第10讲 用一元一次方程解决问题（10类必考题）优等生讲义 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

第10讲 用一元一次方程解决问题（10类必考题） 优等生讲义 2026-2027 苏科版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能从具体问题中找出相等关系，建立一元一次方程模型 · 掌握审题、设元、列方程、解方程、检验、作答的完整步骤 · 会识别销售、行程、工程、配套等常见应用题的等量关系 · 能用方程解决分段计费、方案选择等综合性问题 · 养成检验方程解是否符合实际意义的良好习惯 📚 知识梳理 ☆ 1.一元一次方程模型 只含一个未知数、未知数的次数都是1、等号两边都是整式的方程叫一元一次方程 使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解；解方程就是求这个解的过程 把实际问题中的数量关系用含有未知数的等式表示，就是建立方程模型 建模的关键是找准等量关系，并把其中的未知量用字母表示 概念辨析例题：下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A．x2=9　　B．2x+3=7　　C．=1　　D．x+y=5 解析：A中未知数次数为2，C中分母含未知数（不是整式方程），D中含有两个未知数，均不是一元一次方程；B只含一个未知数x且次数为1，是一元一次方程。 ☆ 2.列方程解应用题的步骤 审：读懂题意，弄清已知量与未知量，圈出关键句 设：设未知数，可直接设所求量为x，也可间接设中间量为x 列：根据等量关系列出方程 解：解方程求出未知数的值，并检验是否满足方程及实际意义 答：写出完整答案，注意单位 概念辨析例题：某商品按标价的八折出售，售价为240元，求该商品的标价。 解析：设标价为x元，八折即按0.8倍出售，依题意列方程0.8x=240，解得x=300。检验：300×0.8=240，符合题意。 ☆ 3.常见等量关系 和差倍分：较大数=较小数+差；几倍关系用乘法表示；总量=各部分之和 行程：路程=速度×时间；相遇时两人路程和=总路程；追及时路程差=初始距离 利润：售价−进价=利润；利润率=利润÷进价；售价=标价×折扣 工程：工作量=工作效率×工作时间；合作时工作效率相加；常把总工作量看作1 概念辨析例题：甲、乙两地相距120km，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60km，几小时到达？ 解析：设x小时到达，由路程=速度×时间得60x=120，解得x=2。检验：60×2=120，符合题意。 ☆ 4.常见题型的识别与策略 销售类：围绕进价、售价、利润、折扣四个量找等量关系 配套类：按“一个配几个”列出数量之间的比例关系 分段计费类：先分段再汇总，注意各段计费标准不同 方案选择类：分别列出各方案费用，比较大小后作出选择 概念辨析例题：某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排多少名工人生产螺钉？ 解析：设安排x名工人生产螺钉，则(26−x)名生产螺母。依配套关系：螺母数=2×螺钉数，得1000(26−x)=2×800x，解得x=10。检验：10×800=8000，16×1000=16000=2×8000，符合题意。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 一元一次方程 只含一个未知数、次数为1的整式方程 ax+b=c 中 a≠0；分母不能含未知数 列方程步骤 审、设、列、解、验、答 等量关系是关键，设元可直可间 行程问题 路程=速度×时间 相遇看路程和，追及看路程差 利润问题 售价−进价=利润；利润率=利润÷进价 折扣是标价的百分比，注意利润率基数 工程问题 工作量=效率×时间 合作效率相加；总工作量常设为1 配套问题 各部件数量成固定比例 用“一个配几个”列比例方程 ⚠️ 核心考点 【考点1】和、差、倍、分型应用题（第1-8题） · 找出表示和、差、倍、分关系的关键句，如“多”“少”“是几倍”“比…少几” · 设较小量为x，则较大量用含x的式子表示（x+差、kx、等） · 把“总数=各部分之和”作为列方程的主要等量关系 · 年龄、连续数问题中，常以“n年后年龄都增加n岁”列方程 1．幻方是一种古老的数学游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和都相等．图1是一个幻方，图2是一个未完成的幻方，则2x﹣y是（　　） A．20 B．21 C．22 D．23 2．把1﹣9这9个数填入3×3的正方形方格中，不管是把横着的3个数相加，还是把竖着的3个数相加，或者把斜着的3个数相加，3个数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图①），是世界上最早的“幻方”．图②是仅可以看到部分数的“九宫格”，其中x的值为（　　） A．1 B．3 C．4 D．7 3．某同学粗心大意，计算多项式乘法时，把等式（x2+3x+9）（x﹣△）＝x3﹣■中的两个数弄污了，则式子中的△，■分别是（　　） A．﹣2，8 B．3，﹣27 C．2，﹣8 D．3，27 4．一个三角形三条边的比是2：4：5，最长边比最短边长6cm，则这个三角形的周长为（　　） A．20cm B．23cm C．24cm D．22cm 5．Δ，⊕各代表一个数，Δ+⊕+⊕＝25，Δ＝⊕+⊕+⊕，则Δ+Δ+⊕的值为_______ ． 6．将﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4这九个数填入下面的3×3方格中，使得每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等． ﹣4 ﹣2 ﹣3 则中间一格应填_____ ． 7．狼人杀是一款策略类游戏，狼人可以在黑夜吞噬一名玩家，其他角色需要在白天通过整理信息、逻辑推理找出狼人．在一场对局中，A、B、C、D分别是狼人、预言家、守卫、平民这四种角色中的一种．A说：“我不是狼人．”B说：“D是狼人．”C说：“B是狼人．”D说：“我不是狼人．” 他们中只有一个人没有说真话，你认为_____ 是狼人． 8．元旦节那天，某茶社来了25位老人品茶．他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000．其中年龄最大的老人今年为 _______ 岁． 【考点2】等积变形类应用题（第9-11题） · 等积变形的本质是变形前后体积（面积）保持不变 · 分别表示变形前后的体积（面积），用“=”连接列方程 · 圆锥体积公式 V=πr2h，圆柱、长方体体积公式要记牢 · 涉及比例（如长宽比）时先设一份为x，再表示长和宽 9．小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为3：2的矩形．若墙上投影画面的短边长为1.2米，则投影画面的长边长为_________ ． 10．有一个长方形，长和宽的比是3：2，如果长增加5厘米，宽不变，这个新长方形的周长是60厘米．原来长方形的面积是多少？ 11．学校建有校园雨水回收系统，屋顶集水面积为240m2，已知降雨量1mm落在1m2屋顶上相当于1L水．每场雨开始的前2mm雨水要被弃流，之后雨水的75%能进入容量为3000L的储水箱．降雨前箱内已有420L水，本场降雨量为18mm． （1）本场雨实际有多少升水流入储水箱？ （2）降雨结束后箱内实际有多少升水？有多少升水因水箱已满而溢出？ （3）随后连续5天无雨．原计划每天用460L浇灌，且第1、3、5天还要各用120L清洗设备．第5天用水后至少要保留500L应急水．清洗用水不变，若每天浇灌量按相同的整百分数降低，至少应降低百分之几？ 【考点3】工程类应用题（第12-13题） · 总工作量常看作1，则效率= · 合作完成时：甲效率+乙效率=总效率，时间×效率=工作量 · 分段施工时把各部分工作量相加等于总工作量1 · 注意“先由谁做、再由谁做”的顺序关系 12．某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划多植树20棵，实际植树800棵所需时间与原计划植树600棵所需时间相同．设实际每天植树x棵，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 13．某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案： ①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工； ②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天； ③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是 ____________ ． 【考点4】销售类应用题（第14-17题） · 牢记三个基本量：进价、售价、利润（利润=售价−进价） · 利润率=利润÷进价×100%，不要与利润率=利润÷售价混淆 · 售价=标价×折扣（如八折即0.8倍） · 两件或多件商品分别计算盈亏，再求总盈亏 14．某商店出售两件商品，售价都为120元，其中一件赚20%，而另一件亏20%，则这家商店盈亏情况是（　　） A．赚10元 B．亏10元 C．赚8元 D．亏8元 15．某品牌空调按单价3200元出售，毛利率为25%（售价×毛利率＝售价﹣进价）．现商家让利销售，使毛利率降为20%，则售价应调整为（　　） A．1920元 B．2400元 C．3000元 D．4000元 16．某商品标价300元，按标价的八折销售，仍然可获利20%，则该商品的进价为 _________ ． 17．春节期间，“绵阳百盛商店”进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照20%的利润定价，然后又打八折出售． （1）商品A成本是120元，商品A最后应卖多少元？ （2）商品B卖出后，亏损了128元，商品B的成本是多少元？ （3）商品C和D两件商品同时卖出后，结果共亏损了60元．若C的成本是D的2倍，则C、D成本分别是多少元？ 【考点5】比赛类应用题（第18-19题） · 比赛得分类：胜/对得分−负/错扣分=总分，注意“错扣”的减法 · 设做对x道，则做错（或不做）的数量用总数−x表示 · 联赛积分：胜场×胜分+负场×负分=总积分，场数之和=总场数 · 按“得分不低于/不超过”列不等式时注意取整 18．小明在一次数学比赛中得了86分，这次比赛一共有20道题，做对一道得5分，做错一道或不做扣2分，小明做对了（　　）道题． A．19 B．18 C．17 D．16 19．高校举行大学生篮球联赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，山大队要想在前15场比赛中得分不低于33分．则该队至少要胜_____ 场． 【考点6】行程类应用题（第20-25题） · 基本关系：路程=速度×时间，三个量知二求一 · 相遇问题：甲路程+乙路程=总路程（同时出发时间相等） · 追及问题：快的路程−慢的路程=初始距离 · 火车过桥：完全通过的总路程=车长+桥长；完全在桥上的路程=桥长−车长 20．现在有一面10尺厚的墙，大小两只老鼠分别沿垂直于墙的方向从两面相对着打洞，三天刚好打通．第一天两只老鼠都打相同距离的洞，从第二天开始，大老鼠每天打洞的距离是前一天的2倍，小老鼠每天打洞的距离是前一天的一半，第三天结束，洞刚好被打通．小老鼠第一天打洞的距离为（　　） A．尺 B．尺 C．1尺 D．尺 21．如图，跑道由两个半圆部分AB，CD和两条直跑道AD，BC组成，两个半圆跑道的长都是122m，两条直跑道的长都是85m．小斌站在C处小强站在B处，两人同时逆时针方向跑步，小斌每秒跑7m，小强每秒跑12m．当小强第一次追上小斌时，他们的位置在（　　） A．半圆跑道AB上 B．直跑道BC上 C．半圆跑道CD上 D．直跑道AD上 22．已知某座桥长800米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全通过共用了1分钟，这列火车完全在桥上的时间为40秒，则火车的速度是（　　） A．20米/秒 B．18米/秒 C．16米/秒 D．15米/秒 23．小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米，_______ 分钟能追上． 24．如图，已知正方形ABCD的边长是2，点E是CD边上的中点．动点P从点A出发，沿A→B→C→E运动，到达点E时停止运动．若点P经过的路程为自变量x，△APE的面积为因变量y，则当时，x的值为____________________ ． 25．如图，在数轴上依次有A，O，B三点，点A，O，B对应的数字分别为a，0，b．已知AB＝10，． （1）求a，b的值； （2）一动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向终点B运动，1秒钟后，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度向终点A运动，点P，点Q到达终点后停止运动．设点P运动的时间为t秒（t＞0），当点P与点Q相遇时，求出此时t的值． 【考点7】环形跑道与时钟问题（第26-29题） · 环形跑道同向出发：每追上一次多跑一圈（周长） · 环形跑道反向出发：相遇一次合跑一圈 · 钟面角：分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，速度差5.5°/分 · 用“角度差=起始夹角差”列方程求时间，注意一天内两针重合/垂直的次数 26．某人下午6点多外出时，看手表两指针的夹角为110°，下午7点前回家发现两指针的夹角仍为110°，则他外出的时间为（　　） A．30min B．35min C．40min D．45min 27．某时刻，时针与分针所成的角为90°，经过 _______ 分钟之后，时针与分针第二次成90°的角．（结果四舍五入到整数） 28．甲、乙两同学从400米环形跑道上的某一点背向出发，分别以每秒2米和每秒3米的速度慢跑．6秒钟后，一只小狗从甲处以每秒6米的速度向乙跑，遇到乙后，又从乙处以每秒6米的速度向甲跑，如此往返直至甲、乙第一次相遇，那么小狗共跑了 ________ 米． 29．钟表是我们日常生活中常用的计时工具．如图，在圆形钟面上，把一周等分成12个大格，每个大格等分成5个小格，分针OP和时针OQ均绕中心O匀速转动．（本题中的角均指小于180°的角）， （1）分针每分钟转 _____ 度，时针每分钟转 ________ 度，当时间为3：30时，分针和时针的夹角为 _______ 度； （2）求2：00开始后几分钟分针第一次追上时针； （3）点A为4点钟的位置，OM平分∠AOP，ON平分∠AOQ，从4：00开始计时，t分钟后（t＜60），∠MON＝45°，求t的值． 【考点8】方案选择类问题（第30-37题） · 先分别列出各方案的表达式（费用、数量等） · 令两个方案相等，求出“临界值”再分段比较大小 · 分段计费：按各段标准分别计算后相加 · 结合不等式确定方案取舍，注意结果取整数 30．某电信公司有A、B两款移动收费方案，如图展示了每个月通话时长x（分钟）和对应方案费用y（元）的关系，下列说法正确的是（　　） ①若通话时间少于120分钟，则A方案比B方案始终便宜10元； ②两种方案永远不可能在某一通话时刻费用相同； ③在通话时间超过200分钟时，A方案的费用始终高于B方案的费用． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 31．活动课上，老师将43个苹果分给各小组，每组8个，还有剩余；每组9个，却又不够，则活动小组有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 32．《个人所得税条例》规定，公民工资每月不超过800元者不必纳税，超过800元的部分按超过金额分段纳税，详细税率如表，某人12月份纳税80元，则该人月薪为（　　） 月应纳税金额 税率（%） 0～500元 5 500～2000元 10 2000～5000元 15 … … A．1900元 B．1600元 C．1850元 D．1050元 33．A，B两种食品的营养成分如图所示，选取A，B食品共4份，要使蛋白质总含量不低于6g，且总能量最低，则应选A食品_____ 份． 34．某商品的进价是1000元，售价为1500元，由于销售情况不好，商店决定打折出售，但又要保证利润率不低于20%，那么商店最多打 _____ 折出售此商品． 35．某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下： 阶梯 户月用水量（m3） 收费标准（元/m3） 第一阶梯 不超过15m3 3 第二阶梯 超过15m3，但不超过25m3 4 第三阶梯 超过25m3的部分 7 （1）小明家2月份用水量为20m3，应缴纳水费_______ 元； （2）已知小红家3月份共缴纳水费120元，那么小红家3月份用水量是_______ m3； 36．某书店为促销某种经典名著，按购买数量分三部分制定阶梯售价，如下表： 购买数量 单价 不超过200本的部分 15元/本 超过200本但不超过400本的部分 12元/本 超过400本的部分 9元/本 （1）若购买200本这种经典名著，则需花费_________ 元；若购买400本这种经典名著，则需花费_________ 元； （2）若甲学校为丰富图书馆藏书，花了4416元从该书店购买这种经典名著，则该校购买了多少本经典名著？ （3）若乙学校先为初一学生购买一批经典名著作为课外读物，后来又为初二学生追加购买了一批，两次共购买了800本，其中第一次购买的数量超过400本，两次共花费10755元，则第一次购买的数量为多少本？ 37．某商场改造部分停车位为充电停车位，分别花费5万元和8万元购进A，B两款充电桩，已知A款充电桩的单价比B款充电桩的单价高0.1万元，且购进B款充电桩的数量是A款充电桩的数量的2倍． （1）分别求A，B两款充电桩的单价； （2）该商场调研发现，现有改造的充电停车位已不能满足新能源汽车的充电需求，决定再用不多于9.58万元的资金购进A，B两款充电桩共20个，求此次可购进A款充电桩的数量的最大值． 【考点9】储蓄、利息问题（第38题） · 利息=本金×利率×期数（存期），本息和=本金+利息 · 注意利率的期限与存期单位一致 · 所得利息=利息×（1−税率）时，先明确是否扣税 · “用所得利息购买…”类型的题，把利息与购买价比较 38．妈妈把20000元存入银行，定期三年，年利率是4.25%，三年后用所得利息买一部价值2300元的手机，利息还剩多少钱？（　　） A．250 B．850 C．2550 【考点10】产品配套问题（第39-45题） · 找出“一个配几个”的配套比例，如1个螺钉配2个螺母 · 设其中一个部件的人数为x，另一部件人数=总数−x · 按比例列方程：乙部件产量=k×甲部件产量（k为配套比） · 检验时把x代入，验证配套比例是否恰好满足 39．七年级（1）班课外手工制作小组30名学生制作纸飞机模型，每人每小时可做20个机身或60个机翼，一个飞机模型要一个机身配两个机翼，为了使每小时制作的成品刚好配套，应该分配多少名学生做机身，多少名学生做机翼？设分配x名学生做机身，则可列方程（　　） A．20x＝60（30﹣x） B．20x＝2×60（30﹣x） C．2×20x＝60（30﹣x） D．60x＝20（30﹣x） 40．某车间有90名工人生产螺丝与螺母，平均每人每天生产50个螺丝或80个螺母，要使每天生产的螺丝和螺母按1：2配套，如果有m人生产螺丝，根据题意可列方程为（　　） A．80m＝2×50×（90﹣m） B．2×50m＝80×（90﹣m） C．2×80m＝50×（90﹣m） D．50m＝2×80×（90﹣m） 41．用铝片做听装饮料瓶，现有200张铝片，每张铝片可制瓶身16个或制瓶底45个，一个瓶身和两个瓶底可以配成一套，为使瓶身和瓶底刚好配套，则需多少张铝片制瓶身？若设用x张铝片制瓶身，则下面所列方程正确的是（　　） A．2×16x＝45（200﹣x） B．16x＝45（200﹣x） C．16x＝2×45（200﹣x） D．16x＝45（100﹣x） 42．某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，一个螺钉需要配两个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排_______ 名工人生产螺钉． 43．某车间有66名工人，每名工人一天能生产甲种零件24个或生产乙种零件15个，而甲种零件3个，乙种零件5个配成一套机件，请合理分配所有工人，使得每天生产的零件刚好配套，则每天可生产 ________ 套． 44．太原某家具加工厂有15名木工加工桌子和椅子，一张桌子配4把椅子，已知每名木工一天能加工3张桌子或者6把椅子，若安排x名木工加工桌子，其余木工加工椅子，恰好一天加工的桌子能与椅子配套，则可列方程 _________________ ． 45．某车间加工螺钉和螺母，当螺钉和螺母恰好配套（一个螺钉配一个螺母）时就可以运进库房．若一名工人每天平均可以加工螺钉120个或螺母96个，该车间共有工人81名．问应怎样分配人力，才能使每天生产出来的零件及时包装运进库房？ 💯 课后巩固 复习建议 · 审题时先用笔圈出等量关系句，把已知量与未知量列表整理 · 设元时优先设所求量；若直接设元困难，可用间接设元（设中间量） · 解出方程后务必检验：先代入方程，再验证是否符合实际意义 · 涉及单位换算（分钟/小时、厘米/米）时先统一单位再列方程 · 方案选择、分段计费题注意分类讨论，画出表格辅助比较 【作业 1】甲、乙两人身上带的钱数之比是7：3，甲给乙5元后，变成13：7．那么，甲、乙两人共有________ 元． 【作业 2】我国古代《孙子算经》记载了这样一个数学问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，五人步．问车有几何？”意思是：每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有5人无车可乘，问车辆有多少？若设车辆数为x，则可列方程为 ________________ ． 【作业 3】将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． （1）十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ （2）设中间数为a，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？ （3）若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？ （4）十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？ 【作业 4】把一块长3.14厘米，宽20厘米，高4厘米的长方体钢锭熔铸成底面半径是4厘米的圆锥，圆锥的高是多少厘米？（损耗不计） 【作业 5】中国基础建设快速发展，各地修建了许多高速公路，带动了当地的经济发展．某公司主营高速公路建设施工，高速公路施工包括平地施工、隧道施工和桥梁施工．近期，该公司承接了一条长420千米的高速公路施工，已知该高速公路施工中有255千米是平地施工，桥梁施工里程比隧道施工里程的3倍少15千米． （1）桥梁施工和隧道施工的里程分别是多少千米？ （2）经测算，该公司完成桥梁施工的时间比完成隧道施工的时间少20%，每天完成的桥梁施工里程比隧道施工里程多千米，求该公司完成隧道施工的时间． 【作业 6】某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 （1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折促销，若在本次销售过程中超市共获利2350元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 【作业 7】某校组织了“快乐学数学”知识竞赛，在必答题环节，共设10道选择题，各题分值相同．下表记录了3名同学该环节的得分情况： 参赛者 答对题目 答错题目 得分 甲 4 6 10 乙 10 0 100 丙 5 5 25 （1）答对一题和答错一题分别得多少分？ （2）若丁同学得了70分，则他答对几道题？ 【作业 8】把步行的步长记作p米，平均每分钟的步数记作n步，用公式来刻画一个人的步行情况．一次步行，儿子跟着父亲同时同地开始出发，同时同地结束步行，父亲平均每分钟走70步，儿子的计步器显示此次步行共走了5250步，已知k＝140适用于父亲的步行． （1）求父亲的步长． （2）若此次步行恰好用了1小时，请推导适用于儿子步行的公式中k的值． （3）研究表明，当k值在120至150之间时，步行最为健康．若父亲保持步长不变，想通过调整每分钟步数使k值达到最优健康值130；儿子保持每分钟步数不变，想通过调整步长使k值同样达到130．请分别求出父亲需要调整后的每分钟步数以及儿子需要调整后的步长，并判断父子二人能否在一次新的同步步行（同时同地出发并同时同地结束）中同时达到各自的最优健康k值，请说明理由． 【作业 9】小月与小方分别驾车从人民广场，到净月潭．两人同时出发，小月走A线路，全程20km，小方走B线路，全程18km，小方的平均速度是小月的1.2倍，结果小方比小月早到6分钟，问小月每小时走多少千米？ 【作业 10】一天早晨，小华和爸爸在1000米的环形跑道上跑步，他们8点整时在同一地点沿着同一方向同时出发，小华跑了半圈时，看到爸爸刚好跑完一圈，8点零8分时爸爸第一次追上小华． （1）求小华和爸爸的跑步速度； （2）爸爸第一次追上小华后，在第二次相遇前，再经过多少分，小华和爸爸相距150米？ 【作业 11】随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价高500元，购买3台甲型健身器材的费用比购买4台乙型健身器材的费用少1000元． （1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元？ （2）随着设备的更新换代，甲、乙两种型号的健身器材的单价均上涨了，且上涨的金额相同，上涨后用64000元购买甲型健身器材的数量和用54000元购买乙型健身器材的数量相同，求甲型健身器材的单价上涨了多少元？ 【作业 12】根据图中情景，解答下列问题： （1）购买8根跳绳需 ________ 元；购买12根跳绳需 ________ 元； （2）购买m根跳绳需多少元？（请你用含有m的式子表示） （3）小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少7元，你认为这种情况有可能吗？请利用方程知识说明理由． 【作业 13】小明和同学们在一家拉面馆用餐，下表为拉面馆的部分菜单： 套餐种类 A套餐 B套餐 C套餐 配餐 牛肉拉面 牛肉拉面+1份青菜 牛肉拉面+1份青菜+1杯饮料 价格（元） 18 26 30 优惠活动 消费满100元，减10元 消费满200元，减20元 消费满300元，减30元 … 小明负责统计同学们的点餐情况，一次性点好，已知他们所点的套餐共有13份牛肉拉面，x份青菜和6份饮料． （1）他们共点了 __________ 份B套餐；（用含x的式子表示）； （2）若他们套餐共买8份青菜，求实际花费多少元； （3）若他们点套餐优惠后实际花费了300元，请通过计算分析他们点的套餐是如何搭配的． 【作业 14】某车间生产的一套产品由3个A型部件和4个B型部件组成，该车间现有40个工人，每个工人每天能加工3个A型部件或6个B型部件．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种部件，并要求每天加工的A、B型部件数量正好组成若干套该产品． （1）按照这样的生产方式，该车间每天能配套生产组成多少套该产品？ （2）春节后工厂补充20名新工人，这些新工人只能独立进行B型部件的加工，且每人每天只能加工4个B型部件，则补充新工人后每天能配套生产多少套该产品？ 【作业 15】一车间加工轴杆和轴承，每名工人每天平均可以加工轴杆12根或者轴承16个，1根轴杆与2个轴承为一套，该车间共有90名工人； （1）应该怎样调配，多少名工人加工轴杆，多少名工人加工轴承，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套？ （2）由于急需，又从二车间抽调12名具有相同能力的工人来一车间；问能安排这些新来的工人加工轴杆、轴承，使每天生产的轴承和轴杆正好配套？ 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 用一元一次方程解决问题（10类必考题） 优等生讲义 2026-2027 苏科版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能从具体问题中找出相等关系，建立一元一次方程模型 · 掌握审题、设元、列方程、解方程、检验、作答的完整步骤 · 会识别销售、行程、工程、配套等常见应用题的等量关系 · 能用方程解决分段计费、方案选择等综合性问题 · 养成检验方程解是否符合实际意义的良好习惯 📚 知识梳理 ☆ 1.一元一次方程模型 只含一个未知数、未知数的次数都是1、等号两边都是整式的方程叫一元一次方程 使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解；解方程就是求这个解的过程 把实际问题中的数量关系用含有未知数的等式表示，就是建立方程模型 建模的关键是找准等量关系，并把其中的未知量用字母表示 概念辨析例题：下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A．x2=9　　B．2x+3=7　　C．=1　　D．x+y=5 解析：A中未知数次数为2，C中分母含未知数（不是整式方程），D中含有两个未知数，均不是一元一次方程；B只含一个未知数x且次数为1，是一元一次方程。 ☆ 2.列方程解应用题的步骤 审：读懂题意，弄清已知量与未知量，圈出关键句 设：设未知数，可直接设所求量为x，也可间接设中间量为x 列：根据等量关系列出方程 解：解方程求出未知数的值，并检验是否满足方程及实际意义 答：写出完整答案，注意单位 概念辨析例题：某商品按标价的八折出售，售价为240元，求该商品的标价。 解析：设标价为x元，八折即按0.8倍出售，依题意列方程0.8x=240，解得x=300。检验：300×0.8=240，符合题意。 ☆ 3.常见等量关系 和差倍分：较大数=较小数+差；几倍关系用乘法表示；总量=各部分之和 行程：路程=速度×时间；相遇时两人路程和=总路程；追及时路程差=初始距离 利润：售价−进价=利润；利润率=利润÷进价；售价=标价×折扣 工程：工作量=工作效率×工作时间；合作时工作效率相加；常把总工作量看作1 概念辨析例题：甲、乙两地相距120km，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60km，几小时到达？ 解析：设x小时到达，由路程=速度×时间得60x=120，解得x=2。检验：60×2=120，符合题意。 ☆ 4.常见题型的识别与策略 销售类：围绕进价、售价、利润、折扣四个量找等量关系 配套类：按“一个配几个”列出数量之间的比例关系 分段计费类：先分段再汇总，注意各段计费标准不同 方案选择类：分别列出各方案费用，比较大小后作出选择 概念辨析例题：某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排多少名工人生产螺钉？ 解析：设安排x名工人生产螺钉，则(26−x)名生产螺母。依配套关系：螺母数=2×螺钉数，得1000(26−x)=2×800x，解得x=10。检验：10×800=8000，16×1000=16000=2×8000，符合题意。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 一元一次方程 只含一个未知数、次数为1的整式方程 ax+b=c 中 a≠0；分母不能含未知数 列方程步骤 审、设、列、解、验、答 等量关系是关键，设元可直可间 行程问题 路程=速度×时间 相遇看路程和，追及看路程差 利润问题 售价−进价=利润；利润率=利润÷进价 折扣是标价的百分比，注意利润率基数 工程问题 工作量=效率×时间 合作效率相加；总工作量常设为1 配套问题 各部件数量成固定比例 用“一个配几个”列比例方程 ⚠️ 核心考点 【考点1】和、差、倍、分型应用题（第1-8题） · 找出表示和、差、倍、分关系的关键句，如“多”“少”“是几倍”“比…少几” · 设较小量为x，则较大量用含x的式子表示（x+差、kx、等） · 把“总数=各部分之和”作为列方程的主要等量关系 · 年龄、连续数问题中，常以“n年后年龄都增加n岁”列方程 1．幻方是一种古老的数学游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和都相等．图1是一个幻方，图2是一个未完成的幻方，则2x﹣y是（　　） A．20 B．21 C．22 D．23 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】根据幻方中每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和都相等，列出方程计算即可求解． 【解答】解：如图，设最中间的数为m，第一列最下方的数为n， 根据题意，x+18+23＝x+m+21， ∴m＝20， ∴x+24+n＝n+20+23， ∴x＝19， ∴19+20+21＝23+y+21， 解得y＝16， ∴2x﹣y＝2×19﹣16＝22． 故选：C． 【点评】本题考查幻方中的数字规律，找出数量关系是解决本题的关键． 2．把1﹣9这9个数填入3×3的正方形方格中，不管是把横着的3个数相加，还是把竖着的3个数相加，或者把斜着的3个数相加，3个数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图①），是世界上最早的“幻方”．图②是仅可以看到部分数的“九宫格”，其中x的值为（　　） A．1 B．3 C．4 D．7 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】根据题意列出方程进行求解即可． 【解答】解：由题意得：8+x＝6+5， 解得：x＝3， ∴其中x的值为3， 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，正确识图是解题的关键． 3．某同学粗心大意，计算多项式乘法时，把等式（x2+3x+9）（x﹣△）＝x3﹣■中的两个数弄污了，则式子中的△，■分别是（　　） A．﹣2，8 B．3，﹣27 C．2，﹣8 D．3，27 【考点】多项式乘多项式． 【分析】设△代表m，■代表n，然后利用多项式乘多项式的运算法则进行计算求解． 【解答】解：设△代表m，■代表n， 左边＝（x2+3x+9）（x﹣m） ＝x3﹣mx2+3x2﹣3mx+9x﹣9m ＝x3+（3﹣m）x2+（9﹣3m）x﹣9m， 又由题意可得，右边＝x3﹣n， 对比左右两边可得，3﹣m＝0，9m＝n， 解得：m＝3，n＝27， ∴△代表3，■代表27， 故选：D． 【点评】本题考查多项式乘多项式的计算，掌握多项式乘多项式的运算法则，通过对比结果发现多项式乘法的化简结果中二次项系数和一次项系数为零是解题关键． 4．一个三角形三条边的比是2：4：5，最长边比最短边长6cm，则这个三角形的周长为（　　） A．20cm B．23cm C．24cm D．22cm 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】设三角形三边分别为2xcm、4xcm、5xcm，由最长边比最短边长6cm，列方程即可求解． 【解答】解：设三角形三边分别为2xcm、4xcm、5xcm． 则：5x﹣2x＝6， 解得：x＝2， ∴三角形三边分别为4cm、8cm、10cm， ∴这个三角形的周长为4+8+10＝22（cm）． 故选：D． 【点评】此题要掌握有比例出现的题目的未知数得设法，设一份为x，这是此类题目求解的关键． 5．Δ，⊕各代表一个数，Δ+⊕+⊕＝25，Δ＝⊕+⊕+⊕，则Δ+Δ+⊕的值为　35　 ． 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】将Δ＝⊕+⊕+⊕代入Δ+⊕+⊕＝25求出⊕的值，进而求出Δ的值，即可求出Δ+Δ+⊕的值． 【解答】解：∵Δ+⊕+⊕＝25，Δ＝⊕+⊕+⊕， ∴将Δ＝⊕+⊕+⊕代入Δ+⊕+⊕＝25得：⊕+⊕+⊕+⊕+⊕＝25， 解得：⊕＝5， ∴Δ＝⊕+⊕+⊕＝5+5+5＝15， ∴Δ+Δ+⊕＝15+15+5＝35， 故答案为：35． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是利用已知条件△＝⊕+⊕+⊕，将△+⊕+⊕＝25中△的用⊕表示出来，从而求出⊕的值，再求出△的值，最后计算△+△+⊕的值． 6．将﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4这九个数填入下面的3×3方格中，使得每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等． ﹣4 ﹣2 ﹣3 则中间一格应填　0　 ． 【考点】一元一次方程的应用；正数和负数． 【分析】九个数填满三行，故三行之和＝九数之和＝0；又每行相等，得每行（每列、每对角线）之和都是0，即这个九宫格的幻和为0．要找中间格，就专看经过中间格的线，即中间行、中间列、两条对角线，共四条．把这四条线求和，同一个量用两种方式算：①按格子算：其余八数各出现1次、中间格出现4次，和为0+3e；②按线算：4S＝0．两式相等，得3e＝0，故e＝0． 【解答】解：设每行、每列、每条对角线上的和都等于S， 九个数全部填入方格，恰好排成三行，而每行之和都是S， 所以S+S+S＝（﹣4）+（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2+3+4＝0， ∴3S＝0，即S＝0， 即每行、每列、每条对角线的和都等于0， 设中间一格填e， 把中间一行、中间一列、两条对角线，这四条线相加， 此时四条线上共有12个位置，除中间格外，其余八个数各被算了一次， 中间格被算四次， 所以这四条线之和＝（九个数总和）+3e＝0+3e， 另一方面，每条线的和都是S＝0， 即四条线之和＝4S＝0， 故0+3e＝0， ∴3e＝0 ∴e＝0， 故答案为：0． 【点评】本题主要考查了三阶幻方中整体求和与算两次（同一量两种算法）的思想，抓住经过中心格的四条线建立等式是解题的关键．本题的巧妙之处在于不必先填满六个空格，只需盯住中心格——中心格在四条线上被重复计算了3次，正是这一重复让未知量e单独暴露出来，一步得解．这体现了从整体切入、以重复计数列等式的通法． 7．狼人杀是一款策略类游戏，狼人可以在黑夜吞噬一名玩家，其他角色需要在白天通过整理信息、逻辑推理找出狼人．在一场对局中，A、B、C、D分别是狼人、预言家、守卫、平民这四种角色中的一种．A说：“我不是狼人．”B说：“D是狼人．”C说：“B是狼人．”D说：“我不是狼人．” 他们中只有一个人没有说真话，你认为B 是狼人． 【考点】推理与论证． 【分析】通过分析四人的话语，利用矛盾关系来找出没有说真话的人所在范围，进而结合其他人的真话判断出狼人是谁． 【解答】解：已知B说：“D是狼人．”，D说：“我不是狼人．”．这两人对于D是否为狼人给出了完全相反的说法．因为题目中明确只有一个人没有说真话，所以可以确定没有说真话的人就在B和D之中．由于没有说真话的人在B和D之中，那么A和C说的都是真话．而C说：“B是狼人．”，因为C说的是真话，所以可以得出B就是狼人． 故答案为：B． 【点评】本题结合狼人杀游戏，考查推理能力． 8．元旦节那天，某茶社来了25位老人品茶．他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000．其中年龄最大的老人今年为 　90　 岁． 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】先求出25位老今年的年龄和，设年龄居中的老人是n岁，根据等量关系列方程，解方程即可． 【解答】解：根据题意可知，两年以后，每位老人都增加了2岁，即增加的年龄和是2×25＝50（岁）， 那么25位老人今年的年龄和是：2000﹣50＝1950（岁）． 设年龄居中的老人是n岁， 由题意可得：（n﹣12）+（n﹣11）+⋯+（n﹣1）+n+（n+1）+⋯+（n+11）+（n+12）＝1950， 整理，得：25n＝1950， 解得n＝78， 那么最大的老人今年的岁数是n+12＝78+12＝90（岁）， 故答案为：90． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 【考点2】等积变形类应用题（第9-11题） · 等积变形的本质是变形前后体积（面积）保持不变 · 分别表示变形前后的体积（面积），用“=”连接列方程 · 圆锥体积公式 V=πr2h，圆柱、长方体体积公式要记牢 · 涉及比例（如长宽比）时先设一份为x，再表示长和宽 9．小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为3：2的矩形．若墙上投影画面的短边长为1.2米，则投影画面的长边长为　1.8m ． 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】投屏后画面形状保持不变，投影矩形与原屏幕矩形为相似图形，对应边成比例，根据原矩形边长比列比例式即可求解投影长边长． 【解答】解：∵投影矩形与原屏幕矩形相似，对应边成比例， 设投影画面的长边长为xm， 依题意得：长边：短边＝3：2，即， 解得：x＝1.8， ∴投影画面的长边长为1.8m， 故答案为：1.8m． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，依据等量关系列出一元一次方程是解答本题的关键． 10．有一个长方形，长和宽的比是3：2，如果长增加5厘米，宽不变，这个新长方形的周长是60厘米．原来长方形的面积是多少？ 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】设原长方形的长是3a厘米，则宽是2a厘米，长增加5厘米就是（3a+5）厘米，宽不变，则现在的周长为（3a+5+2a）×2＝60，求得a的值，进一步解答即可得解． 【解答】解：设原长方形的长是3a厘米，则宽是2a厘米， 依题意得：（3a+5+2a）×2＝60， 解得：a＝5， ∴原长方形长为：3×5＝15（cm），宽为：2×5＝（10）cm， ∴面积为：15×10＝150（cm2）， 答：原来长方形的面积是150cm2． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，列出一元一次方程是解答本题的关键． 11．学校建有校园雨水回收系统，屋顶集水面积为240m2，已知降雨量1mm落在1m2屋顶上相当于1L水．每场雨开始的前2mm雨水要被弃流，之后雨水的75%能进入容量为3000L的储水箱．降雨前箱内已有420L水，本场降雨量为18mm． （1）本场雨实际有多少升水流入储水箱？ （2）降雨结束后箱内实际有多少升水？有多少升水因水箱已满而溢出？ （3）随后连续5天无雨．原计划每天用460L浇灌，且第1、3、5天还要各用120L清洗设备．第5天用水后至少要保留500L应急水．清洗用水不变，若每天浇灌量按相同的整百分数降低，至少应降低百分之几？ 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】（1）先计算弃流后的有效降雨量，结合集水面积与雨水收集比例，计算流入储水箱的水量； （2）用原有水量加上流入水量，与水箱容量比较，得出箱内实际水量与溢出水量； （3）根据第5天用水后至少保留500L的要求，结合固定的清洗用水量，列式求解浇灌量的最低降低率，取最小整百分数． 【解答】解：（1）由题意得，弃流后可参与收集的降雨量为18﹣2＝16（mm）， ∴总雨水量为240×16×1＝3840（L）， ∴流入储水箱的水量为3840×75%＝2880（L）； （2）由题意得，降雨前水量与流入水量之和为420+2880＝3300（L）， ∵3300＞3000， ∴箱内实际水量为3000L， ∴溢出水量为3300﹣3000＝300L； （3）原计划每天用460L浇灌，且第1、3、5天还要各用120L清洗设备．第5天用水后至少要保留500L应急水．则： 设每天浇灌量降低的百分率为x， 由题意得，5天总可用水量为3000﹣500＝2500（L）， 清洗总用水量为3×120＝360（L）， ∴5天浇灌总用水量为5×460（1﹣x）＝2300（1﹣x）（L）， 根据题意得，2300（1﹣x）+360＝2500 解得． ∵x为整百分数，且第5天用水后至少要保留500L应急水， ∴x的最小值为7%． 答：至少应降低7%． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，正确进行计算是解题关键． 【考点3】工程类应用题（第12-13题） · 总工作量常看作1，则效率= · 合作完成时：甲效率+乙效率=总效率，时间×效率=工作量 · 分段施工时把各部分工作量相加等于总工作量1 · 注意“先由谁做、再由谁做”的顺序关系 12．某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划多植树20棵，实际植树800棵所需时间与原计划植树600棵所需时间相同．设实际每天植树x棵，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【分析】根据“实际植树800棵所需时间与原计划植树600棵所需时间相同”可以列出相应的分式方程即可． 【解答】解：由题意可得： ， 故选：B． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 13．某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案： ①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工； ②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天； ③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是 　甲乙合作了4天　 ． 【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【分析】根据题意和方程，可知甲干了4天，乙干了x天，从而可以得到③后面应填入的内容，本题得以解决． 【解答】解：∵某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：， ∴甲工作了4天，乙工作了x天， 即甲乙合作了4天，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工， ∴可知在③应填入的内容为：甲乙合作了4天， 故答案为：甲乙合作了4天． 【点评】本题考查分式方程的应用，解答此类题目的关键是明确题意，根据方程可以推测出空白处应填写的内容，注意要联系实际情况． 【考点4】销售类应用题（第14-17题） · 牢记三个基本量：进价、售价、利润（利润=售价−进价） · 利润率=利润÷进价×100%，不要与利润率=利润÷售价混淆 · 售价=标价×折扣（如八折即0.8倍） · 两件或多件商品分别计算盈亏，再求总盈亏 14．某商店出售两件商品，售价都为120元，其中一件赚20%，而另一件亏20%，则这家商店盈亏情况是（　　） A．赚10元 B．亏10元 C．赚8元 D．亏8元 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】首先分别设赚钱的衣服进价为x元，亏钱的衣服进价为y元，然后根据题意列出方程分别求出二者的进价，最后进一步求解即可． 【解答】解：设赚钱的衣服进价为x元， 依题意得：120﹣x＝20%x， 解得：x＝100； 设亏钱的衣服进价为y元， 依题意得：120﹣y＝﹣20%y， 解得：y＝150， ∴这家商店盈亏情况是：120×2﹣（100+150）＝﹣10（元）， 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找出准确的等量关系是解题关键． 15．某品牌空调按单价3200元出售，毛利率为25%（售价×毛利率＝售价﹣进价）．现商家让利销售，使毛利率降为20%，则售价应调整为（　　） A．1920元 B．2400元 C．3000元 D．4000元 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】首先根据原售价和毛利率求出进价，然后根据新毛利率和进价求新售价即可求解． 【解答】解：设进价为C元，则 由题意可得：， 解得：C＝2400， 设新售价为S元， ∴， 解得：s＝3000， ∴售价应调整为3000元， 故选：C． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确列出方程是解题的关键． 16．某商品标价300元，按标价的八折销售，仍然可获利20%，则该商品的进价为 　200元　 ． 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】设商品的进价为x元，根据利润＝售价﹣进价＝进价×利润率，建立方程，求得商品的进价即可． 【解答】解：设商品的进价为x元 根据题意可得：300×80%﹣x＝x×20%， 解得：x＝200， 故答案为：200元． 【点评】本题考查了一元一次方程的实际应用——商品的盈亏问题，找到等量关系是解决问题的关键． 17．春节期间，“绵阳百盛商店”进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照20%的利润定价，然后又打八折出售． （1）商品A成本是120元，商品A最后应卖多少元？ （2）商品B卖出后，亏损了128元，商品B的成本是多少元？ （3）商品C和D两件商品同时卖出后，结果共亏损了60元．若C的成本是D的2倍，则C、D成本分别是多少元？ 【考点】一元一次方程的应用；有理数的混合运算． 【分析】（1）利用售价＝成本价×（1+利润率）×折扣率，即可求出结论； （2）设商品B的成本是x元，利用利润＝售价﹣成本价，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设商品D的成本是y元，则商品C的成本是2y元，利用利润＝售价﹣成本价，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值（即商品D的成本），再将其代入2y中，即可求出商品C的成本． 【解答】解：（1）根据题意得：120×（1+20%）×0.8 ＝120×1.2×0.8 ＝115.2（元）． 答：商品A最后应卖115.2元； （2）设商品B的成本是x元， 根据题意得：0.8×（1+20%）x﹣x＝﹣128， 解得：x＝3200． 答：商品B的成本是3200元； （3）设商品D的成本是y元，则商品C的成本是2y元， 根据题意得：0.8×（1+20%）×2y﹣2y+0.8×（1+20%）y﹣y＝﹣60， 解得：y＝500， 2y＝2×500＝1000． 答：商品C的成本是1000元，商品D的成本是500元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【考点5】比赛类应用题（第18-19题） · 比赛得分类：胜/对得分−负/错扣分=总分，注意“错扣”的减法 · 设做对x道，则做错（或不做）的数量用总数−x表示 · 联赛积分：胜场×胜分+负场×负分=总积分，场数之和=总场数 · 按“得分不低于/不超过”列不等式时注意取整 18．小明在一次数学比赛中得了86分，这次比赛一共有20道题，做对一道得5分，做错一道或不做扣2分，小明做对了（　　）道题． A．19 B．18 C．17 D．16 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】设小明做对了x道题，则做错或不做（20﹣x）道题，利用得分＝5×做对题目数﹣2×做错或未做题目数，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设小明做对了x道题，则做错或未作（20﹣x）道题， 根据题意得：5x﹣2（20﹣x）＝86， 解得：x＝18， ∴小明做对了18道题． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 19．高校举行大学生篮球联赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，山大队要想在前15场比赛中得分不低于33分．则该队至少要胜　9　 场． 【考点】一元一次不等式的应用． 【分析】设出该队胜的场数，根据总场数表示出负的场数，结合得分不低于33分的要求列出一元一次不等式，求解后取符合题意的最小正整数即可得到答案． 【解答】解：设该队胜x场，则负（15﹣x）场， 依题意得：3x+1•（15﹣x）≥33， 解得：x≥9， 因此该队至少要胜9场， 故答案为：9． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是找准数量之间的关系，列出一元一次不等式． 【考点6】行程类应用题（第20-25题） · 基本关系：路程=速度×时间，三个量知二求一 · 相遇问题：甲路程+乙路程=总路程（同时出发时间相等） · 追及问题：快的路程−慢的路程=初始距离 · 火车过桥：完全通过的总路程=车长+桥长；完全在桥上的路程=桥长−车长 20．现在有一面10尺厚的墙，大小两只老鼠分别沿垂直于墙的方向从两面相对着打洞，三天刚好打通．第一天两只老鼠都打相同距离的洞，从第二天开始，大老鼠每天打洞的距离是前一天的2倍，小老鼠每天打洞的距离是前一天的一半，第三天结束，洞刚好被打通．小老鼠第一天打洞的距离为（　　） A．尺 B．尺 C．1尺 D．尺 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】设小老鼠第一天打洞距离为x尺，根据题意表示出两只老鼠三天打洞的总长度，利用总长度等于墙厚10尺列出一元一次方程，求解即可得到结果． 【解答】解：设小老鼠第一天打洞的距离为x尺，则大老鼠第一天打洞距离为x尺， 依题意可知：大老鼠三天打洞总距离为x+2x+4x＝7x，小老鼠三天打洞总距离为 ， 依题意得：， 解得：， ∴小老鼠第一天打洞的距离为尺， 故选：A． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，列出一元一次方程解决问题． 21．如图，跑道由两个半圆部分AB，CD和两条直跑道AD，BC组成，两个半圆跑道的长都是122m，两条直跑道的长都是85m．小斌站在C处小强站在B处，两人同时逆时针方向跑步，小斌每秒跑7m，小强每秒跑12m．当小强第一次追上小斌时，他们的位置在（　　） A．半圆跑道AB上 B．直跑道BC上 C．半圆跑道CD上 D．直跑道AD上 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】设x秒后，小强第一次追上小斌，利用路程＝速度×时间，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，将其代入7x中，可求出当小强第一次追上小斌时小斌跑的路程，由该值小于122m，可得出当小强第一次追上小斌时，他们的位置在半圆跑道CD上． 【解答】解：设x秒后，小强第一次追上小斌， 根据题意得：12x﹣7x＝85， 解得：x＝17， ∴7x＝7×17＝119． 又∵119＜122， ∴当小强第一次追上小斌时，他们的位置在半圆跑道CD上． 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 22．已知某座桥长800米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全通过共用了1分钟，这列火车完全在桥上的时间为40秒，则火车的速度是（　　） A．20米/秒 B．18米/秒 C．16米/秒 D．15米/秒 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】设火车的速度是x米/秒，根据“已知某座桥长800米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全通过共用了1分钟，这列火车完全在桥上的时间为40秒”，列出关于x的一元一次方程，解之，即可得到火车的速度． 【解答】解：设火车的速度是x米/秒， 根据题意得：800﹣40x＝60x﹣800， 解得：x＝16， ∴火车的速度是16米/秒． 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元一次方程，是解题的关键． 23．小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米，　45　 分钟能追上． 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】由于若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上．所以15×3﹣3小时小明走的路程＝追及距离；又若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上，所以35×1﹣1小时小明走的路程＝追及距离．设小明每小时走x千米，由此可得：15×3﹣3x＝35×1﹣x，求出小明的速度后，即能求出追及距离，进而求出若开汽车，每小时行45千米，多长时间可以追上小明． 【解答】解：设小明每小时走x千米，可得： 15×3﹣3x＝35×1﹣x， 45﹣3x＝35﹣x， 2x＝10， x＝5． 追及距离： 15×3﹣5×3 ＝45﹣15 ＝30（千米）． 汽车去追的话需要： 30÷（45﹣5） ＝30÷40 （小时）． 小时＝45分钟． 答：若开汽车，每小时行45千米，45分钟可以追上小明． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系． 24．如图，已知正方形ABCD的边长是2，点E是CD边上的中点．动点P从点A出发，沿A→B→C→E运动，到达点E时停止运动．若点P经过的路程为自变量x，△APE的面积为因变量y，则当时，x的值为　或　 ． 【考点】一元一次方程的应用；三角形的面积． 【分析】根据P点的运动轨迹，分析出当P在AB或BC上或CE上均有可能，再根据△APE的面积为分类讨论计算即可． 【解答】解：已知正方形ABCD的边长是2，点E是CD边上的中点．点P经过的路程为自变量x，△APE的面积为因变量y， 当P在AB上时，如图1： 依题意得：yx•2， 解得：x； 当P在BC上时，如图2： 依题意得：y＝S梯形ABCE﹣S△ABP﹣S△EDC＝（2+1）×22（x﹣2）（4﹣x）×1， 解得：x＝5， 此时点P不在BC上，不合题意，舍去； 当P在CE上时，如图3： 依题意得：y（5﹣x）×2＝5﹣x， 解得：x， 综上所述，当y时，x的值为或， 故答案为：或． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，三角形的面积，解答本题的关键要明确：不规则图形面积求算通常采用割补法，同时注意分类讨论． 25．如图，在数轴上依次有A，O，B三点，点A，O，B对应的数字分别为a，0，b．已知AB＝10，． （1）求a，b的值； （2）一动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向终点B运动，1秒钟后，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度向终点A运动，点P，点Q到达终点后停止运动．设点P运动的时间为t秒（t＞0），当点P与点Q相遇时，求出此时t的值． 【考点】一元一次方程的应用；数轴． 【分析】（1）由AB＝10，OAOB，求出OB，进而求出OA，即可得出答案； （2）P表示的数为﹣6+t，Q表示的数为4﹣2（t﹣1）＝﹣2t+6，当点P与点Q相遇时，﹣6+t＝﹣2t+6，即可解得答案． 【解答】解：（1）∵AB＝OA+OB＝10，OAOB， ∴OB+OB＝10， ∴OB＝4， ∴OAOB＝6， ∴a＝﹣6，b＝4； （2）根据题意，P表示的数为﹣6+t，Q表示的数为4﹣2（t﹣1）＝﹣2t+6， ∵当点P与点Q相遇， ∴﹣6+t＝﹣2t+6， ∴t＝4， ∴当点P与点Q相遇时，t的值为4． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示相关点运动后所表示的数． 【考点7】环形跑道与时钟问题（第26-29题） · 环形跑道同向出发：每追上一次多跑一圈（周长） · 环形跑道反向出发：相遇一次合跑一圈 · 钟面角：分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，速度差5.5°/分 · 用“角度差=起始夹角差”列方程求时间，注意一天内两针重合/垂直的次数 26．某人下午6点多外出时，看手表两指针的夹角为110°，下午7点前回家发现两指针的夹角仍为110°，则他外出的时间为（　　） A．30min B．35min C．40min D．45min 【考点】一元一次方程的应用；钟面角． 【分析】设他外出的时间为x分钟，然后根据题意可得：6x＝110+110+0.5x，从而进行计算即可解答． 【解答】解：设他外出的时间为x分钟， 由题意得：6x＝110+110+0.5x， 解得：x＝40， ∴他外出的时间为40分钟， 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，钟面角，根据题目的已知条件列出方程是解题的关键． 27．某时刻，时针与分针所成的角为90°，经过 　33　 分钟之后，时针与分针第二次成90°的角．（结果四舍五入到整数） 【考点】一元一次方程的应用；钟面角；近似数和有效数字． 【分析】设经过x分钟之后，时针与分针第二次成90°的角，利用分针转过的度数﹣时针转过的度数＝180°，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设经过x分钟之后，时针与分针第二次成90°的角， 根据题意得：xx＝180， 解得：x33， ∴经过33分钟之后，时针与分针第二次成90°的角． 故答案为：33． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、钟面角以及近似数和有效数字，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 28．甲、乙两同学从400米环形跑道上的某一点背向出发，分别以每秒2米和每秒3米的速度慢跑．6秒钟后，一只小狗从甲处以每秒6米的速度向乙跑，遇到乙后，又从乙处以每秒6米的速度向甲跑，如此往返直至甲、乙第一次相遇，那么小狗共跑了 　444　 米． 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】根据甲的路程+乙的路程＝400求得甲乙两人相遇所用的时间，那么可得小狗跑的时间，乘以速度即为小狗跑的路程． 【解答】解：设甲乙两人相遇需要的时间为x秒． 2x+3x＝400， 解得x＝80， ∴小狗跑了80﹣6＝74秒， ∴小狗跑的路程为74×6＝444米， 故答案为444． 【点评】考查一元一次方程的应用，得到小狗跑步的时间是解决本题的突破点． 29．钟表是我们日常生活中常用的计时工具．如图，在圆形钟面上，把一周等分成12个大格，每个大格等分成5个小格，分针OP和时针OQ均绕中心O匀速转动．（本题中的角均指小于180°的角）， （1）分针每分钟转 　6　 度，时针每分钟转 　0.5　 度，当时间为3：30时，分针和时针的夹角为 　75　 度； （2）求2：00开始后几分钟分针第一次追上时针； （3）点A为4点钟的位置，OM平分∠AOP，ON平分∠AOQ，从4：00开始计时，t分钟后（t＜60），∠MON＝45°，求t的值． 【考点】一元一次方程的应用；钟面角；角平分线的定义；角的计算． 【分析】（1）根据圆周是360°，分别计算时针和分针的转速即可，再根据3：30时时针和分针夹角是2.5个大格计算夹角度数即可； （2）设x分钟后分针第一次追上时针，根据题意列方程求解即可； （3）根据题意分情况列方程求解即可． 【解答】解：（1）分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°， ∵3：30时时针和分针夹角是2.5个大格， ∴3：30时，分针和时针的夹角为30°×2.5＝75°， 故答案为：6，0.5，75； （2）设x分钟后分针第一次追上时针， 由题意得，6x﹣0.5x＝60， 解得x， ∴分钟后分针第一次追上时针； （3）①OM没追上ON之前，由题意知，45， 解得t， ②OM超过ON之后，由题意知，45， 解得t， ∴分钟或分钟后（t＜60），∠MON＝45°． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键． 【考点8】方案选择类问题（第30-37题） · 先分别列出各方案的表达式（费用、数量等） · 令两个方案相等，求出“临界值”再分段比较大小 · 分段计费：按各段标准分别计算后相加 · 结合不等式确定方案取舍，注意结果取整数 30．某电信公司有A、B两款移动收费方案，如图展示了每个月通话时长x（分钟）和对应方案费用y（元）的关系，下列说法正确的是（　　） ①若通话时间少于120分钟，则A方案比B方案始终便宜10元； ②两种方案永远不可能在某一通话时刻费用相同； ③在通话时间超过200分钟时，A方案的费用始终高于B方案的费用． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】根据通话时间少于120分钟时，A、B两方案的费用可判断①；根据120＜x＜200时，两函数图象交点的实际意义可判断②；根据在通话时间超过200分钟时，A方案对应的函数图象始终位于B方案对应图象的上方，可判断③． 【解答】解：①若通话时间少于120分钟，A方案所需费用为40元，B方案所需费用为50元， 50﹣40＝10（元）， ∴A方案比B方案始终便宜10元， 故①说法正确，符合题意； ②由图象可知，当通话时间在120分钟到200分钟之间的某一数值时，A、B两种通话方案所需费用相同， 故②说法错误，不符合题意； ③在通话时间超过200分钟时，A方案对应的函数图象始终位于B方案对应图象的上方， 即A方案的费用始终高于B方案费用， 故③说法正确，符合题意， 综上所述，说法正确的是①③， 故选：B． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意弄清函数图象横纵坐标及交点坐标的实际意义是解题的关键． 31．活动课上，老师将43个苹果分给各小组，每组8个，还有剩余；每组9个，却又不够，则活动小组有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【考点】一元一次不等式组的应用． 【分析】设活动小组有x个，根据将43个苹果分给各小组，每组8个，还有剩余；每组9个，却又不够，列出不等式组求解即可． 【解答】解：设活动小组有x个， 由题意得，， 解得， 又∵x为正整数， ∴x＝5， ∴活动小组有5个， 故选：A． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元一次不等式． 32．《个人所得税条例》规定，公民工资每月不超过800元者不必纳税，超过800元的部分按超过金额分段纳税，详细税率如表，某人12月份纳税80元，则该人月薪为（　　） 月应纳税金额 税率（%） 0～500元 5 500～2000元 10 2000～5000元 15 … … A．1900元 B．1600元 C．1850元 D．1050元 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】设这人月薪为x元，根据不同阶段的那税率，以及纳税80元，可列方程求解． 【解答】解：设这人税后月薪为x元， 500×5%+（x﹣500）×10%＝80． x＝1050． 1050+800＝1850（元）． 这人月薪为1850元． 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，关键明白哪种情况纳税，且税率是多少，根据纳税总额列方程求解． 33．A，B两种食品的营养成分如图所示，选取A，B食品共4份，要使蛋白质总含量不低于6g，且总能量最低，则应选A食品　2　 份． 【考点】一元一次不等式的应用． 【分析】设选A种食品x份，依题意列出一元一次不等式，求出x≥2，得到x＝2或3或4，再分类计算总能量，并比较大小即可． 【解答】解：设选A种食品x份，则B种食品（4﹣x）份， 依题意得：1.6x+1.4（4﹣x）≥6， 解得：x≥2， 由题意可知：x≤4，且x为整数， ∴2≤x≤4， ∴x取2或3或4， 当x＝2时，564×2+434×（4﹣2）＝1996（千焦）， 当x＝3时，564×3+434×（4﹣3）＝2126（千焦）， 当x＝4时，564×4+434×（4﹣4）＝2256（千焦）， ∵1996＜2126＜2256， ∴总能量最低时，则应选A食品2份， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式的应用，找准数量之间的关系，列出一元一次不等式是解答本题的关键． 34．某商品的进价是1000元，售价为1500元，由于销售情况不好，商店决定打折出售，但又要保证利润率不低于20%，那么商店最多打 　8　 折出售此商品． 【考点】一元一次不等式的应用． 【分析】设此商品最低打x折，根据利润率不低于20%，列出不等式，求出x的最小整数解即可． 【解答】解：设商店最低打x折出售此商品， 由题意得，1500×0.1x≥1000×（1+20%）． 解得：x≥8． 故商店最低打8折出售此商品， 故答案为：8． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系． 35．某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下： 阶梯 户月用水量（m3） 收费标准（元/m3） 第一阶梯 不超过15m3 3 第二阶梯 超过15m3，但不超过25m3 4 第三阶梯 超过25m3的部分 7 （1）小明家2月份用水量为20m3，应缴纳水费　65　 元； （2）已知小红家3月份共缴纳水费120元，那么小红家3月份用水量是　30　 m3； 【考点】一元一次方程的应用；有理数的混合运算． 【分析】（1）根据表格列式计算水费即可； （2）设用水量为x立方米，通过比较水费判断用水量超过25立方米，再列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵2月份用水量为20m3， ∴应缴纳水费：3×15+4×（20﹣15）＝3×15+4×5 ＝45+20 ＝65（元）， 故答案为：65； （2）当用水量为25立方米时，水费为：15×3+10×4＝45+40＝85（元）； ∵120＞85， ∴小红家3月份用水量超过25立方米， 设小红家3月份用水量为x立方米，则水费为：85+7（x﹣25）＝120， 解得x＝30， ∴用水量为30立方米． 故答案为：30． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，有理数的混合运算，能够理解题意，根据不同的取值范围列出相应的方程是解题的关键． 36．某书店为促销某种经典名著，按购买数量分三部分制定阶梯售价，如下表： 购买数量 单价 不超过200本的部分 15元/本 超过200本但不超过400本的部分 12元/本 超过400本的部分 9元/本 （1）若购买200本这种经典名著，则需花费　3000　 元；若购买400本这种经典名著，则需花费　5400　 元； （2）若甲学校为丰富图书馆藏书，花了4416元从该书店购买这种经典名著，则该校购买了多少本经典名著？ （3）若乙学校先为初一学生购买一批经典名著作为课外读物，后来又为初二学生追加购买了一批，两次共购买了800本，其中第一次购买的数量超过400本，两次共花费10755元，则第一次购买的数量为多少本？ 【考点】一元一次方程的应用；有理数的混合运算． 【分析】（1）根据售价表计算即可； （2）求出购买量位于第二阶梯，用总价减去第一阶梯的总价，再除以第二阶梯的单价即可； （3）设第一次购买x本，第二次购买（800﹣x）本，分情况求解即可． 【解答】解：（1）200×15＝3000（元）；200×15+（400﹣200）×12＝5400元； ∴购买200本这种经典名著，需花费3000元，购买400本这种经典名著，需花费5400元， 故答案为：3000；5400； （2）∵3000＜4416＜5400， ∴购买数量在200本到400本之间， 超过200本的部分花费：4416﹣3000＝1416（元），对应数量为1416÷12＝118（本）． 总数量：200+118＝318（本）， 答：该校购买了318本经典名著； （3）设第一次购买x本，第二次购买（800﹣x）本， ∵x＞400， ∴800﹣x＜400， 分类讨论如下： 若400＜x＜600，则第二次200＜800﹣x＜400， 总花费：200×15+200×12+（x﹣400）×9+200×15+12（800﹣x﹣200）＝12000﹣3x，则12000﹣3x＝10755， 解得：x＝415，符合条件； 若x≥600，则第二次800﹣x≤200， 总花费：200×15+200×12+9（x﹣400）+15（800﹣x）＝10755， 解得：x＝507.5，不符合条件． 答：第一次购买的数量为415本． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算，找准等量关系，列出一元一次方程是解答本题的关键． 37．某商场改造部分停车位为充电停车位，分别花费5万元和8万元购进A，B两款充电桩，已知A款充电桩的单价比B款充电桩的单价高0.1万元，且购进B款充电桩的数量是A款充电桩的数量的2倍． （1）分别求A，B两款充电桩的单价； （2）该商场调研发现，现有改造的充电停车位已不能满足新能源汽车的充电需求，决定再用不多于9.58万元的资金购进A，B两款充电桩共20个，求此次可购进A款充电桩的数量的最大值． 【考点】分式方程的应用． 【分析】（1）设B款充电桩的单价为x万元，则A款充电桩的单价为（x+0.1）万元，根据B款充电桩数量是A款数量2倍的等量关系列出分式方程，解方程求出x的值，即可得出答案； （2）设购进A款充电桩m个，则购进B款充电桩（20﹣m）个，根据总购进资金不多于9.58万元列出一元一次不等式，结合正整数条件求出A款充电桩数量的最大值即可． 【解答】解：（1）设B款充电桩的单价为x万元， 依据题意得：， 解得：x＝0.4（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， ∴x+0.1＝0.5（万元）， 答：A款充电桩单价为0.5万元，B款充电桩单价为0.4万元； （2）设购进A款充电桩m个，则购进B款充电桩（20﹣m）个， 依题意得：0.5m+0.4（20﹣m）≤9.58， 解得：m≤15.8， ∵m为正整数， ∴m的最大值为15， ∴此次可购进A款充电桩的数量的最大值为15． 【点评】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，列出分式方程是解答本题的关键． 【考点9】储蓄、利息问题（第38题） · 利息=本金×利率×期数（存期），本息和=本金+利息 · 注意利率的期限与存期单位一致 · 所得利息=利息×（1−税率）时，先明确是否扣税 · “用所得利息购买…”类型的题，把利息与购买价比较 38．妈妈把20000元存入银行，定期三年，年利率是4.25%，三年后用所得利息买一部价值2300元的手机，利息还剩多少钱？（　　） A．250 B．850 C．2550 【考点】一元一次方程的应用；有理数的混合运算． 【分析】设利息还剩x元，根据题意列方程求解即可． 【解答】解：设利息还剩x元， 根据题意得，2300+x＝20000×4.25%×3， 解得x＝250， 故选：A． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键． 【考点10】产品配套问题（第39-45题） · 找出“一个配几个”的配套比例，如1个螺钉配2个螺母 · 设其中一个部件的人数为x，另一部件人数=总数−x · 按比例列方程：乙部件产量=k×甲部件产量（k为配套比） · 检验时把x代入，验证配套比例是否恰好满足 39．七年级（1）班课外手工制作小组30名学生制作纸飞机模型，每人每小时可做20个机身或60个机翼，一个飞机模型要一个机身配两个机翼，为了使每小时制作的成品刚好配套，应该分配多少名学生做机身，多少名学生做机翼？设分配x名学生做机身，则可列方程（　　） A．20x＝60（30﹣x） B．20x＝2×60（30﹣x） C．2×20x＝60（30﹣x） D．60x＝20（30﹣x） 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程． 【分析】设出未知数，根据等量关系：制作的机翼总数＝2×机身总数，列出方程即可． 【解答】解：设应该分配x名学生做机身，则有（30﹣x）名学生做机翼， 由题意得：60（30﹣x）＝2×20x， 故选：C． 【点评】该题主要考查了列一元一次方程来解决现实生活中的分配问题；准确找出命题中隐含的等量关系、正确列出方程是解题的关键． 40．某车间有90名工人生产螺丝与螺母，平均每人每天生产50个螺丝或80个螺母，要使每天生产的螺丝和螺母按1：2配套，如果有m人生产螺丝，根据题意可列方程为（　　） A．80m＝2×50×（90﹣m） B．2×50m＝80×（90﹣m） C．2×80m＝50×（90﹣m） D．50m＝2×80×（90﹣m） 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】设分配m人生产螺丝，则有（90﹣m）人生产螺母，根据每天生产的螺丝和螺母按1：2配套，列出方程即可． 【解答】解：车间有90名工人生产螺丝与螺母，平均每人每天生产50个螺丝或80个螺母，设分配m人生产螺丝，则有（90﹣m）人生产螺母，每天生产螺丝50m个，生产螺母80×（90﹣m）个， ∵每天生产的螺丝和螺母按1：2配套， ∴2×50m＝80×（90﹣m）， 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用（配套问题），读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系并列出方程是解题的关键． 41．用铝片做听装饮料瓶，现有200张铝片，每张铝片可制瓶身16个或制瓶底45个，一个瓶身和两个瓶底可以配成一套，为使瓶身和瓶底刚好配套，则需多少张铝片制瓶身？若设用x张铝片制瓶身，则下面所列方程正确的是（　　） A．2×16x＝45（200﹣x） B．16x＝45（200﹣x） C．16x＝2×45（200﹣x） D．16x＝45（100﹣x） 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程． 【分析】根据题意和一个瓶身和两个瓶底可以配成一套，可以得到相应的方程，从而可以解答本题． 【解答】解：设用x张铝片制瓶身，则用（200﹣x）张铝片制瓶底， 2×16x＝45（200﹣x）， 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 42．某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，一个螺钉需要配两个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排　10　 名工人生产螺钉． 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】设安排x名工人生产螺钉，则安排（26﹣x）名工人生产螺母，根据生产的螺母总数是生产螺钉总数的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设安排x名工人生产螺钉，则安排（26﹣x）名工人生产螺母， 依题意，得：2×800x＝1000（26﹣x）， 解得：x＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 43．某车间有66名工人，每名工人一天能生产甲种零件24个或生产乙种零件15个，而甲种零件3个，乙种零件5个配成一套机件，请合理分配所有工人，使得每天生产的零件刚好配套，则每天可生产 　144　 套． 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】设应安排x名工人生产甲种零件，则安排（66﹣x）名工人生产乙种零件，根据甲种零件3个，乙种零件5个配成一套机件，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x的值，再将其代入中即可求出结论． 【解答】解：设应安排x名工人生产甲种零件，则安排（66﹣x）名工人生产乙种零件， 依题意得：， 解得：x＝18， ∴144， ∴每天可生产144套． 故答案为：144． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 44．太原某家具加工厂有15名木工加工桌子和椅子，一张桌子配4把椅子，已知每名木工一天能加工3张桌子或者6把椅子，若安排x名木工加工桌子，其余木工加工椅子，恰好一天加工的桌子能与椅子配套，则可列方程 　4×3x＝6（15﹣x）　 ． 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程． 【分析】设有x名木工生产桌子，（15﹣x）名木工生产椅子，根据生产的椅子是桌子的4倍列方程即可． 【解答】解：∵有x名木工生产桌子， ∴（15﹣x）名木工生产椅子， 根据题意得：4×3x＝6（15﹣x）， 故答案为：4×3x＝6（15﹣x）． 【点评】本题主要考查的是根据实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键要明确审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程． 45．某车间加工螺钉和螺母，当螺钉和螺母恰好配套（一个螺钉配一个螺母）时就可以运进库房．若一名工人每天平均可以加工螺钉120个或螺母96个，该车间共有工人81名．问应怎样分配人力，才能使每天生产出来的零件及时包装运进库房？ 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】设应分配x名工人加工螺钉，则分配（81﹣x）名工人加工螺母，根据加工螺钉的总数量与加工螺母的总数量相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设应分配x名工人加工螺钉，则分配（81﹣x）名工人加工螺母， 根据题意得：120x＝96（81﹣x）， 解得：x＝36， ∴81﹣x＝81﹣36＝45（人）． 答：应分配36名工人加工螺钉，45名工人加工螺母，才能使每天生产出来的零件及时包装运进库房． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 审题时先用笔圈出等量关系句，把已知量与未知量列表整理 · 设元时优先设所求量；若直接设元困难，可用间接设元（设中间量） · 解出方程后务必检验：先代入方程，再验证是否符合实际意义 · 涉及单位换算（分钟/小时、厘米/米）时先统一单位再列方程 · 方案选择、分段计费题注意分类讨论，画出表格辅助比较 【作业 1】甲、乙两人身上带的钱数之比是7：3，甲给乙5元后，变成13：7．那么，甲、乙两人共有　100　 元． 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】设甲有7x元，乙有3x元，根据甲给乙5元后，变成13：7列出方程求解即可． 【解答】解：设甲有7x元，乙有3x元， 由题意得：（7x﹣5）：（3x+5）＝13：7， 解得x＝10， ∴7x+3x＝10x＝100， ∴甲、乙两人共有100元， 故答案为：100． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 【作业 2】我国古代《孙子算经》记载了这样一个数学问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，五人步．问车有几何？”意思是：每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有5人无车可乘，问车辆有多少？若设车辆数为x，则可列方程为 　3（x﹣2）＝2x+5　 ． 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程． 【分析】利用车的数量不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：设车辆数为x，根据题意得： 3（x﹣2）＝2x+5， 故答案为：3（x﹣2）＝2x+47． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元一次方程． 【作业 3】将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． （1）十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ （2）设中间数为a，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？ （3）若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？ （4）十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？ 【考点】一元一次方程的应用；列代数式；规律型：数字的变化类． 【分析】（1）先求出这5个数的和，用这个和去除以中间的这个数15就可以得出结论； （2）由左右相邻两个奇数之间相差2，上下相邻两个奇数之间相差10，就可以分别表示出这5个数，进而得出结论； （3）同样设中间数为b，就可以表示出这5个数的和，得出结论与（1）一样； （4）设中间的一个数为x，建立方程求出x的值就可以得出结论． 【解答】解：（1）由题意，得 5+13+15+17+25＝75． 75÷15＝5． 因此十字框中的五个数的和是中间数15的5倍； （2）设中间数为a，则其余的4个数分别为a﹣2，a+2，a﹣10，a+10，由题意，得 a+a﹣2+a+2+a﹣10+a+10＝5a． 答：5个数之和为5a； （3）设中间数为b，则其余的4个数分别为b﹣2，b+2，b﹣10，b+10，由题意，得 ∵b+b﹣2+b+2+b﹣10+b+10＝5b， ∴这五个数的和还是中间这个数的5倍； （4）设中间的一个数为x，则其余的4个数分别为x﹣2，x+2，x﹣10，x+10， 由题意得：x+x﹣2+x+2+x﹣10+x+10＝2022， 解得：x＝404.4， ∵404.4不是奇数， ∴不存在十字框中五数之和等于2022， 同理5个数之和等于2025， 解得x＝405， 所以十字形框中的五个数之和能等于2025． 【点评】此题考查一元一次方程的应用，列代数式，规律型：数字的变化类，找出数字的排列规律，利用数字和建立方程求得答案即可． 【作业 4】把一块长3.14厘米，宽20厘米，高4厘米的长方体钢锭熔铸成底面半径是4厘米的圆锥，圆锥的高是多少厘米？（损耗不计） 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】根据熔铸前后体积不变，利用长方体的体积公式求出圆锥的体积，根据圆锥的体积公式即可求出圆锥的高． 【解答】解：设圆锥的高是h厘米， 依题意得：3.14×20×43.14×42h， 解得：h＝15， 答：圆锥的高是15厘米． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，列出一元一次方程是解答本题的关键． 【作业 5】中国基础建设快速发展，各地修建了许多高速公路，带动了当地的经济发展．某公司主营高速公路建设施工，高速公路施工包括平地施工、隧道施工和桥梁施工．近期，该公司承接了一条长420千米的高速公路施工，已知该高速公路施工中有255千米是平地施工，桥梁施工里程比隧道施工里程的3倍少15千米． （1）桥梁施工和隧道施工的里程分别是多少千米？ （2）经测算，该公司完成桥梁施工的时间比完成隧道施工的时间少20%，每天完成的桥梁施工里程比隧道施工里程多千米，求该公司完成隧道施工的时间． 【考点】分式方程的应用；分数的混合运算． 【分析】（1）设隧道施工的里程是x千米，则桥梁施工的里程是（3x﹣15）千米，根据平地施工、隧道施工和桥梁施工的里程之和是420千米，可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论； （2）设该公司完成隧道施工的时间是y天，则该公司完成桥梁施工的时间是（1﹣20%）y天，利用工作效率＝工作总量÷工作时间，结合每天完成的桥梁施工里程比隧道施工里程多千米，可列出关于y的分式方程，解方程检验后，即可得出结论． 【解答】解：（1）设隧道施工的里程是x千米，则桥梁施工的里程是（3x﹣15）千米， 依题意和是：x+（3x﹣15）+255＝420， 解得：x＝45， ∴3x﹣15＝120（千米）， 答：桥梁施工里程是120千米，隧道施工里程是45千米． （2）设该公司完成隧道施工的时间是y天，则该公司完成桥梁施工的时间是（1﹣20%）y天， 依题意得：， 解得：y＝315（经检验，y＝315是分式方程的解，且符合题意）， 答：该公司完成隧道施工的时间是315天． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． 【作业 6】某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 （1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折促销，若在本次销售过程中超市共获利2350元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品（x+15）件，根据单价×数量＝总价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）由题意可知，第二次购进甲商品150件，乙商品270件，设五折售出的乙商品a件，根据超市共获利2350元列方程求出a的值即可． 【解答】解：（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品（x+15）件， 根据题意得：22x+30（x+15）＝6000， 解得：x＝150， ∴x+15＝90． 答：该超市第一次购进甲种商品150件、乙种商品90件． （2）由题意可知，第二次购进甲商品150件，乙商品270件， 设五折售出的乙商品a件，则未打折售出的乙商品为（270﹣a）件， 根据题意得（29﹣22）×150+（40﹣30）（270﹣a）+（40×0.5﹣30）a＝2350， ∴a＝70， 答：以五折售出的乙商品有70件． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据总利润＝单件利润×销售数量列式计算． 【作业 7】某校组织了“快乐学数学”知识竞赛，在必答题环节，共设10道选择题，各题分值相同．下表记录了3名同学该环节的得分情况： 参赛者 答对题目 答错题目 得分 甲 4 6 10 乙 10 0 100 丙 5 5 25 （1）答对一题和答错一题分别得多少分？ （2）若丁同学得了70分，则他答对几道题？ 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】（1）根据乙得了满分可求得答对一题的得分，再根据甲的得分可求得答错一题的扣分； （2）设丁同学答对了x道题，则答错了（10﹣x）道题，根据其得分为70分列出方程并求解即可． 【解答】解：（1）∵乙得了满分， ∴答对一题的得分为：100÷10＝10（分）； ∵甲答对4道，答错6道，得分10分， ∴答错一题扣分为：（4×10﹣10）÷6＝5（分）； 答：答对一题得10分，答错一题扣5分； （2）设丁同学答对了x道题， 由题意得：10x﹣5（10﹣x）＝70， 解得：x＝8， 答：丁同学答对了8道题． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意、找到等量关系并列出方程是关键． 【作业 8】把步行的步长记作p米，平均每分钟的步数记作n步，用公式来刻画一个人的步行情况．一次步行，儿子跟着父亲同时同地开始出发，同时同地结束步行，父亲平均每分钟走70步，儿子的计步器显示此次步行共走了5250步，已知k＝140适用于父亲的步行． （1）求父亲的步长． （2）若此次步行恰好用了1小时，请推导适用于儿子步行的公式中k的值． （3）研究表明，当k值在120至150之间时，步行最为健康．若父亲保持步长不变，想通过调整每分钟步数使k值达到最优健康值130；儿子保持每分钟步数不变，想通过调整步长使k值同样达到130．请分别求出父亲需要调整后的每分钟步数以及儿子需要调整后的步长，并判断父子二人能否在一次新的同步步行（同时同地出发并同时同地结束）中同时达到各自的最优健康k值，请说明理由． 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】（1）根据，父亲平均每分钟走70步，已知k＝140适用于父亲的步行，则由计算即可； （2）根据总时间1小时，路程＝父亲步数×父亲步长，先求出路程，再计算儿子的步长，儿子每分钟的步数，最后由计算即可； （3）根据，父亲步长不变，使k值达到最优健康值130，列出方程求解得出父亲需要调整后每分钟步数，根据儿子保持每分钟步数不变，通过调整步长使k值同样达到130，列出方程求解得出儿子需要调整后的步长，设步行时间为t分钟，表示出父亲的路程和儿子的路程，比较二者路程即可判断． 【解答】解：（1）∵，父亲平均每分钟走70步，已知k＝140适用于父亲的步行， ∴（米）， 答：父亲的步长是米； （2）总时间1小时＝60分钟，路程＝父亲步数×父亲步长（米）， 儿子此次步行共走了5250步，儿子步长：（米），儿子每分钟步数：， ∴儿子步行的公式中， 答：儿子步行的公式中k的值为； （3）∵，父亲步长不变：（米），使k值达到最优健康值130， ∴， 解得：父亲需要调整后每分钟步数：n＝65（步）， ∵儿子保持每分钟步数不变：（步），通过调整步长使k值同样达到130， ∴， 解得：儿子需要调整后的步长：（米）， 设步行时间为t分钟，则父亲路程：（米），儿子路程：（米）， ∴S1≠S2，则父子二人不能在一次新的同步步行（同时同地出发并同时同地结束）中同时达到各自的最优健康k值， 答：父亲需要调整后的每分钟步数为65步，儿子需要调整后的步长为米，父子二人不能在一次新的同步步行（同时同地出发并同时同地结束）中同时达到各自的最优健康k值． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、行程问题，正确理解题意、列式计算是解题的关键． 【作业 9】小月与小方分别驾车从人民广场，到净月潭．两人同时出发，小月走A线路，全程20km，小方走B线路，全程18km，小方的平均速度是小月的1.2倍，结果小方比小月早到6分钟，问小月每小时走多少千米？ 【考点】分式方程的应用． 【分析】小月每小时走50千米．设小月的每小时走x千米，根据小方的平均速度是小月的1.2倍，结果小方比小月早到6分钟，列出方程进行求解即可． 【解答】解：设小月每小时走x千米，则：小方的速度为1.2x千米每小时，由题意，得： ， 解得：x＝50， 经检验x＝50，是原方程的解； 答：小月每小时走50千米． 【点评】本题考查分式方程的实际应用， 【作业 10】一天早晨，小华和爸爸在1000米的环形跑道上跑步，他们8点整时在同一地点沿着同一方向同时出发，小华跑了半圈时，看到爸爸刚好跑完一圈，8点零8分时爸爸第一次追上小华． （1）求小华和爸爸的跑步速度； （2）爸爸第一次追上小华后，在第二次相遇前，再经过多少分，小华和爸爸相距150米？ 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】（1）设小华的跑步速度为x米/分，则爸爸的跑步速度为2x米/分，根据8点零8分时爸爸第一次追上小华列方程，解方程结可求解； （2）设再经过y分，小华和爸爸相距150米，根据小华和爸爸相距150米分两种情况列方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）设小华的跑步速度为x米/分，则爸爸的跑步速度为2x米/分， 由题意得（2x﹣x）×8＝1000， 解得x＝125， ∴2x＝125×2＝250（米/分）， 答：小华的跑步速度为125米/分，爸爸的跑步速度为250米/分； （2）设再经过y分，小华和爸爸相距150米， 由题意得250y﹣125y＝150，或250y﹣125y＝1000﹣150， 解得y或， 答：再经过或分，小华和爸爸相距150米． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，掌握路程＝速度×时间是解题的关键． 【作业 11】随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价高500元，购买3台甲型健身器材的费用比购买4台乙型健身器材的费用少1000元． （1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元？ （2）随着设备的更新换代，甲、乙两种型号的健身器材的单价均上涨了，且上涨的金额相同，上涨后用64000元购买甲型健身器材的数量和用54000元购买乙型健身器材的数量相同，求甲型健身器材的单价上涨了多少元？ 【考点】分式方程的应用． 【分析】（1）设乙种型号健身器材的单价为x元，则甲种型号健身器材的单价为（x+500）元，根据题意列出一元一次方程，再求解即可； （2）设甲型健身器材的单价上涨了y元，则上涨后甲型健身器材的单价为（3000+y）元，上涨后乙型健身器材的单价为（2500+y）元，根据题意列出分式方程，再求解即可． 【解答】解：（1）设乙种型号健身器材的单价为x元， 依题意得：3（x+500）＝4x﹣1000， 解得：x＝2500， ∴x+500＝3000， 答：甲种型号健身器材的单价为3000元，乙种型号健身器材的单价为2500元； （2）设甲型健身器材的单价上涨了y元，则上涨后甲型健身器材的单价为（3000+y）元，上涨后乙型健身器材的单价为（2500+y）元， 依题意得：， 解得：y＝200（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， 答：甲型健身器材的单价上涨了200元． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，分式方程的应用，熟练掌握相应知识是解题的关键． 【作业 12】根据图中情景，解答下列问题： （1）购买8根跳绳需 　280　 元；购买12根跳绳需 　336　 元； （2）购买m根跳绳需多少元？（请你用含有m的式子表示） （3）小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少7元，你认为这种情况有可能吗？请利用方程知识说明理由． 【考点】一元一次方程的应用；列代数式． 【分析】（1）根据“跳绳每根35元，超过10根，享受八折优惠”，结合未超过10根，价格＝单价×数量，超过10根，价格＝单价×数量×折扣，列式计算即可； （2）分两种情况讨论即可； （3）若小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少7元成立，唯一的可能性就是小红买的跳绳超过10根打折了，而小明的不足10根没打折，设小明买了x根跳绳，小红买了（x+2）根跳绳，根据题意列出关于x的一元一次方程，解答并作出判断即可． 【解答】解：（1）根据题意得： 35×8＝280（元）， 即购买8根跳绳需280元； 0.8×35×12＝336（元）， 即购买12根跳绳需336元， 故答案为：280，336； （2）当m≤10时，需要钱数为：35m（元）； 当m＞10时，需要钱数为：35m×0.8＝28m（元）； （3）这种情况有可能，理由如下： 若小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少7元成立， 唯一的可能性就是小红买的跳绳超过10根打折了，而小明的不足10根没打折， 设小明买了x根跳绳，小红买了（x+2）根跳绳， 根据题意得： 35x﹣35×0.8（x+2）＝7， 解得：x＝9， ∴小明买了9根跳绳，小红买的根数为：9+2＝11（根）， ∵11≥10（符合题意）， ∴小红买的打折了， ∴有这种可能性． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元一次方程是解题的关键． 【作业 13】小明和同学们在一家拉面馆用餐，下表为拉面馆的部分菜单： 套餐种类 A套餐 B套餐 C套餐 配餐 牛肉拉面 牛肉拉面+1份青菜 牛肉拉面+1份青菜+1杯饮料 价格（元） 18 26 30 优惠活动 消费满100元，减10元 消费满200元，减20元 消费满300元，减30元 … 小明负责统计同学们的点餐情况，一次性点好，已知他们所点的套餐共有13份牛肉拉面，x份青菜和6份饮料． （1）他们共点了 　（x﹣6）　 份B套餐；（用含x的式子表示）； （2）若他们套餐共买8份青菜，求实际花费多少元； （3）若他们点套餐优惠后实际花费了300元，请通过计算分析他们点的套餐是如何搭配的． 【考点】列代数式． 【分析】（1）由三种套餐中均包含牛肉拉面，只有C套餐含饮料，即可的出他们点了（x﹣6）份B套餐； （2）由（1）可知，他们点了6份C套餐，点了2份B套餐，再由他们所点的套餐共有13份牛肉拉面减去B、C套餐里面的牛肉拉面份数可得点A套餐的份数，最后根据套餐价格乘份数求和即可解答； （3）由题意可知，他们点了6份C套餐，点了（x﹣6）份B套餐，则点了（13﹣x）份A套餐，再进行分类讨论即可求解． 【解答】解：（1）由题意可知，三种套餐中均包含牛肉拉面，只有C套餐含饮料， ∵他们所点的套餐共有13份牛肉拉面，x份青菜和6份饮料， ∴他们点了6份C套餐， ∵只有B、C套餐含青菜， ∴他们共点了（x﹣6）份B套餐； 故答案为：（x﹣6）； （2）由（1）知，他们点了6份C套餐， 则他们共点了2份B套餐， ∴他们共点了A套餐：13﹣6﹣2＝5（份）， ∴他们应该花费：5×18+2×26+6×30＝322（元）， ∵消费满300元，减30元， ∴实际花费：322﹣30＝292（元）； ∴若他们套餐共买8份青菜，求实际花费292元； （3）由（1）可知， 他们点了6份C套餐，点了（x﹣6）份B套餐， 则点A套餐的份数为：13﹣6﹣（x﹣6）＝（13﹣x）份， ∵他们点套餐优惠后实际花费了300元，消费满300元，减30元， ∴他们点套餐优惠前花费330元， ∴（13﹣x）×18+（x﹣6）×26+6×30＝330， 解得：x＝9， 则x﹣6＝3，13﹣x＝4， ∴他们点了4份A套餐，3份B套餐，6份C套餐． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式，根据各数量之间的关系，正确列出等量关系式是解题关键． 【作业 14】某车间生产的一套产品由3个A型部件和4个B型部件组成，该车间现有40个工人，每个工人每天能加工3个A型部件或6个B型部件．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种部件，并要求每天加工的A、B型部件数量正好组成若干套该产品． （1）按照这样的生产方式，该车间每天能配套生产组成多少套该产品？ （2）春节后工厂补充20名新工人，这些新工人只能独立进行B型部件的加工，且每人每天只能加工4个B型部件，则补充新工人后每天能配套生产多少套该产品？ 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】（1）设安排x个工人生产A型部件，则安排（40﹣x）个工人生产B型部件，根据生产的两种部件正好配套，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论； （2）设安排y个工人生产A型部件，则安排（40﹣y）个老员工生产B型部件，根据生产的两种部件正好配套，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，再将其代入中，即可求出结论． 【解答】解：（1）设安排x个工人生产A型部件，则安排（40﹣x）个工人生产B型部件， 根据题意，得， 解方程，得x＝24， ∴24（套）． 答：该车间每天能配套生产组成24套该产品； （2）设安排y个工人生产A型部件，则安排（40﹣y）个老员工生产B型部件， 根据题意，得， 解方程，得y＝32， ∴32（套）． 答：补充新工人后每天能配套生产32套该产品． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【作业 15】一车间加工轴杆和轴承，每名工人每天平均可以加工轴杆12根或者轴承16个，1根轴杆与2个轴承为一套，该车间共有90名工人； （1）应该怎样调配，多少名工人加工轴杆，多少名工人加工轴承，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套？ （2）由于急需，又从二车间抽调12名具有相同能力的工人来一车间；问能安排这些新来的工人加工轴杆、轴承，使每天生产的轴承和轴杆正好配套？ 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】（1）设每天安排x人生产轴杆，则有（90﹣x）人生产轴承，根据1根轴杆与2个轴承为一套，列出方程，即可得出答案； （2）根据题意得到方程12x×2＝16（12﹣x），求得x的值为正整数时方可符合题意． 【解答】解：（1）设x个人加工轴杆，（90﹣x）个人加工轴承，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套， 根据题意，得12x×2＝16（90﹣x）， 去括号，得24x＝1440﹣16x， 移项合并，得40x＝1440， 解得：x＝36． 所以90﹣36＝54（人）． 答：调配36个人加工轴杆，54个人加工轴承，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套； （2）根据题意，得12x×2＝16（12﹣x）， 去括号，得24x＝192﹣16x， 移项合并，得40x＝192， 解得：x＝4.8． 因为x的值不为整数，所以不能； 答：不能安排这些新来的工人加工轴杆、轴承，使每天生产的轴承和轴杆正好配套． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意，找准题中的数量关系是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $