4.4 尺规作图（2）课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

# 湘教版数学八年级上册 4.4 尺规作图（2）专项练习 ## 知识点回顾 本节课：**利用尺规作三角形**\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)依据全等判定（SSS\(B\(c\(AB\(a\(\angle\alpha\(m\(\angle\alpha\(AB\(B\(AB、AC\)C\)AC\)\angle\beta\)n\)\angle\beta\)c\)AC\)b\)C\)SAS\(B\(c\(AB\(a\(\angle\alpha\(m\(\angle\alpha\(AB\(B\(AB、AC\)C\)AC\)\angle\beta\)n\)\angle\beta\)c\)AC\)b\)C\)ASA） > 工具：无刻度直尺\(B\(c\(AB\(a\(\angle\alpha\(m\(\angle\alpha\(AB\(B\(AB、AC\)C\)AC\)\angle\beta\)n\)\angle\beta\)c\)AC\)b\)C\)圆规；**保留全部圆弧痕迹** ### 1. 已知三边作三角形（SSS） 已知：线段$\(a,b,c\)$ 求作：$\triangle ABC$\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)使$\(BC=a\)\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)AC=b\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)AB=c$ 步骤： 1. 作线段$\(BC=a\)$； 2. 分别以$B\(B\(c\(AB\(a\(\angle\alpha\(m\(\angle\alpha\(AB\(B\(AB、AC\)C\)AC\)\angle\beta\)n\)\angle\beta\)c\)AC\)b\)C\)C$为圆心\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)$c\(B\(c\(AB\(a\(\angle\alpha\(m\(\angle\alpha\(AB\(B\(AB、AC\)C\)AC\)\angle\beta\)n\)\angle\beta\)c\)AC\)b\)C\)b$长为半径画弧\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)两弧交于点$A$； 3. 连接$AB\(B\(c\(AB\(a\(\angle\alpha\(m\(\angle\alpha\(AB\(B\(AB、AC\)C\)AC\)\angle\beta\)n\)\angle\beta\)c\)AC\)b\)C\)AC$\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)$\triangle ABC$即为所求。 原理：**SSS全等** ### 2. 已知两边及其夹角作三角形（SAS） 已知：线段$a\(B\(c\(AB\(a\(\angle\alpha\(m\(\angle\alpha\(AB\(B\(AB、AC\)C\)AC\)\angle\beta\)n\)\angle\beta\)c\)AC\)b\)C\)c$\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)$\angle\alpha$ 求作：$\triangle ABC$\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)使$\angle B=\angle\alpha\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)AB=c\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)\(BC=a\)$ 步骤： 1. 作$\angle B=\angle\alpha$； 2. 在角的两条边上分别截取$\(BA=c\)$\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)$\(BC=a\)$； 3. 连接$AC$\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)$\triangle ABC$即为所求。 原理：**SAS全等** ### 3. 已知两角及其夹边作三角形（ASA） 已知：线段$a$\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)$\angle\alpha\(B\(c\(AB\(a\(\angle\alpha\(m\(\angle\alpha\(AB\(B\(AB、AC\)C\)AC\)\angle\beta\)n\)\angle\beta\)c\)AC\)b\)C\)\angle\beta$ 求作：$\triangle ABC$\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)使$\(AB=a\)\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)\angle A=\angle\alpha\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)\angle B=\angle\beta$ 原理：**ASA全等** ✅ 要点： - 作图顺序：先作边\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)再作角；或先作角\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)再截取边； - 写作法语言规范：以×为圆心\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)×长为半径画弧； - 不能用刻度尺\(B\(c\(AB\(a\(\angle\alpha\(m\(\angle\alpha\(AB\(B\(AB、AC\)C\)AC\)\angle\beta\)n\)\angle\beta\)c\)AC\)b\)C\)量角器度量；圆弧痕迹不能擦掉。 满分：100分 时间：40分钟 ## 一\(B\(c\(AB\(a\(\angle\alpha\(m\(\angle\alpha\(AB\(B\(AB、AC\)C\)AC\)\angle\beta\)n\)\angle\beta\)c\)AC\)b\)C\)选择题（每题4分\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)共20分） 1. 已知三边作三角形\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)用到的全等判定是（） A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS 2. 已知两边及其夹角作三角形\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)第一步一般是（） A. 画其中一条线段 B. 用量角器画出夹角 C. 直接画出三角形 D. 画三条边 3. 已知两角及夹边作三角形\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)理论依据是（） A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 4. 尺规作三角形\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)下列说法错误的是（） A. 作图必须保留圆弧痕迹 B. 可以用圆规截取等长线段 C. 可以用直尺量出线段长度 D. 已知三边可以唯一作出三角形 5. 已知两边和其中一边对角（SSA）\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)尺规作三角形（） A. 只能画出1个 B. 最多2个\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)不能唯一确定 C. 一定画不出 D. 一定只能画2个 ## 二\(B\(c\(AB\(a\(\angle\alpha\(m\(\angle\alpha\(AB\(B\(AB、AC\)C\)AC\)\angle\beta\)n\)\angle\beta\)c\)AC\)b\)C\)填空题（每题4分\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)共20分） 1. 已知三边作三角形\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)依据是________。 2. 已知两边及其夹角作三角形\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)依据是________。 3. 已知两角及其夹边作三角形\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)依据是________。 4. 尺规作图的工具：无刻度直尺和________。 5. 尺规作图\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)**必须保留**________。 ## 三\(B\(c\(AB\(a\(\angle\alpha\(m\(\angle\alpha\(AB\(B\(AB、AC\)C\)AC\)\angle\beta\)n\)\angle\beta\)c\)AC\)b\)C\)基础解答题（每题8分\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)共32分） 1. 已知线段$\(a,b,c\)$\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)求作$\triangle ABC$\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)$AB=c\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)\(BC=a\)\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)AC=b$\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)简述作法。 2. 已知线段$m\(B\(c\(AB\(a\(\angle\alpha\(m\(\angle\alpha\(AB\(B\(AB、AC\)C\)AC\)\angle\beta\)n\)\angle\beta\)c\)AC\)b\)C\)n$\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)$\angle\alpha$\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)求作$\triangle ABC$\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)使$\(AB=m\)$\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)$\(AC=n\)$\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)$\angle A=\angle\alpha$\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)简述作法。 3. 判断对错\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)并说明理由 （1）已知SSA条件\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)可以唯一作出一个三角形。 （2）尺规作三角形\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)原理就是全等三角形判定。 4. 已知线段$a$\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)$\angle\alpha\(B\(c\(AB\(a\(\angle\alpha\(m\(\angle\alpha\(AB\(B\(AB、AC\)C\)AC\)\angle\beta\)n\)\angle\beta\)c\)AC\)b\)C\)\angle\beta$\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)用尺规作$\triangle ABC$\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)$\(AB=a\)$\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)$\angle A=\angle\alpha\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)\angle B=\angle\beta$\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)写出简要步骤。 ## 四\(B\(c\(AB\(a\(\angle\alpha\(m\(\angle\alpha\(AB\(B\(AB、AC\)C\)AC\)\angle\beta\)n\)\angle\beta\)c\)AC\)b\)C\)拓展提升题（每题14分\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)共28分） 1. 已知线段$a$\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)求作等腰$\triangle ABC$\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)使底边$\(BC=a\)$\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)两腰$\(AB=AC=b\)$。简述作法。 2. 已知$\triangle ABC$\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)用尺规画一个$\triangle DEF$\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)使$\triangle DEF\cong\triangle ABC$（用SAS方法作图）。 --- # 参考答案与解析 ## 一\(B\(c\(AB\(a\(\angle\alpha\(m\(\angle\alpha\(AB\(B\(AB、AC\)C\)AC\)\angle\beta\)n\)\angle\beta\)c\)AC\)b\)C\)选择题 1.B 2.A 3.C 4.C 5.B ## 二\(B\(c\(AB\(a\(\angle\alpha\(m\(\angle\alpha\(AB\(B\(AB、AC\)C\)AC\)\angle\beta\)n\)\angle\beta\)c\)AC\)b\)C\)填空题 1. **SSS** 2. **SAS** 3. **ASA** 4. **圆规** 5. **作图痕迹（圆弧）** ## 三\(B\(c\(AB\(a\(\angle\alpha\(m\(\angle\alpha\(AB\(B\(AB、AC\)C\)AC\)\angle\beta\)n\)\angle\beta\)c\)AC\)b\)C\)基础解答题 1. 作法： ① 作线段$\(BC=a\)$； ② 以$B$为圆心\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)$c$长为半径画弧； ③ 以$C$为圆心\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)$b$长为半径画弧\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)两弧交于点$A$； ④ 连接$AB\(B\(c\(AB\(a\(\angle\alpha\(m\(\angle\alpha\(AB\(B\(AB、AC\)C\)AC\)\angle\beta\)n\)\angle\beta\)c\)AC\)b\)C\)AC$\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)$\triangle ABC$即为所求。 2. 作法： ① 作$\angle A=\angle\alpha$； ② 在角的一条边上截取$\(AB=m\)$； ③ 在角的另一条边上截取$\(AC=n\)$； ④ 连接$BC$\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)$\triangle ABC$即为所求。 3.（1）×；SSA不能唯一确定三角形\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)可能有两解\(B\(c\(AB\(a\(\angle\alpha\(m\(\angle\alpha\(AB\(B\(AB、AC\)C\)AC\)\angle\beta\)n\)\angle\beta\)c\)AC\)b\)C\)一解或无解。 （2）√；尺规作三角形本质就是构造满足全等判定条件的三角形。 4. 作法： ① 作线段$\(AB=a\)$； ② 在$AB$同侧\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)作$\angle A=\angle\alpha$； ③ 作$\angle B=\angle\beta$\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)两角另一边交于点$C$； $\triangle ABC$即为所求。 ## 四\(B\(c\(AB\(a\(\angle\alpha\(m\(\angle\alpha\(AB\(B\(AB、AC\)C\)AC\)\angle\beta\)n\)\angle\beta\)c\)AC\)b\)C\)拓展提升题 1. 作法： ① 作线段$\(BC=a\)$； ② 分别以$B\(B\(c\(AB\(a\(\angle\alpha\(m\(\angle\alpha\(AB\(B\(AB、AC\)C\)AC\)\angle\beta\)n\)\angle\beta\)c\)AC\)b\)C\)C$为圆心\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)$b$长为半径画弧\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)两弧交于点$A$； ③ 连接$AB\(B\(c\(AB\(a\(\angle\alpha\(m\(\angle\alpha\(AB\(B\(AB、AC\)C\)AC\)\angle\beta\)n\)\angle\beta\)c\)AC\)b\)C\)AC$\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)$\triangle ABC$即为所求等腰三角形。 2. 作法： ① 取$AB$和$\angle B$\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)$BC$； ② 作线段$\(DE=AB\)$； ③ 作$\angle E=\angle B$； ④ 在角边上截取$\(EF=BC\)$； ⑤ 连接$DF$\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)$\triangle DEF\cong\triangle ABC(\text{SAS})$。 ## 易错警示 1. SSA不能唯一作三角形\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)这是高频考点； 2. 作图一定要保留圆弧\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)考试不画弧直接扣分； 3. 写作法语言要规范\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)不能出现“量取xx厘米”； 4. 三种作图分别对应SSS\(B\(c\(AB\(a\(\angle\alpha\(m\(\angle\alpha\(AB\(B\(AB、AC\)C\)AC\)\angle\beta\)n\)\angle\beta\)c\)AC\)b\)C\)SAS\(B\(c\(AB\(a\(\angle\alpha\(m\(\angle\alpha\(AB\(B\(AB、AC\)C\)AC\)\angle\beta\)n\)\angle\beta\)c\)AC\)b\)C\)ASA\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)AAS作图可以先利用三角形内角和转化为ASA。 本章三角形全等到此全部结束\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)下一章是**第五章 轴对称**\(\angle A=\angle\alpha，\angle B=\angle\beta\)要继续做5.1 轴对称图形的练习吗？ 湘教版（新教材）数学八年级上册 4.4 尺规作图（2） 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第4章 三角形 1 2 3 掌握基本尺规作图：已知两角及其夹边作三角形（重点） 掌握基本尺规作图：已知两角及其中一角的对边作三角形（重点） 掌握基本尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线（重点） 学习目标 已知:直线l和直线外一点P. 求作:直线l的平行线,使它经过点P. P A B 1 ' 2 一放:把三角尺的一边放在已知直线上； 二靠:把直尺紧靠在三角尺的一条直角边上; 三移:沿直尺移动三角尺,使三角尺的边经过已知点; 四画:沿三角尺过已知点画直线'. 七年级我们已经学了过直线外一点作已知直线的平行线，你还记得吗？ 导入新课 03 新知探究 例4 已知两角及其夹边作三角形. 如图，已知∠α，∠β 和线段 a . 求作△ABC，使∠ABC=∠α，∠ACB=∠β，BC = a. 03 新知探究 A (1) 作线段 BC = a； α β E D C B 则△ABC 为所求作的三角形. (2) 在 BC 的同侧，分别作∠DBC =∠α， ∠ECB =∠β，BD 与 CE 相交于点 A. 作法 03 新知探究 议一议 上述例4中作出的△ABC唯一吗？试说明理由. 由全等三角形的判定定理（角边角)可知，这样作出的三角形都是全等的，因此已知三边能作出唯一的三角形. 03 新知探究 做一做 (1)如图，已知∠α，∠β 和线段 a.求作△ABC，使∠ABC =∠a，∠ACB =∠β，AB = a. (2)你根据(1)作出的△ABC 与其他同学作出的三角形能完全重合吗？为什么？ 03 新知探究 (1) 作线段 BA=a； (2) 在BF的同侧，作∠DBF=∠α，∠EAF=∠α+∠β,射线BD与AE相交于点C，则△ABC为所求作的三角形. 作法 03 新知探究 做一做 (2)你根据(1)作出的△ABC 与其他同学作出的三角形能完全重合吗？为什么？ 理由如下：根据三角形全等判定定理中的角角边. 在作出的△ABC 中，都有∠ABC =∠α，∠ACB =∠β，AB = a. 两角和其中角的对边分别相等的两个三角形全等. 所以△ABC 是唯一的. 能完全重合. 03 新知探究 过直线外一点作这条直线的平行线.如图，已知直线AB，点P不在AB上.求作过点P且与直线AB平行的直线. 例5 分析：受利用平移三角板画平行线的启发，可先过直线外一点 P 画一条直线与直线 AB 相交，构造出∠α，再以点 P 为顶点作∠α 的同位角，使它等于∠α，最后根据“同位角相等，两直线平行”. 可知：在点 P 处所作的角的另一边所在直线即为所求作的平行线. 03 新知探究 （1） 如图，过点 P 作直线 EF，与直线AB相交于点M； （2） 以点 M 为圆心，以小于 MP的长度为半径画圆弧，交 MB于点 G，交MF于点H； （3） 以点P为圆心，以MG（或MH）的长为半径画圆弧，交PF于点C； （4） 以点C为圆心，以HG的长为半径画圆弧，与前弧交于点D； （5） 连接PD，则直线PD为所求作的平行线. 作法 1．[永州市期末]如图①，已知线 段，，求作，使 ， ，张丽的作法如图 ②，则下列说法中一定正确的是( ) A A. 作 的依据为“角边角” B. 弧是以 的长为半径画的 C. 弧是以点为圆心， 的长为半径画的 D. 弧是以 的长为半径画的 返回 举一反三 2. 如图是在某地发现的一块三角形陶瓷碎片的一部分．现打算复制一块完整的陶瓷片，请你根据提供的信息用尺规作一个完整的三角形陶瓷片．(不写作法，保留作图痕迹) 【解】如图所示，△ABC即所求． 举一反三 3. 数学课上，李老师给出这样一道题： 如图①，已知直线及外一点 ，作直线 某学习小组根据“内错角相等，两直线平行”作图.如图②，过 点作直线交直线于点，作 .作法步骤如下： ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，交直线于点 ，交 直线于点 ； ，使得，且经过点 （不写作法，保留作图痕迹）. 举一反三 ②以点为圆心，以 长为半径作弧，交于点 ； ③以点为圆心，以 长为半径作弧， 交前面的弧于点 ； ④过点，作直线，则直线 即为所求. 则该学习小组在作图过程中作法错误的步骤是( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ B 返回 举一反三 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件为（　　） A．已知两角及夹边 B．已知三边 C．已知两边及夹角 D．已知两边及一边夹角 A 04 课堂练习 2.课堂上，老师出示了这样一个问题：如图①，已知∠PAB=45°，请利用尺规作∠CPA=135°．如图②是甲、乙两位同学的作法，其中正确的是（　　） A．甲、乙均正确 B．甲正确，乙错误 C．乙正确，甲错误 D．甲、乙均错误 A 04 课堂练习 3.利用尺规作图，不能作出唯一三角形的是（　　） A．已知两边及其中一边的对角 B．已知三边 C．已知两边及其夹角 D．已知两角及其夹边 A 新知应用 基础巩固题 1．利用尺规不能唯一作出的三角形是（ ） A．已知三边 B．已知两边及夹角 C．已知两角及夹边 D．已知两边及其中一边的对角 D 新知应用 基础巩固题 2.如图，在如图1中已知∠α,∠β，线段m，求作∆ABC． 作法：如图2，①作线段AB=m；②在AB的同旁作∠A=∠α,∠B=∠β，∠A与∠B的另一边交于点C．则∆ABC就是所作三角形，这样作图的依据是（    ） A．SAS  B．SSS  C．ASA  D．SSA  C 新知应用 基础巩固题 3. 下列尺规作图能得到平行线的是 .(填序号) ① 解：①根据同位角相等，两直线平行，该尺规作图能得到平行线，故①符合题意. ②根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，该尺规作图能得到平行线，故②符合题意. ③根据内错角相等，两直线平行，该尺规作图能得到平行线，故③符合题意. ② ③ ①②③ 4.如图所示的是 . （1）过点作直线，使得 （用尺规作图，保留作 图痕迹，不写作法）； 【解】如图，直线 即为所求. 举一反三 （2）在（1）的图形中，取的中点，连接.若 的 面积为4,，则直线与 间的距离为___. 【点拨】如图,因为为的中点， 的面积为4,所以 .设直线与间的距离为 ，则 .因为，所以 . 返回 举一反三 5.[三明市期末]如果两点到一条直线的距离相等，则称 该直线为“两点的等距线”. （1）已知线段及点，如图①.过点作点， 的一条等 距线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）. 举一反三 【解】如图所示，等距线, 即为所求.若等距线经过线 段 的中点，如图①. 举一反三 若等距线 ，如图②. 举一反三 （2）如图②，已知，，， 是正方形网格中的三个 格点. 举一反三 ①在该网格中，过点用无刻度的直尺画出点， 的所有等 距线. 如图③，等距线， 即为所求. 举一反三 ②在该网格中，是否存在异于点的格点，使得 与 的面积相等？若存在，在图③中依次用，， ， 标识这些格点；若不存在，请说明理由. 如图④，，，，， 为所求. 返回 举一反三 05 课堂小结 尺规作图 已知两角及其夹边作三角形 作一个角等于已知角 过直线外一点作直线的平行线 谢谢观看 THANKS $