专题11转化.表达知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题11转化.表达知题通关讲义 知识点01:截面基础概念 用一个平面去截一个几何体，截出的平面图形叫做截面；截面的形状由几何体本身形状和平面截取的角度、位置共同决定。 核心重点：平面截正方体 正方体共 6 个平面，平面每接触 1 个面，截面就多出 1 条边，因此截面最多为六边形。 知识点 02 从三个方向看物体的形状 1、一般地，我们从正面、左面（或右面）和上面三个方向观察同一物体。（如上图） 2.画从三个方向看到的形状图 画从三个方向看小立方块的组合体的形状图的方法： 确定从三个方向看到的组合体的行数或列数； 确定每行或每列中小正方形的个数； 根据小正方形的个数及对应位置画出从三个方向看到的形状图。 （1）正面的形状图：反映几何体的左右列数和每一列的上下层数。 （2）左面的形状图：反映几何体的前后列数和每一列的上下层数。 （3）上面的形状图：反映几何体的前后行数和每一行的左右列数。 知识点03:立体图形的表面展开图 1. 展开图定义 将立体图形的表面沿棱剪开，平铺在同一平面上得到的平面图形，称为立体图形的展开图；同一个立体图形沿不同棱剪开，展开图样式不唯一。 2. 常见基础几何体标准展开图 长方体 / 正方体：6 个长方形（正方体为 6 个完全相同正方形）； 圆柱：2 个全等圆形 + 1 个长方形；长方形的长 = 底面圆周长，宽 = 圆柱的高； 圆锥：1 个圆形 + 1 个扇形；扇形弧长 = 底面圆周长； n 棱柱：2 个全等 n 边形 + n 个长方形。 知识点04:正方体 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可得到11 种不同的展开图。 把它归为四类： 一四一型：有 6 种；二三一型（一三二型）：有 3 种； 三三型：有 1 种；二二二型：有 1 种。 知识点05：几何体的截面 知识点06:由展开图计算几何体的表面积与体积 1. 表面积计算 展开图的总面积 = 几何体的表面积 正方体：S = 6a2（a 为棱长） 长方体：S = 2(ab+bc+ac)(a,b,c为长宽高） 圆柱：S = 2π2 + 2πrh（r 底面半径，h 高） 2. 体积计算 正方体：V = a3 长方体：V = abc 圆柱：V = πr2 h 圆锥：V =πr2 h 知识点07:平面图形与七巧板 1. 平面图形识别 认识线段、角、三角形、四边形、圆等基本平面图形 区分直线、曲线，平面与曲面 2. 用七巧板拼图形 七巧板由 5 个三角形、1 个正方形、1 个平行四边形组成 可拼出多种几何图形、生活图案，锻炼图形组合与空间想象 1、正方体展开图能否折叠判定错误 易错提醒：正方体共有11种标准展开图；平面图形内部出现“田”字形、“凹”字形结构，则一定不能折叠成正方体；判定依据固定结构特征，不能依靠主观直觉进行判断。 2、正方体展开图中相对面识别错误 易错提醒：正方体展开图内，同行或同列间隔一个正方形的两个面互为相对面；折叠之后相对面互不相邻；严格区分相对面与相邻面，不可将相邻面判定为相对面。 3、正方体展开图相邻面关系判定错误 易错提醒：正方体任意一个面存在四个相邻面；除去相对面之外，其余面均为该面的相邻面；禁止把相对面识别为相邻面。 4、几何体截面判断忽视切割方向与位置 易错提醒：平面截取几何体，截面形状由切割方向、切割位置共同确定；同一几何体改变切割平面的倾斜角度，可以得到多种不同截面；不能认定一个几何体只存在唯一截面形状。 5、正方体截面形状判定错误 易错提醒：正方体截面可以为三角形、四边形、五边形、六边形；不存在七边形；正方体截出的三角形只能是锐角三角形，无法得到直角三角形与钝角三角形。 6、圆柱截面形状判定错误 易错提醒：平面截圆柱，随切割角度变化可得到圆、椭圆、长方形；圆柱不能截出三角形；区分切割平面与圆柱底面之间平行、垂直、倾斜三种位置关系。 7、圆锥截面形状判定错误 易错提醒：平面截圆锥，可以得到圆、椭圆、等腰三角形；只有切割平面经过圆锥顶点时，截面才是等腰三角形；不经过顶点的切割无法得到三角形。 8、依据三视图统计小正方体个数出错 易错提醒：由三视图还原组合几何体，以俯视图确定底层方块分布，再结合主视图、左视图确定每一处位置的方块层数；计数时防止重复计算或者漏算；部分题目存在多种合理情况，需要考虑多解。 9、三视图长、宽、高对应关系混淆 易错提醒：三视图遵循长对正、高平齐、宽相等的对应规则；主视图反映几何体的长和高，俯视图反映几何体的长和宽，左视图反映几何体的宽和高；读取数据和绘图时不可混淆各视图对应的维度。 10、绘制三视图漏画内部不可见棱的虚线 易错提醒：绘制三视图时，几何体可见的棱绘制为实线；几何体被遮挡、无法观察到的棱必须绘制为虚线；不可将遮挡棱画成实线，也不能直接省略线条。 题型 考察方向 难度 题型一 几何体展开图的认识 ★ 题型二 由展开图计算几何体的表面积 ★★ 题型三 由展开图计算几何体的体积 ★★ 题型四 正方体几种展开图的识别 ★ 题型五 正方体相对两面上的字 ★★ 题型六 含图案的正方体的展开图 ★★ 题型七 求展开图上两点折叠后的距离 ★★★ 题型八 补一个面使图形围成正方体 ★★ 题型九 从不同方向看几何体 ★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 几何体展开图的认识 1．如图是某几何体表面的展开图，则该几何体的名称是_________． 【答案】圆柱 【分析】根据常见几何体表面展开图的特点结合所给展开图可得答案． 【详解】解：该几何体的上下底面是圆，侧面是长方形， 故该几何体是圆柱． 2．如图是一个长方体纸盒的展开图，将此长方体纸盒再次沿不同的棱剪开，展成各不相同的平面图形，则在这些不同的平面图形中，周长的最大值是__________． 【答案】54 【分析】本题主要考查了长方体的展开图的性质，根据边长最长的多剪，边长最短的少剪，可得答案． 【详解】解：如图所示， 这个平面图形的最大周长是， 故答案为：54． 3．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（     ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】三棱柱展开图的特征是侧面为个长方形，底面为个三角形，且个三角形位于侧面展开图的两侧，由此观察图形即可． 【详解】、两个选项中，两个三角形位于三个长方形的两侧，三个长方形均能围成三棱柱的侧面； 选项较为特殊，但两个三角形位于三个长方形的两侧，折叠后外侧的长方形同样能够围成三棱柱的侧面； 选项中两个三角形位于三个长方形的同侧，折叠后重合，不能围成三棱柱． 题型二 由展开图计算几何体的表面积 4．一个六棱柱模型如图所示，它的底面边长都是，侧棱长是，该六棱柱的侧面积之和是（    ）．    A．120 B．20 C．100 D．150 【答案】A 【分析】侧面展开图是长方形长为30，宽为4，求出长方形的面积即可； 【详解】解：侧面积为：()； 故选：A． 【点睛】本题考查几何体的侧面积，解题的关键是学会把立体图形转化为平面图形，属于中考常考题型． 5．一个圆柱形木块，底面直径是2厘米，高是9厘米，若沿虚线（如图）切开后得到若干个完全相同的小木块，小木块的表面积之和比原来圆柱的表面积增加了________平方厘米． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何体的表面积．根据圆柱的切割特点可知，沿着它的底面直径平均切开成两个半圆柱后，表面积是增加了4个以圆柱的底面直径和高为边长的长方形的面的面积和4个圆柱的底面的面积，由此即可求出增加的表面积． 【详解】解：（平方厘米）， 故表面积增加了平方厘米． 故答案为：． 6．某玩具厂在生产配件时，需要分别从棱长为的正方体木块中，挖去一个棱长为（）的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为、、，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体的表面积，整式加减的应用；由正方形的表面积得，，，分别进行整式加减运算后，进行比较大小，即可求解；能表示出所求几何体的表面积是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， ， 故选：D． 题型三 由展开图计算几何体的体积 7．我国古代数学名著《九章算术》中指出：底面为正方形的长方体体积是“方自乘，以高乘之即积尺”．即先用底面边长乘边长，再乘高得到长方体的体积．如果底面边长为a，高为h，底面积为S，体积为V，能完整表述这个方法的选项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方体体积的计算方法可知，长方体的体积底面积高，据此解答．本题主要考查长方体体积的计算方法及应用． 【详解】解：如果底面边长为，高为，底面积为，体积为，且长方体的体积=底面积×高 ∴能完整表述这个方法的选项是． 故选：B 8．如图，从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后，沿虚线折叠成长方体纸盒．这个纸盒的容积是 _______立方厘米． 【答案】 【分析】本题考查长方体的展开图．从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后，沿虚线折叠成长方体纸盒，其长为厘米，宽为厘米，高为厘米．据此可得这个纸盒的容积． 【详解】解：从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后， 沿虚线折叠成长方体纸盒，其长为厘米，宽为厘米，高为厘米， 故这个纸盒的容积是立方厘米． 故答案为：． 9．小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 【答案】A 【详解】解：， ∴这个盒子的容积为． 题型四 正方体几种展开图的识别 10．下列图形中不是正方体的展开图的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图形结构，判断是否符合正方体展开图的11种特征． 【详解】解： A项属于“222”型，是正方体展开图，故此选项不符合题意； B项属于“33”型，是正方体展开图 ，故此选项不符合题意； C项折叠后会出现重叠面，不是正方体展开图，故此选项符合题意； D项属于“141”型，是正方体展开图，故此选项不符合题意． 11．如图是一个正方体纸盒的展开图，当还原折成纸盒时，与点重合的点是点___________． 【答案】 和 【详解】解：由正方体展开图的特点可得：将正方体纸盒的展开图还原折成纸盒后，点所在的正方形分别和点、点所在的两个正方形相交，即点与点 、点重合． 12．下列图形是正方体的展开图的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据平面图形的折叠及正方体的展开图解题． 【详解】解：一、二、三、四图能折叠成正方体，共4个． 题型五 正方体相对两面上的字 13．将下面的展开图围成正方体后，和3号面相对的面是（     ）号 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用相对面必定相隔一个小正方形，进行判断即可. 【详解】解：由图可知，和3号面相对的面是5号. 14．如图是一个正方体的表面展开图，如果将它折叠成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，那么y的值为________． 【答案】6 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间相隔一个正方形，根据这一特点确定x，y，z的相对面，再根据“相对面上的两个数互为相反数”求出x，y，z的值，然后求解即可． 【详解】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间相隔一个正方形， ∴x和4是相对面，z和是相对面，y和是相对面 ∵相对面上的两个数互为相反数， ∴． 15．一个小正方体的六个面分别标有字母A，B，C，D，E，F，从三个不同方向看到的情形如图所示，则C，A，E相对面的字母分别是（     ） A．D，F，B B．D，B，F C．B，F，D D．B，D，F 【答案】A 【分析】通过观察图形，找出字母和的相邻面，利用排除法确定相对面． 【详解】解：字母的相邻面有， 字母的相对面是， 字母的相邻面有， 字母的相对面是， 字母的相对面是， 相对面的字母分别是． 16．在标准的骰子上，相对面上的点数之和为．如图，四个骰子粘成一排，则整个表面上的点数之和最大是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一个标准的骰子上，相对面上的点数之和为，则一个标准的骰子整个表面上的点数之和为，故四个骰子分开时整个表面上的点数之和为，所以骰子粘成一排，不管哪一面粘合都减去点数，要使整个表面上的点数之和最大需粘合的面最小点数，然后得出整个表面上的点数之和最大是． 【详解】解：∵一个标准的骰子上，相对面上的点数之和为， ∴一个标准的骰子整个表面上的点数之和为， ∴四个标准的骰子分开时整个表面上的点数之和为， ∴如图，骰子粘成一排，不管哪一面粘合都减去点数， 要使整个表面上的点数之和最大需粘合的面最小点数， ∴整个表面上的点数之和最大是． 题型六 含图案的正方体的展开图 17．下列哪一个展开图折叠起来可以形成图中的立方体?（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立体几何的展开图，解题的关键在于把握立方体展开图中相邻面与相对面的位置逻辑，通过逐一验证选项中各面的相邻关系，确定符合目标立方体结构的展开图． 【详解】解：A．选项A中展开图折叠后可以形成所给的几何体，因此选项A符合题意； B．根据正方体表面展开图的“田凹应弃之”可知，选项B中的图形不是正方体的表面展开图，因此选项B不符合题意； C．选项C中的展开图折叠后虽然能折叠成正方体，但“红桃的尖”所对的面不是“深”而是“您”，因此选项C不符合题意； D．选项D中的展开图折叠后虽然能折叠成正方体，但“红桃的尖”所对的面不是“深”而是“圳”，因此选项D不符合题意； 故选：A． 18．按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），以下此正方体的平面展开图及切割线的画法正确的有______．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了正方体的展开图和截一个几何体，熟练掌握正方体的展开图，观察思考与动手操作结合是解决本题的关键．根据正方体的展开图和正六边形截面的特征，将题目中的展开图重新折叠，再与原来的正方体（含切割线）比较即可得到答案． 【详解】解：对于①，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意； 对于②，将展开图重新折叠不能得出原来的正方体（含切割线），不符合题意； 对于③，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意； 对于④，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意． 故答案为：①③④． 19．下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的正方体的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抓住立体图中三个图案（丨、○、□）的相对位置（相邻且共顶点），并逐一验证选项中这三个图案折叠后是否符合这一特征． 【详解】选项A，展开图中，“丨、○、□”排成一行，根据正方体展开图“相间即相对”的规律，中间隔着“○”的“丨”和“□”是相对的面，相对的面在立体图中不可能同时被看到，且它们不可能相邻，这与立体图中“丨”和“□”相邻相矛盾，故选项A错误，不符合题意； 选项B，展开图中，“○”在中间，“丨”在“○”的下方，“□”在“○”的右侧，折叠后的位置关系是：上面是“○”，前面是“丨”，右面是“□”，这与题目给出的立体图完全一致，故选项B正确，符合题意； 选项C，展开图中，“○”在上方，“丨”在下方，“□”在右侧，观察“○”和“丨”的位置，它们中间隔了一个空白面，根据“相间即相对”的规律，“○”和“丨”是相对的面，相对的面不可能同时出现在立体图的相邻位置，这与立体图中“○”和“丨”相邻相矛盾，故选项C错误，不符合题意； 选项D，展开图中，“丨”在左侧，“○”在右侧，“□”在下方，观察“丨”和“○”的中间隔了一个空白面，同样根据“相间即相对”的规律，“丨”和“○”是相对的面，不可能同时出现在立体图的相邻位置，这与立体图中“丨”和“○”相邻相矛盾，故选项D错误，不符合题意． 题型七 求展开图上两点折叠后的距离 20．如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】D 【分析】根据题意画出立体图形，即可求解． 【详解】解：折叠之后如图所示，    则K与点D的距离最远， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力． 21．如图是一个正方体的展开图，把它还原成这个正方体时，与点M重合的点是点________． 【答案】和 【分析】根据正方体展开图的特征，确定各面的相对位置，通过折叠想象或标记法找出与点M重合的顶点． 【详解】解：设含点M的正方形为前面，则其上方的正方形为上面，左边的正方形为左面，右边的第一个正方形为右面，右面的第二个正方形为后面，后面下方的正方形为下面， ∵点M位于前面的左下角， ∴与点M重合的点应位于左面的左下角或下面的右下角， ∵左面的左下角为点A，下面的右下角为点D， ∴与点M重合的点是点A和点D． 22．如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解． 【详解】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点距离最远的顶点是， 故选：A． 题型八 补一个面使图形围成正方体 23．如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 根据“141型”，②能与阴影部分组成正方体展开图， 故选：B． 24．黑龙江省第五届旅游发展大会将于2023年夏季在大庆市举办，为“迎旅发”，创建美丽城市，九年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“庆”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有 _____种添加方式． 【答案】4 【分析】根据正方体的表面展开图的特征，即可解答． 【详解】解：将写有“庆”字的正方形分别放在“建”、“设”、“美”、“丽”的上方均可构成完整的正方体展开图， 所以，共有4种添加方式， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握正方体的表面展开图的特征是解题的关键． 25．在图中的①②③④的任意一个位置上，放置一个相同的小正方形后所组成的图形不能折成一个正方体，则该放置的位置是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体．根据平面图形的折叠及正方体的表面展开图解题． 【详解】将小正方形放在①②④的任意一个位置后所组成的图形均能折成正方体， 放在③处时，折叠后有两个面重叠，不能折成正方体． 故选：C． 题型九 从不同方向看几何体 26．从正面看到的形状是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：由题意可得从正面看到的形状是． 27．如图是由4个棱长为的正方体搭成的，将这个图形表面涂上蓝色．其中3个面涂上蓝色的正方体有1个，5个面涂上蓝色的正方体有_______个． 【答案】3 【分析】观察立方体即可得出5个面涂上蓝色的正方体的个数． 【详解】解：由图可得，5个面涂上蓝色的正方体有3个． 28．如图，由七个相同的小正方体拼成立体图形，若从标有①②③④的四个小正方体中取走一个后，余下的几何体与原几何体从正面看所得的平面图形相同，则取走的正方体是________． 【答案】④ 【分析】根据题意，分别分析取走①②③④后，余下的几何体从正面看平面图形的变化情况，找出平面图形不变的情况即可． 【详解】解：取走①后，最右边一列的小正方体消失，且该位置后方无其他小正方体遮挡， 从正面看所得平面图形最右边一列消失，图形发生改变； 取走②后，右边第二列上层的小正方体消失， 从正面看所得平面图形右边第二列变为层，图形发生改变； 取走③后，最左边一列上层的小正方体消失， 从正面看所得平面图形最左边一列变为层，图形发生改变； 取走④后，最左边一列下层前方的小正方体消失，但其后方还有小正方体（即③下面的小正方体）， 从正面看所得平面图形最左边一列仍为2层，图形不发生改变． 综上所述，取走的正方体是④． 29．用若干块相同的立方体小木块堆叠成一个几何体，从不同方向观察的样子如图．该几何体最少有几个立方体小木块？（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，较强的空间想象能力是解题的关键． 先根据从前面看到和从左边看到的，确定从上面看到的每一个正方形下最少正方体个数，然后求和即可． 【详解】解：根据确定从上面看到的每一个正方形下最少正方体个数如图： 所以该几何体最少立方体小木块块数为． 故选B． 解答题 1．如图：图1为一个正方体，图2为图1的表面展开图（数字写在外表面上），请根据要求解答问题： (1)如果面“2”是右面，面“4”在后面，那么上面是面“______”（填“6”或“x”或“y”或“z”）； (2)如果正方体相对面上的两个数字互为相反数，求的值． 【答案】(1)6 (2)0 【分析】（）根据相邻面，相对面的关系，可得答案； （）根据两个面相隔一个面是对面，对面上的两个数字之和相等，可得答案． 【详解】（1）解：∵和、和、和分别是相对面，且面“”是右面，面“”在后面， ∴面“”是前面，面“”是左面，面“”是上面，面“”是下面； ∴上面是面“”． （2）解：由展开图可知，和、和、和分别是相对面， ∴，，， ∴． 2．第34届信阳茶文化节于2026年4月28日至5月2日在河南省信阳市百花会展中心举办，主题为“春日来信，茶乡有约”．某种茶叶的包装盒为长方体，它的长、宽、高分别为24，18，8，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样．（单位：） (1)如图是给出的四种纸样，其中正确的有；（填序号） (2)从已知正确的纸样中选出一种，在图上标注出尺寸； (3)利用你所选的这种纸样，求包装盒的表面积． 【答案】(1)①④ (2)标注尺寸如图： （或） (3)包装盒的表面积为 【分析】（1）根据长方体的展开特点即可作出判断； （2）找到对应边，标注上尺寸即可； （3）根据长方体的侧面积，表面积的公式计算即可 【详解】（1）解：给出的四种纸样，其中正确的有：①④ ； （2）解：略； （3）解：． 答：包装盒的表面积为． 3．综合与实践 【主题】展开与折叠 【素材】无盖的长方体盒子、剪刀 【实践操作】沿着图1中边沿线剪开成如图2所示的展开图，并按图2所示标记好四个面； (1)写出盒子底面相邻两边的长分别为 、 ；（用含a的式子表示） (2)请在图2中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖 （画出一种情况即可）． 【答案】(1)， (2)（答案不唯一） 在图2中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖，如图所示． 【分析】本题考查了长方体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念是解决此类问题的关键． （1）根据长方体表面展开图的特征得出底面的边长与长、宽、高的关系即可； （2）根据正方体表面展开图的特征进行解答即可． 【详解】（1）解：这个盒子底面相邻两边的长分别为， 故答案为：； （2）略． 4．按要求完成下列小题． (1)如图，是由6块小正方体组合成的立体图形，分别画出从正面、左面、上面观察到的图形． (2)若每个小正方体的棱长为，求上图中由正方体搭成的几何体的表面积（包含底面）． 【答案】(1)画出从正面、左面、上面观察到的图形如图所示： (2) 【分析】（1）从正面看图形分为3列，小正方形的个数分别是3，2，1；从左面看图形分为2列，小正方形的个数分别是3，1；从上面看图形分为3列，小正方形的个数分别是1，2，1； （2）采用三视图法计算包含底面的总表面积即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵每个小正方体的棱长为， ∴上图中由正方体搭成的几何体的表面积为． 5．综合与实践：在完成“设计并制作一个体积尽可能大的无盖长方体收纳盒”的任务后，兴趣小组进一步研究用长方形纸片制作符合不同需求的长方体纸盒． 【基础回顾】 (1)如图1，将一张边长为30的正方形纸片的四个角各剪去一个边长为x的小正方形，将剩下的纸片沿着虚线折叠成无盖的长方体纸盒． ①该纸盒的底面边长为________（用含有的代数式表示）； ②该纸盒的容积为________（用含有的代数式表示）． 【进阶研究】 用普通长方形纸片制作长方体纸盒（长方形中，，）． (2)兴趣小组继续制作无盖长方体纸盒（纸片无剩余），如图2，用把长方形纸片分成2个长方形，并沿着剪开．将长方形沿着虚线折叠成纸盒的侧面，将长方形做纸盒的下底面．经观察后，兴趣小组分析，能折成纸盒的关键是：找到长方形与长方形相关线段之间的等量关系． ①他们先确定了，请你写出另一组关键的等量关系________=________ ②求长方体纸盒的容积． (3)兴趣小组尝试制作有盖长方体纸盒（纸片无剩余），设计了如下方案： 如图3，沿将长方形剪成两部分，将长方形沿着虚线折叠成收纳盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别作为收纳盒的上、下底面．该方案是否可行？________（填写“是”或“否”） 如果可行，请求长方体纸盒的容积；若不可行，请简要说明理由． (4)请你设计一个制作“有盖长方体纸盒”的方案（纸片无剩余）：请在图4中画出裁剪示意图，并求出纸盒的容积． 【答案】(1)①；② (2)①；② (3)否，因为或，所以该方案不可行 (4)设计图形如图所示： 纸盒的容积为 【分析】（1）①该纸盒的底面边长等于正方形纸片的边长减去两个小正方形的边长；②根据长方体的容积公式求解即可； （2）①根据图形的折叠与剪拼即可求解；②根据题意以及图形的折叠与剪拼求出长方体的长、宽、高，即可求解； （3）结合图形即可判定； （4）根据（2）的制作方法画出图形，再根据长方体的容积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：①根据图形可知：该纸盒底面的边长为； ②由图及题意可知：该纸盒的容积为； （2）解：①由图可知：另一组关键的等量关系为； ②∵长方形纸片无剩余，在长方形中，，， ∴由①可知：长方体的长为，宽为，高为， ∴长方体纸盒的容积为； （3）略 （4）解：图略， 由图可知：，设，则有， 解得：， ∴； 答：纸盒的容积为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11转化.表达知题通关讲义 知识点01:截面基础概念 用一个平面去截一个几何体，截出的平面图形叫做截面；截面的形状由几何体本身形状和平面截取的角度、位置共同决定。 核心重点：平面截正方体 正方体共 6 个平面，平面每接触 1 个面，截面就多出 1 条边，因此截面最多为六边形。 知识点 02 从三个方向看物体的形状 1、一般地，我们从正面、左面（或右面）和上面三个方向观察同一物体。（如上图） 2.画从三个方向看到的形状图 画从三个方向看小立方块的组合体的形状图的方法： 确定从三个方向看到的组合体的行数或列数； 确定每行或每列中小正方形的个数； 根据小正方形的个数及对应位置画出从三个方向看到的形状图。 （1）正面的形状图：反映几何体的左右列数和每一列的上下层数。 （2）左面的形状图：反映几何体的前后列数和每一列的上下层数。 （3）上面的形状图：反映几何体的前后行数和每一行的左右列数。 知识点03:立体图形的表面展开图 1. 展开图定义 将立体图形的表面沿棱剪开，平铺在同一平面上得到的平面图形，称为立体图形的展开图；同一个立体图形沿不同棱剪开，展开图样式不唯一。 2. 常见基础几何体标准展开图 长方体 / 正方体：6 个长方形（正方体为 6 个完全相同正方形）； 圆柱：2 个全等圆形 + 1 个长方形；长方形的长 = 底面圆周长，宽 = 圆柱的高； 圆锥：1 个圆形 + 1 个扇形；扇形弧长 = 底面圆周长； n 棱柱：2 个全等 n 边形 + n 个长方形。 知识点04:正方体 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可得到11 种不同的展开图。 把它归为四类： 一四一型：有 6 种；二三一型（一三二型）：有 3 种； 三三型：有 1 种；二二二型：有 1 种。 知识点05：几何体的截面 知识点06:由展开图计算几何体的表面积与体积 1. 表面积计算 展开图的总面积 = 几何体的表面积 正方体：S = 6a2（a 为棱长） 长方体：S = 2(ab+bc+ac)(a,b,c为长宽高） 圆柱：S = 2π2 + 2πrh（r 底面半径，h 高） 2. 体积计算 正方体：V = a3 长方体：V = abc 圆柱：V = πr2 h 圆锥：V =πr2 h 知识点07:平面图形与七巧板 1. 平面图形识别 认识线段、角、三角形、四边形、圆等基本平面图形 区分直线、曲线，平面与曲面 2. 用七巧板拼图形 七巧板由 5 个三角形、1 个正方形、1 个平行四边形组成 可拼出多种几何图形、生活图案，锻炼图形组合与空间想象 1、正方体展开图能否折叠判定错误 易错提醒：正方体共有11种标准展开图；平面图形内部出现“田”字形、“凹”字形结构，则一定不能折叠成正方体；判定依据固定结构特征，不能依靠主观直觉进行判断。 2、正方体展开图中相对面识别错误 易错提醒：正方体展开图内，同行或同列间隔一个正方形的两个面互为相对面；折叠之后相对面互不相邻；严格区分相对面与相邻面，不可将相邻面判定为相对面。 3、正方体展开图相邻面关系判定错误 易错提醒：正方体任意一个面存在四个相邻面；除去相对面之外，其余面均为该面的相邻面；禁止把相对面识别为相邻面。 4、几何体截面判断忽视切割方向与位置 易错提醒：平面截取几何体，截面形状由切割方向、切割位置共同确定；同一几何体改变切割平面的倾斜角度，可以得到多种不同截面；不能认定一个几何体只存在唯一截面形状。 5、正方体截面形状判定错误 易错提醒：正方体截面可以为三角形、四边形、五边形、六边形；不存在七边形；正方体截出的三角形只能是锐角三角形，无法得到直角三角形与钝角三角形。 6、圆柱截面形状判定错误 易错提醒：平面截圆柱，随切割角度变化可得到圆、椭圆、长方形；圆柱不能截出三角形；区分切割平面与圆柱底面之间平行、垂直、倾斜三种位置关系。 7、圆锥截面形状判定错误 易错提醒：平面截圆锥，可以得到圆、椭圆、等腰三角形；只有切割平面经过圆锥顶点时，截面才是等腰三角形；不经过顶点的切割无法得到三角形。 8、依据三视图统计小正方体个数出错 易错提醒：由三视图还原组合几何体，以俯视图确定底层方块分布，再结合主视图、左视图确定每一处位置的方块层数；计数时防止重复计算或者漏算；部分题目存在多种合理情况，需要考虑多解。 9、三视图长、宽、高对应关系混淆 易错提醒：三视图遵循长对正、高平齐、宽相等的对应规则；主视图反映几何体的长和高，俯视图反映几何体的长和宽，左视图反映几何体的宽和高；读取数据和绘图时不可混淆各视图对应的维度。 10、绘制三视图漏画内部不可见棱的虚线 易错提醒：绘制三视图时，几何体可见的棱绘制为实线；几何体被遮挡、无法观察到的棱必须绘制为虚线；不可将遮挡棱画成实线，也不能直接省略线条。 题型 考察方向 难度 题型一 几何体展开图的认识 ★ 题型二 由展开图计算几何体的表面积 ★★ 题型三 由展开图计算几何体的体积 ★★ 题型四 正方体几种展开图的识别 ★ 题型五 正方体相对两面上的字 ★★ 题型六 含图案的正方体的展开图 ★★ 题型七 求展开图上两点折叠后的距离 ★★★ 题型八 补一个面使图形围成正方体 ★★ 题型九 从不同方向看几何体 ★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 几何体展开图的认识 1．如图是某几何体表面的展开图，则该几何体的名称是_________． 2．如图是一个长方体纸盒的展开图，将此长方体纸盒再次沿不同的棱剪开，展成各不相同的平面图形，则在这些不同的平面图形中，周长的最大值是__________． 3．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（     ） A．B．C． D． 题型二 由展开图计算几何体的表面积 4．一个六棱柱模型如图所示，它的底面边长都是，侧棱长是，该六棱柱的侧面积之和是（    ）．    A．120 B．20 C．100 D．150 5．一个圆柱形木块，底面直径是2厘米，高是9厘米，若沿虚线（如图）切开后得到若干个完全相同的小木块，小木块的表面积之和比原来圆柱的表面积增加了________平方厘米． 6．某玩具厂在生产配件时，需要分别从棱长为的正方体木块中，挖去一个棱长为（）的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为、、，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 题型三 由展开图计算几何体的体积 7．我国古代数学名著《九章算术》中指出：底面为正方形的长方体体积是“方自乘，以高乘之即积尺”．即先用底面边长乘边长，再乘高得到长方体的体积．如果底面边长为a，高为h，底面积为S，体积为V，能完整表述这个方法的选项是（    ） A． B． C． D． 8．如图，从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后，沿虚线折叠成长方体纸盒．这个纸盒的容积是 _______立方厘米． 9．小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 题型四 正方体几种展开图的识别 10．下列图形中不是正方体的展开图的是（     ） A． B． C． D． 11．如图是一个正方体纸盒的展开图，当还原折成纸盒时，与点重合的点是点___________． 12．下列图形是正方体的展开图的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五 正方体相对两面上的字 13．将下面的展开图围成正方体后，和3号面相对的面是（     ）号 A．3 B．4 C．5 D．6 14．如图是一个正方体的表面展开图，如果将它折叠成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，那么y的值为________． 15．一个小正方体的六个面分别标有字母A，B，C，D，E，F，从三个不同方向看到的情形如图所示，则C，A，E相对面的字母分别是（     ） A．D，F，B B．D，B，F C．B，F，D D．B，D，F 16．在标准的骰子上，相对面上的点数之和为．如图，四个骰子粘成一排，则整个表面上的点数之和最大是（     ） A． B． C． D． 题型六 含图案的正方体的展开图 17．下列哪一个展开图折叠起来可以形成图中的立方体?（   ） A． B． C． D． 18．按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），以下此正方体的平面展开图及切割线的画法正确的有______．（填序号） 19．下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的正方体的是（     ） A． B． C． D． 题型七 求展开图上两点折叠后的距离 20．如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 21．如图是一个正方体的展开图，把它还原成这个正方体时，与点M重合的点是点________． 22．如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型八 补一个面使图形围成正方体 23．如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 24．黑龙江省第五届旅游发展大会将于2023年夏季在大庆市举办，为“迎旅发”，创建美丽城市，九年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“庆”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有 _____种添加方式． 25．在图中的①②③④的任意一个位置上，放置一个相同的小正方形后所组成的图形不能折成一个正方体，则该放置的位置是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 题型九 从不同方向看几何体 26．从正面看到的形状是（     ） A． B． C． D． 27．如图是由4个棱长为的正方体搭成的，将这个图形表面涂上蓝色．其中3个面涂上蓝色的正方体有1个，5个面涂上蓝色的正方体有_______个． 28．如图，由七个相同的小正方体拼成立体图形，若从标有①②③④的四个小正方体中取走一个后，余下的几何体与原几何体从正面看所得的平面图形相同，则取走的正方体是________． 29．用若干块相同的立方体小木块堆叠成一个几何体，从不同方向观察的样子如图．该几何体最少有几个立方体小木块？（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 解答题 1．如图：图1为一个正方体，图2为图1的表面展开图（数字写在外表面上），请根据要求解答问题： (1)如果面“2”是右面，面“4”在后面，那么上面是面“______”（填“6”或“x”或“y”或“z”）； (2)如果正方体相对面上的两个数字互为相反数，求的值． 2．第34届信阳茶文化节于2026年4月28日至5月2日在河南省信阳市百花会展中心举办，主题为“春日来信，茶乡有约”．某种茶叶的包装盒为长方体，它的长、宽、高分别为24，18，8，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样．（单位：） (1)如图是给出的四种纸样，其中正确的有；（填序号） (2)从已知正确的纸样中选出一种，在图上标注出尺寸； (3)利用你所选的这种纸样，求包装盒的表面积． 3．综合与实践 【主题】展开与折叠 【素材】无盖的长方体盒子、剪刀 【实践操作】沿着图1中边沿线剪开成如图2所示的展开图，并按图2所示标记好四个面； (1)写出盒子底面相邻两边的长分别为 、 ；（用含a的式子表示） (2)请在图2中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖 （画出一种情况即可）． 4．按要求完成下列小题． (1)如图，是由6块小正方体组合成的立体图形，分别画出从正面、左面、上面观察到的图形． (2)若每个小正方体的棱长为，求上图中由正方体搭成的几何体的表面积（包含底面）． 5．综合与实践：在完成“设计并制作一个体积尽可能大的无盖长方体收纳盒”的任务后，兴趣小组进一步研究用长方形纸片制作符合不同需求的长方体纸盒． 【基础回顾】 (1)如图1，将一张边长为30的正方形纸片的四个角各剪去一个边长为x的小正方形，将剩下的纸片沿着虚线折叠成无盖的长方体纸盒． ①该纸盒的底面边长为________（用含有的代数式表示）； ②该纸盒的容积为________（用含有的代数式表示）． 【进阶研究】 用普通长方形纸片制作长方体纸盒（长方形中，，）． (2)兴趣小组继续制作无盖长方体纸盒（纸片无剩余），如图2，用把长方形纸片分成2个长方形，并沿着剪开．将长方形沿着虚线折叠成纸盒的侧面，将长方形做纸盒的下底面．经观察后，兴趣小组分析，能折成纸盒的关键是：找到长方形与长方形相关线段之间的等量关系． ①他们先确定了，请你写出另一组关键的等量关系________=________ ②求长方体纸盒的容积． (3)兴趣小组尝试制作有盖长方体纸盒（纸片无剩余），设计了如下方案： 如图3，沿将长方形剪成两部分，将长方形沿着虚线折叠成收纳盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别作为收纳盒的上、下底面．该方案是否可行？________（填写“是”或“否”） 如果可行，请求长方体纸盒的容积；若不可行，请简要说明理由． (4)请你设计一个制作“有盖长方体纸盒”的方案（纸片无剩余）：请在图4中画出裁剪示意图，并求出纸盒的容积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $