第3章 圆的基本性质（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 聚焦圆的基本性质，融合古代水利工具（筒车）、动态几何等真实情境，通过基础巩固与创新应用梯度设计，适配初中数学单元复习的高效培优提升卷。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|点与圆位置关系、圆周角定理|第6题以古代筒车为情境，考查垂径定理应用，体现文化传承| |填空题|6/18|圆内接四边形、对称与圆|第12题结合对称性质，强化几何直观与推理意识| |解答题|8/72|垂径定理、动态最值、扇环面积|23题探究扇环面积公式，24题结合阅读材料解决最值问题，发展模型意识与创新思维|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第3章圆的基本性质（高效培优单元自测提升卷) （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.已知⊙0的半径为10cm,点A为平面内一点，且OA=8cm,则点A与⊙0的位置关系是() A.点A在⊙O上B.点A在⊙O内C.点A在⊙O外D.无法判断 2.如图，A,B,C,D四点共圆，BD是⊙O的直径.若∠ABD=55°，则∠ACB的度数等于() D A.35° B.40° C.45° D.50 3.如图，点A、B、C均在⊙0上，∠OBC=50°，则∠A的大小为() A.30° B.35° C.40 D.45° 4.如图，AB为⊙0的直径，点C,D是O0上位于AB异侧的两点，分别连接AD,BD,CB,CD,若 AD=BD,则∠DCB的度数为() 119 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 B D A.30 B.45° C.60 D.75° 5.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB=AD,连接BD.若∠C=I0O°，则∠ABD的度数为() B 0 D A.55° B.50° C.45 D.40° 6.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴 心O为圆心的⊙0，且圆心在水面上方.在某一时刻，⊙O被水面截得的弦AB长为6米，过点O作 OC⊥AB、⊙O ,交O0于点C,交B于点D,水面下盛水桶的最大深度为1米（即 CD=1 ⊙O 米)，则的半径 为() D 二二 A.5.5米 B.5米 C.4.5米 D.4米 7.如图，将Rt△MBC绕点A逆时针旋转90°得到 Rt△AB,C 阴影部分为线段8C扫过的区域，已知 , AB=4,BC=3,则阴影部分面积为() 219 学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 B 9 A.2n B.4π c.2 D.97 8.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB,连接BC,若∠DCB=30°，⊙O的半径为6，则BC的长为 () B A.6 B.63 C.3 D.35 9.如图，OA是⊙0的半径，分别以点A、点O为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧交于点M,N,连接 MN ⊙0C,B.OB,D⊙O 重合的点，连接D,CD,则∠CDA A,B,C AD,CD 并延长交于点，连接，是上不与点 的度数 为() A M D A.60° B.45° C.35° D.30° 10.如图，△18C内接于O0,DE是O 的直径，与4C 相交于点M且DE L AB,者O0 的半径为 25 BC=2√6 则AM2+CM 的值为() 3/9 学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 M D E A.12 B.20 C.24 D.28 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分. 11.如图，己知点A,B,C在⊙0上，若∠ACB=40°，则∠AOB= 度 B 12.如图，△ABC内接于⊙0，∠CAB=70°，D是BC延长线上一点，将点D关于直线AC对称，对称点B 治好落在C上，且CE/B,则∠D-° o. 13.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,连接OC,若AB=26,CD=24,则△OCE的面积为 E 0 14.以AB为直径的半圆0上，点C,D的位置如图所示，若∠CAB=20°，则∠D=° 419 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 15.如图，已知等边△ABC的边长为6，以AB为直径的OO与边AC,BC分别交于D,E两点，则劣弧 DE 的长为 l6.如图，⊙0半径长2cm,点A、B、C是⊙0的三等分点，点D为圆上一点，连接AD,且 D=22cm,CD交B于点B,则∠BED的度数为 4 B 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知，如图： 0的半径R=5v5,弦4B=14.点C在B上D1交o0于点D, 的半径 D 0. C (1)若BC=4,求线段CD的长. 519 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若点C在弦AB上运动，则AC+CD的最大值 18,如图.是00的直径，点C,点D在o0上，且而-D AC,BC 连接 ,,连接BD交4C 于点E, 与过点A的切线相交于点F. D O (I)求证：AF=AE: (2)若AB=6,BC=3,直接写出BC的长. 19.如图，在△ABC中，AC=BC,以AB为直径作O0,与AC相交于点D,连接OC,与⊙0相交于点 E 图1 图2 (I)如图1，连接DE,求∠ADE的度数； (②如图2，若点D为4C的中点，且1C=4,求DE的长. 20.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AC平分∠BAD,连接BD,延长AB至点E,使BE=AD,连接 CE B E (I)求证：△ADC≌△EBC: 6/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC (②)若CD=5,BD=6,求AE值. 21.仅用无刻度直尺按下列要求完成作图.（保留作图痕迹）· D 图1 图2 (1)如图1，矩形ABCD的顶点都在圆O上，请找出圆心O. (2)如图2，以平行四边形ABCD边BC为直径的⊙O与边AD相交，请找出圆心O. 22.综合与探究 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC,BD,△ABC为等边三角形，AD=1,CD=2. (I)求证：∠ADB=∠CDB (2)①尺规作图：过点B作BM∥CD,交DA的延长线于点M. ②求证：MA=CD. ③)求BC的长. 23.材料1：梯形面积公式 梯形面积公式为5。如+)h，其中，0为上底长，6为下底长，6为商。其推号方法有根多，其中一 种方法是通过把梯形转化为两个三角形面积的差，并借助相似三角形的性质得到证明的， 如图， Ssm=5.ax-S0,对于梯形BCD,上底D=a,下底8C=b,高为”，为了得到梯形 ABCD的面积，延长BA和CD交于点E,过点E作EM⊥BC于点M并交AD于点N,不难证明EN⊥AD, 则MN=h,所以， 5ea=5ac-及n=g05w-8n 719 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EM2-EN EN2 -S.EAD (EM-EN)(EM+EN)xEN.AD EN2 2 -IMN.EM+EN.AD=1 MN.BC+AD ·AD 2 EN 2 AD 1 -2(a+b)h 材料2：扇形面积公式 如的2不径为R圆心泡为n的第形面积公式为S。一树-汉，共中，为，百-分长 1 ×半径，形式上与S影2× 底×高类似 材料3：扇环 如图3，扇环是指两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分，即图中阴影部分 图1 图2 图3 四结合材料'和材料2的相关内容，类比精想材料3中局环的面积5（ 请用合有、和”的代数式表示， 其中AB CD 的长度为， 的长度为，线段4D的长为h,即两个同心圆的半径之差，并证明你的猜想： (2)用一段长为40米的篱笆围成一个如图3所示的扇环形花园，线段AD的长h为多少时，花园的面积最大， 最大面积是多少？ 24.阅读材料：如图1，若点P是⊙0外的一点，线段P0交⊙0于点A,则PA长是点P与⊙0上各点之间 的最短距离。 819 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P B B 图1 图2 图3 图4 证明：延长PO交⊙0于点B,显然PB>PA.如图2，在⊙0上任取一点C(与点A,B不重合)，连接 PC,OC」 ..PO<PC+OC,PO=PA+0A,OA=OC, .PA<PC, ..PA ,⊙0 的长是点P与上各点之间的最短距离， 由此可得结论：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差. 请用上述结论解决下列问题. (I)如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2,以BC为直径的半圆O交AB于D,P是弧CD上 的一个动点，连接AP,求AP长的最小值. (2)如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将 △AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN,连接A'C.求线段A'C长的最小值. (3)如图5，已知正方形ABCD的边长为4，点G是以BC为直径的半圆O上的一动点，点P是AB边上另一 动点，连接PG,PD,求PD+PG的最小值. D 图5 9/9 第3章 圆的基本性质（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C B B B B A D C 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分． 11． 12．40 13．30 14． 15． 16．/75度 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，作于点，连接，，用垂径定理得到，算出长，在中利用勾股定理求出，由三个直角判定四边形为矩形，得到、长度，再在利用勾股定理求出，最后由求得； （2）沿用（1）的辅助线与矩形结论，设，，将整理为，由勾股定理得到，利用完全平方公式推出的最大值，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴；------------4分 （2）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， 同（1）得，，四边形是矩形， 设，，则， ∴， 故求的最大值，只需求的最大值， 在中，，即， ∵，即， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴当且仅当时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为．------------8分 18．(1)见解析 (2) 【分析】（1）推导出，，得到进而推导出，得到，即可解答； （2）连接，推导出为等边三角形，得到，则，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的直径，切于点A， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴；------------4分 （2）解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴．------------8分 19．(1) (2) 【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质可知，在上任取一点G，连接，把放到圆内接四边形中求解即可； （2）由点D为AC的中点可证为等边三角形，进而确定出所在的扇形的圆心角度数，代入公式求解即可． 【详解】（1）解：如图1，在上任取一点G，连接． ，是的中点， ， ． , 在圆内接四边形中， ， ；------------4分 （2）解：如图2，连接． ，D为的中点， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 的长为------------8分 20．(1) 证明：平分， ． ∴ ． 四边形内接于 ． 又， ． 在和中 ；------------4分 (2) 【分析】（1）根据角平分线定义得，．由圆内接四边形的性质得到，即可证得； （2）证明，即可得到值． 【详解】（1）略 （2） ，， ． ， ．------------8分 21．(1)如图所示，点O即为所求： ------------4分 (2)如图所示，点O即为所求： 方法一 方法二------------8分 【分析】（1）根据圆周角所对的弦是直径得到矩形的对角线都是直径，连接对角线交点即为圆心； （2）直线与分别交圆于点、，连接与交点即为圆心；由为直径可得，根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，最后根据圆周角所对的弦是直径得到是直径，直径与交点即为圆心． 【详解】（1）略 （2）略 22．(1)证明见解析 (2)①作图见解析②证明见解析 (3) 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、等边三角形的性质、圆周角定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、尺规作图、勾股定理、垂径定理；解题的关键是利用等边三角形和圆内接四边形的性质推导角度关系，通过角度相等证明三角形全等，进而找到边的关系． （1）利用等边三角形性质得弧相等，再根据圆周角定理证明角相等； （2）①尺规作图过点作平行线，利用全等三角形对应角相等，以及内错角相等，两直线平行的原理进行作图；②先通过平行线和圆内接四边形性质推导角度，证明，从而得边相等； （3）根据（2）得出的全等，证明为等边三角形，求出长度，过点作于，利用和，以及勾股定理，求出的长度，过点作于，利用垂径定理求出半径长度，再用弧长公式计算即可． 【详解】（1）∵为等边三角形 ∴ ∴ ∴------------2分 （2）①解：尺规作图如下： 步骤一：以点为圆心，任意长为半径作圆弧，交直线于点，交线段（或射线）于点； 步骤二：以点为圆心，以相同的长为半径作圆弧，交射线于点（使得，即点在射线上且等于步骤二中的半径）； 步骤三：以点为圆心，以线段的长为半径作圆弧，交步骤三中所作的圆弧于点（取与点位于直线相反侧的交点）； 步骤四：过点和点作直线，则直线即为所求的过点且平行于的直线，交的延长线于点． 原理：由作图可知，，故，内错角相等，所以 ． ------------4分 ②证明：∵为等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 ∵四边形为的内接四边形 ∴ ∵在和中 ∴ ∴------------6分 （3）解： 由（2）得 ∴， ∵ ∴为等边三角形 ∴ 如图，过点作于，过点作于 ∵，则 ∴ ∵在中， ∴ 又∵ ∴在中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵在中，设，则 ∴ 整理得 或（舍） ∴ ∴------------10分 23．(1)， 证明：设半径，圆心角，则， 由弧长计算公式得， ， ， 由扇形面积计算公式得 ------------5分 (2)当线段的长为时，花园的面积最大，最大面积是． 【分析】（1）根据弧长公式和扇形面积公式表示出对应弧长和扇形面积，注意到，以及，化简；（2）根据及得出，利用二次函数性质即可求出当时，花园的面积最大且面积是． 【详解】（1）略 （2）解：由对称性得， ， ， 当时，， 由二次函数的性质知当线段的长为时，花园的面积最大，最大面积是．------------10分 24．(1) (2) (3) 【分析】（1）连接与相交于点P，由题意得，此时最短，利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）由线段中点的定义可得，由折叠的性质可得，则点在为直径的圆上运动（右侧的半圆上）；连接交圆M于点Q，过点C作，交的延长线于点P，求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）作点D关于的对称点，连接，，设分别交于点N，交半圆O于点H，由轴对称的性质可得，，则可推出当点P与点N重合，点G与点H重合时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图3所示，连接与相交于点P，由题意得，此时最短， ∵的直径，且， ∴； ∵， ∴， ∴的最小值为； ------------3分 （2）解：∵四边形是边长为2的菱形， ∴，； ∵M是的中点， ∴， 由折叠的性质可得， ∵点N在线段上运动， ∴点在为直径的圆上运动（右侧的半圆上）； 连接交圆M于点Q，过点C作，交的延长线于点P，如图4所示， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，当点与点Q重合时，最短，最短为；------------7分 （3）解：如图5所示，作点D关于的对称点，连接，， 设分别交于点N，交半圆O于点H， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∴由题意得，当点P与点N重合，点G与点H重合时，有最小值，最小值为的长； 如图5所示，过点作交的延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为．------------12分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆的基本性质（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【答案】B 【详解】的半径，点到圆心的距离， ． 点在内． 2．如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理得到，根据直角三角形两锐角互余得到，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：∵是的直径， ∴． ∴， ∴． 3．如图，点均在上，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等腰三角形性质求出圆心角，再利用圆周角定理求解． 【详解】解：， ， ， 与是同弧所对的圆周角与圆心角， ． 4．如图，为的直径，点C，D是上位于异侧的两点，分别连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据弧，弦，圆心角的关系得出，再根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：连接， ∵，为的直径， ∴， ∴， ∴． 5．如图，四边形内接于，，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用圆内接四边形的性质和的度数求得的度数，然后利用等边对等角及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴． 6．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心O为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点O作，交于点C，交于点D，水面下盛水桶的最大深度为1米（即米），则的半径为（   ） A．5.5米 B．5米 C．4.5米 D．4米 【答案】B 【分析】由垂径定理可得米，设的半径为米，则米，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴米， 设的半径为米，则米， 由勾股定理可得：， ∴， ∴， 即的半径为5米． 7．如图，将绕点逆时针旋转得到，阴影部分为线段扫过的区域，已知，，则阴影部分面积为（     ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出，根据旋转的性质得出，，根据，利用扇形面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴ ． 8．如图，为的直径，弦，连接，若，的半径为6，则的长为（     ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】连接，利用垂径定理的性质求得，再利用等边三角形的判定求出答案． 【详解】如图所示，连接， ∵为的直径，弦， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵的半径为6， ∴． 9．如图，是的半径，分别以点A、点O为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接是上不与点重合的点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，证明为等边三角形，可得，根据弧、圆心角的关系求出，再由圆周角定理解答即可． 【详解】解：连接， 作图知垂直平分， ∴，弧弧， 为等边三角形， ， 弧弧， ， ． 10．如图，内接于，是的直径，与相交于点M，且，若的半径为， ，则的值为（     ） A．12 B．20 C．24 D．28 【答案】C 【分析】过O作于E，连接，，，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，则可判断是等腰直角三角形，求出的度数，根据等腰三角形三线合一的性质求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，根据垂径定理和线段垂直平分线的性质可判定是等腰直角三角形，可求出，，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过O作于F，连接，，， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直径， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．如图，已知点，，在上，若，则 ______ 度． 【答案】 【分析】由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 12．如图，内接于，D是BC延长线上一点，将点D关于直线AC对称，对称点E恰好落在上，且，则______． 【答案】40 【分析】连接，设，，根据折叠的性质，三角形的外角的性质，圆周角定理，以及平行线的性质，推出，即可得出结果. 【详解】解：连接， ∵对称， ， 设，， ， ， ， ， ， ． ． 13．如图，是的直径，弦于点E，连接，若，，则的面积为____． 【答案】30 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上定理． 根据垂径定理和勾股定理求出直角三角形的两直角边长度，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵于点E，且是的直径， ∴， 由勾股定理得，， ∴的面积为， 故答案为：30． 14．以为直径的半圆上，点，的位置如图所示，若，则_____． 【答案】 【分析】连接，由题意得，由直角三角形两个锐角互余可得出，再由圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：连接， ∵为圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴． 15．如图，已知等边的边长为，以为直径的与边，分别交于，两点，则劣弧的长为__________． 【答案】 【分析】连接，证明都是等边三角形，再利用弧长公式求解即可； 【详解】解：连接， 等边的边长为，以为直径的与边，分别交于，两点， ，， 都是等边三角形， ∴， ， 故劣弧的长为； 16．如图，半径长，点A、B、C是的三等分点，点D为圆上一点，连接，且，交于点E，则的度数为_________． 【答案】/75度 【分析】连接，利用勾股定理的逆定理证明，则由圆周角定理得到，再由点A、B、C是三等分点，得到，即可利用三角形内角和定理求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ． ∵半径长， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 连接， ∵点A、B、C是三等分点， ∴, ∴， ∴． 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知，如图：的半径，弦．点在上交于点． (1)若，求线段的长． (2)若点在弦上运动，则的最大值________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，作于点，连接，，用垂径定理得到，算出长，在中利用勾股定理求出，由三个直角判定四边形为矩形，得到、长度，再在利用勾股定理求出，最后由求得； （2）沿用（1）的辅助线与矩形结论，设，，将整理为，由勾股定理得到，利用完全平方公式推出的最大值，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴； （2）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， 同（1）得，，四边形是矩形， 设，，则， ∴， 故求的最大值，只需求的最大值， 在中，，即， ∵，即， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴当且仅当时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为． 18．如图，是的直径，点C，点D在上，且，连接，连接交于点E，与过点A的切线相交于点F． (1)求证：； (2)若，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）推导出，，得到进而推导出，得到，即可解答； （2）连接，推导出为等边三角形，得到，则，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的直径，切于点A， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 19．如图，在中，，以为直径作，与相交于点D，连接，与相交于点E． (1)如图1，连接，求的度数； (2)如图2，若点D为的中点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质可知，在上任取一点G，连接，把放到圆内接四边形中求解即可； （2）由点D为AC的中点可证为等边三角形，进而确定出所在的扇形的圆心角度数，代入公式求解即可． 【详解】（1）解：如图1，在上任取一点G，连接． ，是的中点， ， ． , 在圆内接四边形中， ， ； （2）解：如图2，连接． ，D为的中点， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 的长为 20．如图，四边形内接于，平分，连接，延长至点，使，连接． (1)求证：； (2)若，，求值． 【答案】(1) 证明：平分， ． ∴ ． 四边形内接于 ． 又， ． 在和中 ； (2) 【分析】（1）根据角平分线定义得，．由圆内接四边形的性质得到，即可证得； （2）证明，即可得到值． 【详解】（1）略 （2） ，， ． ， ． 21．仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹）． (1)如图1，矩形的顶点都在圆O上，请找出圆心O． (2)如图2，以平行四边形边为直径的与边相交，请找出圆心O． 【答案】(1)如图所示，点O即为所求： (2)如图所示，点O即为所求： 方法一 方法二 【分析】（1）根据圆周角所对的弦是直径得到矩形的对角线都是直径，连接对角线交点即为圆心； （2）直线与分别交圆于点、，连接与交点即为圆心；由为直径可得，根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，最后根据圆周角所对的弦是直径得到是直径，直径与交点即为圆心． 【详解】（1）略 （2）略 22．综合与探究 如图，四边形为的内接四边形，连接，，为等边三角形，，． (1)求证：． (2)①尺规作图：过点作，交的延长线于点． ②求证：． (3)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①作图见解析②证明见解析 (3) 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、等边三角形的性质、圆周角定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、尺规作图、勾股定理、垂径定理；解题的关键是利用等边三角形和圆内接四边形的性质推导角度关系，通过角度相等证明三角形全等，进而找到边的关系． （1）利用等边三角形性质得弧相等，再根据圆周角定理证明角相等； （2）①尺规作图过点作平行线，利用全等三角形对应角相等，以及内错角相等，两直线平行的原理进行作图；②先通过平行线和圆内接四边形性质推导角度，证明，从而得边相等； （3）根据（2）得出的全等，证明为等边三角形，求出长度，过点作于，利用和，以及勾股定理，求出的长度，过点作于，利用垂径定理求出半径长度，再用弧长公式计算即可． 【详解】（1）∵为等边三角形 ∴ ∴ ∴ （2）①解：尺规作图如下： 步骤一：以点为圆心，任意长为半径作圆弧，交直线于点，交线段（或射线）于点； 步骤二：以点为圆心，以相同的长为半径作圆弧，交射线于点（使得，即点在射线上且等于步骤二中的半径）； 步骤三：以点为圆心，以线段的长为半径作圆弧，交步骤三中所作的圆弧于点（取与点位于直线相反侧的交点）； 步骤四：过点和点作直线，则直线即为所求的过点且平行于的直线，交的延长线于点． 原理：由作图可知，，故，内错角相等，所以 ． ②证明：∵为等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 ∵四边形为的内接四边形 ∴ ∵在和中 ∴ ∴ （3）解： 由（2）得 ∴， ∵ ∴为等边三角形 ∴ 如图，过点作于，过点作于 ∵，则 ∴ ∵在中， ∴ 又∵ ∴在中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵在中，设，则 ∴ 整理得 或（舍） ∴ ∴ 23．材料：梯形面积公式 梯形面积公式为 ，其中，为上底长，为下底长，为高．其推导方法有很多，其中一种方法是通过把梯形转化为两个三角形面积的差，并借助相似三角形的性质得到证明的． 如图，，对于梯形，上底，下底，高为，为了得到梯形的面积，延长和交于点，过点作于点并交于点，不难证明，则，所以， 材料：扇形面积公式 如图，半径为，圆心角为的扇形面积公式为 ，其中为弧长，而 弧长半径，形式上与 底高类似 材料：扇环 如图，扇环是指两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分，即图中阴影部分． (1)结合材料和材料的相关内容，类比猜想材料中扇环的面积 请用含有、和的代数式表示，其中的长度为，的长度为，线段的长为，即两个同心圆的半径之差，并证明你的猜想； (2)用一段长为米的篱笆围成一个如图所示的扇环形花园，线段的长为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)， 证明：设半径，圆心角，则， 由弧长计算公式得， ， ， 由扇形面积计算公式得 (2)当线段的长为时，花园的面积最大，最大面积是． 【分析】（1）根据弧长公式和扇形面积公式表示出对应弧长和扇形面积，注意到，以及，化简；（2）根据及得出，利用二次函数性质即可求出当时，花园的面积最大且面积是． 【详解】（1）略 （2）解：由对称性得， ， ， 当时，， 由二次函数的性质知当线段的长为时，花园的面积最大，最大面积是． 24．阅读材料：如图1，若点P是外的一点，线段交于点A，则长是点P与上各点之间的最短距离． 证明：延长交于点B，显然．如图2，在上任取一点C（与点A，B不重合），连接，． ，且，， ， 的长是点P与上各点之间的最短距离． 由此可得结论：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差． 请用上述结论解决下列问题． (1)如图3，在中，，，以为直径的半圆O交于D，P是弧上的一个动点，连接，求长的最小值． (2)如图4，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，点N是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接．求线段长的最小值． (3)如图5，已知正方形的边长为4，点G是以为直径的半圆O上的一动点，点P是边上另一动点，连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接与相交于点P，由题意得，此时最短，利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）由线段中点的定义可得，由折叠的性质可得，则点在为直径的圆上运动（右侧的半圆上）；连接交圆M于点Q，过点C作，交的延长线于点P，求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）作点D关于的对称点，连接，，设分别交于点N，交半圆O于点H，由轴对称的性质可得，，则可推出当点P与点N重合，点G与点H重合时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图3所示，连接与相交于点P，由题意得，此时最短， ∵的直径，且， ∴； ∵， ∴， ∴的最小值为； （2）解：∵四边形是边长为2的菱形， ∴，； ∵M是的中点， ∴， 由折叠的性质可得， ∵点N在线段上运动， ∴点在为直径的圆上运动（右侧的半圆上）； 连接交圆M于点Q，过点C作，交的延长线于点P，如图4所示， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，当点与点Q重合时，最短，最短为； （3）解：如图5所示，作点D关于的对称点，连接，， 设分别交于点N，交半圆O于点H， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∴由题意得，当点P与点N重合，点G与点H重合时，有最小值，最小值为的长； 如图5所示，过点作交的延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $