型材料，剩下的是余料； 方法三：每张木板裁剪1个甲型材料，再裁剪7个乙型材料，剩下的是余料． （1）按方法一的裁剪，请在图1中画出示意图； （2）按方法二的裁剪，请在图2中画出示意图； （3）按方法一，方法二，方法三裁剪，每张剩下的余料面积分别是　42　 dm2，　52　 dm2，　35　 dm2； （4）如果张力购进一批木板，三种裁剪方法都用到，共得到甲型基础材料58个，乙型基础材料136个．且按照方法二裁剪的木板不超过10张，那么张力购买的这些木板费用是多少？ 【考点】图形的剪拼． 【分析】（1）要求每张裁剪3个甲型、2个乙型，因此先在木板内沿长度方向划分出3个8×8的区域放置甲型材料，再在剩余空间内合理排布2个3×9的乙型材料，据此在图1中画出对应示意图即可； （2）方法二要求每张木板裁剪2个甲型、4个乙型，因此先在12×24的木板内划分出2个8×8的区域放置甲型材料，再在剩余空间内按3×9的尺寸合理排布4个乙型材料，据此在图2中画出对应示意图即可； （3）用木板总面积依次减去对应方法中各材料的总面积，即可得到每种方法的余料面积； （4）先设按方法一、二、三裁剪的木板分别为x张、y张、z张，根据甲型材料共58个、乙型材料共136个，列出方程组，再通过消元将方程组转化为关于x、y的不定方程，结合y不超过10且x、y、z均为正整数的条件，枚举y的取值找到符合要求的正整数解，确定x、y、z的取值后，计算总木板数，再用每张木板的价格200元乘以总木板数，得到购买木板的总费用． 【解答】解：（1）如图所示； （2）如图所求； （3）按方法一裁剪，所剩余料面积：12×24﹣3×8×8﹣2×3×9＝42（dm2）； 按方法二裁剪，所剩余料面积：12×24﹣2×8×8﹣4×3×9＝52（dm2）； 按方法三裁剪，所剩余料面积：12×24﹣1×8×8﹣7×3×9＝35（dm2）； 故答案为：42，52，35； （4）设按方法一、二、三裁剪的木板分别为x张、y张、z张（x，y，z为正整数，且1≤y≤10）， ∴， 由①得z＝58﹣3x﹣2y③， 把③代入②，得2x+4y+7（58﹣3x﹣2y）＝136， 整理得， ∵x，y为正整数，且1≤y≤10， ∴当 y＝1时，，不符合题意； 当y＝2时，，不符合题意； 当y＝3时，，不符合题意； 当y＝4时，，不符合题意； 当y＝5时，，不符合题意； 当y＝6时，，不符合题意； 当y＝7时，，不符合题意； 当y＝8时，符合题意； 当y＝9时，，不符合题意； 当y＝10时，，不符合题意； 把x＝10，y＝8，代入③得：z＝58﹣3×10﹣2×8＝12， ∴总木板数为 x+y+z＝30 张， ∴总费用为：200×30＝6000元； 答：张力购买的这些木板费用是6000元． 【点评】本题综合考查图形的分割与拼接、面积计算以及不定方程的整数解应用，正确理解题意，能够利用方案设计，结合方程求解是解题的关键． 18．（2025•沈丘县开学）求如图图形阴影部分的面积． 【考点】图形的剪拼． 【分析】用正方形的面积加上圆的面积减去圆的面积，再减去三角形的面积即可求解． 【解答】解：用正方形的面积加上圆的面积减去圆的面积，再减去三角形的面积可得： ＝100﹣50 ＝50（平方厘米）， 答：图形阴影部分的面积为50平方厘米． 【点评】本题考查图形的剪拼，正确进行计算是解题关键． 19．（2025秋•西湖区校级期中）如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积为16cm2的大正方形纸片如图（2）． （1）原小正方形的边长为　　 cm； （2）如图3，把两个长为3，宽为1的长方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片，发现大正方形内部是一个小正方形，求小正方形的面积与边长． 【考点】图形的剪拼；矩形的性质；正方形的性质． 【分析】（1）根据小正方形的面积是大正方形面积的一半可得小正方形的面积，即可解决问题； （2）根据图形可得大正方形的边长为4，用大正方形的面积减去2个长方形的面积，即可得出小正方形的面积，进而求得其边长． 【解答】解：（1）∵小正方形的面积是大正方形面积的一半， ∴小正方形的面积为16÷2＝8cm2， 设小正方形的边长为a， 则a2＝8， ∴（舍去负值）， ∴小正方形的边长为cm， 故答案为：． （2）根据图形可得大正方形的边长为4， ∴小正方形的面积为42﹣2×1×3＝10， ∴小正方形的边长为． 【点评】本题考查了图形的剪拼、正方形的面积、算术平方根的实际应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 【考点2】5.3 转化 表达（几何体的展开图、展开图折叠成几何体、正方体相对两个面上的文字专题）（第20-40题） · 判断能否围成正方体：用“一线不过四，田凹应弃之”口诀排除错误选项 · 识别展开图对应几何体：圆柱侧面是长方形、圆锥侧面是扇形、棱柱侧面是长方形，先看侧面形状再看底面形状 · 相对面判断：同一行（列）隔一个的两个面相对；异层的面用旋转或“Z”字形确定 · 相对面数字/汉字题：先确定相对面，再把相对面上的数字（或代数式）相加、比较或代入求值 20．（2026秋•金堂县校级月考）下列四个图形中，经过折叠不可以围成一个三棱柱的是（　　） A． B． C． D． 【考点】展开图折叠成几何体． 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【解答】解：A．经过折叠可以围成一个三棱柱，不符合题意； B．折叠后有一个面重合，不能折成棱柱，符合题意； C．经过折叠可以围成一个三棱柱，不符合题意； D．经过折叠可以围成一个三棱柱，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了展开图折叠成几何体：通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形． 21．（2026•市中区校级开学）下列图形中不是正方体的展开图的是（　　） A． B． C． D． 【考点】几何体的展开图． 【分析】根据正方体的展开图即可求解． 【解答】解：A、B、D、都是正方体的展开图，不符合题意； C、是凹图形，不是正方体的展开图，符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握正方体的侧面展开图是解题关键． 22．（2026•湘潭开学）下面四个图形中，沿线折叠后不能围成正方体的是（　　） A． B． C． D． 【考点】展开图折叠成几何体． 【分析】根据正方体表面展开图的特征逐项进行判断即可． 【解答】解：A．选项A中的图形，符合正方体表面展开图的“1﹣4﹣1型”的特征，能围成正方体，因此选项A不符合题意； B．选项B中的图形，符合正方体表面展开图的“1﹣3﹣2型”的特征，能围成正方体，因此选项B不符合题意；； C．选项C中的图形，符合正方体表面展开图的“3﹣3型”的特征，能围成正方体，因此选项C不符合题意；； D．选项D的图形，不符合正方体表面展开图的特征，一线超过4个正方形，折叠后不能围成正方体，因此选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查展开图折叠成几何体，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 23．（2026•长治开学）一个圆柱体茶叶纸筒（如图），沿着虚线把侧面的商标纸剪开，展开后得到一个面积为62.8cm2的平行四边形，那么这个茶叶筒的体积是（　　）cm3． A．12.56 B．62.8 C．31.4 D．18.84 【考点】几何体的展开图． 【分析】先利用圆柱侧面积除以高算出底面周长，再由周长求出底面半径，最后代入圆柱体积公式，用底面积乘高计算出茶叶筒的体积． 【解答】解：底面周长：62.8÷5＝12.56（cm）， 底面半径：12.56÷3.14÷2＝2（cm）， 体积：3.14×22×5 ＝3.14×4×5 ＝62.8（cm3）． 答：这个茶叶筒的体积是62.8cm3． 故选：B． 【点评】本题考查了几何体的展开图，关键是求出底面半径． 24．（2025秋•夏县期末）数学是研究数量关系和空间形式的科学．数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每个公民应该具有的基本素养．如图是一个正方体盒子的展开图，每个面上各写有一个字，那么“素”字相对面的字是（　　） A．核 B．心 C．学 D．数 【考点】专题：正方体相对两个面上的文字． 【分析】根据正方体的表面展开图，相对的面之间相隔一个正方形，根据这一特点即可求解． 【解答】解：正方体的展开图的性质可知：“素”字相对面的字是“心”， 故选：B． 【点评】本题主要考查正方体的展开图的性质，掌握正方体展开图的性质是解题关键． 25．（2025秋•松山区期末）下列选项中，左边的平面图形能够折叠成右边封闭的立体图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】展开图折叠成几何体． 【分析】根据几何体的展开图逐项判断即可． 【解答】解：A、左侧图形不能折叠成正方体，不符合题意； B、左侧图形中的圆形无法折叠成圆锥的底面，因此不能折成圆锥，不符合题意； C、左侧图形能折叠成圆柱，符合题意； D、因为三棱柱需要6个面，而左边的图只有5个面，因此不能折叠成三棱柱，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，熟记常见几何体的展开图是解题的关键． 26．（2026秋•金堂县校级月考）一个直棱柱的侧面展开图是一个　长方　 形，这个展开图的长等于直棱柱的　底面周长　 ，宽等于直棱柱的　侧棱长（高）　 ． 【考点】几何体的展开图． 【分析】由直棱柱的概念，即可得到答案． 【解答】解：一个直棱柱的侧面展开图是一个长方形，这个展开图的长等于直棱柱的底面周长，宽等于直棱柱的侧棱长（高）． 故答案为：长方，底面周长，侧棱长（高）． 【点评】本题考查几何体的展开图，关键是掌握直棱柱的概念． 27．（2025秋•扶绥县校级月考）如图是一个正方体的平面展开图，若将其按虚线折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均为6，x﹣y+z＝　2　 ． 【考点】专题：正方体相对两个面上的文字． 【分析】根据正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答． 【解答】解：“y”所在面与“3”所在面相对，“z”所在面与“﹣1”所在面相对，“x”所在面与“8”所在面相对， 则y+3＝6，z+（﹣1）＝6，x+8＝6， 解得：y＝3，z＝7，x＝﹣2． 故x﹣y+z＝（﹣2）﹣3+7＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了正方体的展开图形，代数式求值，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题． 28．（2026•市中区校级开学）一个正方体的每个面都写有一个汉字，其表面展开图如图所示，则在该正方体中，和“知”相对的面上写的汉字是　量　 ． 【考点】专题：正方体相对两个面上的文字． 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题． 【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “就”与“力”是相对面， “知”与“量”是相对面， “是”与“识”是相对面． 故答案为：量． 【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 29．（2026•市中区校级开学）一个正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形如图所示，则数字6的对面是　3　 ，数字2的对面是　4　 ． 【考点】专题：正方体相对两个面上的文字． 【分析】通过从三个不同的方向看到的图，找出每个数字的相邻面，利用排除法确定相对面． 【解答】解：由图1可知，数字4与1、6相邻，由图3可知，数字4与3、5相邻，则数字4的相邻面是1、3、5、6，即数字4的对面是2； 由图1可知，数字1与4、6相邻，由图2可知，数字1与2、3相邻，则数字1的相邻面是2、3、4、6，即数字1的对面是5； 剩下的数字6与3相对， 故数字6的对面是3，数字2的对面是4． 故答案为：3，4． 【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据相邻面上的数字确定出相对面上的数字是解题的关键． 30．（2025秋•绿园区期末）南朝宋•范晔在《后汉书•联食传》中写道：“将军前在南阳，建此大策，常以为落落难合，有志者事竟成也．”将“有”“志”“者”“事”“竟”“成”六个字分别写在某个正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“志”字所在面相对的面上的汉字是　竟　 ． 【考点】专题：正方体相对两个面上的文字． 【分析】根据正方体表面展开图的特征解答即可． 【解答】解：根据正方体表面展开图的特征可知： “志”字所在面相对的面上的汉字是“竟”， 故答案为：竟． 【点评】本题考查正方体相对两个面上的文字，解题的关键是掌握正方体表面展开图的特征． 31．（2025秋•高邮市期末）如图，是某个正方体的平面展开图，折叠成正方体后相对的两个面上的两个数字之和相等，则x﹣y的值为　﹣2　 ． 【考点】专题：正方体相对两个面上的文字． 【分析】先根据正方体展开图的结构确定相对面，再利用相对面数字之和相等的条件列方程求出x、y的值，最后计算x﹣y． 【解答】解：根据题意可知，x所在面与3所在面是相对面，5所在面与2所在面是相对面，y所在面与1所在面是相对面， ∵相对的两个面上的数字之和相等， ∴x+3＝5+2＝y+1， x+3＝5+2 解得：x＝4， 由y+1＝5+2， 解得：y＝6， ∴x﹣y＝4﹣6＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了正方体相对面上的文字，掌握正方体展开图的结构特征是关键． 32．（2025秋•澄迈县期末）有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动2025次后，骰子朝上一面的点数是　5　 ，朝下一面的点数是　2　 ． 【考点】专题：正方体相对两个面上的文字；规律型：图形的变化类． 【分析】通过观察骰子的滚动过程，得出朝上点数的变化存在周期为4的循环规律，进而利用除法计算出2025次滚动对应的周期位置，结合骰子相对面点数和为7的性质，求出最终结果． 【解答】解：根据题意可知，点数3所在面和点数4所在面相对，点数2所在面和点数5所在面相对，且四次一循环， 又∵2025÷4＝506余1， ∴朝上一面的点数是5，朝下一面的点数是2． 故答案为：5；2． 【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，图形的变化类，掌握正方体的空间结构特点是关键． 33．（2026•槐荫区校级开学）一个正方体展开后如图所示，则该正方体在展开前，与“建”字相对的面上的字是　市　 ，与“态”字所在面相对的面上的字是　设　 ． 【考点】专题：正方体相对两个面上的文字． 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “建”与“市”是相对面， “态”与“设”是相对面． 故答案为：市，设． 【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 34．（2026•槐荫区校级开学）若要使得图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为15，求x+y+z的值． 【考点】专题：正方体相对两个面上的文字． 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点，根据相对面上的两个数之和为15，列出方程求出x、y、z的值，从而得到x+y+z的值． 【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面， 其中面“z”与面“3”相对，面“y”与面“2”相对，“x”与面“10”相对． 则z+3＝15，y+2＝15，x+10＝15， 解得z＝12，y＝13，x＝5． 故x+y+z＝5+13+12＝30． 【点评】本题考查了正方体相对两个面．注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 35．（2025秋•二道区校级期末）2025年6月5日的世界环境日主题为“终结塑料污染”，呼吁减少塑料污染，保护生态环境，推动可持续发展．七（1）班综合实践小组开展废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒． 【空间想象】 （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的 　②　 （填序号）经过折叠不能围成一个无盖正方体纸盒； 【实践操作】 （2）如图2，有一张边长为50cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成一个无盖长方体纸盒． ①请你在图2中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若四角各剪去了一个边长为5cm的小正方形，求这个纸盒的容积．（纸张的厚度忽略不计） 【考点】展开图折叠成几何体． 【分析】（1）根据正方体表面展开图的特征进行判断即可； （2）①画出相应的图形即可， ②求出长方体的长、宽、高，再根据体积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：（1）由于正方体表面展开图“田凹应弃之”，而图②含有“凹”字， 所以图②不是正方体的表面展开图， 故答案为：②； （2）①所画的图形如下： ②由题意得，折叠成无盖长方体的纸盒的底面是边长为50﹣5﹣5＝40cm的正方形，高为5cm， 所以容积为40×40×5＝8000（cm3）， 答：这个纸盒的容积为8000cm3． 【点评】本题考查几何体的展开图，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 36．（2025秋•阎良区期末）如图是一个正方体的表面展开图，将这个展开图折叠成一个正方体后，相对面上所标的两个数互为相反数，求a+bc的值． 【考点】专题：正方体相对两个面上的文字；相反数． 【分析】根据正方体表面展开图的特征判断对面，根据相反数的定义求出a，b，c，再代入计算即可． 【解答】解：根据正方体表面展开图的特征可知：a＝7，b＝﹣9，c＝2， ∴a+bc＝7+（﹣9）×2＝﹣11． 【点评】本题考查了正方体相对的两个面上的文字，熟练掌握正方体表面展开图的特征是关键． 37．（2026秋•市南区校级同步）【问题情境】《制作无盖的长方体纸盒》是苏科版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】 （1）如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是　①③④　 ；（填序号） （2）综合实践小组利用边长为a（cm）的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为b（cm）的小正方形，再沿虚线折合起来．若a＝10cm，b＝2cm，则长方体纸盒的底面周长为　24　 cm； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b（cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果a＝30cm，b＝5cm．则该长方体纸盒的体积为　1000　 cm3； 【问题进阶】 （3）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为　58cm ． 【考点】展开图折叠成几何体． 【分析】（1）根据正方体的表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”进行判断即可； （2）①根据折叠得出这个长方体底面的形状和边长即可； ②由裁剪与折叠得出长方体的长、宽、高，再根据长方体体积的计算方法进行计算即可； （3）画出的展开图进行计算即可． 【解答】解：（1）根据正方体表面展开图的特征可知，①③④可以折叠成无盖的正方体的盒子， 故答案为：①③④； （2）①由折叠可知，底面是边长为a﹣2b的正方形，因此底面周长为4（a﹣2b）＝（4a﹣8b）cm， ∵a＝10cm，b＝2cm， ∴4a﹣8b＝40﹣16＝24（cm） 答：长方体纸盒的底面周长24cm， 故答案为：24； ②由题意得，所折叠成的长方体的长为（a﹣b）cm，宽为（a﹣2b）cm，高为bcm， 当a＝30cm，b＝5cm时，长为10cm，宽为20cm，高为5cm， 所以体积为10×20×5＝1000（cm3）， 故答案为：1000； （3）展开后，周长最大时的展开图如图所示： 所以周长为6×6+4×4+3×2＝58（cm）， 答：该长方体表面展开图的最大外围周长为58cm， 故答案为：58cm． 【点评】本题考查展开图折叠成几何体，掌握棱柱的表面展开图的特征是正确解答的关键． 38．（2026•望奎县开学）下面是一个正方体纸盒的展开图，请说出这个正方体中几号面与几号面相对． 【考点】几何体的展开图． 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【解答】解：根据题意可知，3号面与5号面相对， 剩余面中，1号面符合与4号面相对的规律，折后无公共边，不相邻， 因此1号面与4号面相对， 最后剩余2号面和6号面，因此2号面与6号面相对． 【点评】本题考查了几何体的展开图，掌握几何体的空间结构特点是关键． 39．（2026•望奎县开学）翻动骰子时，只能向它所在格的左、右、前、后格翻动．图中骰子在3C处． （1）当将骰子从3C处翻到3B处，骰子形态是；再将骰子从3B处翻到2B处，骰子形态是；继续将骰子从2B处翻到2A处，朝上的一面是几？ （2）继续将骰子从2A处翻到1A处，朝上的一面是几？ （3）如果从3C处开始，要使朝上，可以怎样翻动？这时骰子在什么位置？ 【考点】专题：正方体相对两个面上的文字． 【分析】（1）先确定相邻的数字，进而得出相对的数字，然后根据骰子的形态可得答案； （2）先确定每个面上的数字，再根据翻动状态解答； （3）根据骰子的形态向左翻动一次可得答案；也可以向上翻动一次，再向左翻动一次；向下翻动一次，再向左翻动一次，答案不唯一． 【解答】解：（1）当将骰子从3C处翻到3B处，骰子形态是；再将骰子从3B处翻到2B处，骰子形态是；继续将骰子从2B处翻到2A处，则： 根据题意可知1，3，4相邻，1，3，5相邻，1，2，4相邻， 所以1对6，2对3，4对5， 则将骰子从2B处翻到2A处，是向左翻动一次，即朝上的一面是3； （2）骰子在2A处时，上面的数字是3，下面的数字是2，左面的数字是1，右面的数字是6，前面的数字是5，后面的数字是4，从2A处翻到1A处，即向上翻动一次，所以朝上的一面是数字5； （3）从3C处开始，要使数字4朝上，可以向左翻动一次，即3C→3B； 也可以向上翻动一次，再向左翻动一次，即3C→2C→2B； 也可以向下翻动一次，再向左翻动一次，即3C→4C→4B． 所以3C→3B或3C→2C→2B或3C→4C→4B（答案不唯一）． 【点评】本题考查正方体相对两个面上的文字，正确进行分析是解题关键． 40．（2025秋•邯郸校级月考）求阴影部分的面积．（单位：厘米） 【考点】图形的剪拼． 【分析】用正方形面积、三角形面积及圆的面积间接表示出阴影部分面积，然后由正方形面积公式、三角形面积公式及圆的面积公式代入计算求解即可． 【解答】解：如图所示： ∴AC＝10，， 记右上角空白部分面积为S， 则， ∴（平方厘米）． ∴阴影部分的面积为19.625平方厘米． 【点评】本题考查图形的剪拼，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 💯 课后巩固 复习建议 · 做剪拼与七巧板题时，先想“剪拼前后面积不变”，用面积守恒列方程，不要只看图形形状 · 熟记正方体展开图11种形式与口诀“一线不过四，田凹应弃之”，快速排除不能折叠的图形 · 求相对面上的数字、字母、汉字时，先标出展开图各面，再按“同行隔一个、异层Z字形”判断相对面 · 圆柱、圆锥、棱柱的展开图要分清侧面形状（长方形/扇形），结合底面形状判断是哪个几何体 · 多动手折一折、剪一剪、拼一拼，把空间想象建立在操作经验上，积累图形的表象 【作业1】（2026春•威县校级期末）已知图2是由图1的七巧板拼成的马形图，且正方形ABCD的边长为4，则马形图边框长方形EFGH的面积为（　　） A．48 B． C． D． 【考点】七巧板． 【分析】利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质计算出每个部分的边长，再求出图2中长方形的长和宽，最后求出面积即可． 【解答】解：如图， 在正方形ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD＝4，OA⊥BD，OB＝OD＝OA， 在Rt△OAB中，， ∴， 由七巧板可得，，，， ∴在图2中，，， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查七巧板，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业2】（2026春•海淀区校级期末）把长为5，宽为1的长方形按如图所示的方式进行裁剪，并拼成一个大正方形，则大正方形的边长为（　　） A．2 B． C． D．5 【考点】图形的剪拼． 【分析】判断出正方形的面积为5可得结论． 【解答】解：根据已知得，长方形的面积为5×1＝5， ∴大正方形的面积为5， ∴大正方形的边长为． 故选：C． 【点评】本题考查图形的拼剪，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【作业3】（2026春•齐河县期末）七巧板是中国传统的智力玩具．如图1，七巧板共由七块板组成：5块等腰直角三角形、1块小正方形和1块平行四边形，其完整图案为一正方形．将其打乱顺序后拼成图2所示的矩形．若图1中由七巧板拼成的正方形的面积为4，则图2中矩形的宽为（　　） A． B． C．1 D． 【考点】七巧板． 【分析】利用算术平方根解方程，设宽为x，则长为2x，列方程求解即可． 【解答】解：∵图1中由七巧板拼成的正方形的面积为4， ∴图2中由七巧板拼成的矩形的面积为4， 由图2可知，长是宽的2倍， 设宽为x， ∴2x2＝4， ∴（负值不符合题意，已经舍去）． 故选：D． 【点评】本题考查七巧板相关的计算，解题的关键是根据图形得出矩形的长是宽的2倍． 【作业4】（2026春•宿迁期末）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．如图，用图①的一副七巧板拼成图②房子的图案，若七巧板的面积为32，则图②中阴影部分的面积是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【考点】七巧板． 【分析】根据七巧板的结构特征，确定各板块面积与总面积的比例关系，识别阴影部分对应的图形，计算面积之和即可． 【解答】解：如图， ①和②面积相等，占整个图的，④和⑥面积相等，占整个图的，⑦占整个图的，⑤占整个图的，③占整个图的，④和⑥面积之和等于⑦的面积，④、⑥、⑦面积之和等于①的面积， 观察图②可知，阴影部分由七巧板中的正方形⑤和平行四边形③拼成， ∴阴影部分的面积为． 故选：B． 【点评】本题考查七巧板，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业5】（2025秋•亭湖区期末）如图，用正方形制作的“七巧板”拼成了一只小猫，若小猫头部（图中涂色部分）的面积是16cm2，则原正方形的边长为 　8　 cm． 【考点】七巧板． 【分析】设阴影部分小正方形边长为x，根据阴影部分的面积得出小正方形的边长，根据七巧板各部分之间边长的关系得出正方形的边长即可． 【解答】解：设阴影部分小正方形边长为xcm， 由题意得，2x2＝16， 解得x＝2， ∴原正方形的对角线为48（cm）， 即原正方形的边长为8cm， 故答案为：8． 【点评】本题主要考查七巧板的知识，熟练掌握七巧板各部分之间边长的关系是解题的关键． 【作业6】（2025秋•靖江市期末）如图1所示的七巧板，是我国古代劳动智慧的结晶，被西方人称为“东方魔板”．小明同学用同一副七巧板拼成的“小天鹅”图案如图2所示，若图1中的大正方形边长为4，则图2中阴影部分的面积为　6　 ． 【考点】七巧板． 【分析】根据七巧板的分割方法得到各个部分所占正方形面积的几分之几进行计算即可． 【解答】解：有七巧板的分割方法可知，①和②各占正方形面积的，③、⑤、⑦各占正方形面积的，④、⑥各占正方形面积的， 所以图中阴影部分，即③④⑤⑥部分的面积和， ③④⑤⑥部分的面积和占正方形面积的（）， ∴图2中阴影部分的面积为4×4×（）＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查七巧板，理解七巧板的分割方法，掌握七巧板的各个部分所占正方形面积的几分之几是正确解答的关键． 【作业7】（2025秋•姜堰区期末）“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”，若“七巧板”拼成的正方形边长为6，则图中阴影部分面积为　9　 ． 【考点】七巧板． 【分析】根据题意得到图中阴影部分面积为“七巧板”拼成的正方形的面积的，据此进行解答即可． 【解答】解：由题意可知，“七巧板”拼成的正方形的面积为62＝36， 根据“七巧板”的特征可知，图中阴影部分面积为“七巧板”拼成的正方形的面积的， ∴则图中阴影部分面积为， 故答案为：9． 【点评】此题考查了“七巧板”的相关知识，掌握其相关知识点是解题的关键． 【作业8】（2025秋•静安区校级期末）如图，用正方形制作的“七巧板”拼成了一只小猫，若小猫头部（图中涂色部分）的面积是25cm2，则原正方形的边长为　10　 cm． 【考点】七巧板． 【分析】根据题意，小猫的头部是由正方形中①②③部分组成，③、④部分的面积相等，小猫头部（图中涂色部分）的面积是25cm2，整好是正方形面积的，则正方形面积为，由平方数的计算即可求解． 【解答】解：用正方形制作的“七巧板”拼成了一只小猫，若小猫头部（图中涂色部分）的面积是25cm2， 如图所示，小猫的头部是由正方形中①②③部分组成，③、④部分的面积相等， ∴小猫头部（图中涂色部分）的面积是25cm2，正好是正方形面积的， ∴正方形面积为， ∵10×10＝100， ∴正方形的边长为10（cm）， 故答案为：10． 【点评】本题主要考查有理数的乘方的运用，理解图示是关键． 三．解答题（共18小题） 【作业9】（2025秋•单元）分别将图中的阴影部分剪拼成一个正方形（在图中画出剪拼的示意图，并用文字说明）． 【考点】图形的剪拼． 【分析】第一个图中，①通过平移旋转移动到①即可；第二个图中，①②③通过旋转，平移移动到①②③即可． 【解答】解：如图，正方形即为所求．第一个图中，①通过平移旋转移动到①即可；第二个图中，①②③通过旋转，平移移动到①②③即可． 【点评】本题考查图形的拼剪，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 【作业10】（2026•铁西区校级开学）如图是一个正方体纸盒的展开图，当还原折成纸盒时，与点1重合的点是点（　　） A．6和11 B．6和10 C．2和6 D．2和7 【考点】展开图折叠成几何体． 【分析】要求与点1重合的点，需先将正方体纸盒的展开图还原折成纸盒，再利用正方体展开图的特点进行判断即可求解． 【解答】解：点1所在的正方形分别和点2、点6所在的两个正方形相交，点1与点2、点6重合． 故选：C． 【点评】此题考查了正方体的展开图，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业11】（2026•济南校级开学）如图是某几何体的展开图，则该几何体是（　　） A． B． C． D． 【考点】几何体的展开图． 【分析】由表面展开图可知该几何体底面是正方形，侧面是四个三角形，从而得出该几何体是四棱锥． 【解答】解：将几何体的表面展开图折叠成几何体为： 即该几何体是四棱锥， 故选：D． 【点评】本题考查了简单几何体的表面展开图，掌握四棱锥的表面展开图的特征是正确解答的关键． 二．填空题（共24小题） 【作业12】（2025秋•凉州区期末）如图是一个正方体的表面展开图，将它折叠成一个正方体后，相对面上的数字和都相等，那么x+y的值是　﹣3　 ． 【考点】专题：正方体相对两个面上的文字． 【分析】根据正方体表面展开图的特征判定相对的面，再根据相对面上的数字和都相等求解即可． 【解答】解：依题意可知，x与﹣3是相对面，y与8是相对面，﹣2与3是相对面， ∵相对面上的数字和都相等， ∴x﹣3＝﹣2+3，y+8＝﹣2+3， 解得x＝4，y＝﹣7， x+y＝4﹣7＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了正方体相对两个面上的数字，熟练掌握正方体表面展开图的特征判定相对的面是关键． 【作业13】（2026•龙岗区校级开学）正方体的6个面分别写着A、B、C、D、E、F，根据图示判断，与D相对的面是B ． 【考点】专题：正方体相对两个面上的文字． 【分析】根据题意易得：B与A，E，F，C是相邻面，即可解答． 【解答】解：由题意可得：B与A，E，F，C是相邻面， ∴B与D是相对面， 故答案为：B． 【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握正方体的相对面和相邻面是解题的关键． 【作业14】（2025秋•青羊区校级期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，与“学”字所在面的相对面上的汉字是　持　 ． 【考点】专题：正方体相对两个面上的文字． 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【解答】解：把展开图折叠成正方体后，与“学”字所在面的相对面上的汉字， 根据题意得：与“学”字所在面的相对面上的汉字是“持”． 故答案为：持， 【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字的知识． 【作业15】（2025秋•武都区期末）如图所示的是一个正方体的平面展开图，将其折叠成正方体后，各对面的数字之和相等，则x+y＝　8　 ． 【考点】专题：正方体相对两个面上的文字；代数式求值． 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，据此可确定相对的面，根据各对面的数字之和相等求出x、y的值即可得到答案． 【解答】解：根据题意可知，“x”的面与“4”的面相对，“y”的面与“﹣6”的面相对，“﹣2”的面与“5”的面相对， ∵各对面的数字之和相等， ∴x+4＝﹣6+y＝﹣2+5， 解得：x＝﹣1，y＝9， ∴x+y＝﹣1+9＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，代数式求值，掌握正方体的空间结构特点是关键． 【作业16】（2025秋•龙华区校级期中）【问题提出】连接五边形ABCDE的五个顶点和它内部的n个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得多少个三角形？（不计被分割的三角形） 【问题探究】为了解决上面的问题，我们将运用归纳的策略，先在若干简单情形中寻找相应的规律． 探究一：如图①当五边形内有1个点时，可分得　5　 个三角形； 探究二：当五边形内有2个点时，可分得多少个三角形？ 在探究一的基础上，我们在图①五边形ABCDE的内部再添加1个点，这个点的位置会有两种情况：可能在图①分割成的某个三角形的内部，如图②所示；也可能在三角形的某条公共边上，如图③所示、显然，不管哪种情况，都可分得　7　 个三角形． 探究三：当五边形内有3个点时，可分得　9　 个三角形．（可借助图④画图分析） 【问题解决】连接五边形ABCDE的五个顶点和它内部的n个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得　（2n+3）　 个三角形． 【反思提高】若连接五边形ABCDE的五个顶点和它内部的若干个点，可把五边形区域分割成2024个三角形吗？如果能，请求出该五边形内部点的个数；如果不能，请说明理由． 【策略应用】若连接六边形的六个顶点和它内部的m个点，可把六边形区域分割成　（2m+4）　 个三角形．（不计被分割的三角形） 【考点】图形的剪拼． 【分析】探究一：根据图形数出三角形个数即可； 探究二：根据图形数出三角形个数即可； 探究三：仿照题意先画出对应的图形，再数出三角形个数即可； 问题解决：由前面的探究可知连接五边形ABCDE的五个顶点和它内部的n个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，三角形的个数是五边形的顶点数加上内部点的个数的2倍最后减去2，据此求解即可； 拓展延伸：（1）根据问题解决得到的规律列方程求解即可； （2）仿照探究画出对应的图形，可得连接六边形的六个顶点和它内部的m个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，三角形的个数是六边形的顶点数加上内部点的个数的2倍最后减去2，据此求解即可． 【解答】解：探究一：如图①，当五边形内有1个点时，可分得5+2×1﹣2＝5（个）三角形； 故答案为：5； 探究二：由图②和图③，当五边形内有2个点时，可分得5+2×2﹣2＝7（个）三角形； 故答案为：7； 探究三：画出图形如下，当五边形内有3个点时，可分得5+2×3﹣2＝9（个）三角形； 故答案为：9； 问题解决：由探究一可知：当五边形内有1个点时，可分得5+2×1﹣2＝5（个）三角形； 由探究二可知：当五边形内有2个点时，可分得5+2×2﹣2＝7（个）三角形； 由探究三可知：当五边形内有3个点时，可分得5+2×3﹣2＝9（个）三角形； …， 以此类推，当五边形内有n个点时，可分得5+2n﹣2＝（2n+3）个三角形； 故答案为：（2n+3）； 拓展延伸：（1）不能， 理由：由问题解决可知2n+3＝2024， ∴n＝1010.5， ∴不能把五边形区域分割成2024个三角形； （2）如图所示，当六边形内有1个点时，可以分6+2×1﹣2＝6个三角形， 当六边形内有2个点时，可以分6+2×2﹣2＝8个三角形， 当六边形内有3个点时，可以分6+2×3﹣2＝10个三角形， 以此类推，可知当六边形内有m个点时，可分得6+2m﹣2＝（2m+4）个三角形， 故答案为：（2m+4）． 【点评】本题主要图形的剪拼，考查图形类的规律探索，一元一次方程的应用，能够根据图形发现数字规律是解题的关键． 【作业17】（2025秋•秦都区期末）如图是一个正方体的表面展开图，已知在原正方体中，相对面上的数互为相反数，求代数式﹣2x+y﹣z的值． 【考点】专题：正方体相对两个面上的文字；代数式求值． 【分析】根据正方体的表面展开图，相对面相隔一个正方形，找出相对面，进而根据相反数的定义求出x、y、z的值，最后代入代数式计算即可求解． 【解答】解：根据正方体的表面展开图特征可知： “5”与“x”是相对面，“y”与“2”是相对面，“z”与“﹣1”是相对面， 又∵相对面上的数互为相反数， ∴x＝﹣5，y＝﹣2，z＝1， ∴原式＝﹣2×（﹣5）+（﹣2）﹣1＝10﹣2﹣1＝7． 【点评】本题考查了正方体的表面展开图，相反数及代数式求值，掌握正方体的表面展开图的特征是解题的关键． 【作业18】（2025秋•志丹县期末）如图是一个几何体的展开图． （1）该几何体的名称是　长方体（或四棱柱）　 ； （2）根据图中标注的长度（单位：cm），求该几何体的体积． 【考点】几何体的展开图． 【分析】（1）根据展开图可知该几何体有6个面，4个侧面，2个底面，即可得出几何体的名称； （2）根据展开图可知是一个长为6，宽为2，高为6的四棱柱，再根据体积公式得出答案． 【解答】解：（1）根据图形可知，几何体4个侧面，2个底面，有6个面， ∴几何体是长方体（或四棱柱）． 故答案为：长方体（或四棱柱）； （2）6×6×2＝72（cm3）， ∴几何体的体积为72cm3． 【点评】本题考查了几何体的展开图，几何体的体积，掌握相应的定义是关键． 【作业19】（2025秋•金凤区期末）在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们用若干个正方形和长方形拼成一个长方体的展开图．拼完后，小明发现所拼图形多了一块． （1）请你帮小明把图中多余块涂黑； （2）长方体共有 　12　 条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开 　7　 条棱； （3）根据图中的数据，求出修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积． 【考点】展开图折叠成几何体． 【分析】（1）根据正方体表面展开图的“1﹣4﹣1型”的特征进行解答即可； （2）根据展开图的特征进行判断即可； （3）求出长方体底面边长、高，再根据体积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：（1）将图中多余块涂黑如图所示： （2）长方体共有12条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开7条棱， 故答案为：12，7； （3）长方体底面正方形的边长为12÷4＝3（cm），高为17﹣3×3＝8（cm）， 所以体积为3×3×8＝72（cm3）， 答：修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积为72cm3． 【点评】本题考查认识立体图形，掌握长方体的形体特征是正确解答的关键． 【作业20】（2025秋•广东校级期末）小雅同学在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，于是她在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒（如图②），可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分如图①．根据你所学的知识，回答下列问题： （1）小雅想将剪断的重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小雅在①上补全．（一种情况即可） （2）已知这个长方体纸盒高为10cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是440cm，求这个长方体纸盒的体积． 【考点】展开图折叠成几何体． 【分析】（1）根据长方体的展开图的情况可知有4种情况； （2）设底面边长为acm，根据棱长的和是440cm，列出方程可求出底面边长，进而得到长方体纸盒的体积． 【解答】解：（1）粘贴的位置有四种情况： （2）设长方体纸盒底面正方形的边长acm， ∵长方体纸盒所有棱长的和是440cm，长方体纸盒高为10cm， ∴4×10+8a＝440， 解得a＝50， ∴这个长方体纸盒的体积为：10×50×50＝25000（立方厘米）， 答：这个长方体纸盒的体积为2500立方厘米． 【点评】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $