精品解析：浙江宁波市北仑中学2026-2027学年高一上学期第一次阶段测试数学试题

北仑中学2026届高一数学阶段测试 一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知命题：，则（ ） A. 是真命题， B. 是真命题， C. 是假命题， D. 是假命题， 4. 已知，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 6. 对于任意，都有意义，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 设全集，若集合，则（ ） A. B. C. D. 9. 下列说法不正确的是（    ） A. 在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为 B. 方程的解集为 C. 若，则 D. 若正数满足，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，的最小值为5 B. 已知，，且，则的最小值为 C. 若，，，则的最小值是2 D. 已知，，且，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知集合，，集合满足，则集合的个数为______. 12. 已知，，则的取值范围为______. 13. 已知不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共4小题，共52分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 解关于的不等式： （1）； （2）. 15. 设全集，集合，，其中. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围； （3）若且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. （1）若存在，使得不等式成立，求的取值范围； （2）若不等式对恒成立，求的取值范围； 17. 问题：已知，，均为正实数，且，求证： 证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： （1）已知，，均为正实数，且，求的最小值； （2）已知，，，均为正实数，且，求证：； （3）求的最大值，并求出使得取得最大值时的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北仑中学2026届高一数学阶段测试 一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 2. 已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的概念结合集合间的关系可得结果. 【详解】a＝3时，A＝{1，3}，A⊆B，即充分性成立； 当A⊆B时，a＝2或3，即必要性不成立； 故选：A. 3. 已知命题：，则（ ） A. 是真命题， B. 是真命题， C. 是假命题， D. 是假命题， 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题的否定和存在量词和全称量词的否定求解. 【详解】由，得或，则当时，，故是假命题，. 故选：C 4. 已知，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合不等式性质举出反例可得A、B、D错误，借助不等式的同向可加性可得C. 【详解】对A：若，则，故A错误； 对B：若，则，故B错误； 对C：由，则有，，则，故C正确； 对D：若，则有，， 则，即，故D错误. 故选：C. 5. 已知不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由一元二次不等式与一元二次方程的关系，根与系数的关系，即可求解. 【详解】因为的解集为， 所以2,4是方程的根且， 所以，即， 故，，，， 故选：D 6. 对于任意，都有意义，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法，分类讨论计算即可. 【详解】易知恒成立， 显然当时，符合题意； 当时，要满足题意需，即， 综上. 故选：C 7. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过换元再结合基本不等式可得，再用基本不等式求的最小值可得. 【详解】已知，则， 所以 ， 当且仅当时等号成立，将代入得. 因此. 所以， 当且仅当时等号成立，由解得. 因此当，时，取得最小值. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 设全集，若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据集合的包含关系得到AB正确；C选项，根据补集概念得到C正确；D选项，画出韦恩图，可得D错误. 【详解】对于A，因为集合，所以，故A正确； 对于B，因为集合，所以，故B正确； 对于C，因为集合，所以，故C正确； 对于D，因为集合，如图，①表示， 所以，故D错误. 故选：ABC. 9. 下列说法不正确的是（    ） A. 在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为 B. 方程的解集为 C. 若，则 D. 若正数满足，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据集合的定义与表示分析判断A、B．利用作差法转化为商或积的形式，结合已知条件、不等式性质判断C、D. 【详解】对于：因为等价于或， 如果，则点在第一象限，如果，则点在第三象限， 所以在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为，正确； 对于：由于方程的解集等价于，解得，故解集为，错误； C：，而，，， 则，故，，故，即，正确； D：， 当且时，原不等式也成立，错误. 故选：BD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，的最小值为5 B. 已知，，且，则的最小值为 C. 若，，，则的最小值是2 D. 已知，，且，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题考查基本不等式的应用，利用配凑法、换元法、“1的代换”转换所求代数式，求解时要注意“一正、二定、三相等”。 【详解】对于A， ， 因为，所以，故 （当且仅当即时取等号），所以,故选项A错误； 对于B，已知，，且，所以， 那么 （当且仅当即时取等号），故选项B正确； 对于C，若，，，则即， 所以，即，，故, 当且仅当即时取等号，故选项C正确； 对于D，已知，，且，那么 ，当且仅当即时取等号， 故选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知集合，，集合满足，则集合的个数为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的包含与真包含关系确定的必含元素，将问题转化为求剩余可选元素构成的集合的非空子集个数计算可得. 【详解】由条件可推导得如下结论： 集合必须包含的全部元素；集合不能与相等，即至少额外包含个中不属于的元素； 集合的所有元素均属于. 首先计算中不属于的元素构成的集合：，该集合共含个元素. 所以集合的非空子集的个数为个， 即，共个. 又因为集合必须包含的全部元素，因此集合可能为， ，共个. 因此满足条件的集合的个数为. 12. 已知，，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的性质求解即可 【详解】因为，， 由. 13. 已知不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先对进行因式分解，化简成；再讨论、、；然后在的前提下，再分类讨论、、. 【详解】因式分解 当时，不等式，化成， 解得，有无穷多个整数解，不符合题意，舍去； 当时，方程，解得， 当时，，， 所以不等式的解为或， 有无穷多个整数解，不符合题意，舍去； 当时， 若，即， ，此时不等式， 化成，无解，舍去； 若，即， ，此时不等式的解为， 因为不等式的解集中恰有三个整数， 所以，解得 若，即， ，此时不等式的解为， 因为，所以不可能有三个整数解，不符合题意，舍去； 综上所述，实数的取值范围为. 四、解答题：本题共4小题，共52分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 解关于的不等式： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）根据分式不等式的解法转化为求解，再根据二次不等式求解即可； （2）分，，，，五种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 将移项，并通分整理得， 所以，解得， 所以的解集为. 【小问2详解】 ， 当时，，解得，即不等式的解集为； 当时，， 方程的实数根为， 当时，，不等式的解集为； 当时，的大小有以下三种情况： ①当时，即时，不等式的解集为； ②当时，即时，不等式的解集为； ③当时，即时，不等式的解集为； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 15. 设全集，集合，，其中. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围； （3）若且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对是否为空集进行讨论，再列出不等式组，求解参数范围即可. （2）求出，根据集合等式可得，从而可得关于的不等式，从而可求其取值范围. （3）根据可得，再根据条件关系可得集合间的包含关系，求解不等式即得的取值范围. 【小问1详解】 由题意得或，且， 当时，可得，解得，符合题意， 当时，可得，解得， 综上可得. 【小问2详解】 因或，故， 因为，故，故，解得. 【小问3详解】 因为，故即. 而由“”是“”的必要不充分条件，可得为的真子集， 故，故解得. 16. （1）若存在，使得不等式成立，求的取值范围； （2）若不等式对恒成立，求的取值范围； 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用分离参数法得到成立，再构造函数并结合二次函数与复合函数性质得到在上单调递减，最后求出参数取值范围即可. （2）结合题意得到，再构造一次函数并结合一次函数性质建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】（1）由题意得成立，化简得成立， 而，则，得到成立，即成立， 令，由二次函数性质得在上单调递增， 可得在上单调递减，而，故. （2）因为不等式对恒成立， 所以，令， 可得，解得. 17. 问题：已知，，均为正实数，且，求证： 证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： （1）已知，，均为正实数，且，求的最小值； （2）已知，，，均为正实数，且，求证：； （3）求的最大值，并求出使得取得最大值时的值. 【答案】（1）9 （2）证明： 因为、、、均为正实数，且， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即证. （3）T的最大值为，此时 【解析】 【分析】（1）将与相乘，展开后利用基本不等式可求解； （2）将与相乘，展开后利用基本不等式可求解； （3）分析可得，分别令，，结合（2）中结论可得，再结合基本不等式可得及取等条件得，即可求解. 【小问1详解】 由、、均为正实数，且， 所以 ， 当且仅当，，，即当时等号成立， 所以的最小值为. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 因为， 则，解得， 令，，则，即， 由(2)可知，，，所以， 当且仅当时等号成立，即， 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以， 即的最大值为，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $