精品解析：湖南省衡阳市衡州高级中学2025-2026学年高一上学期四调考试数学试题

2025-2026学年上学期四调考试 高一年级数学试题 测试日期：12月29日-30日 本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共计 150分，考试时间 120 分钟 第Ⅰ卷（选择题 58 分） 一、单选题（每题5分，共计40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 2. 已知，是实数，则“，”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析命题间的推出关系. 【详解】因为“且”能推出“”，但是“” 不能推出“且”， 所以“” 是“”的充分不必要条件. 故选：B 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得不等式对应方程的根，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由方程，可得方程的两根为，， 结合一元二次不等式的解法，可得不等式的解集为或. 故选：C． 4. 若，，，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. 9 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用基本不等式计算可得； 【详解】解：因为，，，所以，当且仅当时取等号， 故选：D 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的特点以及分母不等于0即可得到不等式组，解出即可. 【详解】函数的定义域需满足，解得且， 故选：D 6. 下列函数中，在区间上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】熟悉指数函数，对数函数，幂函数，反比例函数的图像特点，即可判断其在区间上的单调性. 【详解】对于A，由于 ，结合指数函数单调性可知，函数在区间上单调递增； 对于B，的底数为10，且 ，结合对数函数单调性可知，函数在区间上单调递增； 对于C，幂函数中指数为3， ，结合幂函数单调性可知,函数在区间上单调递增； 对于D，反比例函数，即 ，结合反比例函数单调性可知，函数在区间上单调递减. 故选：D 7. 若，，则下列各式中，恒等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的运算性质逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】对于A：，故选项A不正确； 对于B：，故选项B不正确； 对于C：，故选项C不正确； 对于D：，故选项D正确； 故选：D. 8. 若存在满足()，则a的取值范围是( ). A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】参变分离，再讨论变量部分的单调性，求出其最大值即可. 【详解】由存在满足可得，存在使得成立，所以小于的最大值.因为，所以在上单调递增，所以当时有最大值1.所以. 故选：A. 二、多选题（每题6分，部分选对得部分分，选错得零分，共计18分） 9. 函数的图象过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】画出函数大致图象即可判断. 【详解】的图象相当于是把的图象向左平移2个单位， 作出函数的大致图象如图所示，则函数的图象过第二､三､四象限. 故选：BCD. 10. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】结合的单调性和零点的存在性定理确定正确答案. 【详解】的定义域为，B选项错误. 在区间上是增函数， ， 所以是的唯一零点，所以AC选项正确，D选项错误. 故选：AC 11. 已知函数，则（ ） A. 的递增区间为 B. 的递增区间为 C. 有最大值4 D. 有最小值4 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A、B选项，利用指数型复合函数的单调性判断即得；对于C、D选项，利用二次函数的值域和指数函数的单调性即可求得最值判断. 【详解】设，则在上单调递减，在上单调递增． 因为是上的减函数，由同增异减原则，可知的递增区间为，则A正确，B错误． 因为，所以，则C正确，D错误． 故选：AC 第Ⅱ卷（非选择题 92分） 三、填空题（每题5分，双空题第一空2分，第二空3分，共计15分） 12. 函数，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合指数幂与对数的运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】由函数，可得， 所以. 故答案为：. 13. 若函数的定义域为，则实数的取值范围为__________， 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到恒成立，结合判别式即可求解. 【详解】由函数的定义域为，可得恒成立， 即， 解得， 所以实数的取值范围为， 故答案为： 14. 若是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，________；不等式的解集是________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意结合偶函数的定义求函数解析式即可；分析可知函数在定义域内单调递增，且，根据偶函数的性质解不等式即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且当时，， 设，则， 可得， 所以当时，； 当时，因为，在定义域上单调递增， 可知函数在定义域上单调递增，且， 则不等式等价于，可得， 即或，解得或， 所以不等式的解集是. 故答案为：；. 四、解答题（15题13分，16-17题每题15分，18-19题每题17分，共计77分） 15. 已知函数，且满足. （1）求的值； （2）解不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据代入解方程即可 （2）由指数函数的单调性可得结论． 【小问1详解】 因为且， 所以 故的值为 【小问2详解】 不等式，即， 因为在上单调递减，所以， 所以不等式解集为. 16. 已知是定义在上的函数，且，. （1）求函数的解析式； （2）判断函数的奇偶性，并用定义证明. 【答案】（1） （2）是奇函数，证明： ∵的定义域是，定义域关于原点对称， 且， ∴函数是奇函数. 【解析】 【分析】（1） 根据，，求出的值，即可求出函数解析式； （2） 根据奇偶性的定义证明即可. 【小问1详解】 由题意得：，解得， 即； 【小问2详解】 略 17. 已知函数. （1）求函数的定义域、值域； （2）求不等式的解集； （3）如果，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用真数大于零求解； （2）将转化为，利用是增函数得到计算得解； （3）利用的定义域为且是增函数得到，计算得解. 【小问1详解】 由，得， 所以的定义域为， 因为，所以的值域为. 【小问2详解】 因为，所以， 因为是增函数，所以，即， 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 因为的定义域为，且是增函数， 所以， 解得， 所以的取值范围是. 18. 已知函数. （1）若，解不等式； （2）若，求在区间上的值域； （3）若，设，若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用换元法令，结合指数函数的单调性和二次不等式可得； （2）利用换元法设，结合指数函数和二次函数的单调性可得； （3）先由指数幂的运算得到为奇函数，再判断其单调性，然后利用奇函数的性质结合二次函数的单调性可得. 【小问1详解】 若，解不等式, 令，则不等式变为，解得或， 所以由指数函数的单调性可得或， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 若，， 设，因为，所以， 则，对称轴为，开口向上， 所以最小值为，最大值为， 所以在区间上的值域为. 【小问3详解】 若，设，定义域为， ，所以为奇函数， 又由复合函数的单调性可得为递增函数， 所以， 所以恒成立，即恒成立， 令，对称轴为，开口向下， 所以其最大值为， 所以实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性，并根据定义证明； （3）设函数，若对任意，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 在上单调递增，证明如下： 令，则， 因为，所以，，所以， 则，即，所以在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）应用换元法求函数解析式； （2）应用单调性的定义及作差法判断函数的区间单调性； （3）问题化为在上的值域是在上的值域的子集，列不等式求参数范围. 【小问1详解】 令，则，则，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，为增函数，则， 当时，为增函数，则， 由题意，得在上的值域是在上的值域的子集， 所以，解得，故的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期四调考试 高一年级数学试题 测试日期：12月29日-30日 本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共计 150分，考试时间 120 分钟 第Ⅰ卷（选择题 58 分） 一、单选题（每题5分，共计40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，是实数，则“，”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 4. 若，，，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. 9 D. 18 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数中，在区间上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 若，，则下列各式中，恒等的是（ ） A. B. C. D. 8. 若存在满足()，则a的取值范围是( ). A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，部分选对得部分分，选错得零分，共计18分） 9. 函数的图象过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 的递增区间为 B. 的递增区间为 C. 有最大值4 D. 有最小值4 第Ⅱ卷（非选择题 92分） 三、填空题（每题5分，双空题第一空2分，第二空3分，共计15分） 12. 函数，则____________. 13. 若函数的定义域为，则实数的取值范围为__________， 14. 若是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，________；不等式的解集是________. 四、解答题（15题13分，16-17题每题15分，18-19题每题17分，共计77分） 15. 已知函数，且满足. （1）求的值； （2）解不等式. 16. 已知是定义在上的函数，且，. （1）求函数的解析式； （2）判断函数的奇偶性，并用定义证明. 17. 已知函数. （1）求函数的定义域、值域； （2）求不等式的解集； （3）如果，求的取值范围. 18. 已知函数. （1）若，解不等式； （2）若，求在区间上的值域； （3）若，设，若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性，并根据定义证明； （3）设函数，若对任意，总存在，使得，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $