第3章 圆的基本性质【单元基础自测卷】- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

第3章 圆的基本性质【单元基础自测卷】 考试时间：120分钟　　满分：120分 适用：浙江地区九年级单元基础测试 1、 选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分。请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1．下列说法正确的是（   ） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的两条弧是等弧 C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径是同一圆中最长的弦 【答案】D 【分析】根据垂径定理、等弧的定义以及圆的有关性质判断求解即可． 解：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故原说法错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故原说法错误，不符合题意； C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误，不符合题意； D、直径是同一圆中最长的弦，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 【点拨】本题考查了垂径定理、等弧的定义以及圆的有关性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 2．已知的半径为3，平面内一点P到圆心O的距离，则点P在（    ） A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握点到圆心的距离与圆半径的大小关系与点与圆的位置关系是解题的关键． 由小于的半径为3，据此即可判断点的位置． 解：∵的半径，点到圆心的距离 ∴， ∴点在⊙内． 故选C． 3．如图所示，A、B、C、D是⊙O上的点，，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由A、B、C、D是⊙O上的点，，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等作答即可． 解：， ，，故A选项正确； ，即，故B选项正确； ， ，故D选项正确； 不能证明，故C选项错误； 故选：C． 【点拨】本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 4．如图，是的弦，若的半径，圆心到弦的距离，则弦的长为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键； 由可得，，进而利用勾股定理求出，即可求解． 解：∵圆心到弦的距离， ∴， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， 故选：B． 5．如图，是的直径，点、在圆周上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直径所对的圆周角是直角可得，在中利用内角和求出，再根据同弧所对的圆周角相等得出 解：是的直径 与所对的弧相同 ． 6．若一个直角三角形的斜边长为10，则这个直角三角形外接圆的半径是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的外接圆，根据90度的圆周角所对的弦是直径推出直角三角形的斜边即为该直角三角形外接圆的直径是解题的关键． 解：∵90度的圆周角所对的弦是直径， ∴直角三角形的斜边即为该直角三角形外接圆的直径， ∴斜边长为10的直角三角形外接圆半径为5， 故选C． 7．如图，四边形内接于，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的对角互补，进行求解即可． 解：∵四边形内接于，， ∴； 故选C． 8．正方形内接于，若的半径为，则该正方形边心距的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先连接圆心与正方形相邻顶点，得到等腰直角三角形，利用圆半径和勾股定理求出正方形边长；再借助三角形面积的两种表达形式，通过等面积法，求出边心距． 解：如图，连接、，过点作于点，则为边心距， ∵正方形内接于，的半径为， ∴，， 在中， ， ∵， ∴ 解得． 9．若的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径为（   ） A．6 B．10 C．12 D．24 【答案】C 【分析】此题考查了弧长的计算，理解记忆弧长公式是解题的关键． 由弧长公式分别代入相应的数值求解即可． 解：由题意可得：，， ， 解得． 故选：C． 10．数学文化无处不在，其中莱洛三角形就给人以对称的美感． 画法如下：取一等边三角形，以其中一点为圆心，边长为半径画过另外两点的弧，以此类推，得到三个圆弧的封闭图形． 若莱洛三角形的周长为，则它的面积为 （  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义——莱洛三角形．熟练掌握等边三角形性质，勾股定理，弧长公式，扇形面积公式，三角形面积公式，是解题的关键． 根据等边三角形性质得，得，设，求出，过点A作于点D，得，由勾股定理得，由即可得解． 解：设莱洛三角形为，连接，过点A作于点D， 则， ∴， 设， 由弧长公式知， ， ∴， ∵， ∴ ∴ ， 故选：B． 2、 填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11．如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ． 【答案】② 【分析】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得． 解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧． 所以带到店去的一块玻璃碎片应该是②． 故答案为：②． 12．流沙钥匙扣挂件多受女孩喜欢（如图左图）．如图右图是它的坠体截面示意图，嘉嘉用直尺测量了圆的半径为，流沙所在的水平面长，则圆心到的距离为______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，过点作于点，可得，再利用勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：如图，过点作于点， 则，， ∵， ∴， ∴圆心到的距离为， 故答案为：． 13．如图，是的直径，点C、D在圆上，若，则______度． 【答案】28 【分析】本题考查了在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，据此即可求解． 解：∵， ∴． 故答案为：． 14．如图，是的直径，C，D在上，若，则的度数为__________． 【答案】/111度 【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质．连接，根据等腰三角形的性质得，再根据圆内接四边形的性质即可得出答案． 解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 15．苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2所示，点O为正六边形的中心．若，则正六边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，理解正多边形的边，圆心角的数量的特点是解题的关键． 根据正多边形的性质可得，，是等边三角形，正六边形的面积为，再运用勾股定理算出，最后把数值代入进行计算，即可求解． 解：∵是正六边形，点为中心， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，正六边形的面积为， 过点作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图①，是圆形三翼旋转玻璃门，图②是旋转门俯视图的示意图，它是由外围的圆O和三个长为2米的隔风玻璃组成，外围的圆留有两个关于圆心O中心对称的通道和，圆内的三个隔风玻璃绕圆心O转动，为了使每个隔风玻璃之间的空间均匀，将隔风玻璃的夹角设置为．为了使三个隔风玻璃在旋转的过程中，始终使大厅内外空气隔离，从而起到对大厅内保温的作用，则通道的长度最长为________米． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．由题意得可得与的最大值的和为，结合和关于圆心中心对称，利用弧长公式即可求解． 解：∵， ∴与的最小值为， ∴与的最大值的和为， ∵和关于圆心中心对称， ∴， ∴，最大值为， 则通道的长度最长为． 故答案为：． 三、解答题（本大题有7小题，第17题6分，第18~19题每题8分，第20~21题每题10分，第22~23题每题12分，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17．（6分）如图，A、B、C、D是上的四点，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 根据圆心角、弧、弦之间的关系得出，从而得到，再根据圆心角、弧、弦之间的关系推出答案即可． 解：略 18．（8分）如图，是的直径，点是上的点，且，分别与，相交于点． （1）求证：点D为的中点． （2）若，求的半径长度． 【答案】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即点D为的中点； （2）13． 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理等知识点． （1）利用圆周角定理得到，再证明，然后根据垂径定理得到点D为的中点； （2）根据垂径定理得到，根据勾股定理即可得到结论． 解：（1）略 （2）解：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为13． 19．（8分）如图，的两条弦，分别连接，，交点为P． （1）求证：； （2）连接，若为的直径，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，，， ∴； （2）的长为8 【分析】（1）首先根据圆周角定理证得，，再根据即可证明； （2）若为的直径，则，根据，可设，，则由（1）可知，在中根据勾股定理可求出，则． 解：（1）略 （2）如图， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴，， ∴， 即的长为8． 【点拨】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 20．（10分）如图，为的外接圆，连接、，并分别延长交、于点和点．若，． （1）求的面积； （2）证明：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）作，垂足为，根据圆周角定理得出，进而得出，在中，勾股定理得出,即可求解． （2）延长交⊙于点，连接，得出为等边三角形，证明，得出，根据 ，即可得证． 解：（1）证明：作，垂足为，     ， ．                         ，， ，．         ．                                 在中，， ， ．                                      ∴⊙ 的面积； （2）证明：延长交⊙于点，连接， ， ．            ， 为等边三角形．                       ，． ．                        又，                            ．                             ．                                  ． 【点拨】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键． 21．（10分）如图，正六边形内接于，边长为2． （1）求的直径的长； （2）求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理： （1）连接，求出的度数，得到是等边三角形，得到，即可得出结果； （2）根据圆周角定理，即可得出结果． （1）解：连接． ∵正六边形内接于， ∴， 又， ∴是等边三角形． ∴． ∴． （2）解：∵， ∴． 22．（12分）如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，连接，且． （1）求的长； （2）求扇形的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查求弧长，求扇形的面积，熟练掌握弧长公式和扇形的面积公式是解题的关键： （1）根据三角形的内角和定理，等边对等角，求出的度数，再利用弧长公式进行计算即可； （2）根据扇形的面积公式进行计算即可． （1）解：∵在中，， ∴， ∵以点为圆心，长为半径的圆交于点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴扇形的面积． 23．（12分）如图，是的外角的平分线，与的外接圆交于点D，． （1）连，，求； （2）连，，求证：； （3）探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）证明：是的外角的平分线， ， ， 由（1）得，， ， 是等边三角形， ． （3），理由如下： 延长至F，使，连接， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， 由（2）得，是等边三角形， ，， 又 ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【分析】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由得到，根据圆周角定理得，再利用等腰三角形的性质即可求出； （2）证明是等边三角形，即可得出结论； （3）延长至F，使，连接，通过证明，得出，，进而证明是等边三角形，即可得出结论． （1）解：连接， ， ， ， ， ． （2）略 （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆的基本性质【单元基础自测卷】 考试时间：120分钟　　满分：120分 适用：浙江地区九年级单元基础测试 1、 选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分。请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1．下列说法正确的是（   ） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的两条弧是等弧 C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径是同一圆中最长的弦 2．已知的半径为3，平面内一点P到圆心O的距离，则点P在（    ） A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．无法确定 3．如图所示，A、B、C、D是⊙O上的点，，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，是的弦，若的半径，圆心到弦的距离，则弦的长为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 5．如图，是的直径，点、在圆周上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．若一个直角三角形的斜边长为10，则这个直角三角形外接圆的半径是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，四边形内接于，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 8．正方形内接于，若的半径为，则该正方形边心距的长是（     ） A． B． C． D． 9．若的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径为（   ） A．6 B．10 C．12 D．24 10．数学文化无处不在，其中莱洛三角形就给人以对称的美感． 画法如下：取一等边三角形，以其中一点为圆心，边长为半径画过另外两点的弧，以此类推，得到三个圆弧的封闭图形． 若莱洛三角形的周长为，则它的面积为 （  ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11．如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ． 12．流沙钥匙扣挂件多受女孩喜欢（如图左图）．如图右图是它的坠体截面示意图，嘉嘉用直尺测量了圆的半径为，流沙所在的水平面长，则圆心到的距离为______． 13．如图，是的直径，点C、D在圆上，若，则______度． 14．如图，是的直径，C，D在上，若，则的度数为__________． 15．苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2所示，点O为正六边形的中心．若，则正六边形的面积为______． 16．如图①，是圆形三翼旋转玻璃门，图②是旋转门俯视图的示意图，它是由外围的圆O和三个长为2米的隔风玻璃组成，外围的圆留有两个关于圆心O中心对称的通道和，圆内的三个隔风玻璃绕圆心O转动，为了使每个隔风玻璃之间的空间均匀，将隔风玻璃的夹角设置为．为了使三个隔风玻璃在旋转的过程中，始终使大厅内外空气隔离，从而起到对大厅内保温的作用，则通道的长度最长为________米． 三、解答题（本大题有7小题，第17题6分，第18~19题每题8分，第20~21题每题10分，第22~23题每题12分，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17．（6分）如图，A、B、C、D是上的四点，．求证：． 18．（8分）如图，是的直径，点是上的点，且，分别与，相交于点． （1）求证：点D为的中点． （2）若，求的半径长度． 19．（8分）如图，的两条弦，分别连接，，交点为P． （1）求证：； （2）连接，若为的直径，，，求的长． 20．（10分）如图，为的外接圆，连接、，并分别延长交、于点和点．若，． （1）求的面积； （2）证明：． 21．（10分）如图，正六边形内接于，边长为2． （1）求的直径的长； （2）求的度数． 22．（12分）如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，连接，且． （1）求的长； （2）求扇形的面积． 23．（12分）如图，是的外角的平分线，与的外接圆交于点D，． （1）连，，求； （2）连，，求证：； （3）探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $