4.5 课时3 等边三角形的性质和判定课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

4.5 等腰三角形 课时3 等边三角形的性质和判定 名称 图 形 定 义 性 质 判 定 等 腰 三 角 形 ②等边对等角 ③三线合一 ②等角对等边 ①两边相等 ①两腰相等 ④轴对称图形 A B C 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 等边三角形 等边三角形是腰和底边相等的等腰三角形. 它具有哪些性质呢？ 探究1：等边三角形的性质定理 活动：把等腰三角形的性质用于等边三角形，和同学交流讨论，思考并回答以下问题. 问题1：等边三角形的三个内角的大小之间有什么关系呢？ A B C A B C 问题2：等边三角形“三线合一”吗?是轴对称图形吗?有几条对称轴？ 问题1：等边三角形的三个内角的大小之间有什么关系呢？ A B C A B C ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵AB=AC=BC ∴∠A=∠B=∠C 三角形内角和为180° =60° 如何证明呢？ 如图，△ABC是等边三角形，则AB=AC=BC. 由于AB=AC，则根据等腰三角形的性质定理得， ∠B=∠C. 同理，由于AC=BC，因此∠A=∠B. 从而∠A=∠B=∠C. 根据三角形内角和定理得，∠A+∠B+∠C=180°. 因此∠A=∠B=∠C=60°. 由此可得等边三角形的性质定理： 等边三角形的各角都等于60°. A B C A B C A B C 顶角的平分线底边的高 底边的中线 “三线合一” 1条对称轴 3条对称轴 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”. 问题2：等边三角形“三线合一”吗?是轴对称图形吗?有几条对称轴？ 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 三个角都相等 对称轴（3条） 等边三角形 对称轴（1条） 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合 两条边相等 三条边都相等 等腰三角形 图形 性 质 如图，△ABC 是等边三角形，E 是 AC 上一点，D 是 BC 延长线上一点，连接 BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED 的度数． 解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵∠ABE＝40°， ∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°. ∵ BE＝DE， ∴∠D＝∠EBC＝20°. ∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°. A B C D E 探究2：等边三角形的判定定理 逆命题：三个角都相等的三角形是等边三角形. 问题1：等边三角形的三个角相等，其逆命题是什么？成立吗？如何证明？ 证明：如图，在△ABC 中，由于∠A =∠B，则 AC = BC. 同理可由∠B =∠C 得 AB = AC. 于是AB = AC = BC. 因此△ABC 是等边三角形. 成立. 三个角都相等的三角形是等边三角形. 由此可得等边三角形的判定定理1： A B C 问题2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？ 有哪些情况呢？ 如图，在△ABC 中，AB＝AC. 情形1 设∠A＝60°. 根据三角形内角和定理得 ∠B+∠C＝180°－∠A=180°－60°＝120°. 由于AB＝AC，因此∠B＝∠C＝60° 于是△ABC 是等边三角形. 情形2 设∠B＝60°. 由于AB＝AC，因此∠C＝∠B＝60°， 从而∠A＝180°－∠B－∠C=180°－60°－60°＝60° 因此△ABC 是等边三角形. A B C 如图，在△ABC中，AB=AC. 情形3 设∠C=60°. 与情形2类似，同理可证△ABC是等边三角形. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 由此可得等边三角形的判定定理2： 问题2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？ A B C 等边三角形的判定定理1： 三个角都相等的三角形是等边三角形. 几何语言：∵ ∠A= ∠ B=∠C ∴ AB=AC=BC(或△ABC是等边三角形) 等边三角形的判定定理2： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 几何语言：∵AB=AC ∠A= 60° ∴ AB=AC=BC 证明： 因为△ABC是等边三角形， 所以∠BAC=60°(等边三角形的性质定理). 因为∠EAD=∠BAC=60°，AD=AE, 所以△ADE是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形). A D E B C 例1 如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE.求证:△ADE是等边三角形. 定义 底=腰 特殊性 性质 特殊性 边 三边相等 角 三个角都等于60 ° 轴对称性 轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质 判定 特殊性 三边法 三角法 等腰 三角形法 三条边都相等 三个角都等于60 ° 有一个角是60 ° 等边三角形 1.如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=（ ） A.15° B.20° C.25° D.30° A 2.如图，等边三角形ABC与互相平行的直线a，b相交，若∠1＝15°，则∠2的度数为(　 　) A．25° B．55° C．45° D．35° C 随堂小练 3.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，过底边BC上一点D作BC的垂线交AC于E，交BA的延长线于点F，则△AEF是 ( ) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰但非等边三角形 A B D C E F A 4.如图，四边形中， ，平分， . 求证： 是等边三角形. 证明：因为， ， 所以 ， 因为平分 ， 所以 ，所以 ， 所以， 所以 是等边三角形. 5.如图，已知为上一点，，，垂足分别为点， ， 且，， ，求证： 是等边三角形. 证明：因为， ， 所以 . 在和中， 所以，所以，所以 . 因为 ，所以 ，所以 是等边三角形. $