精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市平罗县平罗中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

平罗中学2025-2026学年度第一学期第一次月考试卷 高二数学 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据倾斜角与斜率的关系即可. 【详解】直线的斜率为， 设其倾斜角为，则， 又，故其倾斜角为. 故选：B 2. 已知圆的方程为，那么圆心坐标为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为圆的标准方程，进而可得解. 【详解】将圆的方程化为标准方程为：， 根据圆的标准方程知圆心坐标为， 故选：C． 3. 已知直线：与：，若与互相平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行满足的系数关系可得，即可利用平行线间距离公式求解. 【详解】若与互相平行，则需满足，解得， 故直线：与：， 故两直线间距离为， 故选：C 4. 已知椭圆的焦距为8，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为10，则椭圆 的标准方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义与方程，即可求解. 【详解】由题意可知，，，即，，， 所以椭圆的标准方程为 或 . 故选：B 5. 如图所示，若直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线，，的倾斜角分别为，可得，再由斜率的定义即可比较，，的大小关系. 【详解】设直线，，的倾斜角分别为，由图象知： ， 所以，即， 故选：A． 6. 圆与圆有三条公切线，则半径 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据公切线条数可知两圆外切，可知圆心距等于两圆半径之和，从而构造出方程求得结果. 【详解】两圆公切线有且仅有三条 两圆外切 由圆的方程可知，两圆圆心分别为：，；半径分别为：和 两圆圆心距，解得： 本题正确选项： 【点睛】本题考查根据圆与圆的位置关系求解参数值，关键是能够根据公切线条数确定两圆的位置关系. 7. 设圆上的动点到直线的距离为，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：先把圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，此距离减去圆的半径得最小值，加上半径得最大值. 详解：由题意得，圆， 即，圆心为，半径， 由圆心到直线的距离， 圆上动点到直线的最小距离为，最大距离为， 即的取值范围是，故选B. 点睛：本题考查圆的标准方程及几何性质，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 8. 已知， 是椭圆的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在椭圆上，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可知，正的边长为，又因为边的中点在椭圆上，故，且，再结合椭圆的定义，可求出椭圆离心率. 【详解】∵以线段为边作正三角形， ∴正三角形的边长为：， 又∵边的中点在椭圆C上， ∴，且， 由可知，， ∴ ∴ 故选：C. 【点睛】本题考查学生对椭圆的定义，椭圆的焦点，离心率的掌握情况，能知道正三角形的相关性质，列出椭圆的半长轴和半焦距之间的关系，能根据题意，找出相关关系，解出问题，对学生的逻辑思维能力，转化化归思想有要求，为中等偏下难度问题. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆外 B. 圆的半径为 C. 圆关于对称 D. 直线截圆的弦长为3 【答案】BC 【解析】 【分析】由圆的方程求圆心和半径，判断B，C，再根据点与圆的位置关系判断A，由直线与圆的相交弦公式判断D. 【详解】∵圆的方程为， ∴ 圆心M为，半径为，B对， ∵ 圆心M在直线上， ∴圆关于对称，C对， ∵ 时 ∴点在圆内，A错， ∵ 圆心到直线的距离为， ∴ 直线截圆的弦长为，D错， 故选：BC. 10. 若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（ ） A. B. 椭圆的焦距为 C. 若椭圆的焦点在轴上，则 D. 若椭圆的焦点在轴上，则 【答案】CD 【解析】 【分析】 结合椭圆的表达式分析，联立可求的取值，由可求，进而判断焦距，若焦点在轴，则，若焦点在轴上，则 【详解】由题可知，，又椭圆中，故，联立求得，故A错误； 当，即时，焦点在轴，，故B错误，C正确； 当，即时，焦点在轴上，，故B错误，D正确 故选：CD 11. 我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆，，，，为顶点，，为焦点，P为椭圆上一点，下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（ ） A. B. C. 轴，且 D. 四边形的内切圆过焦点， 【答案】BD 【解析】 【分析】理解“黄金椭圆”的定义，利用椭圆的定义与性质，分析各个选项，求得对应的椭圆的离心率即可得解. 【详解】对于A，因为，所以，则或（舍去）， 解得，故A错误； 对于B，若，则由射影定理可得：， 即，所以，即， 又，解得，故B正确； 对于C，因为轴，不妨设，而， 又，则斜率相等，所以，即， 所以，故C错误； 对于D，因为四边形为菱形， 则四边形的内切圆的圆心为原点， 由圆的对称性可知，圆心到直线的距离等于， 因为，所以内切圆的半径为， 所以，又， 整理得：，， 又，解得，即，故D正确. 故选：BD. 【点睛】方法点晴：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解，但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线过定点，则点的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将原式化简为，可得，解得的值，故可得答案. 【详解】将原式化简为， 可得， 解得. 故直线过定点， 故答案为：. 13. 经过三点，，的圆的方程是___________. 【答案】 【解析】 【分析】设圆的一般方程，代入三点坐标构成方程组可求得结果. 【详解】设圆的方程为： 将三点坐标代入方程，整理可得：，解得： 故所求圆的一般方程为： 本题正确结果： 【点睛】本题考查圆的方程的求解，在已知圆上三点的情况下，通常采用假设圆的一般方程的形式来进行求解. 14. 已知椭圆的上顶点为分别为椭圆的左、右焦点，过点作线段的垂线，垂线与椭圆交于两点，若椭圆的离心率为，且，则的周长为______. 【答案】26 【解析】 【分析】由离心率可得，可得为等边三角形，从而可得的倾斜角为，求得直线的方程，与椭圆联立方程组，利用韦达定理与弦长公式可得，求解即可. 【详解】离心率，， ，又因为为等边三角形， 设， 过点作线段的垂线，的倾斜角为， 直线的方程为，代入中， 得， ， 周长. 故答案为：. 四､解答题：本题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线经过点. （1）若与直线平行，求的方程（结果用一般式表示）； （2）若在轴上的截距与在轴上的截距相等，求的方程（结果用一般式表示）. 【答案】（1）（2）或. 【解析】 【分析】（1）根据平行得到的斜率为2，得到点斜式为，化简得到答案. （2）根据直线是否过原点两种情况分别计算得到答案. 【详解】（1）因为与直线平行，所以的斜率为2， 由点斜式可得，的方程为，即. （2）当直线过原点时，的斜率为，所以的方程为. 当直线不过原点时，设直线的方程为，代入，得， 所以的方程为. 综上所述：的方程为或. 【点睛】本题考查了直线方程，讨论直线是否过原点是解题的关键，意在考查学生的计算能力. 16. 已知圆C：． （1）过点向圆C作切线l，求切线l的方程； （2）若Q为直线m：上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求的最小值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）按斜率存在和不存在两种情形分类求解，斜率存在时设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求得参数值； （2）确定直线与圆相离，由切线长公式最小即可，只要求得圆心到直线的距离（为最小值）即可得切线长的最小值． 【小问1详解】 若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为． 若切线l的斜率存在，设切线l的方程为，即． 因为直线l与圆C相切，所以圆心到l的距离为2，即，解得， 所以切线l的方程为，即． 综上，切线l的方程为或． 【小问2详解】 圆心到直线的距离为，直线m与圆C相离， 因为，所以当最小时，有最小值． 当时，最小，最小值为， 所以的最小值为． 17. （1）如图，已知圆，点是圆上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交于，求动点的轨迹的方程； （2）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上运动.若点是线段上靠近的三等分点，求点的轨迹方程； 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据题意，，由椭圆的定义知动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆即可求解； （2）根据，利用向量坐标运算，得出坐标间的关系，由转移法求出点的轨迹方程即可. 【详解】（1）连接，根据题意，， 则， 故动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆. 设其方程为， 可知，则， 点的轨迹的方程为. （2）依题意，，点， 则，即， 故，即， 而，即， 所以点的轨迹方程为. 18. 已知椭圆的上、下焦点分别为.点是椭圆上一点，且 （1）求的面积； （2）若直线与交于两点，且弦的中点为，求的一般式方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆焦点三角形面积公式求解即可；也可以利用余弦定理和椭圆定义来推导该面积公式，然后再求解； （2）设，利用点差法求解即可. 【小问1详解】 方法1： 方法2： 根据椭圆可知：， 【小问2详解】 设，代入椭圆方程得：， 两式相减得：， 又根据题意知：，代入可得：， 所以的斜率， 故的方程为，即. 19. 已知椭圆 的离心率为，长轴长为，直线与椭圆交于、两点且为直角，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）求的长度. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）设椭圆的焦半距为c，利用离心率为，椭圆C的长轴长为4．列出方程组求解c，推出b，即可得到椭圆的方程．（2）直线与椭圆交于、两点且为直角，转化为 x1x2+y1y2=0．再利用弦长公式求解即可． 【详解】（1）由题意， ， 所以. 椭圆方程为 （2）设，，把代入，得. 因为为直角，所以， 得，，所以， ， . ∴的长度为 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质，直线与椭圆位置关系的综合应用，考查计算能力以及转化思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平罗中学2025-2026学年度第一学期第一次月考试卷 高二数学 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆的方程为，那么圆心坐标为 A. B. C. D. 3. 已知直线：与：，若与互相平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. 1 C. D. 4. 已知椭圆的焦距为8，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为10，则椭圆 的标准方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 如图所示，若直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 圆与圆有三条公切线，则半径 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 设圆上的动点到直线的距离为，则的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知， 是椭圆的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在椭圆上，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆外 B. 圆的半径为 C. 圆关于对称 D. 直线截圆的弦长为3 10. 若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（ ） A. B. 椭圆的焦距为 C. 若椭圆的焦点在轴上，则 D. 若椭圆的焦点在轴上，则 11. 我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆，，，，为顶点，，为焦点，P为椭圆上一点，下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（ ） A. B. C. 轴，且 D. 四边形的内切圆过焦点， 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线过定点，则点的坐标为__________. 13. 经过三点，，的圆的方程是___________. 14. 已知椭圆的上顶点为分别为椭圆的左、右焦点，过点作线段的垂线，垂线与椭圆交于两点，若椭圆的离心率为，且，则的周长为______. 四､解答题：本题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线经过点. （1）若与直线平行，求的方程（结果用一般式表示）； （2）若在轴上的截距与在轴上的截距相等，求的方程（结果用一般式表示）. 16. 已知圆C：． （1）过点向圆C作切线l，求切线l的方程； （2）若Q为直线m：上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求的最小值． 17. （1）如图，已知圆，点是圆上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交于，求动点的轨迹的方程； （2）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上运动.若点是线段上靠近的三等分点，求点的轨迹方程； 18. 已知椭圆的上、下焦点分别为.点是椭圆上一点，且 （1）求的面积； （2）若直线与交于两点，且弦的中点为，求的一般式方程. 19. 已知椭圆 的离心率为，长轴长为，直线与椭圆交于、两点且为直角，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）求的长度. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $