精品解析：浙江省绍兴市第一中学2026-2027学年高一上学期联合培养创新班第一次教学检测数学试卷

绍兴一中联培班数学教学检测试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “角是锐角”是“角是第一象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知为奇函数，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 5. 已知，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 的值域为 D. 的增区间为 6. 已知函数，若对任意实数x都成立，且函数在区间上单调，则的值为（ ） A. B. C. D. － 7. 已知定义在上的单调函数满足.若对，，使成立，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 8. 设为锐角，且，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 图象的一条对称轴是 C. ，则的最小值为 D. 若时，函数有两个零点，则实数的取值范围是 10. 在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，它是工程数学中重要的函数，也是一类很重要的初等函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．已知双曲正弦函数的解析式为，双曲余弦函数的解析式为（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为奇函数 C. 若直线与函数和的图象共有三个交点，这三个交点的横坐标分别为，则 D. 若存在，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 11. 设a为常数，的定义域为R，，则（ ）． A. B. 成立 C. D. 满足条件的不止一个 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. _____． 13. 若，则x2+y2的取值范围是__． 14. 已知实数m，n满足，则________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知全集， 函数的定义域为集合A，集合 （1）若， 求; （2）若， 求实数的取值范围. 16. 如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，矩形的面积为. （1）求的值域； （2）若，求的取值范围. 17. 已知函数，且. （1）若的值域为，求的取值范围； （2）若，求方程的解集； （3）当时，求图象的对称轴方程和不等式的解集. 18. 已知. （1）求的单调递增区间； （2）若对任意的恒成立，求a的取值范围； （3）已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，，…，，求的值. 19. 已知函数在区间上有意义，若存在，且，使成立，则称为上的“可分函数”，为在上的“可分点”． （1）设，证明：定义域为的奇函数一定是上的“可分函数”； （2）若存在，使为函数在上的“可分点”，求实数的取值范围； （3）若，判断函数是否为上的“可分函数”？若是，判断满足条件的的个数；若不是，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绍兴一中联培班数学教学检测试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式把集合具体化，然后根据集合的运算法则计算即可. 【详解】由，得，所以，又，所以. 故选：B 2. “角是锐角”是“角是第一象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用任意角定义及充分不必要条件定义即可得到结果. 【详解】若角是锐角，则角是第一象限角； 但角是第一象限角，则角不一定是锐角， 故“角是锐角”是“角是第一象限角”的充分不必要条件， 故选：A. 3. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律即可得解. 【详解】由，可得. 因为二次函数在上单调递减， 在上单调递增， 故由复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律可知， 函数的单调递减区间为. 故选：D. 4. 已知为奇函数，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的定义运算求解. 【详解】因为为奇函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 的值域为 D. 的增区间为 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数解析式计算判断A，根据特例判断B，函数写成分段函数，根据正弦型函数性质判断CD. 【详解】因为， 所以，故A错误； 因为， 即，所以B错误； 因为， 所以当时，， 当时，，所以函数的值域为，故C正确； 由可知， 的增区间为，故D错误. 6. 已知函数，若对任意实数x都成立，且函数在区间上单调，则的值为（ ） A. B. C. D. － 【答案】C 【解析】 【分析】根据对任意实数x都成立结合周期确定出的表达式，再根据函数在区间上单调确定周期的取值范围，进而表示出的取值范围，结合与表示出的表表达式，对进行取值，从而求得． 【详解】因为对任意实数x都成立，且，故， 即，因此， 又函数在区间上单调，故，即，因此， 由，可得，解得 由，可得，解得， 当时，，满足题意． 故选：C． 7. 已知定义在上的单调函数满足.若对，，使成立，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】令，根据函数的单调性求出的解析式，再求出在，上的值域即可求出. 【详解】令，则， 因为是单调函数，所以是常数，则， 则， 因为是单调递增函数，且，所以， 则， 因为是上的单调递增函数，，，， 所以当时，；当时，， 因为对，，使成立， 则，， 欲使尽可能小，则，则的最小值为. 故选：C 8. 设为锐角，且，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式可求最大值. 【详解】解法一：由得， 所以． 因为均为锐角，所以， 当且仅当时取等号，所以的最大值是． 解法二: 由得: ， 于是， 等号当时取得， 因此的最大值为． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 图象的一条对称轴是 C. ，则的最小值为 D. 若时，函数有两个零点，则实数的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】由可判断A，B；，即，画出图象，求得的最小正周期可判断C；函数有两个零点，即与的图象有两个交点，结合图象可判断D. 【详解】， 故A不正确；B正确； 的图象如所示， 若，则， 由图可知，因为的最小正周期为， 所以，故C正确； ， ， 若时，函数有两个零点，即， 即与的图象有两个交点， 由图可知，，故D不正确. 故选：BC. 10. 在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，它是工程数学中重要的函数，也是一类很重要的初等函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．已知双曲正弦函数的解析式为，双曲余弦函数的解析式为（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为奇函数 C. 若直线与函数和的图象共有三个交点，这三个交点的横坐标分别为，则 D. 若存在，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据双曲函数的加法公式、函数的奇偶性、函数图象过交点以及不等式能成立问题逐项分析即可求得结果. 【详解】对于A，， ， 化简后得，故A错误； 对于B，的定义域为R，，所以是偶函数； 的定义域为R，，所以是奇函数， 所以函数为奇函数，故B正确； 对于C，因为直线与函数和的图象共有三个交点，在R上单调递增，即直线与函数只有一个交点， 所以直线与函数有两个交点， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即，，解得， 所以，则，故C正确； 对于D，，， 令，则，所以在上单调递增， 则， 又，当且仅当时，等号成立， 所以最小值为1， 因为存在，关于的不等式恒成立， 所以， 所以的取值范围为，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】本题考查了双曲函数的定义及相关性质、函数的奇偶性、函数的单调性、函数图象交点问题，以及运用基本不等式和求导求解，关键点有： （1）判断奇偶性前先判断函数的定义域是否关于原点对称； （2）运用基本不等式要注意“一正二定三相等”； （3）根据导函数判断函数的单调性，求最值； （4）恒成立问题与能成立问题作区分. 11. 设a为常数，的定义域为R，，则（ ）． A. B. 成立 C. D. 满足条件的不止一个 【答案】ABC 【解析】 【分析】对已知条件进行多次赋值，结合已知数据，再对每个选项进行逐一判断即可. 【详解】 对A：对原式令，则，即，故A正确； 对B： 对原式令，则，故， 对原式令，则，故非负； 对原式令，则，解得， 又非负，故可得，故B正确； 对C：由B分析可得：，故C正确； 对D：由B分析可得：满足条件的只有一个，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题考察抽象函数的性质，处理问题的关键是对已知条件合理的赋值，属中档题. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数运算和对数运算化简求值即可. 【详解】． 故答案为： 13. 若，则x2+y2的取值范围是__． 【答案】[1，] 【解析】 【分析】设出曲线方程的参数方程，将x2+y2转化为含三角函数的形式，配方即可求解. 【详解】由题意：， 设x=cosθ﹣2，y=2sinθ， 那么：x2+y2=（cosθ﹣2）2+4sin2θ =cos2θ﹣4cosθ+4+4sin2θ=cos2θ﹣4cosθ+8﹣4cos2θ =， 当时，x2+y2取值最大值为． 当cosθ=1时，x2+y2取值最小值为1． 则x2+y2的取值范围是[1，] 故答案为：[1，] 【点睛】本题考查了参数方程在求式子范围中的应用，考查了转化、化归思想，属于基础题. 14. 已知实数m，n满足，则________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，根据函数的单调性可得，进而根据对数的运算性质即可求解. 【详解】由可得， 由得， 记，因为，在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数性质知在上在单调递减，所以在上单调递增， 由可得，又， 因此，由可得， 所以，可得， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过合理变形后构造函数，利用其单调性得到，最后根据指对运算即可得到答案. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知全集， 函数的定义域为集合A，集合 （1）若， 求; （2）若， 求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求函数的定义域，化简集合，解一元二次不等式化简，结合集合的运算法则求； （2）结合（1）由关系列不等式可求结论. 【小问1详解】 由题意得，得， 所以， 由， 得，解得， 所以， 当时，， 所以或 所以； 【小问2详解】 因为， 所以或， 解得或， 所以的取值范围是或. 16. 如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，矩形的面积为. （1）求的值域； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出、、关于的表达式，利用三角恒等变换化简函数的表达式即可，并求出该函数的定义域，进而求出的取值范围，由正弦型函数的基本性质可求得的值域； （2）由可求出的取值范围，由可得出，可得出的取值范围，解之即可. 【小问1详解】 根据题意可知，，， 所以， 整理得 即， ，则， 所以，则. 所以的值域为 【小问2详解】 由，可得， 因为，所以，解得， 即不等式的解集为. 17. 已知函数，且. （1）若的值域为，求的取值范围； （2）若，求方程的解集； （3）当时，求图象的对称轴方程和不等式的解集. 【答案】（1） （2） （3）图象的对称轴方程为；解集为 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的值域为可知，需取遍所有正数，结合对数的底数的范围求得结果. （2）由单调函数零点的唯一性，结合特殊值求出，再解对数方程转化成的二次方程即可. （3）先求定义域，结合复合函数单调性求出函数的对称轴，再根据函数对称性，结合自变量与对称轴的距离远近解不等式. 【小问1详解】 若的值域为，则取遍所有正数， 由，且， 解得． 【小问2详解】 因为函数为增函数，， 所以． 由，得， 整理得，解得， 故方程的解集为． 【小问3详解】 当时，的定义域为． 因为，且，所以图象的对称轴方程为． 又在上单调递增，定义域为， 所以所求不等式等价于， 解得或，故所求不等式的解集为. 18. 已知. （1）求的单调递增区间； （2）若对任意的恒成立，求a的取值范围； （3）已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，，…，，求的值. 【答案】（1），. （2） （3）92 【解析】 【分析】（1）结合二倍角公式和辅助角公式将函数化简为，再根据正弦函数的单调性，得解； （2）分离参数，结合二倍角公式和齐次式运算 求对勾函数最值即可求解根； （3）令，原问题可转化为函数与函数的交点个数，由交点个数确定的值，再结合函数对称性即可求解． 【小问1详解】 . 令，，则，， 故的单调递增区间为，. 【小问2详解】 ，即对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 令， 因为，则， 由对勾函数的性质知在上单调递减， 又，所以， 则的最大值为，故. 【小问3详解】 令， ，， 令，又， 函数在上的图象如下图所示， 由图可知，的图象与直线共有6个交点，即， ， . 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数图像及应用，关键是利用整体思想结合对称性求解第三问. 19. 已知函数在区间上有意义，若存在，且，使成立，则称为上的“可分函数”，为在上的“可分点”． （1）设，证明：定义域为的奇函数一定是上的“可分函数”； （2）若存在，使为函数在上的“可分点”，求实数的取值范围； （3）若，判断函数是否为上的“可分函数”？若是，判断满足条件的的个数；若不是，说明理由． 【答案】（1） 由函数是上的奇函数，得，，， 当，且时，， 因此函数是区间上的“可分函数”， 所以定义域为的奇函数一定是上的“可分函数”. （2）； （3）是，只有1个. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质，结合“可分函数”的定义推理得证. （2）利用给定的“可分点”及定义，建立方程并换元，转化为有不等于1的正根求解. （3）利用“可分函数”的定义，构造函数，结合零点存在性定理推理判断. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由为函数在上的“可分点”，得， 即，则， 令，由，得且，于是有不等于1的正根， 当时，，解得，此时方程另一根为，不符合题意； 当时，，符合题意，因此； 当且时，而，则，即， 解得或，因此或或； 当时，，而当时，，且时，， 有不等于1的正根，符合题意，因此， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 令，由， 得， 当时，函数单调递减，在上单调递减， 则函数在上单调递增，又单调递增， 因此在上单调递增，， 则存在唯一，使得，即存在唯一，使， 所以函数是上的“可分函数”，且满足条件的只有1个. 【点睛】思路点睛：本题第2问，利用“可分函数”的定义，构建方程并换元，将问题转化为二次型方程有不为1的正根求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $