精品解析：宁夏石嘴山市平罗中学2026-2027学年高二上学期9月阶段检测数学试题

平罗中学2026-2027学年度第一学期第一次月考试卷 高二数学 满分：150分 考试时间：120分钟 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 四个选项中只有一项符合题目要求.） 1. 已知直线经过点，则直线的斜率为（ ） A. -3 B. C. 3 D. 2. 已知向量，，则等于（ ） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2 3. 经过点，且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知三点，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 若、、，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分. 全部选对得6分，部分选对得部分分，选错的得0分.） 9. 关于直线，下列说法正确的有（    ） A. 直线的斜率为 B. 直线的倾斜角为 C. 直线在轴上的截距为 D. 直线不经过第一象限 10. 已知直线，直线m在x轴上的截距为，且，则下列说法正确的有（ ） A. 直线l在y轴上的截距为 B. 向量是直线m的方向向量 C. 直线l与m的交点坐标为 D. 直线l，m与x轴围成的三角形的面积为 11. 如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角为60° B. 平面 C. 三棱锥的体积不变 D. 直线与平面所成角正弦值的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，满分15分.） 12. 若与垂直，则________. 13. 直线恒过定点___________． 14. 如图，在长方体中，，.，M，N分别是棱，，的中点.若点P是平面内的动点，且满足平面，则线段长度的最小值为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，每道题应写出必要的演算步骤和解题过程.） 15. 求符合下列条件的直线方程（最后结果以直线方程的一般式表示） （1）经过，两点． （2）经过，且在轴上的截距是在轴上的截距的． 16. 已知三角形的三个顶点分别为、、； （1）求边上中线的方程， （2）过点作的垂线，垂足为，求直线的方程并求出点的坐标， 17. 如图，在长方体中，是AB的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 18. 如图，在平行六面体中，，，，． （1）以为基底向量，表示向量，； （2）求证：； （3）求的长． 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，. （1）求证：平面平面； （2）在线段上是否存在一点，使二面角的大小为？若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平罗中学2026-2027学年度第一学期第一次月考试卷 高二数学 满分：150分 考试时间：120分钟 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 四个选项中只有一项符合题目要求.） 1. 已知直线经过点，则直线的斜率为（ ） A. -3 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】直线经过点， 则直线的斜率为. 2. 已知向量，，则等于（ ） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】，故选项D正确. 3. 经过点，且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】直线可化为，斜率为. 所求直线与已知直线平行，故斜率也为. 又所求直线经过点，由点斜式得 ， 整理得，即. 4. 若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故A错误； 对于B，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故B错误； 对于C，假设共面， 则存在实数使得， 又因为构成空间的一个基底，则，方程组无解， 所以不共面，可以作为空间一个基底，故C正确； 对于D，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故D错误. 5. 已知三点，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用两点间的距离公式列方程计算即可 【详解】由两点间的距离公式，及可得：，解得. 故选：A 6. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】, 故向量在向量上的投影向量为， 故选：D 7. 若、、，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出向量、，利用空间向量法求解即可. 【详解】由题意可得，， 所以点到直线的距离为. 8. 已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用空间向量的基本定理可求出的值. 【详解】因为、、三点不共线，点在平面外，点满足， 设， 由题意可知、、不共面，所以，故. 故选：A. 二、多选题（每小题6分，共18分. 全部选对得6分，部分选对得部分分，选错的得0分.） 9. 关于直线，下列说法正确的有（    ） A. 直线的斜率为 B. 直线的倾斜角为 C. 直线在轴上的截距为 D. 直线不经过第一象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线方程一般式求出斜率及倾斜角可判断A，B选项；将直线化为截距式可判断C，D选项. 【详解】由直线，得，所以直线的斜率为，A错误； 设直线的倾斜角为，则，，所以直线的倾斜角为，B正确； 令，得，所以直线在轴上的截距为，故C正确； 直线在轴上的截距为，直线的斜率为，故直线不经过第一象限，D正确. 10. 已知直线，直线m在x轴上的截距为，且，则下列说法正确的有（ ） A. 直线l在y轴上的截距为 B. 向量是直线m的方向向量 C. 直线l与m的交点坐标为 D. 直线l，m与x轴围成的三角形的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据直线l的方程，令，即可求解判断；对于B，根据直线l的斜率先得到直线m的斜率，即可得到直线m的一个方向向量，进而判断即可；对于C，先求出直线m的方程，再联立直线m与直线l的方程即可求解，进而判断；对于D，设直线l，m与x轴的交点分别为A，B，直线l与m的交点为C，则直线l，m与x轴围成的三角形即，进而求出的坐标，再计算面积即可判断. 【详解】对于A，由直线，令，得， 所以直线l在y轴上的截距为2，故A错误； 对于B，由直线，则直线l的斜率为， 因为，所以直线m的斜率为， 所以直线m的方向向量可以是， 因为，所以是直线m的方向向量，故B正确； 对于C，由题意知，直线m过点， 所以直线m的方程为，即， 联立，解得， 所以直线l与m的交点坐标为，故C正确； 对于D，设直线l，m与x轴的交点分别为A，B，直线l与m的交点为C， 则直线l，m与x轴围成的三角形即， 由直线，令，得，则， 由题意及C选项的分析可设，，所以， 则的面积，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角为60° B. 平面 C. 三棱锥的体积不变 D. 直线与平面所成角正弦值的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A：利用异面直线的夹角定义求解即可，选项B：利用线面垂直的定义结合线面垂直的判定定理求解即可,选项C：利用等体积法求解即可，选项D：建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求出线面角正弦值的表示式，再运用二次函数的性质即可求得其范围. 【详解】 对于A，因为正方体中，且为等边三角形，故异面直线与夹角为，故A正确； 对于B，由正方体的性质可知，，平面，, 平面，又因为平面，， 同理可得平面，又因为平面，， 又因为平面，平面，故B正确； 对于C，因为平面，平面，所以平面, 所以为定值，故C正确； 对于D，建立如图所示直角坐标系，设正方体的棱长为1，， 则，，，，， 从而，， 由正方体的性质知：平面， 即平面，故平面的法向量可取为， 直线与平面所成角正弦值为，, 因为，， 所以，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，满分15分.） 12. 若与垂直，则________. 【答案】 【解析】 【详解】因为与垂直，则，解得. 13. 直线恒过定点___________． 【答案】 【解析】 【分析】将直线化为，即可得定点. 【详解】由题设，显然直线过定点. 故答案为： 14. 如图，在长方体中，，.，M，N分别是棱，，的中点.若点P是平面内的动点，且满足平面，则线段长度的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用平面法向量的性质，结合空间向量数量积的坐标表示公式、配方法进行求解即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，.，M，N分别是棱，，的中点， 所以 ， 因为点P是平面内的动点 所以设， 设平面的法向量为， ，， 所以有， 因为平面， 所以，即 于是， 当时，线段长度有最小值， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用平面法向量的性质、空间向量数量积的坐标表示公式. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，每道题应写出必要的演算步骤和解题过程.） 15. 求符合下列条件的直线方程（最后结果以直线方程的一般式表示） （1）经过，两点． （2）经过，且在轴上的截距是在轴上的截距的． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）直接由直线方程的两点式可得所求直线方程； （2）分直线经过原点和不经过原点两种情况，再结合待定系数法解得直线方程. 【小问1详解】 因为直线经过，两点， 由两点式可得直线方程为：，整理得：. 【小问2详解】 若直线过原点，则直线方程为：，即，满足题意； 若直线不过原点，设直线在轴上的截距为（），则直线在轴上的截距为， 则直线方程为， 因为直线过点，所以. 所以直线方程为：. 综上，所求直线方程为：或. 16. 已知三角形的三个顶点分别为、、； （1）求边上中线的方程， （2）过点作的垂线，垂足为，求直线的方程并求出点的坐标， 【答案】（1） （2）直线的方程为； 【解析】 【分析】（1）首先求的中点坐标，再求直线方程； （2）根据垂直关系求直线的斜率，再求直线方程；联立直线和的方程，求交点坐标. 【小问1详解】 设边上的中点为点，且、， 则，即， 边上的中线为，，所以直线, 所以边上中线的方程为； 【小问2详解】 ， 因为，所以，则， 所以直线的方程为， 直线，整理为：， 联立，得，， 则点的坐标为. 17. 如图，在长方体中，是AB的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） 建立如下图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， ，取，则， 所以， 因为， 所以，又因为平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用平面向量的法向量和直线方向向量之间的关系进行运算证明即可； （2）利用空间向量点到面距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知平面的法向量为，， 所以点到平面的距离为. 18. 如图，在平行六面体中，，，，． （1）以为基底向量，表示向量，； （2）求证：； （3）求的长． 【答案】（1）， （2）因为，，，， 所以，， 由（1）得 ， 所以，即； （3） 【解析】 【分析】（1）依托空间向量加减法法则，用线性表示； （2）将两向量数量积展开，结合边长与夹角算出点积为，证明向量垂直； （3）对平方展开，代入模长与数量积求出模长平方，开方得到线段长度． 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）得， 所以 ， 所以，即的长为． 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，. （1）求证：平面平面； （2）在线段上是否存在一点，使二面角的大小为？若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，点M位于靠近点C的四等分处 【解析】 【分析】（1）由已知易得四边形为平行四边形，有，进而有，利用面面垂直的性质有平面，最后根据面面垂直的判定证结论； （2）首先证明两两垂直，构建空间直角坐标系，设且求的坐标，再求面、面的法向量，根据已知角大小及空间向量夹角坐标表示求即可判断存在性. 【小问1详解】 因为，，Q为的中点， 所以四边形为平行四边形，则． 所以，即． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面， 所以平面平面． 【小问2详解】 由（1）知：平面，平面，则， 又，为的中点，则， 所以两两垂直，故可构建如下图示的空间直角坐标系， 所以，，则， 假设存在点M，设且，得， 所以，又， 设平面法向量为，则，令，则． 由（2）知平面的法向量为，二面角为， 所以，解得， 故线段上存在点M使二面角大小为，且点M位于靠近点C的四等分处． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $