湖南省衡阳市2026-2027学年高一上学期第一次月考数学自编卷01（范围：必修一1-2单元）

湖南省衡阳市2026-2027学年高一上学期第一次月考自编卷01 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A B C B D C AD ABC 题号 11 答案 AD 1．B 【分析】依据全称命题的否定进行判断即可. 【详解】命题否定为. 故选：B 2．D 【分析】先求得，再利用交集运算求解. 【详解】因为全集，集合， 所以， 又集合， 所以图中阴影部分所示的集合是， 故选：D 3．A 【分析】解不等式，求得集合，再根据交集定义即可求解结论． 【详解】由题意得， 又， 所以， 故选：A. 4．B 【分析】由集合的并集和补集运算即可求解. 【详解】由，， 可得， 又，所以， 故选：B 5．C 【分析】由题意，代入，利用基本不等式的性质即可得出. 【详解】因为，，所以， 故， 因为，当且仅当时，等号成立， 故，则此三角形面积的最大值为12. 故选：C 6．B 【详解】试题分析：由题意得，根分式不等式的解法可知，由不等式，解得，所以不等式的解集为，故选B． 考点：分式不等式的求解． 7．D 【解析】由绝对值不等式，得，故①正确；由图象可知和在上有两个交点，故②正确；由，得或，故③正确；全称命题的否定为特称命题，并将“”改为“”，故④正确. 【详解】， ，①正确； 函数定义域为， 由， 得即， 由图可知的图象和在上有两个交点， 所以方程有两个解， 即有2个零点，②正确； 由，解得或， 所以是的充分不必要条件，③正确； 命题：的否定是：，④正确. 故选：D 【点睛】本题考查了绝对值不等式、函数的零点问题、充分条件与必要条件的判断以及全称命题的否定，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题. 8．C 【分析】由基本不等式得，进而结合已知条件得的最小值为. 【详解】解：因为，所以， 因为 所以，即， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最小值为. 故选：C 9．AD 【分析】由题设可得是的真子集，进而结合全称量词命题和存在量词命题的定义判断各选项. 【详解】依题意集合，，所以是的真子集， 所以，；，，即AD选项正确，BC错误； 故选：AD. 10．ABC 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系及空集的性质、集合相等的定义判断各项的正误. 【详解】A：是集合中的元素，故，正确； B：是任意非空集合的真子集，故，正确； C：是的真子集，故，正确； D：研究数值，而研究有序数对，故它们不相等，错误. 故选：ABC 11．AD 【解析】利用不等式的性质以及反证法证明成立即可判断A选项； 取，判断B选项； 取，判断C选项； 利用不等式的性质以及作差法判断D选项； 取，判断E选项； 【详解】对于A，若，为正实数，则，故，若，则，这与矛盾，故成立，所以A正确； 对于B，取，，则，但，所以B不正确； 对于C，取，，则，但不成立，所以C不正确； 对于D，，即，所以D正确； 对于E，取，则，所以E不正确.故选AD. 【点睛】本题主要考查了由已知条件判断所给不等式是否正确，属于中档题. 12． 【分析】利用根的判别式确定的取值范围，再由根与系数的关系结合已知条件，计算即得的值. 【详解】依题意，可得，解得， 由韦达定理，，， 则， 解得或. 因，则． 故答案为： 13．16 【解析】因为,故再展开用基本不等式求最小值即可. 【详解】. 当且仅当时等号成立. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了基本不等式求最小值的问题,属于基础题型. 14． 【解析】根据题意，，且，化简得，再利用基本不等式求最值，即可得出结果. 【详解】解：由题可知，，且， 因为， 当且仅当时，取等号， 即的最小值为. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 15．（1）（2）详见解析 【分析】（1）转化为二次不等式求解（2）分解因式后分类讨论即可求解. 【详解】（1）由可得， 解得， 所以不等式的解集为. （2）①当时，原不等式可化为，解得. ②当时，原不等式可化为， 解得或， ③当时，原不等式可化为， 在时，，解得， 在时，，解得， 在时，，解得， 综上时不等式的解集， 时不等式的解集， 时不等式的解集 时不等式的解集， 时不等式的解集. 【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法，含参数一元二次不等式的解法，分类讨论的思想，属于中档题. 16．(1) (2)最大面积为， 【分析】（1）由题意可得，结合即可求得函数定义域，结合勾股定理得到，再根据三角形的面积公式求解即可； （2）根据基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意，， 则，所以定义域为， 设，由得， 在中，，解得， 所以， 即. （2）由，                     等号当且仅当，即时取得等号， 所以的最大面积为，此时. 17．（1）证明:充分性：如果， 那么， ， . 必要性：如果， 那么， ， ，，， . 综上知，的充要条件是. （2），证明如下： 由 都是正实数，且， 即. 【分析】（1）分别证明充分性与必要性即可； （2）利用作差法比较大小即可比较与的大小. 【详解】（1）略； （2）.证明略. 18．（1），()；（2）当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为55万元. 【分析】（1）根据题意，得到产品的生产成本，以及每件销售价，得到年销售收入，从而可得出年利润的解析式； （2）令()，得到，整理后，结合基本不等式求最值，即可得出结果. 【详解】（1）由题意可得，产品的生产成本为万元， 每件销售价为. ∴年销售收入为. ∴年利润 ，(). （2）令()，则 ，. ∵，∴，即， 当且仅当，即时，有最大值55，此时. 即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为55万元. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，由基本不等式求最值，属于常考题型. 19．（1）或；（2）. 【分析】（1）求得集合，根据，得到，分集合或为空集，或只含有根0或，分类讨论，即可求解； （2）由，得到，根据一元二次方程根的特点，可得，结合（1）即可求解. 【详解】（1）由题意，集合， 因为，则有，可知集合或为空集，或只含有根0或. ①若，由，解得； ②若，代入，即，解得或， 当时，，符合题意； 当时，，也符合题意． ③若，代入，可得，解得或， 当时，由②中已讨论，符合题意； 当时，，不合题意． 综合①②③得或. （2）因为，所以，又， 而至少只有两个根，且根据一元二次方程根的特点，可得， 由（1）知，. 【点睛】本题主要考查了利用结合的运算及集合的包含关系求解参数的取值问题，其中解答中熟练应用集合包含关系，合理分类讨论是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省衡阳市2026-2027学年高一上学期第一次月考自编卷01 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.考试范围：人教A版必修上册第1-2单元。 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知命题，则命题的否定为（        ） A． B． C． D． 2．设全集，集合，集合，则图中阴影部分所示的集合是（    ） A． B． C． D． 3．集合，那么集合（    ） A． B． C． D． 4．已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积S可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 6．不等式的解集为 A． B． C． D． 7．已知下列命题：①；②函数的零点有2个；③是的充分不必要条件；④命题：的否定是：，其中真命题有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．若，且，则的最小值为（    ） A．9 B．3 C．1 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。 9．已知集合，，则下列正确的有（     ） A．， B．， C．， D．， 10．下列关系中正确的有（    ） A． B． C． D． 11．设、为正实数下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 E．若，则 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．关于的方程有两个实根，且，则_______． 13．已知，则的最小值为________. 14．已知正实数，满足，则的最小值为____________. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．解下列不等式： (1); (2) 16．设矩形ABCD（）的周长为，把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点P，设，记的面积为函数． (1)求的解析式，并写出其定义域； (2)求的最大面积及相应x的值． 17．（1）设，证明：的充要条件是. （2）已知都是正实数，且，试比较与的大小，并证明. 18．某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售(万件)与广告费(万元)之间的函数关系为().已知生产此产品的年固定投入为4.5万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，且能全部销售完.若每件销售价定为：“平均每件生产成本的”与“年平均每件所占广告费的”之和. （1）试将年利润(万元)表示为年广告费(万元)的函数； （2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？ 19．设． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $