第4章 一元一次方程（复习讲义）数学苏科版2024七年级上册

第四章 一元一次方程（复习讲义） ①理解等式的概念，能根据实际情境中的等量关系列出等式；掌握等式的基本性质，能运用等式的基本性质进行等式的变形； ②能说出方程的解的意义，会判断一个数是不是方程的解； ③理解一元一次方程的概念，能判断一个式子是不是一元一次方程； ④掌握一元一次方程的一般解法步骤； ⑤掌握一元一次方程解决实际问题的一般步骤，并能根据实际问题的意义检验所得结果是否合理； 知识点 重点归纳 常见易错点 方程 1.方程定义：含有未知数的等式叫做方程. 2.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 判断一个数（或一组数）是否是某个方程的解，只需看两点： ①它们是方程中未知数的值； ②将它代入方程的左边和右边，若左边=右边，则它是方程的解，否则不是． 一个式子要想成为方程，需要同时满足两个条件：①是等式；②是含有未知数． 等式的性质 等式的性质： 等式的基本性质1： 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等. 数学语言表示：如果，那么. 等式的基本性质2： 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 数学语言表示：如果，那么. 如果，，那么. （1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； （2）等式性质2中，这一条件必不可少。 一元一次方程 1.一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 一元一次方程中的“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程需要同时满足以下条件： 1 是一个方程; 2 必须只含有一个未知数; 未知数的次数都是1． 3 含有未知数的式子都是整式; 2.一元一次方程的解法： （1）去分母,； （2）去括号； （3）移项； （4）合并同类项； （5）系数化成1； 一元一次方程解法 易错提醒： 犯错最高的4种错误 (1)不要漏乘不含分母的项； (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号； （3）移项不要忘了变号； （4）不要把分子、分母写颠倒，学生易错把分子分母弄颠倒。 一元一次方程应用 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 列方程解应用题的基本思路为： 问题方程解答． 由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值； （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 解方程应用题必须检验，一方面是检验解的未知数的值是不是方程的解；另一方面检验解的结果是不是符合题目的要求和实际意义。 题型一 一元一次方程的概念 【例1】下列是关于的一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知方程是关于的一元一次方程，则的值是（    ） A．1 B． C． D．2 【变式1-3】已知是关于x的一元一次方程，则m的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 【变式1-4】若是关于x的一元一次方程，则m等于（   ） A．1 B．2 C．1或2 D．0 题型二 等式的基本性质判断 【例2】下列根据等式的基本性质变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-1】下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-2】已知，则下列变形不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】下列方程的变形过程中，不正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【变式2-4】若a、b、c为有理数，则下列说法正确的是（   ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 题型三 一元一次方程解法 【例3】．解下列方程： (1)； (2)． 【变式3-1】解方程： (1) (2) 【变式3-2】解方程 (1) (2) 【变式3-3】解下列方程： (1) (2) 【变式3-4】以下是圆圆解方程的过程． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请在上面的解题过程中划出错误的地方，并写出正确的解答过程． 题型四 一元一次方程应用之古代数学问题 【例4】．“鸡兔同笼”问题是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题．今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ (1)补全表格：若设兔有x只． 项目 只数 足数 鸡 ______ 兔 x ______ 合计 35 94 (2)请你完整的解决“鸡兔同笼”问题．（可重设未知数） 【变式4-1】在利用一元一次方程解决问题时，借助表格和示意图可以直观分析问题，使问题中的数量关系更加清晰，实际上，借助图表直观分析数量关系，往往是解决问题的一种重要策略． 【题目】我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）一书中有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．” 译文是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？ 【直观分析】（1）设快马天可以追上慢马，请你将如下的线段图补充完整： 【解决问题】（2）根据（1）中线段图所反映的数量关系，列方程解决问题． 【变式4-2】列一元一次方程解应用题：我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问车有几何？”其意思是：“每车坐3人，空出来2车；每车坐2人，9人没车坐，问车有多少辆？” 【变式4-3】隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？(选自《算法统宗》) 题目大意：几个人分银子，若每人分两，则剩余两；若每人分两，则差两问：有多少个人？ 有多少两银子？ (1)设人数为，请求解此题； (2)设银子总数为两，请求解此题． 【变式4-4】《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人和车各几何？”这个题的意思是：今有若干人乘车，若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车，则余9人需步行，问共有多少辆车，多少人？ (1)设有x辆车，根据题意，用含有x的式子填空： “若每3人乘一辆车，则余2辆空车”即共有________辆车坐满3人，则乘车人数可表示为________；“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”即共有________辆车坐满2人，则乘车人数可表示为________． (2)列出方程，求出问题的答案． 题型五 一元一次方程应用之行程问题 【例5】．甲、乙两站相距480千米，一列慢车从甲站开出，每小时行80千米，一列快车从乙站开出，每小时行120千米，若慢车先开出1小时，快车再出发，两车相向而行，问快车出发多少小时后两车相遇？ 【变式5-1】甲、乙、丙三人沿着环形跑道从同一起点出发，丙与甲、乙的方向相反．40秒后，甲与丙第一次相遇，又过了1分钟，乙与丙第二次相遇．问再过多少秒，甲将第一次追上乙？ 【变式5-2】小亮和小红课间去校园操场锻炼，两人沿环形跑道跑步，每次总是小红跑完圈时，小亮跑完圈．一天两人同时同地出发，反向而跑，小亮最后发现两人第一次相遇用时． (1)求两人的速度． (2)若两人同时同地沿该跑道同向跑，则经过多长时间两人第一次相遇？ (3)一天，小亮与小红约定在此操场进行赛跑，等小亮完成全程的时，原地停留后以原来的速度开始匀速追赶小红，在此过程中，小红始终保持速度不变，小亮能否在终点前追上小红？如果能，求追上时距离终点还有多少；如果不能，请说明理由． 【变式5-3】金鸡湖环湖步道风景如画，漫步其中可以领略到湖光山色与都市繁华的交相映衬，感受到现代与自然的交融之美．甲从小木屋驿站（金鸡驿01）出发，逆时针环湖步行，甲出发后，乙从小木屋驿站出发沿相同路线环湖跑步，两人同时到达望湖角驿站（金鸡驿06）．已知小木屋驿站与望湖角驿站的路程为，甲的平均速度是． (1)求乙的平均速度； (2)当甲、乙两人的路程相差时，求甲步行的时间． 【变式5-4】运用一元一次方程解答． 西安到延安的距离约是300千米，一辆货车从西安出发开往延安，另一辆轿车从延安出发开往西安，若轿车的平均速度为每小时90千米，货车的平均速度为每小时60千米． (1)若两车同时出发，则它们经过多少小时相遇？ (2)若货车先行驶60千米，则轿车要开出多少小时才能与货车相遇？ 题型六 一元一次方程应用之销售问题 【例6】．小明看中一套衣服的价格是378元，其中裤子的价格是上衣的，上衣和裤子的价格分别是多少元？ 【变式6-1】一件商品按成本价提高20%后标价，再打八折销售，售价为144元．售出这件商品是盈利还是亏损？ 【变式6-2】某服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现其中一件衣服的标价被污渍遮盖了，已知这件衣服打九五折比打八折多盈利15元钱，求这件衣服的标价是多少元？ 【变式6-3】水果批发市场批发丰水梨的价格如表： 购买丰水梨（千克） 单价 不超过千克的部分 元千克 超过千克但不超过千克的部分 元千克 超过千克的部分 元千克 (1)若陈阿姨第一次购买丰水梨千克,需要付费______元；第二次购买丰水梨千克，需要付费______元；第三次购买丰水梨千克，（超过千克），需要付费______元（化简结果用含的式子表示）． (2)若陈阿姨购买丰水梨花了元，求她买了多少千克的丰水梨？ (3)若陈阿姨分两次共购买千克的丰水梨，且第一次购买的数量为千克（），请问她这两次购买丰水梨共需要付多少元？（化简结果用含的式子表示） 【变式6-4】一家商店因换季将某种服装打折销售．如果每件服装按标价的5折出售，将亏本30元；如果按标价的8折出售，将盈利60元． (1)每件服装的标价是多少元？ (2)打几折销售能恰好保证利润率为？ 题型七 一元一次方程应用之方案比较问题 【例7】暑假期间，某校组织学生到北京研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50人时，研学社给出两种优惠方案（只选其中一种方案）： 方案一：研学团队先交1600元后，每人再收费320元； 方案二：其中5人免费，其余每人收费打九折． 当参加研学的总人数是时． (1)请用含的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元； (2)当两种方案的收费相同时，求该校参加研学的总人数． 【变式7-1】某学校计划购买30张办公桌和若干个书架，现从甲、乙两家商场了解到：同型号的产品价格相同，办公桌每张160元，书架每个60元，甲商场的优惠政策为每买一张办公桌赠送一个书架，乙商场的优惠政策为所有商品八折出售．设该学校购买个书架． (1)若到同一家商场购买所有办公桌和书架，分别求出到甲商场和乙商场所需费用；（用含x的式子表示） (2)若只到其中一家商场购买所有办公桌和书架，求当购买多少个书架时，两家商场所需费用相同？ 【变式7-2】某校七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票价为每人20元，由各班班长负责买票．“下面是1班班长与售票员咨询的对话：” (1)1班学生人数为44，选择了方案一购票，1班购票需要______元； (2)2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)3班买票时方案一和方案二的购票费用相同，3班有多少人？ 【变式7-3】某中学准备组织七年级学生看电影《我和我的祖国》，由各班班长负责买票，票价每张20元．七（1）班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：“50人以上的团体票有两种优惠方案， 方案一：全体人员可打八折； 方案二：若打九折，有7人可免票．” (1)七（2）班有61名学生，选择哪种方案更省钱？ (2)七（1）班班长思考一会儿说：“我们班有50人以上，无论选择哪种方案，要付的钱是一样的．”你知道七（1）班有多少名学生吗？ 【变式7-4】某校组织若干师生到故宫进行参观活动，若学校只租用座的客车，则刚好坐满；若只租用座的客车，则可少租用辆，但有一辆上只坐了一半座位，其余车辆都坐满． (1)参加此次活动的师生共有多少人？下面是解决该问题的两种方法，请完成两种方法的分析过程，并选择其中的一种方法完成解答． 方法一 分析：设该校租用座的客车需要辆，则参观总人数可表示为_____________；租用座的客车辆，则参观总人数又可以表示为____________，根据题意列方程． 方法二 分析：设该校参加此次活动的师生共有人，则租用座的客车需要____________辆；租用座的客车需要____________辆，根据题意列方程． (2)若座的客车每辆租金是元，座的客车每辆租金是元，如果只能单独租一种车，比较选用哪一种车，费用较少？ 题型八 一元一次方程应用之动点问题 【例8】．如图，在数轴上点A表示数a，点C表示数c，且多项式的常数项是a，次数是c．我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记，比如，点A与点C之间的距离记作 (1)求a，c的值； (2)若数轴上有一点D满足，则D点表示的数为____，并说明理由； (3)动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点A，C在数轴上运动，点A的速度每秒2个单位长度，点C的速度为每秒3个单位长度，运动时间为t秒． ①若点A向右运动，点C向左运动，，求t的值； ②若点A向左运动，点C向右运动，的值不随时间t的变化而改变，通过计算求出m的值． 【变式8-1】已知A，B两点在数轴上所表示的数分别为a，b，且a，b满足． (1) ， ； (2)如图所示，有一辆玩具小火车CD放置在数轴上，小火车可以沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为，求玩具小火车的长度； (3)在（2）的条件下，将玩具小火车沿数轴左右水平移动，当时，请求出点所表示的数． 【变式8-2】如图，长方形中，，点从点出发，以的速度沿运动，最终到达点，在点运动了秒后点开始以的速度从点运动到点停止，在运动过程中，设点的运动时间为秒． (1)当时，____________． (2)用含的式子表示：当时，______；当时，______cm． (3)求当的面积为时，求的值． 【变式8-3】如图所示，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，其中a是最大的负整数，b、c满足，且． (1) ； ；线段 ； (2)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒5个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒，当A、C两点之间的距离为11个单位长度时，求运动时间t的值； (3)若线段和同时开始向右运动，且线段的速度小于线段的速度．在点A和点C之间有一点M，始终满足，在点B和点D之间有一点N，始终满足，此时线段为定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【变式8-4】已知数轴上三点A，O，B对应的数分别为，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x． (1)如果点P到点A，点B的距离相等，那么________； (2)当________时，点P到点A、点B的距离之和是6； (3)在数轴上，点M，N表示的数分别为，，我们把，之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即． 若点P以每秒3个单位长度的速度从点O向左运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A向左运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B也向左运动，且三个点同时出发，那么运动多少秒时，点P到点E，点F的距离相等． 基础巩固通关测 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．已知是关于的方程的解，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 3．下列方程变形正确的是（    ）． A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 4．下列说法正确的是（    ） A．方程，未知数系数化为1，得 B．方程，去括号，得 C．方程，移项，得 D．方程可化成 5．解方程，下列去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 6．下面解方程的过程，你认为正确的是（  ） A．方程，合并同类项，得 B．方程，去括号，得 C．方程去分母，得 D．方程，系数化为，得 7．若与互为相反数，则的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 8．小马同学在解关于的方程时，在去分母的过程中等号右边漏乘“”，解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．购买一本书，打八折比打九折少花3元，那么这本书的原价是（    ）元． A．20 B．25 C．30 D．35 10．学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．写出一个解为的一元一次方程： ． 12．若方程是关于x的一元一次方程，则方程的解为 ． 13．等式变形为的依据是等式的性质 ，它是将等式的两边 ． 14．若关于的方程的解是，则 ． 15．如图，框内表示解方程的流程，其中依据“等式性质”的步骤有 ．（填序号） 解： 去括号得：……① 移项得：……② 合并同类项得：……③ 系数化为1得：……④ 16．方程去分母得 ． 17．若式子与的值互为相反数，可列式为 ，则 ． 18．已知一张桌子配4张椅子，现有90立方米木料，若1立方米木料可做5张椅子或1张桌子，要使桌子和椅子所使用的木料刚好配套，设用x立方米的木料做桌子，则依题意可列方程为 ． 19．某地按如下规则收取每月天然气费：用气量如果不超过立方米，每立方米按元收取，如果超过立方米，超过部分按每立方米2元收费，已知某用户月的天然气费为元，则月份该用户用天然气 立方米． 20．某条地下管线由甲工程队单独铺设需要20天，由乙工程队单独铺设需要30天，现计划由乙工程队先从一端铺设5天，然后增加甲工程队从另一端和乙工程队同时铺设．则完成这条地下管线的铺设任务时，甲、乙两个工程队合作铺设的天数为 ． 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 21．（本题8分）解方程： (1)； (2)． 22．（本题8分）补全下列解方程过程，并在后面的括号内填写变形依据． 解：原方程可变形为．（①__________________） 去分母，得②______．（③__________________） 去括号，得．（④__________________）． （⑤______），得．（⑥__________________） （⑦__________________）得．（合并同类项法则） 将未知数的系数化为1，得⑧______．（⑨__________________） 23．（本题8分）已知是关于x的一元一次方程． (1)当m为何值时，该方程的解与方程的解相同？ (2)当方程的解为正整数，且m为非负整数时，求m的值． 24．（本题8分）《九章算术》是我国著名的数学专著，它的出现标志着中国古代数学体系的形成，其中有这样一道题：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，请问大小船各有几只？ 25．（本题8分）为节约用水，政府决定对居民用水实行三级阶梯水价： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小明家今年2月份用水量是26立方米，缴费62.6元，请求出上表中a值？ (2)在（2）的条件下，若小明家3月份用水量增大，共缴费97.6元，请求出他家3月份的用水量是多少立方米？ 能力提升进阶练 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式中，一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 9 7 5 3 1 A． B． C． D． 3．下列变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值： 则关于的方程的解为（　　） A． B． C． D． 5．下列方程的解法中，错误的个数是（   ） ①方程，移项，得； ②方程，去括号，得； ③方程去分母，得：； ④方程，系数化为1，得：． A．1 B．2 C．3 D．4 6．若关于的方程的解为，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D．不能确定 7．已知关于x的方程，则下列说法不正确的是（   ） A．时方程无解 B．无论b的值为多少，方程的解不可能是 C．时，方程解为 D．时 8．若不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是．则的值是（     ） A． B． C． D．15 9．某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（   ） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 10．某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度） 第一阶梯 2760度及以下部分 0.538 第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588 第三阶梯 4801度及以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（   ） A．5250度 B．5100度 C．4900度 D．4850度 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．写出一个一元一次方程，满足下列要求：①方程的解为；②未知数的系数不能为1，这个方程可以是 ． 12．若方程是关于x的一元一次方程，则方程的解为 ． 13．已知，，当的值为 时，． 14．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a，b，规定，那么当时，x的值是 ． 15．设，，，为有理数，现规定一种新的运算，则满足等式：的的值为 ． 16．若关于的方程的解与方程的解互为相反数，则的值为 ． 17．一列方程如下排列：的解是， 的解是，的解是，… 根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： ． 18．如图，将第1个图中的正五边形剪开得到第2个图，第2个图中共有5个正五边形；将第2个图中一个正五边形剪开得到第3个图，第3个图中共有9个正五边形．……此规律进行下去，若第个图中共有2025个正五边形，则的值为 ． 19．如图，、、、为直线上的个动点，其中，．在直线上，线段以每秒个单位的速度向左运动，同时线段以每秒个单位的速度向右运动，则运动 秒时，点到点的距离与点到点的距离相等． 20．如图是一个数表，现用一个矩形在数表中任意框出：4个数，当时， ． 三、解答题（本大题共5小题，共60分） 21．（本题8分）解下列方程： (1) (2) (3) (4) 22．（本题8分）七（1）班数学老师在批改小颖的作业时，发现小颖在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“”处的数字也模糊不清了． (1)请你帮小颖求出“”处的数字． (2)请你求出原方程正确的解． 23．（本题8分）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“有趣方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“有趣方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，则______． (2)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，且它的解为，求、的值． 24．（本题8分）某市按以下规定收取每月水费：若每月每户用水不超过，则每立方米按元收费；若每月每户用水超过，则超过部分每立方米按元收费． (1)李明家上个月用水，他上个月应交水费多少元？ (2)若当月用水量为（），请你用含的式子表示当月所付水费金额； (3)如果王鹏家月份所交水费的平均价为每立方米元，那么王鹏家月份用水多少立方米？请你设未知数列方程完成此问． 25．（本题8分）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“友好点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“友好点”． (1)若点M表示数， 点N表示的数4，下列各数0，1，2所对应的点分别为，其中是点M，N的“友好点”的是___________； (2)点A表示数， 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“友好点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“友好点”，写出此时点P表示的数___________． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 一元一次方程（复习讲义） ①理解等式的概念，能根据实际情境中的等量关系列出等式；掌握等式的基本性质，能运用等式的基本性质进行等式的变形； ②能说出方程的解的意义，会判断一个数是不是方程的解； ③理解一元一次方程的概念，能判断一个式子是不是一元一次方程； ④掌握一元一次方程的一般解法步骤； ⑤掌握一元一次方程解决实际问题的一般步骤，并能根据实际问题的意义检验所得结果是否合理； 知识点 重点归纳 常见易错点 方程 1.方程定义：含有未知数的等式叫做方程. 2.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 判断一个数（或一组数）是否是某个方程的解，只需看两点： ①它们是方程中未知数的值； ②将它代入方程的左边和右边，若左边=右边，则它是方程的解，否则不是． 一个式子要想成为方程，需要同时满足两个条件：①是等式；②是含有未知数． 等式的性质 等式的性质： 等式的基本性质1： 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等. 数学语言表示：如果，那么. 等式的基本性质2： 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 数学语言表示：如果，那么. 如果，，那么. （1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； （2）等式性质2中，这一条件必不可少。 一元一次方程 1.一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 一元一次方程中的“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程需要同时满足以下条件： 1 是一个方程; 2 必须只含有一个未知数; 未知数的次数都是1． 3 含有未知数的式子都是整式; 2.一元一次方程的解法： （1）去分母,； （2）去括号； （3）移项； （4）合并同类项； （5）系数化成1； 一元一次方程解法 易错提醒： 犯错最高的4种错误 (1)不要漏乘不含分母的项； (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号； （3）移项不要忘了变号； （4）不要把分子、分母写颠倒，学生易错把分子分母弄颠倒。 一元一次方程应用 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 列方程解应用题的基本思路为： 问题方程解答． 由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值； （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 解方程应用题必须检验，一方面是检验解的未知数的值是不是方程的解；另一方面检验解的结果是不是符合题目的要求和实际意义。 题型一 一元一次方程的概念 【例1】下列是关于的一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程，逐个判断即可． 【详解】解：A、 是不等式，不是方程，选项错误； B、 是代数式，不含等号，不是方程，选项错误； C、 中，若，则为关于的一元一次方程；但题目未明确，当时方程不成立，选项错误 D、 是等式，仅含未知数且次数为1，符合一元一次方程的定义，选项正确； 故选：D． 【变式1-1】下列是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义，是解题的关键．根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程）进行判断． 【详解】解：A. 方程中含有两个未知数x和y，属于二元一次方程，故A不符合题意； B. 方程中未知数x的次数为2，属于一元二次方程，故B不符合题意； C. 方程中仅含有一个未知数x，且次数为1，符合一元一次方程的定义，故C符合题意； D. 该式是不等式，不是方程，直接排除，故D不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】已知方程是关于的一元一次方程，则的值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义，未知数的次数必须为1，且系数不为0，由此确定，求解的值即可． 【详解】解：由题意，方程是关于的一元一次方程， 因此的指数必须为1． 即， 得或， 即的值为． 故选：C． 【变式1-3】已知是关于x的一元一次方程，则m的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义，未知数x的次数必须为1，且系数不为0，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴ ∴， 故选：C 【变式1-4】若是关于x的一元一次方程，则m等于（   ） A．1 B．2 C．1或2 D．0 【答案】A 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的次数为，这样的整式方程叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义可得：，，再解即可． 【详解】解：是关于的一元一次方程， ，， 解得：， 故选：A． 题型二 等式的基本性质判断 【例2】下列根据等式的基本性质变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查等式的基本性质，解决问题的关键是在利用性质二时注意除数不能为0．利用等式的基本性质进行一一判定即可． 【详解】解：选项A：等式两边应同时加减同一数，但左边加，右边减，显然不等，故A错误． 选项B：左边为，右边为．由，右边可化为，即，仅当时成立，故B错误． 选项C：等式两边同时乘以同一数，等式仍成立（无论是否为0），故C正确． 选项D：等式两边同时除以时，需，但题目未说明非零，故D错误． 故选：C． 【变式2-1】下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、等式两边应同时加减同一数，但左边加，右边减，相当于两边加减不同数，等式不成立，选项错误； B、根据等式性质，两边同乘任意数（包括0），等式仍成立，选项正确； C、当时，分母为0无意义，等式不成立，选项错误； D、两边同乘得：，而非，推导错误，选项错误； 故选：B． 【变式2-2】已知，则下列变形不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查等式的基本性质，需注意分母不能为零的情况，根据不等式的基本性质意义判断即可； 【详解】解：：等式两边同乘，无论是否为0，等式成立（若，两边均为0，仍成立），故A正确． ：当时，分母为0，此式无意义，故B错误． ：等式两边同加，故C正确． ：等式两边同减，故D正确． 故选B． 【变式2-3】下列方程的变形过程中，不正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查的是等式的基本性质，掌握移项变号，是解题的关键．根据等式的基本性质，进行移项，合并同类项，系数化“1”逐一判断即可． 【详解】解∶A．由，两边同除以5，得，变形正确； B．由，两边同乘，得，变形正确； C．由，移项时应将移到左边，得，但选项C写为，符号错误，变形不正确； D．由，移项得，变形正确， 故选∶C． 【变式2-4】若a、b、c为有理数，则下列说法正确的是（   ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 【答案】C 【知识点】等式的性质2、等式的性质1 【分析】本题考查了等式的基本性质，“如果，那么” ，“如果，那么” ，“如果，那么（）”，根据此性质进行逐一判断即可求解，掌握性质是解题的关键． 【详解】解：因为，所以当时，，结论错误，故不符合题意； B.因为，所以，结论错误，故不符合题意； C.因为，所以，结论正确，故符合题意； D.因为，所以或，结论错误，故不符合题意； 故选：C． 题型三 一元一次方程解法 【例3】．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． （1）根据去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1，即可求解． （2）根据去分母，去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1，即可求解． 【详解】（1）解： 去括号∶ 移项： 合并同类项： 化系数为1： （2）解： 去分母：， 去括号： 移项： 合并同类项： 化系数为1： 【变式3-1】解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 【变式3-2】解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键； （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，即可求解； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，即可求解． 【详解】（1）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1，得：； （2）解：去分母得： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1，得：； 【变式3-3】解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，熟练掌握一元一次方程的求解方法是解题关键． （1）根据移项合并同类项，系数化为1的顺序进行求解即可； （2）根据去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1的顺序进行求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得：； （2）解：， 去分母，得： 去括号，得： 移项合并同类项，得： 系数化为1，得：． 【变式3-4】以下是圆圆解方程的过程． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请在上面的解题过程中划出错误的地方，并写出正确的解答过程． 【答案】圆圆的解答过程有错误，划出错误的地方见解析，正确的解答过程见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，去分母时，等式右边的1没有乘以系数6，去括号时等式左边的1没有乘以系数3，没有乘以系数，等式右边的1应该是6，再按照去括号，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可． 【详解】解：圆圆的解答过程有错误，划出错误的地方如下： 去分母，得． 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 正确的解答过程如下： 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 题型四 一元一次方程应用之古代数学问题 【例4】．“鸡兔同笼”问题是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题．今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ (1)补全表格：若设兔有x只． 项目 只数 足数 鸡 ______ 兔 x ______ 合计 35 94 (2)请你完整的解决“鸡兔同笼”问题．（可重设未知数） 【答案】(1)见解析 (2)兔有只，鸡有只 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题主要考查了用一元一次方程解决实际问题，解答本题的关键是仔细审题，根据等量关系得出方程，难度一般． （1）根据上有三十五头，得出鸡和兔共有35只，设兔有x只，则鸡有只，分别根据一只鸡有2足，一只兔子有4足，表示出鸡和兔子的总足数即可； （2）根据解析中得出的结果，结合鸡、兔共94足列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵上有三十五头， ∴鸡和兔共有35只， 设兔有x只，则鸡有只，兔的足数为，鸡的足数为． 项目 只数 足数 鸡 兔 x 合计 35 94 （2）解：设兔有x只，则鸡有只，根据题意得： ， 解得：， 则（只）， 答：兔有只，鸡有只． 【变式4-1】在利用一元一次方程解决问题时，借助表格和示意图可以直观分析问题，使问题中的数量关系更加清晰，实际上，借助图表直观分析数量关系，往往是解决问题的一种重要策略． 【题目】我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）一书中有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．” 译文是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？ 【直观分析】（1）设快马天可以追上慢马，请你将如下的线段图补充完整： 【解决问题】（2）根据（1）中线段图所反映的数量关系，列方程解决问题． 【答案】（1）画图见解析；（2）快马20天可以追上慢马． 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意画图表示即可； （2）设快马x天可以追上慢马，根据慢马先行的路程快慢马速度之差快马行走天数，即可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）如图所示： （2）设快马x天可以追上慢马， 由题意，得， 解得：． 答：快马20天可以追上慢马． 【变式4-2】列一元一次方程解应用题：我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问车有几何？”其意思是：“每车坐3人，空出来2车；每车坐2人，9人没车坐，问车有多少辆？” 【答案】15辆 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，能根据题意找出等量关系，并根据等量关系列出方程是解决此题的关键．设车有x辆，根据“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步”，即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】解：设车为x辆，根据题意，得 解得， 答：车有15辆． 【变式4-3】隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？(选自《算法统宗》) 题目大意：几个人分银子，若每人分两，则剩余两；若每人分两，则差两问：有多少个人？ 有多少两银子？ (1)设人数为，请求解此题； (2)设银子总数为两，请求解此题． 【答案】(1)有人，两银子 (2)有人，两银子 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设人数为，利用银子的两数不变，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值即人数，再将其代入中，即可求出银子的两数； （2）设银子总数为两，利用分银子的人数不变，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值即银子的总数，再将其代入即可求出人数． 【详解】（1）解：设人数为， 根据题意得：， 解得：， （两）． 答：有人，两银子； （2）设银子总数为两， 根据题意得： 解得：， （人）． 答：有人，两银子． 【变式4-4】《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人和车各几何？”这个题的意思是：今有若干人乘车，若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车，则余9人需步行，问共有多少辆车，多少人？ (1)设有x辆车，根据题意，用含有x的式子填空： “若每3人乘一辆车，则余2辆空车”即共有________辆车坐满3人，则乘车人数可表示为________；“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”即共有________辆车坐满2人，则乘车人数可表示为________． (2)列出方程，求出问题的答案． 【答案】(1)，，， (2)见解析 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出代数式和方程，是解题的关键． （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据人数不变，列出方程进行求解即可； 【详解】（1）解：设有x辆车，若每3人乘一辆车，则余2辆空车”即共有辆车坐满3人，则乘车人数可表示为；若每2人乘一辆车，则余9人需步行”即共有辆车坐满两人，则乘车人数可表示为； 故答案为：，，，； （2）解：由题意，得：， 解得：， ∴， 答：有15辆车，39人． 题型五 一元一次方程应用之行程问题 【例5】．甲、乙两站相距480千米，一列慢车从甲站开出，每小时行80千米，一列快车从乙站开出，每小时行120千米，若慢车先开出1小时，快车再出发，两车相向而行，问快车出发多少小时后两车相遇？ 【答案】快车出发2小时后两车相遇 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键；设快车出发x小时后两车相遇，根据等量关系：快车与慢车行驶的路程和等于甲乙两站距离，列出一元一次方程，并解方程即可． 【详解】解：设快车出发x小时后两车相遇，则慢车从出发到相遇行驶了小时， 由题意得：， 解得：， 答：快车出发2小时后两车相遇． 【变式5-1】甲、乙、丙三人沿着环形跑道从同一起点出发，丙与甲、乙的方向相反．40秒后，甲与丙第一次相遇，又过了1分钟，乙与丙第二次相遇．问再过多少秒，甲将第一次追上乙？ 【答案】100秒 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查行程问题；设全程为“1”，分别列出甲、丙第一次相遇，乙、丙第二次相遇的式子，两式相减，再求出甲、乙同向时追及的时间，最后列式计算即可． 【详解】解：设全程为“1”． 因为40分钟，甲、丙第一次相遇，所以，①； 又过1分钟，乙、丙第二次相遇，所以②， ①②：， ． 甲、乙同向，追及时间：（秒）， 再过秒，甲第一次追上乙． 答：再过100秒，甲将第一次追上乙． 【变式5-2】小亮和小红课间去校园操场锻炼，两人沿环形跑道跑步，每次总是小红跑完圈时，小亮跑完圈．一天两人同时同地出发，反向而跑，小亮最后发现两人第一次相遇用时． (1)求两人的速度． (2)若两人同时同地沿该跑道同向跑，则经过多长时间两人第一次相遇？ (3)一天，小亮与小红约定在此操场进行赛跑，等小亮完成全程的时，原地停留后以原来的速度开始匀速追赶小红，在此过程中，小红始终保持速度不变，小亮能否在终点前追上小红？如果能，求追上时距离终点还有多少；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)小亮的速度为，小红的速度为 (2)经过两人第一次相遇 (3)小亮能在终点前追上小红，追上时距离终点还有 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系． （1）设小亮的速度为，小红的速度为，根据两人的路程之和等于跑道总长度列方程即可求解； （2）设经过两人第一次相遇，根据两人的路程之差等于跑道总长度； （3）先求出两人到达终点的时间，可判断小亮能否在终点前追上小红，设小亮追上小红需要的时间为，根题意列方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：设小亮的速度为，小红的速度为， 根据题意得：， 解得：，   ，， 答：小亮的速度为，小红的速度为； （2）设经过两人第一次相遇， 根据题意得：， 解得，， 答：经过两人第一次相遇； （3）小亮能在终点前追上小红，     理由：小红到终点时需要的时间为，小亮到终点需要的时间为， ， 小亮能在终点前追上小红，   设小亮追上小红需要的时间为， 根据题意得：，     解得：， ，     答：小亮能在终点前追上小红，追上时距离终点还有． 【变式5-3】金鸡湖环湖步道风景如画，漫步其中可以领略到湖光山色与都市繁华的交相映衬，感受到现代与自然的交融之美．甲从小木屋驿站（金鸡驿01）出发，逆时针环湖步行，甲出发后，乙从小木屋驿站出发沿相同路线环湖跑步，两人同时到达望湖角驿站（金鸡驿06）．已知小木屋驿站与望湖角驿站的路程为，甲的平均速度是． (1)求乙的平均速度； (2)当甲、乙两人的路程相差时，求甲步行的时间． 【答案】(1)乙的平均速度是； (2)甲步行的时间为或． 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用乙的平均速度=小木屋驿站与望湖角驿站的路程÷（小木屋驿站与望湖角驿站的路程÷甲的平均速度），即可求出乙的平均速度； （2）设甲步行的时间为，根据甲、乙两人的路程相差，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： ． 答：乙的平均速度是； （2）解：设甲步行的时间为， 根据题意得：或， 解得：或． 答：甲步行的时间为或． 【变式5-4】运用一元一次方程解答． 西安到延安的距离约是300千米，一辆货车从西安出发开往延安，另一辆轿车从延安出发开往西安，若轿车的平均速度为每小时90千米，货车的平均速度为每小时60千米． (1)若两车同时出发，则它们经过多少小时相遇？ (2)若货车先行驶60千米，则轿车要开出多少小时才能与货车相遇？ 【答案】(1)它们经过个小时相遇 (2)轿车要开出个小时才能与货车相遇 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，列出方程是解题的关键： （1）设它们经过小时相遇，根据相遇时两车的路程之和为300千米，列出方程进行求解即可； （2）设轿车要开出小时才能与货车相遇，根据两个相遇时所走的路程加上货车先行驶的路程等于300千米，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设它们经过小时相遇，由题意，得： ， 解得：； 答：它们经过小时相遇； （2）设轿车要开出小时才能与货车相遇，由题意，得： ， 解得：； 答：轿车要开出个小时才能与货车相遇． 题型六 一元一次方程应用之销售问题 【例6】．小明看中一套衣服的价格是378元，其中裤子的价格是上衣的，上衣和裤子的价格分别是多少元？ 【答案】上衣216元，裤子162元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 设上衣x元，根据等量关系列出一元一次方程并解方程即可求解． 【详解】解：设上衣x元，由题意得： ， 解得：， 元． 答：上衣216元，裤子162元． 【变式6-1】一件商品按成本价提高20%后标价，再打八折销售，售价为144元．售出这件商品是盈利还是亏损？ 【答案】售出这件商品是亏损 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 设这件商品的成本价为元，根据题意得，解得，因为，所以售出这件商品是亏损． 【详解】解：设这件商品的成本价为元， 根据题意得， 解得， ， 售出这件商品是亏损． 【变式6-2】某服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现其中一件衣服的标价被污渍遮盖了，已知这件衣服打九五折比打八折多盈利15元钱，求这件衣服的标价是多少元？ 【答案】这件衣服的标价是100元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元方程的实际应用，正确理解题意，建立方程是解题的关键． 设这件衣服的标价是元，由这件衣服打九五折比打八折多盈利15元钱即可建立方程． 【详解】解：设这件衣服的标价是元， 由题意得，， 解得：， 答：这件衣服的标价是100元． 【变式6-3】水果批发市场批发丰水梨的价格如表： 购买丰水梨（千克） 单价 不超过千克的部分 元千克 超过千克但不超过千克的部分 元千克 超过千克的部分 元千克 (1)若陈阿姨第一次购买丰水梨千克,需要付费______元；第二次购买丰水梨千克，需要付费______元；第三次购买丰水梨千克，（超过千克），需要付费______元（化简结果用含的式子表示）． (2)若陈阿姨购买丰水梨花了元，求她买了多少千克的丰水梨？ (3)若陈阿姨分两次共购买千克的丰水梨，且第一次购买的数量为千克（），请问她这两次购买丰水梨共需要付多少元？（化简结果用含的式子表示） 【答案】(1)，，； (2)陈阿姨买了千克的丰水梨； (3)当时，需要付费元；当时，需要付费元． 【知识点】有理数乘法的实际应用、列代数式、整式加减的应用、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了列代数式，有理数加法和乘法的应用，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出算式和代数式，再根据有理数运算，整式加减运算求解即可； （）由陈阿姨购买丰水梨花了元，可得陈阿姨购买丰水梨超过千克，再根据（）代数式列出方程，然后解方程即可； （）分当时和当时两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：陈阿姨第一次购买丰水梨千克,需要付费（元）； 第二次购买丰水梨千克，需要付费（元）； 第三次购买丰水梨千克，（超过千克），需要付费 （元） 故答案为：，，； （2）解：因为陈阿姨购买丰水梨花了元， ∴陈阿姨购买丰水梨超过千克， ∴， 解得：， 答：陈阿姨买了千克的丰水梨； （3）解：当时，需要付费元； 当时，需要付费元． 【变式6-4】一家商店因换季将某种服装打折销售．如果每件服装按标价的5折出售，将亏本30元；如果按标价的8折出售，将盈利60元． (1)每件服装的标价是多少元？ (2)打几折销售能恰好保证利润率为？ 【答案】(1)每件服装的标价是300元 (2)9折 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键： （1）设每件服装的标价是元，根据成本相同，列出方程即可； （2）设打折销售能恰好保证利润率为，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设每件服装的标价是元，根据题意得：， 解得，经检验，符合题意． 每件服装的标价是300元； （2）设打折销售能恰好保证利润率为， 根据题意得：， 解得，经检验，符合题意． 答：打9折销售能恰好保证利润率为． 题型七 一元一次方程应用之方案比较问题 【例7】暑假期间，某校组织学生到北京研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50人时，研学社给出两种优惠方案（只选其中一种方案）： 方案一：研学团队先交1600元后，每人再收费320元； 方案二：其中5人免费，其余每人收费打九折． 当参加研学的总人数是时． (1)请用含的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元； (2)当两种方案的收费相同时，求该校参加研学的总人数． 【答案】(1)当参加研学的总人数是时，方案一收费元，方案二收费元 (2)85 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据两种方案的优惠方法列出关于的代数式即可； （2）根据采用两种方案的收费列方程求解即可． 【详解】（1）解：方案一共收费：元， 方案二共收费：元， 答：当参加研学的总人数是时，方案一收费元，方案二收费元； （2）解：当时， 解得， 答：当参加研学的总人数是85人时，采用两种方案的收费是一样的． 【变式7-1】某学校计划购买30张办公桌和若干个书架，现从甲、乙两家商场了解到：同型号的产品价格相同，办公桌每张160元，书架每个60元，甲商场的优惠政策为每买一张办公桌赠送一个书架，乙商场的优惠政策为所有商品八折出售．设该学校购买个书架． (1)若到同一家商场购买所有办公桌和书架，分别求出到甲商场和乙商场所需费用；（用含x的式子表示） (2)若只到其中一家商场购买所有办公桌和书架，求当购买多少个书架时，两家商场所需费用相同？ 【答案】(1)甲商场所需费用为：元，乙商场购买需费用为：元． (2)70个 【知识点】列代数式、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查用字母表示数量关系，一元一次方程的运用，理解题意，列出相应的代数式是解题关键． （1）根据数量关系列式即可； （2）根据题意将（1）中两个代数式组成方程求解即可． 【详解】（1）解：到甲商场购买所需费用为：（元）， 到乙商场购买需费用为：（元）． （2）由题意，得：， 解得：． 答：当购买70个书架时，两家商场购买所需费用相同． 【变式7-2】某校七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票价为每人20元，由各班班长负责买票．“下面是1班班长与售票员咨询的对话：” (1)1班学生人数为44，选择了方案一购票，1班购票需要______元； (2)2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)3班买票时方案一和方案二的购票费用相同，3班有多少人？ 【答案】(1)704； (2)44人； (3)45人． 【知识点】有理数乘法的实际应用、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，方案选择问题，有理数乘法的实际应用，找准题目间等量关系是解题的关键． （1）用人数44乘以票价20再乘以即可； （2）设2班有x人，列方程，求解即可得到答案； （3）设3班有a人，列方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：（元）， 答：1班购票需要704元； （2）解：设2班有人，由题意得， 解得， 答：2班有44人； （3）解：设3班有人，由题意得， 解得， 答：3班有45人． 【变式7-3】某中学准备组织七年级学生看电影《我和我的祖国》，由各班班长负责买票，票价每张20元．七（1）班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：“50人以上的团体票有两种优惠方案， 方案一：全体人员可打八折； 方案二：若打九折，有7人可免票．” (1)七（2）班有61名学生，选择哪种方案更省钱？ (2)七（1）班班长思考一会儿说：“我们班有50人以上，无论选择哪种方案，要付的钱是一样的．”你知道七（1）班有多少名学生吗？ 【答案】(1)七（2）班班长应选择方案二 (2)七（1）班有 63人 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】（1）根据题意分别计算出两种方案的费用，选择费用较少的即可； （2）假设七(1)班有x人，根据两种方案价钱相同求出x的值即可． 本题主要考查了有理数的混合运算及运用一元一次方程解应用题，正确的列出算式及方程是解题的关键． 【详解】（1）解：方案一： (元)， 方案二：(元)， 因为 ， 故七(2)班班长应选择方案二． （2）解：假设七(1)班有x人，根据题意得 ， 解得 ． 答:七(1)班有 63人． 【变式7-4】某校组织若干师生到故宫进行参观活动，若学校只租用座的客车，则刚好坐满；若只租用座的客车，则可少租用辆，但有一辆上只坐了一半座位，其余车辆都坐满． (1)参加此次活动的师生共有多少人？下面是解决该问题的两种方法，请完成两种方法的分析过程，并选择其中的一种方法完成解答． 方法一 分析：设该校租用座的客车需要辆，则参观总人数可表示为_____________；租用座的客车辆，则参观总人数又可以表示为____________，根据题意列方程． 方法二 分析：设该校参加此次活动的师生共有人，则租用座的客车需要____________辆；租用座的客车需要____________辆，根据题意列方程． (2)若座的客车每辆租金是元，座的客车每辆租金是元，如果只能单独租一种车，比较选用哪一种车，费用较少？ 【答案】(1)方法一：；或；方法二：，或 (2)当时，选座车的费用高，应该选座车；当时，两种车的费用相等；当时，选座车的费用高，应该选座车 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，代数式，正确理解题意列出对应的方程和代数式是解题的关键． （1）根据题意，按照不同方法求解即可； （2）根据题意，分别求出选座车和选座车的费用，比较即可求解； 【详解】（1）方法一：；或 方法二：，或； 选方法一：由题意，得 解出 （人） 选方法二：由题意，得 或 解出； 故答案为：；或 ，或 （2）解：由题意，若选座车，费用 若选座车，费用 当时，选座车的费用高，应该选座车； 当时，两种车的费用相等； 当时，选座车的费用高，应该选座车． 题型八 一元一次方程应用之动点问题 【例8】．如图，在数轴上点A表示数a，点C表示数c，且多项式的常数项是a，次数是c．我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记，比如，点A与点C之间的距离记作 (1)求a，c的值； (2)若数轴上有一点D满足，则D点表示的数为____，并说明理由； (3)动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点A，C在数轴上运动，点A的速度每秒2个单位长度，点C的速度为每秒3个单位长度，运动时间为t秒． ①若点A向右运动，点C向左运动，，求t的值； ②若点A向左运动，点C向右运动，的值不随时间t的变化而改变，通过计算求出m的值． 【答案】(1)， (2)D所表示的数为或，理由见详解 (3)①或 ② 【知识点】多项式的项、项数或次数、数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】（1）根据多项式的次数及常数项定义解题； （2）分三种情况讨论，当当点D在点A的左侧时，或当点D在点A和点C之间时，或当点D在点C的右侧时，根据数轴上两点间距离的数量关系解题即可； （3）①t秒后，，，根据时，列出绝对值方程求解即可得出答案． ②设运动时间为t秒时，分别写成出点表示的数为，点表示的数为，可以用t表示出来，即可求解． 【详解】（1）解：∵多项式的常数项是a，次数是c ∴， （2）解：由（1）得 设点D表示的数为n ①如图，当点D在点A和点C之间时 ， ∵， ∴， ∴ ②如图，当点D在点A的左侧时 ， ∵ ∴ ∴ ③如图，当点D在点C的右侧时 此时不满足 ∴不合题意，舍去 综上所述点D所表示的数为或 （3）解：①∵点B所表示的数是1，点A代表的数是，点C代表的是20， ∴后，A代表的数是：，点B代表的数是：，点C代表的数是：， ∴，， 则当时， 即， 则，或者 解得：或． ②∵点B所表示的数是1 ∴， 当运动时间为t秒时，根据题意得： ， ∴ ∵的值与t无关， ∴， ∴ 【点睛】本题考查数轴上的动点、利用数轴求两点间的距离，整式加减运算涉及多项式的次数、常数项、一元一次方程、分类讨论、数形结合等知识，是重要考点，解题的关键是掌握相关知识． 【变式8-1】已知A，B两点在数轴上所表示的数分别为a，b，且a，b满足． (1) ， ； (2)如图所示，有一辆玩具小火车CD放置在数轴上，小火车可以沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为，求玩具小火车的长度； (3)在（2）的条件下，将玩具小火车沿数轴左右水平移动，当时，请求出点所表示的数． 【答案】(1)，9 (2)玩具小火车的长度为4 (3)点C所表示的数是3或9 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性、数轴上两点之间的距离 【分析】题目主要考查绝对值和平方的非负性，解一元一次方程，理解题意是解题关键． （1）根据绝对值和平方的非负性求解即可； （2）根据题意得出，结合题意求解即可； （3）设点所表示的数为，则点表示的数为，得出，然后结合题意，得出方程求解即可． 【详解】（1）解： ∴， ∴， 故答案为：，9 （2）解：由（1）可知 表示的数是表示的数是9 当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为 玩具小火车的长度为4． （3）解：设点所表示的数为，则点表示的数为 点在点的右侧，当时，可知， 两点只能在点的右侧 只能向右运动，即 当时，有 或 解得：或 点C所表示的数是3或9． 【变式8-2】如图，长方形中，，点从点出发，以的速度沿运动，最终到达点，在点运动了秒后点开始以的速度从点运动到点停止，在运动过程中，设点的运动时间为秒． (1)当时，____________． (2)用含的式子表示：当时，______；当时，______cm． (3)求当的面积为时，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了列代数式，用一元一次方程解决问题；根据题意正确的列出方程是解题的关键． （1）根据路程等于速度乘以时间即可求解． （2）根据题意列出代数式，即可求解． （3）分两种情况，①点在上时，点在处；②点在上时；由三角形面积分别求出t的值即可． 【详解】（1）解：长方形中，， ∴， 当时，点运动的路程为； ∴， ∵在点运动了秒后点开始以的速度从点运动到点， ∴； 故答案为：，． （2）解：当时，点在上运动， ∴， 当时，点运动了秒， ∴； 故答案为：； （3）解：分两种情况： ①点在上时，点在处，如图1所示： ∵的面积为， ∴，即， 解得：； ②点在上时，如图2所示： ∵的面积为， ∴，即， 解得：， ∴， 解得：； 综上所述，当的面积为时，的值为或． 【变式8-3】如图所示，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，其中a是最大的负整数，b、c满足，且． (1) ； ；线段 ； (2)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒5个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒，当A、C两点之间的距离为11个单位长度时，求运动时间t的值； (3)若线段和同时开始向右运动，且线段的速度小于线段的速度．在点A和点C之间有一点M，始终满足，在点B和点D之间有一点N，始终满足，此时线段为定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)运动时间为12秒或1秒 (3)是， 【知识点】数轴上两点之间的距离、整式的加减运算、几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题. （1）根据题意和平方绝对值的非负性可求出a，b，c，进而可求出和的值； （2）运动t秒后点A表示的数为，点B表示的数为，根据A、C两点之间的距离为11个单位长度列式求解即可； （3）设运动时间为t秒，线段的速度为a，线段的速度为b，根据题意表示出即可求解 【详解】（1）解：∵a是最大的负整数， ∴； ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得：运动t秒后点A表示的数为，点B表示的数为， ∵A、C两点之间的距离为11个单位长度， ∴， ∴或， 解得：或， ∴运动时间为12秒或1秒； （3）解：线段为定值； 设运动时间为t秒，线段的速度为a，线段的速度为b， 则点A：，点B：，点C：，点D：， ∵点A和点C之间有一点M，始终满足，在点B和点D之间有一点N，始终满足， ∴，， ∴． 【变式8-4】已知数轴上三点A，O，B对应的数分别为，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x． (1)如果点P到点A，点B的距离相等，那么________； (2)当________时，点P到点A、点B的距离之和是6； (3)在数轴上，点M，N表示的数分别为，，我们把，之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即． 若点P以每秒3个单位长度的速度从点O向左运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A向左运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B也向左运动，且三个点同时出发，那么运动多少秒时，点P到点E，点F的距离相等． 【答案】(1) (2)或2 (3)2或 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上动点问题，一元一次方程的应用，正确地表示运动过程点表示的数是解题的关键； （1）由题意得，即，求得x的值即可； （2）求出点A、点B的距离，分点P在点B的右边；点P在点A的左边两种情况即可求解； （3）设运动时间为t秒，则可表示出点P，E，F三点表示的数，可求得，根据得到关于t的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：题意得，即， 解得：； 故答案为：； （2）解：点A、点B的距离为4； 当点P在点B的右边时，则点B到点A的距离为4，当点B向右移1个单位长度时，点P到点A、点B的距离为6，此时点P表示的数为2； 点P在点A的左边时，则点A到点B的距离为4，当点A向左移1个单位长度时，点P到点A、点B的距离为6，此时点P表示的数为； 综上，点P表示的数为或2； 故答案为：或2； （3）解：设运动时间为t秒，则点P、E、F表示的数分别为； ∴，， ∵点P到点E，点F的距离相等，即， ∴， 解得：或； ∴运动秒或2秒时，点P到点E，点F的距离相等． 基础巩固通关测 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，未知数的次数为1，且为整式方程）逐一判断选项即可． 【详解】解：A. 方程中出现，分母含未知数，不符合整式方程的要求，故排除； B. 方程含有两个未知数和，不符合“一元”条件，故排除； C. 方程中的最高次数为2，不符合“一次”条件，故排除； D. 方程仅含一个未知数，次数为1，且为整式方程，符合一元一次方程的定义； 故选D． 2．已知是关于的方程的解，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、判断是否是一元一次方程解 【分析】本题考查了一元一次方程的解：满足一元一次方程的未知数的值叫一元一次方程的解． 把代入方程计算即可求出a的值． 【详解】解：把代入，得， 解得：， 故选B． 3．下列方程变形正确的是（    ）． A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、由，得，原式变形错误，不符合题意； B、由，得，原式变形错误，不符合题意； C、由，得，原式变形正确，符合题意； D、由，得，原式变形错误，不符合题意； 故选：C． 4．下列说法正确的是（    ） A．方程，未知数系数化为1，得 B．方程，去括号，得 C．方程，移项，得 D．方程可化成 【答案】D 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法，注意去分母时涉及的括号和各项都要乘最简公分母是解题的关键．根据解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，分别对选项进行判断． 【详解】解：A、方程，系数化为1得，故该选项不正确； B、方程，去括号得，故该选项不正确； C、方程，移项得，故该选项不正确； D、方程，去分母得，整理得：，故该选项正确； 故选：D． 5．解方程，下列去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．根据去分母时，一是注意不要漏乘没有分母的项，二是去掉分母后把分子加括号，逐项分析即可． 【详解】解：， 去分母，得：． 故选：A． 6．下面解方程的过程，你认为正确的是（  ） A．方程，合并同类项，得 B．方程，去括号，得 C．方程去分母，得 D．方程，系数化为，得 【答案】D 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查一元一次方程的解法．逐一分析各选项步骤的正确性即可． 【详解】解：A．方程合并同类项为，故A错误； B．方程去括号时为，故B错误； C．方程去分母时，两边同乘6得，故C错误； D．方程系数化为1时，两边同除以5得，故D正确； 故选：D． 7．若与互为相反数，则的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】相反数的定义、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】该题考查了相反数的定义，解一元一次方程，列出方程是解题的关键． 根据相反数的定义，两个数互为相反数则它们的和为0，由此建立方程求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 解得：， 故选：B． 8．小马同学在解关于的方程时，在去分母的过程中等号右边漏乘“”，解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查一元一次方程错解复原问题，将错就错，去分母后，将代入，求解即可． 【详解】解：按照小马同学去分母的过程得：， 把代入，得： ， 解得：； 故选：A． 9．购买一本书，打八折比打九折少花3元，那么这本书的原价是（    ）元． A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】C 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思． 设原价为x元，根据题意建立方程求解． 【详解】设这本书的原价为x元， 根据题意得， 解得： 因此，这本书的原价是30元． 故选：C． 10．学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据利润相等建立方程．原计划利润为，实际利润为，两者相等即可求解． 【详解】解：设每套成本为元．原计划利润为元；实际购买时利润为元． 根据题意得：， 故选B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．写出一个解为的一元一次方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程两边相等的未知数的值，据此写出一个当时，方程左右两边能相等的一元一次方程即可． 【详解】解：由题意得，符合题意的方程为， 故答案为：（答案不唯一）． 12．若方程是关于x的一元一次方程，则方程的解为 ． 【答案】/ 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、判断是否是一元一次方程解 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此求出m的值，进而得到原方程，再解方程即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴， ∴， ∴原方程为， 解得， 故答案为：． 13．等式变形为的依据是等式的性质 ，它是将等式的两边 ． 【答案】 同时乘 【知识点】等式的性质2 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：等式变形为的依据是等式的性质，它是将等式的两边同时乘， 故答案为：，同时乘． 14．若关于的方程的解是，则 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，解一元一次方程． 根据题意，先把代入方程，得出关于a的一元一次方程，然后再根据解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， ∴， 移项、合并同类项，得， 故答案为：． 15．如图，框内表示解方程的流程，其中依据“等式性质”的步骤有 ．（填序号） 解： 去括号得：……① 移项得：……② 合并同类项得：……③ 系数化为1得：……④ 【答案】②④/④② 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了解一元一次方程，理解解方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：由题意得 依据“等式性质”的步骤有②④， 故答案为：②④． 16．方程去分母得 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程，方程两边同时乘以6，去分母即可． 【详解】解：方程去分母，得：； 故答案为：． 17．若式子与的值互为相反数，可列式为 ，则 ． 【答案】 【知识点】相反数的应用、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了相反数的意义，解一元一次方程等知识点，解题的关键是熟练掌握相反数的意义和解一元一次方程的步骤． 根据相反数的意义和解一元一次方程的步骤进行求解即可． 【详解】解：根据相反数的意义可得， ， 故答案为：，． 18．已知一张桌子配4张椅子，现有90立方米木料，若1立方米木料可做5张椅子或1张桌子，要使桌子和椅子所使用的木料刚好配套，设用x立方米的木料做桌子，则依题意可列方程为 ． 【答案】 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 根据题意，求出桌子和椅子的数量，再利用一张桌子配4张椅子，且桌子和椅子所使用的木料刚好配套，列出相应的方程． 【详解】解：设用x立方米的木料做桌子，则用立方米的木料做椅子， 可做x张桌子，张椅子， 根据一张桌子配4张椅子，且桌子和椅子所使用的木料刚好配套， 可得， 故答案为：． 19．某地按如下规则收取每月天然气费：用气量如果不超过立方米，每立方米按元收取，如果超过立方米，超过部分按每立方米2元收费，已知某用户月的天然气费为元，则月份该用户用天然气 立方米． 【答案】 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用的知识，掌握了以上知识是解题的关键； 本题先判断出用气量是否超过立方米，然后设未知数，列方程即可求解； 【详解】解：， ∵， ∴月份用气量超过了立方米， 设月份用了煤气立方米， ， 解得：， 故答案为：70； 20．某条地下管线由甲工程队单独铺设需要20天，由乙工程队单独铺设需要30天，现计划由乙工程队先从一端铺设5天，然后增加甲工程队从另一端和乙工程队同时铺设．则完成这条地下管线的铺设任务时，甲、乙两个工程队合作铺设的天数为 ． 【答案】10 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲、乙两个工程队合作铺设的天数为天，利用甲工程队完成的工程量乙工程队完成工程量工程总量，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设甲、乙两个工程队合作铺设的天数为天， 根据题意得：， 解得：， 甲、乙两个工程队合作铺设的天数为10天． 故答案为：10． 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 21．（本题8分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键． （1）先去括号，然后移项合并同类项，系数化为1求解即可； （2）先去分母，然后去括号，移项合并同类项，系数化为1求解即可． 【详解】（1）解： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为1得：； （2）解： 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为1得：． 22．（本题8分）补全下列解方程过程，并在后面的括号内填写变形依据． 解：原方程可变形为．（①__________________） 去分母，得②______．（③__________________） 去括号，得．（④__________________）． （⑤______），得．（⑥__________________） （⑦__________________）得．（合并同类项法则） 将未知数的系数化为1，得⑧______．（⑨__________________） 【答案】见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是利用分数的基本性质将方程的系数化为整数． 先将原方程化为整系数方程，再利用一元一次方程的一般解法求解． 【详解】解：原方程可变形为（①分数的性质） 去分母，得②6（③等式的基本性质2） 去括号，得（④乘法分配律与去括号法则） （⑤移项），得（⑥等式的性质1） （⑦合并同类项）得．（合并同类项法则） 将未知数的系数化为1，得⑧（⑨等式的基本性质2）． 23．（本题8分）已知是关于x的一元一次方程． (1)当m为何值时，该方程的解与方程的解相同？ (2)当方程的解为正整数，且m为非负整数时，求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】（1）先求的解，得到方程的解，代入计算即可． （2）先求的解，根据解的属性，m的属性，解答即可． 本题考查了解方程，根据方程的解求值，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：解方程， 解得， ∵方程与方程的解相同， ∴方程的解为， ∴， 解得， 故时，方程与方程的解相同． （2）解：， 解得， 由方程的解为正整数， 故，且m为非负整数， 故， 解得， 故． 24．（本题8分）《九章算术》是我国著名的数学专著，它的出现标志着中国古代数学体系的形成，其中有这样一道题：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，请问大小船各有几只？ 【答案】大船有3只，小船有5只． 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设有x只小船，则大船只，根据“共8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满”列方程，解方程求出x值和值，即可． 【详解】解：设有x只小船，则大船只， 依题意得，解得，， ∴， ∴大船有3只，小船有5只． 25．（本题8分）为节约用水，政府决定对居民用水实行三级阶梯水价： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小明家今年2月份用水量是26立方米，缴费62.6元，请求出上表中a值？ (2)在（2）的条件下，若小明家3月份用水量增大，共缴费97.6元，请求出他家3月份的用水量是多少立方米？ 【答案】(1) (2)小明家3月份的用水量为35立方米 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解三级阶梯水价收费标准是重点，根据等量关系列方程求解是关键． （1）因为26立方米超过22立方米且不超过30立方米，所以，根据方程即可求出的值； （2）先根据第（2）问中得出的结果计算30立方米的费用，从而确定属于第几个阶梯，再列方程解决． 【详解】（1）解：由题意可知 解得； （2）解：设小明家3月份的用水量为x立方米，依题意得 解这个方程，得 经检验知，符合题意 答：小明家3月份的用水量为35立方米． 能力提升进阶练 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式中，一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查判断一元一次方程，熟记一元一次方程定义中的三点要求是解题的关键．一元一次方程是含有一个未知数，未知数的指数为1的整式方程，根据定义判断即可． 【详解】A. ，未知数的最高次为2，不是一元一次方程； B. 符合一元一次方程的定义，是一元一次方程； C. 含有2个未知数，不是一元一次方程； D. 是不是整式方程，所以不是一元一次方程； 故选：B． 2．整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 9 7 5 3 1 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】本题考查一元一次方程的解，根据表格可知，当时，，故的解为． 【详解】解：由表格可知：当时，， ∴的解为． 故选C． 3．下列变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、若，等式两边同时加，可得，该选项变形正确，不合题意； 、若，等式两边同时乘，可得，该选项变形正确，不合题意； 、若，等式两边同时除以，可得，该选项变形正确，不合题意； 、若，当时，不一定等于，该选项变形不正确，符合题意； 故选：． 4．整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值： 则关于的方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程 的方法是解题的关键． 先根据表格中数据可知，当时，，则， 当时，，则，即，把，的值代入得出关于 的一元一次方程，再根据解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解：由表格中数据可知，当时，， ∴， 当时，， ∴，即， ∴， 把，分别代入， 得， ， ∴， 故选：． 5．下列方程的解法中，错误的个数是（   ） ①方程，移项，得； ②方程，去括号，得； ③方程去分母，得：； ④方程，系数化为1，得：． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，各方程整理得到结果，即可作出判断，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键． 【详解】解：①方程，移项应得，即；该项错误，符合题意； ②方程，去括号应得，该项正确，不符合题意； ③方程去分母，应得，即，该项错误，符合题意； ④方程，系数化为1应得，该项错误，符合题意； ∴错误的个数是3个， 故选：C． 6．若关于的方程的解为，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、一元一次方程解的关系 【分析】本题考查方程解的定义，换元法及同解方程知识，根据题意，令，则关于的方程与关于的方程是同解的方程列式求解即可得到答案，熟记方程解的定义是解决问题的关键． 【详解】解：令， 由是方程的解可知， 关于的方程的解满足， 解得， 故选：B． 7．已知关于x的方程，则下列说法不正确的是（   ） A．时方程无解 B．无论b的值为多少，方程的解不可能是 C．时，方程解为 D．时 【答案】D 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查一元一次参数方程解的情况，正确理解一元一次参数方程解的情况是解题的关键． 根据题意逐项求解判断即可． 【详解】A．当时，，不符合题意，故方程无解，选项正确； B．当时，，不符合题意，故无论b的值为多少，方程的解不可能是，选项正确； C．当时， 去括号得， 移项得， 系数化为1得，，故选项正确； D．当时，，不符合题意，故方程无解，选项错误． 故选：D． 8．若不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是．则的值是（     ） A． B． C． D．15 【答案】A 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】先把代入方程，整理成关于k的一元一次方程，根据方程的解与k无关，得到关于k的方程有无数解，根据一元一次方程有无数解的条件，列式解答即可． 本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握方程有无数解的基本条件是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9．某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（   ） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 【答案】A 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设这款风扇每台的标价为元，根据按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元可得风扇的进价为元，根据按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元可得风扇的进价为元，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设这款风扇每台的标价为元， 由题意得，， 解得， ∴这款风扇每台的标价为350元， 故选：A． 10．某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度） 第一阶梯 2760度及以下部分 0.538 第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588 第三阶梯 4801度及以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（   ） A．5250度 B．5100度 C．4900度 D．4850度 【答案】C 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是先判断出小聪家去年前11个月用电量超过2761度，不足4800度，设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度，根据12月份用电量为500度，电费为319元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵（元），（元）， 又∵， ∴小聪家去年前11个月用电量超过2761度，不足4800度， 设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度，根据题意得： ， 解得：， （度）， 答：小聪家去年全年用电量为4900度． 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．写出一个一元一次方程，满足下列要求：①方程的解为；②未知数的系数不能为1，这个方程可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】判断是否是一元一次方程解、判断是否是一元一次方程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，根据一元一次方程的定义，构造出符合条件的方程即可． 【详解】解：答案不唯一，如等． 故答案为：（答案不唯一）． 12．若方程是关于x的一元一次方程，则方程的解为 ． 【答案】/ 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、判断是否是一元一次方程解 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此求出m的值，进而得到原方程，再解方程即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴， ∴， ∴原方程为， 解得， 故答案为：． 13．已知，，当的值为 时，． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意列得一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，，且， ∴， 解得， 故答案为：． 14．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a，b，规定，那么当时，x的值是 ． 【答案】4 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查解一元一次方程，由题意得，，解方程可得x的值． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故答案为：4． 15．设，，，为有理数，现规定一种新的运算，则满足等式：的的值为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查解一元一次方程．根据新运算得出，再求解即可得出答案． 【详解】解：根据新运算可得：， 整理得：， 解得：， 故答案为：． 16．若关于的方程的解与方程的解互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查方程的解的问题及参数的求解，解题的关键是分别求出两个方程的解，根据互为相反两个数和为，列新方程求解． 分别解出两个方程的解用含的字母表示，再根据互为相反数列式即可得到答案． 【详解】解：由题意得：解方程， 解得； 解方程， 解得； ∵两个方程的解互为相反数， ， 解得：； 故答案为： 17．一列方程如下排列：的解是， 的解是， 的解是， … 根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： ． 【答案】 【知识点】一元一次方程解的关系、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的解，能根据题意得出规律是解此题的关键． 先根据已知方程得出规律，再根据得出的规律得出答案即可． 【详解】解：∵一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； ∴一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； …， 由此可得：解为的方程为： ， 即， 故答案为：． 18．如图，将第1个图中的正五边形剪开得到第2个图，第2个图中共有5个正五边形；将第2个图中一个正五边形剪开得到第3个图，第3个图中共有9个正五边形．……此规律进行下去，若第个图中共有2025个正五边形，则的值为 ． 【答案】507 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、几何问题(一元一次方程的应用)、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．根据图形的变化，后一个图形的正方形的个数都比前一个图形的正五边形的个数多4个，第n个图形的正五边形的个数为即可求解． 【详解】解：观察图形可知：第1个图中有1个正五边形，即； 第2个图中有5个正五边形，即； 第3个图中有9个正五边形，即； …… ∴第n个图中正方形的个数为； 则， 解得：， ∴第个图中共有2025个正五边形，则的值为507． 故答案为：507． 19．如图，、、、为直线上的个动点，其中，．在直线上，线段以每秒个单位的速度向左运动，同时线段以每秒个单位的速度向右运动，则运动 秒时，点到点的距离与点到点的距离相等． 【答案】或 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查了线段的和差，一元一次方程. 设运动时间为t，分当C和F都在线段上时，当C在线段上，F在的延长线上时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：设运动时间为t， 当C和F都在线段上时， 由题意得：， 解得； 当C在线段上，F在的延长线上时， 由题意得， 解得 故答案为：或． 20．如图是一个数表，现用一个矩形在数表中任意框出：4个数，当时， ． 【答案】20 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意，分别用含的代数式表示出，得到关于的一元一次方程，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴； 故答案为：20． 三、解答题（本大题共5小题，共60分） 21．（本题8分）解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （4）先整理原方程，再按照按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （4）解： 整理得， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 22．（本题8分）七（1）班数学老师在批改小颖的作业时，发现小颖在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“”处的数字也模糊不清了． (1)请你帮小颖求出“”处的数字． (2)请你求出原方程正确的解． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为小颖在解方程时，把“”抄成了“”，解得，故把代入，再根据解一元一次方程的过程进行化简计算，即可作答． （2）把代入，然后根据解一元一次方程的过程进行化简计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把代入， 得， 整理得， 去分母得， 移项， 合并同类项得， 系数化1，得； （2）解：由（1）得，则， 去分母得， 去括号得， 移项得得， 合并同类项得， 系数化1，得． 23．（本题8分）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“有趣方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“有趣方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，则______． (2)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，且它的解为，求、的值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】（）先解方程，再根据“有趣方程”的定义解答即可求解； （）先解方程，再根据“有趣方程”的定义及方程的解为列式解答即可求解； 本题考查了解一元一次方程，方程的解，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：解方程，得， ∵方程是“有趣方程”， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：解方程，得， ∵方程是“有趣方程”， ∴，， 解得，． 24．（本题8分）某市按以下规定收取每月水费：若每月每户用水不超过，则每立方米按元收费；若每月每户用水超过，则超过部分每立方米按元收费． (1)李明家上个月用水，他上个月应交水费多少元？ (2)若当月用水量为（），请你用含的式子表示当月所付水费金额； (3)如果王鹏家月份所交水费的平均价为每立方米元，那么王鹏家月份用水多少立方米？请你设未知数列方程完成此问． 【答案】(1)92.5元； (2)当月所付水费金额为元； (3)50立方米． 【知识点】列代数式、电费和水费问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】（1）根据收费标准计算即可； （2）根据题意列式即可； （3）根据等量关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得（元） 答：他上个月应交水费92.5元． （2）解：∵当月用水量为（）， ∴当月所付水费金额为元； （3）解：根据题意，得 解得 答：王鹏家12月份用水50立方米． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，有理数运算的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，由水费找出合适的等量关系列出方程，再求解． 25．（本题8分）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“友好点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“友好点”． (1)若点M表示数， 点N表示的数4，下列各数0，1，2所对应的点分别为，其中是点M，N的“友好点”的是___________； (2)点A表示数， 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“友好点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“友好点”，写出此时点P表示的数___________． 【答案】(1) (2)①或或；②50或110或70 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的实际应用，正确理解题意和应用分类讨论思想是解题关键． （1）根据“友好点”的定义，分别验证三点即可． （2）①设点P在数轴上所表示的数为x．根据“友好点”的定义，当点P在点A的右侧，，，当点P在点A的左侧， ,进行分类讨论，列出方程求解即可．②分三种情况进行解答，即点A是点P，点B的“友好点”；点B是点A、点P的“友好点”；点P是点A、点B的“友好点”，然后根据“友好点”的定义列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是点M，N的“友好点”， ∵， ∴， ∴不是点M，N的“友好点”， ∵， ∴， ∴是点M，N的“友好点”， 综上，是点M，N的“友好点”， 故答案为： （2）解：设点P表示的数为x， ∵点A表示数， 点B表示的数30， ∴①若点P在点B的左侧，， 当点P在点A的右侧，， ∵点P是点A，B的“友好点”， ∴， ∴， 解得； 或， ∴， 解得； 当点P在点A的左侧，， 此时，, ∴， 解得； 综上，点P表示的数为或或； ②若点P在点B的右侧，则， 当，， 解得， 当，， 解得， 当，， 解得， 综上，点P表示的数为50或110或70． 故答案为：50或110或70． 2 / 64 学科网（北京）股份有限公司 $$