精品解析：宁夏六盘山高级中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

宁夏六盘山高级中学 2026-2027学年第一学期高二第一次月考测试卷 学科：数学　测试时间：120分钟　满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线经过点，则直线的斜率为（ ） A. -3 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】直线经过点， 则直线的斜率为. 2. 已知，，且，则（ ） A. 9 B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，解得. 3. 在棱长为2的正方体中，（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积定义计算即可. 【详解】 在棱长为2的正方体中, 易知， 因为，与的夹角为， 所以与的夹角为， . 故选：D 4. 经过点，且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】直线可化为，斜率为. 所求直线与已知直线平行，故斜率也为. 又所求直线经过点，由点斜式得 ， 整理得，即. 5. 如图，在平行六面体中，，，，点M为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算性质进行求解即可. 【详解】 . 故选：C 6. 在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出平面的一个法向量，与所给选项对比，坐标成比例的即为平面的一个法向量. 【详解】因为，，， 所以， ， 设平面ABC的法向量， 则，令，则， 因为ABCD四个选项中，只有B中坐标与坐标成比例， 故平面ABC的一个法向量是. 故选：B 7. 已知的三个顶点分别为，则边上的中线所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由中点坐标公式可得边的中点坐标为，可得边上的中线的斜率，由点斜式可得边上的中线所在直线的方程. 【详解】因为， 设边的中点为，则，即， 又，所以， 故边上的中线所在直线的方程为，即． 故选：D. 8. 已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题直线过定点，作图，数形结合求解即可. 【详解】因为直线恒过定点，且， 要使得直线与线段相交由图可知，则或. 所以的取值范围为. 故选：B. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线的方向向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由题意可知，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项A正确； 对于B，若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项B错误； 对于C，若，则， 所以，选项C正确； 对于D，若，则， 所以，所以或者，选项D正确. 10. 下面四个结论中，正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若，则向量，的夹角是钝角 C. 已知，，则在上的投影向量的模为1 D. 设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，点关于平面对称的点，横坐标、竖坐标不变，纵坐标变成原来的相反数；对于B，根据数量积的定义即可求解；对于C，根据投影向量的计算公式即可求解；对于D，根据空间基底的定义即可求解. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A正确； 对于B，若，则向量，的夹角是钝角或，共线且反向，故B错误； 对于C，在上的投影向量的模为，故C正确； 对于D， 因为，即共面， 不能作为空间的一个基底，故D错误. 11. 已知直线l在x轴上的截距为1，且点到l的距离相等，则l的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，确定直线的特征，再按是否垂直于轴分类求解. 【详解】由直线在x轴上的截距为1，得直线过点， 由点到的距离相等，得直线过中点或， 直线过点，则l的方程可以为； 当直线时，由直线的斜率为1，得的方程为，即， 所以直线的方程为或. 故选：BC 12. 如图，在棱长为1的正方体中，N，P分别是，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），则（ ） A. 四面体的外接球的表面积为 B. 不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 C. 过Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积的取值范围为 D. 点是四边形内的动点，且直线PH与直线AD的夹角为，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用补形法可判断A选项；作出辅助线，得到，即、、、四点共面，当与重合时满足要求，但不能与重合，可判断B选项；作出辅助线，得到平面截正方体截面为平行四边形，当与点重合时，面积最大，此时面积为，当与点无限接近时，面积接近于，可判断C选项；作出辅助线，得到点的轨迹是以为圆心，为半径的部分圆弧，可求出点的轨迹长度，可判断D选项. 【详解】对于A选项，将四棱锥补成长方体， 所以，四面体的外接球的直径即为长方体的体对角线长， 即四面体的外接球的直径为， 所以，四面体的外接球的表面积为，A正确； 对于B选项，连接，，，因为且， 故四边形为平行四边形，所以，因为P，N分别是中点， 则，所以，即，，，四点共面， 而平面与的交点唯一，故即为，又不为的端点， 因此不存在满足条件的点，B正确； 对于C选项，如图，在平面上作，垂足为点， 过点在平面内作交BC或者于， 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 又平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 平面截正方体截面为平行四边形， 当与点重合时，面积最大，此时，，面积为 当Q与点无限接近时，面积接近于0， 过且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积的取值范围为，C错误； 对于D选项，依题意，直线PH与直线的夹角为， 取的中点，连接PO，则， 则平面，取AB的中点，以为圆心，为半径作圆，交，于X，Y， 则点H的轨迹为以O为圆心，1为半径的部分圆弧， 又，故 所以点的轨迹长度为，D正确. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 直线与直线平行，则它们之间的距离是______． 【答案】2 【解析】 【详解】直线与直线平行， 则它们之间的距离是 14. 已知三条直线与相交于一点，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】先联立两条已知系数的直线方程，求得交点，再代入剩下那条直线方程，即可求解. 【详解】先由与相交于一点， 联立方程组， 代入消元可得：，则， 所以交点坐标为，又由题意可知直线也经过点， 所以代入可得. 故答案为： 15. 在如图所示的试验装置中，四边形框架为正方形，为矩形，且，且它们所在的平面互相垂直，N为对角线上的一个定点，且，活动弹子M在正方形对角线上移动，当取最小值时，的值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件建立以直线BA，BE，BC分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，利用空间向量即可计算，求其最小值即可． 【详解】解：因ABCD为正方形，则AB⊥BC，而平面ABCD⊥平面ABEF， 平面ABCD⋂平面ABEF＝AB， 于是得AB⊥平面ABEF，又ABEF为矩形，即BE⊥AB， 以射线BA，BE，BC分别为x，y，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，如图， 则B（0，0，0），A（1，0，0），C（0，0，1），E（0，3，0），F（1，3，0）， 因点N在BF上，且2FN＝BN，则， 又M在线段AC上移动，则有， 于是得点， ⋅ ， 因此，当时，取最小值， 此时，，. 故答案为： 16. 人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为“”．现已知平行六面体，平面的方程为，平面经过点，平面的方程为，则平面与平面夹角的余弦值的最大值为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据平面的方程得出平面和的法向量坐标，得出两平面夹角余弦值的表达式，再根据点的坐标得出平面的法向量，利用平行关系得出的方向向量，从而得出间的关系，代入表达式求最值． 【详解】 平面的方程为， 平面的法向量为， 同理，平面的法向量为， 两平面夹角的余弦值为， 平面经过点， ， 设的法向量为，则，令，则， 设的方向向量为，则，令，则， 平面,平面的法向量与直线的方向向量垂直，即， 平面与平面夹角的余弦值为 ， ，， ，当且仅当时取等号， 平面与平面夹角的余弦值的最大值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知的顶点坐标为. （1）试判断的形状： （2）求边上的高所在直线的方程. 【答案】（1）直角三角形 （2） 【解析】 【分析】（1）求出，得到，故得到垂直关系，得到三角形形状； （2）由得到边上高线所在直线的斜率，进而由点斜式求出直线方程，得到答案. 【小问1详解】 ，， ， ，又，， 为直角三角形 【小问2详解】 因为， 所以边上高线所在直线的斜率为, 直线的方程是，即 18. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． （1）试用向量表示向量； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）将放在三角形或多边形中利用向量的线性运算法则表示即可； （2）将均用基底表示出来，再运算即可． 【小问1详解】 因为点E为的中点， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以 . 19. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，是的中点． （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：如图，以为原点，以射线、、分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，， 所以， 所以，故． （2） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，首先求出相应点的坐标，再证明即可； （2）利用向量的夹角公式即可求得异面直线与所成角的余弦值． 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为是的中点，且，，故， 所以，所以， 因为，，且， 所以， 因此异面直线与所成角的余弦值为． 20. 如图，已知正三棱柱中，，点为的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） 方法一： 取的中点，根据正三棱柱性质可得互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则有，即， 令，则，，即， 因为，又平面， 所以平面； 方法二： 如图，连接交于点，连接， 易知为的中点，又点为的中点，故， 而平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，根据空间向量的位置关系证明可得结果； 方法二：连接交于点，连接，利用线面平行的判定定理证明可得结论. （2）方法一：由点到平面距离的向量求法直接计算可得结果； 方法二：利用等体积法计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一： 点到平面的距离. 方法二： 因为平面，故到平面的距离即为到平面的距离，设为， 因为，，平面， 故平面，平面，故， 由题意知，，所以， ，， 由， 代入解得. 21. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，， E为线段的中点，F为线段上的动点． （1）证明：平面平面； （2）若直线EC与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】（1）证明如下： 解法一：因为平面ABCD，平面ABCD，则， 且，，平面，则平面PAB， 由平面，可得， 又因为，E为中点，则， 且，平面，则平面， 且平面，所以平面平面； 解法二：因为底面，， 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设，则，，，， 设平面PBC的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面AEF的法向量为，则， 令，则，可得； 因为，则， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）解法一：根据题意可证平面PAB，可得，进而可得平面PBC，即可证面面垂直；解法二：建系并标点，求平面与平面PBC的法向量，利用空间向量证明面面垂直； （2）解法一：作，可知直线EC与平面AEF所成角为，根据题意结合几何性质运算求解；解法二：由（1）可知：，平面AEF的法向量，利用空间向量结合线面夹角运算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一：作，垂足为H， 因为平面平面PBC，平面平面，平面PBC，， 则平面AEF，可知直线EC与平面AEF所成角为， 则，可得，， 设，则，， 因为与相似，则，即， 整理可得，解得或（舍去）， 即，所以； 解法二：由（1）可知：，平面AEF的法向量， 设直线EC与平面AEF所成角为， 则， 整理可得，解得或， 所以. 22. 中，，，，D是的中点，E是的中点，F是的中点．如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得． （1）证明：； （2）若，求三棱锥的体积； （3）求平面与平面的夹角的余弦值的最大值． 【答案】（1）D是的中点，翻折前，翻折后. 是的中点，翻折前，翻折后 翻折后，又， 且方向相同，. 又E是的中点，F是的中点， 翻折前、后，， 且方向相同，， 翻折后，在中， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件得到翻折前后线段的数量关系，进而得到，，在中，利用向量加法的三角形法则即可得证； （2）过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，可知为三棱锥的高，求出、，再利用锥体的体积公式即可求得三棱锥的体积； （3）在平面中，过点作，交于点，以点为坐标原点，、、的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法结合基本不等式，即可求得平面与平面的夹角的余弦值的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点在平面内作，垂足为，取的中点，连接， 在中，，，D是的中点， 可知翻折前，；翻折后，， 又，平面， 又平面，， 又，平面， 就是三棱锥的高. 在中，，，， 由余弦定理可知. ， . 在中，，， ，，D是的中点，E是的中点， ， ， . 【小问3详解】 在平面中，过点作，交于点， 平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为轴的正方向 建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、， 设，则， ，，， 设平面的一个法向量， 则， 令，则，，， 设平面的一个法问量， 则， 令，则，，， 设平面与平面的夹角为， 则 ， ，，则， 当且仅当，即时，即时，等号成立. 平面与平面的夹角的余弦值的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏六盘山高级中学 2026-2027学年第一学期高二第一次月考测试卷 学科：数学　测试时间：120分钟　满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线经过点，则直线的斜率为（ ） A. -3 B. C. 3 D. 2. 已知，，且，则（ ） A. 9 B. 0 C. 1 D. 3. 在棱长为2的正方体中，（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 经过点，且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行六面体中，，，，点M为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（ ） A. B. C. D. 7. 已知的三个顶点分别为，则边上的中线所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线的方向向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 10. 下面四个结论中，正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若，则向量，的夹角是钝角 C. 已知，，则在上的投影向量的模为1 D. 设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 11. 已知直线l在x轴上的截距为1，且点到l的距离相等，则l的方程是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在棱长为1的正方体中，N，P分别是，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），则（ ） A. 四面体的外接球的表面积为 B. 不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 C. 过Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积的取值范围为 D. 点是四边形内的动点，且直线PH与直线AD的夹角为，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 直线与直线平行，则它们之间的距离是______． 14. 已知三条直线与相交于一点，则___________. 15. 在如图所示的试验装置中，四边形框架为正方形，为矩形，且，且它们所在的平面互相垂直，N为对角线上的一个定点，且，活动弹子M在正方形对角线上移动，当取最小值时，的值为____________. 16. 人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为“”．现已知平行六面体，平面的方程为，平面经过点，平面的方程为，则平面与平面夹角的余弦值的最大值为________． 四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知的顶点坐标为. （1）试判断的形状： （2）求边上的高所在直线的方程. 18. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． （1）试用向量表示向量； （2）若，求的值. 19. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，是的中点． （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 20. 如图，已知正三棱柱中，，点为的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 21. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，， E为线段的中点，F为线段上的动点． （1）证明：平面平面； （2）若直线EC与平面所成角的正弦值为，求． 22. 中，，，，D是的中点，E是的中点，F是的中点．如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得． （1）证明：； （2）若，求三棱锥的体积； （3）求平面与平面的夹角的余弦值的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $