第3章 圆的基本性质 章节自测 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

第3章《圆的基本性质》章节自测卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。） 1.⊙O的半径为6，同一平面内有一点P,且OP=5,则P与⊙O的位置关系是() A.P在圆内 B.P在圆上 C.P在圆外 D.无法确定 2.如图，AB为⊙O的直径，点B为CD的中点.若∠CAB=20°，则∠ABD的度数是() D A.40° B.50° C.60° D.70° 3.如图，点A,B,C在⊙O上，若∠BAC=50°，则∠BOC的度数为() B A.50° B.60° C.90 D.100° 4.折扇最早出现于我国南北朝时期，《南齐书》中说：“司徒褚渊入朝，以腰扇障日.”这 里的“腰扇”在《通鉴注》中的解释为折叠扇.如图，一折扇的骨柄长为21cm,折扇张开后 为扇形，圆心角∠AOB为120°，则AB的长为() B 21cm A.7πcm B.14πcm C.3 4cm 7π D.9.cm 5.小明捡到一个量角器碎片，按如图的方式测量∠B的度数，他让点B落在量角器圆弧上， 并将角的两边与量角器圆弧的交点分别记为A,C.若点A,C对应的刻度分别为54°、136°， 则∠B的度数为() B b60010o16og② A.130° B.1396 C.140° D.141° 6.如图，把⊙O(不完整)分成相等的n段弧，其中A1,A2,A是其中的三个等分点，连接 A1A3'A3An·若∠A1A3An=18,依次连接各等分点得到的图形为() A A.正十边形 B.正九边形 C.正八边形 D.正六边形 7.等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比 较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等.如图，分别以等边三角形ABC的三个 顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果 AB=1,那么这个等宽曲线的周长是() A.t 8胃 c. 8.“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用 图画描绘了“筒车”的工作原理.如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆， 已知圆心O始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为12m时，水面下盛水筒的最大深度 为2m.(即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离)则该圆的半径为()· B 水面 A.5m B.8m C.10m D.20m 9.如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为4,3，点P是⊙M上的任意一点，PA1PB,且 PA、PB与X轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值（) M A B A.4 B.5 C.6 D.7 10.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，曲线C是由半径为4个单位长度，圆 心角为120°的OA经足够多次复制并依次连接而成的.现有一动点P从原点0出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿曲线C向右运动，则第2025秒时点P的纵坐标为() A.-2 B.0 C.2 D.-1 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.如图，AB是⊙O的直径，弦CD‖AB,若∠CAB=65°，则∠BCD= 0 0 0 12.如图，已知滑轮的半径为10cm,假设绳索与滑轮之间没有滑动，当重物上升5πcm时， 半径OA转过的面积是· A 滑轮 重物Ⅷ 13.如图，AB是半圆0的直径，将半圆0绕点A逆时针旋转45°得到半圆O,点B的对应点为 B·若AB=6则阴影部分的面积为 (结果保留π)· B 14.如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FABC1D1EF1…叫做“正六边形的渐开 线”，FA,A1B,C1B1,C1D1,D1B,EF1,…的圆心依次按A,B,C,D,E,F循环， 且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角.当AB=1时，FA1的长度为，曲线 FA1BC,D1E,F,的长度是 E F D A B、A C B 15.如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，将弧CD沿CD翻折恰好过点O,连接AC,若 CD=2,则AC的长为 】 16.在△ABC中，AB=2,AC=3,以CB为边作一个等边△BCD,则DA的最大值是· D B 三、解答题（本题共8小题，第17-第22题每小题8分，第23-第24题每小题12分，共72 分.) 17.如图是一个管道的横截面，圆心O到水面AB的距离OD是3，水面宽AB=6.求这个管道 横截面的半径. D A C 18.如图，在OO中，直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=40°，∠APD=66°. 0. D (1)求∠B的大小； (2)已知圆心0到BD的距离为4，求AD的长. 19.如图，AB为⊙O的直径，C,D为圆上的两点，OC‖BD,OC交AD于点E. D E B (1)求证：∠AOC=∠COD: (2)若AD=16,CE=4,求⊙O的半径. 20.【教材呈现】以下是浙教版八年级下册数学教材第85页的部分内容.先观察下图，直线 1∥12，点A,B在直线12上，点C,C2,C,C4在直线11上.△ABC,△ABC2,△ABC, △ABC4这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由。 C C.C 【基础巩固】如图1，正方形ABCD内接于OO,直径MN∥AD,求阴影面积与圆面积的比值； D M 图1 【尝试应用】如图2，在半径为5的⊙O中，BD=CD,∠ACO=2∠BD0,cos∠BOC=x,用含x 的代数式表示SMBc; D A 0 图2 【拓展提高】如图3，AB是⊙O的直径，点P是OB上一点，过点P作弦CD⊥AB于点P,点F 是O0上的点，且满足CF=CB,莲接F交CD于点B若BF=8BP,Sam=105,求O0的半 径 21.如图，△ABC内接于⊙O,连接OA,OB,OC B (1)若∠COB=100°，∠ACB=40°，求∠COA的度数. (2)若AC∥OB,AB=5,OC=4,求BC的长. 22.如图，△ABC内接于⊙O,AD、BE是△ABC的高，H是AD、BE的交点，AD的延长线 交⊙0于G. E D G (1)试说明：HD=DG, (2)若∠BAD=30°，BH=4,求⊙O的面积. 23.如图1，在⊙O中截掉一个圆心角为60°的扇形，优弧COD与直线AB相切于点C,且 OC=8· N B A C B 图1 图2 (1)求点D到直线AB的距离. (2)如图2，优弧COD上存在一动点M,OM从OC出发按顺时针方向转动，转动速度为每 秒30°，转动时间为t秒.当点M运动至点D处时，停止转动.过点M作直线IOC,直线l 与优孤COD交于另一点N. ①当直线l与优弧COD相切时，t的值为 ②当t=2时，求阴影部分面积. 24.【课本再现】在人教版九年级上册课本第88页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边 形的一个性质：圆内接四边形的对角互补. A A D B B 图① 图② 【问题探究】完成上述性质的证明过程： (1)如图①，已知点A,B,C,D在⊙O上，求证∠BAD+∠BCD=180°. 【解决问题】(2)如图②，已知点A,B,C,D在⊙0上，若∠BAD=号∠BCD,⊙0 的半径为2.求BD的长 参考答案 一、单项选择题 1.A 解：⊙O的半径为6，OP=5 ..Op<r, 点P在⊙O内， 故选：A. 2.D 解：连接AD, .AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=90°. :点B是CD的中点， “.BC=BD, ∴.∠CAB=∠BAD=20°， ∴.∠ABD=90°-∠BAD=70°. 故选：D. D 3.D 解：由题意得∠BOC=2∠BAC=100°， 4.B 解：AB的长=120×21-14ncm. 180 5.B 解：连接OA,OC,DA,DC,设⊙O的直径为EF,如图， B D .∠AOE=54°，∠E0C=136°， ∴.∠A0C=∠E0C-∠AOE=136°-54°=82°， :∠ADC=2∠A0C=41, .'∠ABC+∠ADC=180°， .∠ABC=180°-∠ADC=180°-41°=139°. 6.A 解：如图，连接A1O,AnO A AA.=AA .∠A10An=2∠A1A3An=36° 依惠意，依次连接各等分点得到的图形为正n边形，其中6010，即正十边形 7.A 解：：△ABC是等边三角形， .∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，BC=AC=AB=1, B的长为0-号，夜的长为0mx1. 1803元，AC的长为60m×1=1 180=3兀， “这个等宽曲线的周长为π+3I+3=几. 1 1 1 3 31 8.C 解：如图，作直径CD⊥AB,垂足为E,设圆的半径为rm, B 水面 D ,直径CD⊥AB, A0-A6=6m 由题意可知，DE=2m, ∴.OE=OD-DE=r-2m, 在直角△OAE中，OE2+AE2=OA2, .r-22+62=r2, 解得r=10, .圆的半径为10m. 9.C 解：连接OP, y个 M 0 BO .PA⊥PB, ∴.∠APB=90, .AO=BO' ∴.AB=2PO 若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值， 连接OM,当点P在线段OM上时，OP取得最小值， 过点M作MQ⊥x轴于点Q, …圆心M的坐标为4,3 则0Q=4,MQ=3, ∴.0M=32+42=5? 又：⊙M的半径为2， 0p的最小值为5-2=3， ∴.AB=2OP=6, 故选：C 10.A 家：0A长为1204-则点P活动0A长时受智=2（物）， 180 33 如图，过B作BE⊥x轴于点D,交OA长于点E,则∠ODB=90°， OD:A E .∠OBA=120°，OB=AB=4, .∴.∠BOA=∠BAO=30°， ..BD=OB=2, 2 ∴.DE=BE-BD=4-2=2, ∴.第1秒点P纵坐标为-2， 第2秒点P纵坐标为0， 第3秒点P纵坐标为2， 第4秒点P纵坐标为0， 第5秒点P纵坐标为-2， ∴点P纵坐标以-2,0,2,0四个数为一个周期依次循环， .2025÷4=506……1, ∴.第2025秒时点P的纵坐标与第1秒点P纵坐标相同为-2， 故选：A. 二、填空题 11.25 解：，AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， .∠CAB=65°， ∴.∠ABC=90°-65°=25°， .CD AB, ∴.∠BCD=∠ABC=25°. 12.25πcm2 解：由题意得，半径OA转过的弧长为5πCm, 则半径0A转过的面积=号×5π×10=25πcm2. 18.8+ 解：记AB与半圆O交于点C,连接OC,如图所示. B 由旋转的性质可知两个半圆的面积相等，∠OAC=45°， ∴.S阴影=S半圆0-S号形AC=S半圆0-S写形AC=S△OAC+S扇形OBC, .OA=OC. ∴.∠OAC=∠OCA=45°， ∴.∠BOC=∠OAC+∠OCA=90°，∠AOC=90°， .AB=6, ..OA=OC=3. SSac+Smso×3x3+90πx3-9+9n 360241 14. π 3 7π 解：正六边形的每个外角为60°，FA1的圆心是A,半径r=AF=AB=1,圆心角日=60°， 根据弧长公式1-= 60×1×π=π FA 180 3 同理得，1 =60×2×π=2π AB1803 1 =60×3X元=元， B,C1180 60×4×π4π 1 c1D1180 3 1 =60×5×π=5m 1803’ 60×6×L=2元， E,E1180 曲线rAB,CD,的长度是号*号++5+号+2I=7, 33 故答案为：37π. 15.2 解：连接OC,OD,BC,AD, B 由翻折性质可知CO=CB, ...OC=OB, ∴.OC=BO=CB, .∠BOC=60°，∠BOD=60°， ∴.∠C0D=120°， ∠CAD=∠COD=609, .OB⊥CD, ∴.OB垂直平分线段CD, ∴.AC=AD, .△ACD是等边三角形， ∴.AC=CD=2, 故答案为：2. 16.5 解：如图，在直线AC的上方作等边三角形OAC,连接OD D B A :△BCD,，△AOC都是等边三角形， .CA=CO,CB=CD,∠ACO=∠BCD=60°， .∠ACO-∠BCO=∠BCD-∠BCO .∠ACB=∠OCD 在△ACB和∠OCD中， CA=CO ∠ACB=∠OCD BC=DC ∴.△ACB≌△OCD SAS ..OD=AB=2. ∴.点D的运动轨迹是以O为圆心，以OD长为半径的圆， ∴.当D、O、A共线时，DA的值最大，最大值为OA+OD=3+2=5 故答案为：5. 三、解答题 17.解：如图，连接OA, ) A 三三三三三三二B C ,AB=6,OD⊥AB ∴.AD=3 .∵OD=3 :△OAD是等腰直角三角形， .在Rt△A0D中，A0=VAD+0D=V3+3=32: .这个管道横截面的半径为32 18.(1)解：根据同弧所对的圆周角相等可得到∠CAB=∠CDB=40°， .∠APD=66°，∠APD=∠B+∠CDB, ∴.∠B=66°-40°=26°： (2)解：过点O作OE⊥BD于点E,则圆心O到BD的距离OE=4,BE=DE, E .O是AB的中点， OE是△ABD的中位线， ∴.AD=2OE=8. 19.(1).AB是⊙0的直径， ∴.∠ADB=90°， 又OC‖BD, ∴.∠AEO=∠ADB=90°， 即OC⊥AD AC=CD ∴.∠AOC=∠COD (2)解：设⊙O的半径为r, .CE=4, .0E=0C-CE=r-4」 AD=16,由(1)知，OC⊥AD, ∴AE=5AD=8. 在Rt△AOE中，由勾股定理AE2+OE2=0A2, 代入得82+(r-42=r2. 解得r=10. 因此，⊙0的半径为10. 20.△ABC,△ABC,△ABC,△ABC,同底等高 SAARC=SAARC:=SAABC=SAARC [基础巩固] 连接OC、OD A D M B .AD∥MN .SA△4oN=SADON 同理，S△BN=SACON :S影=S600o= ∴阴影面积与圆面积的比为4； [尝试应用] 连接AO,过点O作OH⊥AB于点H D A ★0 H .·BD=CD,BO=CO,DO=DO ∴.△BDO≌△CDO ∴.∠BDO=∠CDO ∴.∠BDC=∠BAC=2∠BDO .∠ACO=2∠BDO ∴.∠BAC=∠ACO ∴.CO∥AB ∴.∠ABO=∠BOC,SABe=SABO .BH=OB×cos∠ABO=5×cos∠BOC=5x, AB=2AH=10x OH=5v1-x2 :5ae=So-34B-0H=25x1- [拓展提高] 连接DF,BD,OD E D 夕 ,AB为直径，CD⊥AB于点P ∴.BC=BD,CP=PD 又，CF=CB ∴.FC=BC=BD ∴.∠BFD=∠CBF,FCB=CBD .BC∥DF,BF=CD 设EP=a,则CD=8a,PC=PD=4,CE=3a .FC=BD ∴.∠DCB=∠CBF .'BE=CE=3a,PB=BE2-EP2=(3a)-a2=22a .BC∥DF 'SACBF=SACBD SAE8D=SACBD=SACBE-SACBF-SACBE=SACEF :2ED-PB=25a-22a=105 ∴.a=V2 ∴.PB=4,PD=4V2 在RtAODP中，OP2+PD2=OD, 设⊙0半径为r, 则-4+(42=r2 解得r=6 ⊙0的半径为6 【点睛】此题考查的是平行线的性质及三角形的面积公式，垂径定理、弧、弦、圆心角的关 系及勾股定理等知识点，解决本题的关键是熟练掌握两条平行线之间的距离处处相等. 21.(1)解：∠ACB=40, .∴.∠AOB=2∠ACB=80°· .∠COB=100, ∴.∠COA=∠COB-∠AOB=20°· (2)解：如图，延长CO交⊙O于点D,连接BD D :CD是OO的直径， .∠CBD=90o: .OC=4,AB=5' ∴.CD=2OC=8 .∵OA=OC, .∴.∠OCA=∠OAC, .AC‖OB, ∴.∠OCA=∠DOB,∠OAC=∠AOB, ∴.∠DOB=∠AOB' ∴.DB=AB=5, .BC=VCD2-DB=V82-52=39 22.(1)解：连接BG B D G :AD、BE是△ABC的高， .∴.∠AEH=∠BDH=90· .∠AHE=∠BHD ∴.∠DBH=∠EAH, .∵ㄥCBG=∠CAG' ∴.∠HBD=∠GBD' 在△BDH与△BDG中， ∠HBD=∠GBD BD=BD ∠BDH=∠BDG=90° .△BDH≌△BDG ASA: ∴DH=DG (2)解：连接OB、OG」 D .∠BAD=30 .∴.∠BOG=2∠BAG=60· .OB=OG' ·△OBG为等边三角形， ∴.BG=OB=OG .'△BHD≌△BGD' .∴.BH=BG=4 .∴.OB=OG=4 ∴.S=42.π=16π 23.(1)解：连接CD,过点D作DE⊥BC于点E,如图， EB .∠COD=60°，OC=OD' △OCD为等边三角形， .∴.∠OCD=60°，CD=OC=8? 优弧COD与直线AB相切于点C, .OC⊥AB .∠OCB=90, .∠DCE=30°， ..DE=CD=4, ∴点D到直线AB的距离为4； (2)解：①I.当直线1与优弧COD相切，且直线！在OC的左侧时，如图， ,直线l与优弧COD相切， .∴.OM⊥1 直线1OC, .∴.OM⊥OC, ∴.∠MOC=90°， :OM从OC出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒30， 转动时间为秒， ..30t=90 ..t=3 II.当直线l与优弧COD相切，且直线1在OC的右侧时，如图， ,直线l与优弧COD相切， .OM⊥： 直线lOC, ∴.OM⊥OC' .∴.∠MOC=90°， :0M的旋转的度数为270， :OM从0C出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒30，转动时间为，秒， .30t=270 ∴.t=9 综上，当直线l与优弧COD相切时，t的值为3s或9s 故答案为：3s或9s. ②连接ON,过点O作OF⊥MN于点F,设NM与AB交于点K,如图， N D .t=2 .∴.∠MOC=60, ,优弧COD与直线AB相切于点C, .OC⊥AB .直线1OC, 直线l⊥AB, .∵OF⊥MN, ∴.四边形OFKC为矩形， .∴.∠FOC=90, .∠FOM=30°， FN=0M=克×8=4,0F=o-FM=8-4=45. .'OF⊥MN,ON=OM' ∴.FM=FN=4,∠MON=2∠FOM=60, ∴.阴影部分面积=S扇形OMN-S△OMN 60m×81x8×43=32m-163. 360-2 3 24. (1)如图①，连接OB,OD, 在⊙0中，∠BMD=号∠BOD,∠BCD=360°-∠B0D, ·∠BAD+∠BCD=3∠B0D+360°-∠B0D=180: B 图① (2)由(1)可知∠BAD+∠BCD=180°， :∠BAD=∠BCD, ∴.∠BAD=60,∠BCD=120, 如图②，连接OB,OD,过点O作OH⊥BD于点H, .∴.∠BOD=2∠BAD=120°， .OB=OD=2' ∴.∠ODB=30°， 0H=0D=1, .HD=V0D2-0H=V2-17=3: ∴.BD=2HD=2V3· B 图②