精品解析：湖北省襄阳市第一中学2026-2027学年高一上学期9月质量测评数学试题

襄阳一中高一年级9月质量测评数学试题 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的交集运算求解. 【详解】解：因为集合，， 所以， 故选：C 2. 若，且，则下列不等式中，恒成立的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：，所以A错；，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，B错；同时C错；或都是正数，根据基本不等式求最值，，故D正确． 考点：不等式的性质 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】解不等式可得， 因为，因此，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式将原等式转化为关于的一元二次不等式求解. 【详解】由，得， 整理得，即， 而，故可得，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：A 5. 集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】任取，则，， 变形得，其中，故，因此， 任取，则，， 变形得，其中，故，因此， 由且，可得； 任取，则，， 变形得，其中，故，因此， 取元素8，可知， 若，解得，故，说明，因此; 综上可得. 6. 已知集合，则A子集的个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意 ，由集合中元素的特性解出集合，再求子集数即可； 【详解】由已知可得， 所以，所以， 所以A子集的个数为个， 故选：D. 7. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，利用乘“1”法求解基本不等式问题即可. 【详解】因为，所以，所以， 又，，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立， 所以，即的最小值是4． 故选：A． 8. 设全集，集合、是的子集，若，就称为“好集”，那么所有“好集”的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对的元素个数进行分类讨论，列举出集合、，即可得出结果. 【详解】由题意可知，，，分以下几种情况讨论： （1），则，只有种情况； （2）当有个元素，有种情况，如时， 因为为“好集”，有种情况：，；、. 此时，共有种情况； （3）当有个元素时，则或或 ， 如，因为为“好集”，有以下种情况： ，；，； ，；，. 此时，共有种情况； （4）当有个元素时，则， 因为为“好集”，有以下种情况： ，；，； ，；，； ，；，； ，；，. 综上所述，所有“好集”的个数为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键就是对集合的元素个数进行分类讨论，并列举出符合条件的集合、. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例可得A错误；由不等式的性质可得B正确；作差后由题意可得C、D正确； 【详解】对于A，设，则，故A错误； 对于B，由不等式的性质可得，若，则，故B正确； 对于C，， 因为且，所以，所以，且， 所以，所以，故C正确； 对于D，，因为，所以， 又，所以，故D正确； 故选：BCD. 10. 已知，，，则下列结论成立的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，由“1”的代换结合基本不等式求解；对B，由利用基本不等式求解；对C，由，利用基本不等式求解判断；对D，作差，判断得解. 【详解】对于A，， 当且仅当时，取等号，故A正确； 对于B，，故， 当且仅当时，取等号，故B正确； 对于C，由， 可知，且，， ， 不等式取等号的条件是，即， 与题设矛盾，故的最小值大于2，故C错误； 对于D，， 故，最小值大于1，故D错误. 故选：AB. 11. 如果我们把集合的所有子集组成的集合叫做集合的幂集，记为.用表示有限集的元素个数.下列命题中正确的是（ ） A. 若，则； B. 存在集合，使得； C. 若，则； D. 若，则. 【答案】AC 【解析】 【分析】按幂集的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则的子集之一就是，所以，故A正确； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则的公共子集只有空集，故，故C正确； 对于D，若，不妨设，则， ，显然，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，且，则___________． 【答案】3或 【解析】 【分析】根据集合的交集的含义结合集合元素的互异性性质，即可求得答案. 【详解】因为，， 故， 又，若，若，则； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意， 当时，，，符合题意， 故或， 故答案为：或 13. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据不等式的解集与一元二次方程根的关系，求得的值，再结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由不等式的解集为，即是方程的两个实数根， 所以，可得， 则不等式，即为，即， 化简得，解得或， 即不等式的解集为. 14. 已知，且关于的不等式有解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式转化为，通过变形结合基本不等式求右侧表达式在时的最大值，再根据不等式有解确定参数的取值范围. 【详解】原不等式等价于， 因为，所以，对右侧表达式变形得， 由基本不等式，对正数和，有， 当且仅当，即（满足）时等号成立， 因此，即在时的最大值为， 由于不等式有解，故只需小于右侧表达式的最大值，即， 所以实数的取值范围是. 四、解答题（本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设全集为，或，，． （1）求，； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交并补的定义即可求解， （2）根据子集关系即可求解. 【小问1详解】 由于或，， 故，， ， 【小问2详解】 ∵，∴ 16. （1）求函数的最小值． （2）已知，是正实数，且，求的最小值． 【答案】 （1）；（2） 【解析】 【分析】（1）通过拆分分式变形构造正项和结构，结合基本不等式求最值；（2）利用“的代换”构造基本不等式适用条件求解最值. 【详解】（1）由可得，对函数做如下变形，， 根据基本不等式，有，当且仅当，即时等号成立， 因此，即函数的最小值为； （2）已知且，可得，因此， 根据基本不等式，有，当且仅当，即时等号成立， 结合解得，满足为正实数的条件， 因此，即所求最小值为. 17. 已知集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将充分不必要条件转化为集合真包含关系 ，列不等式组求解；（2）将全称真命题转化为集合包含关系，分和两类讨论求解. 【小问1详解】   若“”是“”的充分不必要条件，则 ， 因此 ，解得，故实数的取值范围为； 【小问2详解】 若命题“，都有”为真，则，分两类讨论： ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足，该不等式组无解； 综上，实数的取值范围为. 18. 已知集合，． （1）若，求； （2）若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，再利用补集、交集的定义求解. （2）求出集合，再利用充分不必要条件定义列式求解. 【小问1详解】 当时，，则或， 而， 所以. 【小问2详解】 当时，， 由（1）知，由“”是“”成立的充分不必要条件， 得集合是集合的真子集，则或，解得或， 所以正实数m的取值范围中. 19. 某企业要建造一个形如长方体的体育馆，其地面面积为540平方米，高为6米.已知甲工程队报价如下：馆顶的造价为每平方米200元，由于利用现成的水泥地面，因此地面不需要花钱，体育馆前、后两侧墙壁的造价为每平方米300元，左、右两侧墙壁的造价为每平方米500元.设体育馆前墙长为x米. （1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该体育馆的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，且报价低的工程队竞标成功.若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】（1）30米 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解； （2）根据题意可知对任意的恒成立，分离参数对任意的恒成立，进而变形利用基本不等式求的范围即可. 【小问1详解】 因为体育馆前墙长为x米，地面面积为540平方米， 所以体育馆的左、右两侧墙的长度均为（）米， 设甲工程队报价为y元， 则， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当前墙的长度为30米时，甲工程队报价最低为324000元. 【小问2详解】 根据题意可知对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 因为， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳一中高一年级9月质量测评数学试题 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，且，则下列不等式中，恒成立的是 A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 5. 集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，则A子集的个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 7. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 8. 设全集，集合、是的子集，若，就称为“好集”，那么所有“好集”的个数为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 10. 已知，，，则下列结论成立的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 如果我们把集合的所有子集组成的集合叫做集合的幂集，记为.用表示有限集的元素个数.下列命题中正确的是（ ） A. 若，则； B. 存在集合，使得； C. 若，则； D. 若，则. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，且，则___________． 13. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为________ 14. 已知，且关于的不等式有解，则实数的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设全集为，或，，． （1）求，； （2）若，求的取值范围． 16. （1）求函数的最小值． （2）已知，是正实数，且，求的最小值． 17. 已知集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； 18. 已知集合，． （1）若，求； （2）若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围． 19. 某企业要建造一个形如长方体的体育馆，其地面面积为540平方米，高为6米.已知甲工程队报价如下：馆顶的造价为每平方米200元，由于利用现成的水泥地面，因此地面不需要花钱，体育馆前、后两侧墙壁的造价为每平方米300元，左、右两侧墙壁的造价为每平方米500元.设体育馆前墙长为x米. （1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该体育馆的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，且报价低的工程队竞标成功.若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $