精品解析：河北邢台市第一中学2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

高一数学 GY01 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 3. 已知，，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 5. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 设，，，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 6 7. 设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有4个整数，则实数的取值集合是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题；每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合是全集，集合，的关系如图所示，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 11. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ） A. B. 关于的不等式的解集为 C. 当且仅当时，取最小值 D. 若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知命题：“，使得”，则命题的否定为_________． 13. 如图，矩形的周长为，在和边上分别取点和，将四边形沿折叠，使点与点重合，此时点的对应点为，则当的面积取最大值时，的长度为_________． 14. 已知正数，，满足且，若，，恰好能构成三角形的三边边长，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合 （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围． 17. “这么近那么美，周末到河北”成为休闲度假新时尚．近年来，河北省大力推进文旅融合发展，打造多条特色旅游带，推出多项惠民惠企政策，带动某文创产品热销．已知某工厂代为加工该文创产品需投入固定成本5万元，每代加工1万件该产品，需另投入万元．现根据市场行情，该工厂代加工万件该产品，可获得万元的代加工费，且，已知该工厂代加工20万件该产品时，获得的利润为90万元． （1）求该工厂代加工该产品的利润（单位：万元）关于代加工量（单位：万件）的函数表达式； （2）当代加工量为多少万件时，该工厂代加工该产品的利润最大？并求出利润的最大值． 18. 已知关于x的不等式的解集为． （1）求实数a，b的值； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数x的取值范围； （3）若，求关于x的不等式的解集． 19. 笛卡尔积（Cartesian Product）是集合论中的一个基本概念，用于描述两个集合之间所有可能的有序对的集合．它在数学、计算机科学（尤其是数据库和编程）以及其他领域中都有广泛应用．设A，B是任意两个非空集合，则称集合为“A与B的笛卡尔积”，并记集合的元素个数为，则集合中的元素个数为． （1）若，，求与； （2）设非空集合C，证明：； （3）若，，为素数，且对所有满足上述条件的非空集合恒成立，求实数的最大值，并写出当取到最大值时一组符合条件的A，B． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 GY01 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由得，又，所以． 由得或，所以． 因此． 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】因为，即， 即， 所以， 所以， 解得， 所以原不等式的解集为. 3. 已知，，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先利用不等式性质求线性式范围，证充分；再举反例（或集合 / 线性规划）否定必要性即可. 【详解】①∵ ，∴ ， ∴，即：， ∴，充分性成立； ②举反例：取， 此时 ，满足 ，即成立； 但，，不满足， 故 ，必要性不成立； ∴是的充分不必要条件. 4. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先展开代数式，利用已知化简，再用基本不等式求最小值，验证等号可取，得到原式最小值. 【详解】因为且， 所以， 当且仅当时取等号，结合可知，此时. 所以的最小值为. 5. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】当时，等价于， 即，解得：， 当时，等价于，恒成立； 当时，等价于， 即，解得：； 综上，的解集为. 6. 设，，，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】由于，当时，，此时，违反元素的互异性，不符合题意， 当时，或，显然结合以上解析不符合题意， 当时，，，要满足，只需， 故. 7. 设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】据集合需要满足的条件，结合集合的非空子集个数计算公式，即可得到集合的个数. 【详解】因为，若，则， 又， 则集合是集合的非空子集， 且元素和，和，和必须同时出现， 故可把元素和，和，和看成一个元素， 则集合可看成有个元素， 所以集合的个数为. 8. 已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有4个整数，则实数的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由一元二次不等式及仅有 4 个整数解排除，确定得到解集区间，再分两类讨论区间内的 4 组连续整数，通过端点不等式求出范围. 【详解】因为不等式为关于的一元二次不等式，所以， 若，则不等式的解集为两段无穷区间，不满足解中有且仅有4个整数； 若，则不等式的解集为， 因为不等式的解中有且仅有4个整数，且则4个整数可能是或， 若4个整数是，则，解得，即； 若4个整数是，则，解得，即， 综上，实数的取值集合是. 二、选择题：本题共3小题；每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合是全集，集合，的关系如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据Venn图及集合间的关系、基本运算逐一判断即可. 【详解】对于A，由Venn图可知，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，设，则，所以， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以，又， 所以，故D正确. 10. 已知，，下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，若，，则，， 不满足； 对于B，若，，则，不满足； 对于C，若， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； 对于D，若， 则， 当且仅当，即时等号成立，不满足. 11. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ） A. B. 关于的不等式的解集为 C. 当且仅当时，取最小值 D. 若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据二次函数图像特征，确定的正负与等量关系，作为全部选项的解题依据，再按顺序逐项判断：利用正负化简绝对值即可判断A；代入关系式化简一元二次不等式，结合开口方向求解集可判断B；利用基本不等式即可判断C；根据内层函数值域、结合二次函数对称轴与定义域位置关系，判断复合函数最值情况，可判断D. 【详解】由题知，对称轴，即，当时，，即， 选项A：， 结果为，A错误； 选项B：将 代入不等式：， 化简得：，解得两根 ，， ，抛物线开口向下， 解集为 ，B正确； 选项C：由 ，，得 ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当且仅当时，取最小值，C正确； 选项D：， ， 函数 ，其自变量范围：，对称轴：， 若 ，即 ， 整理：，解得： 或 ， ，则当 时，两个函数最小值就已经相等； 可以取大于 的任意实数，不存在最大值，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知命题：“，使得”，则命题的否定为_________． 【答案】， 【解析】 【分析】将存在量词改为全称量词并否定结论. 【详解】命题的否定为：，. 13. 如图，矩形的周长为，在和边上分别取点和，将四边形沿折叠，使点与点重合，此时点的对应点为，则当的面积取最大值时，的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，则可得，又设，根据勾股定理解出x关于a、b的表达式，再代入面积公式，最后结合基本不等式即可求解． 【详解】设，，则，也即，且，所以， 设，则，在中，， 由勾股定理得，解得， 因此的面积， 又， 所以， 又，当且仅当即时取等号，此时，满足， 则，所以当的面积取最大值时，的长度为. 14. 已知正数，，满足且，若，，恰好能构成三角形的三边边长，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用韦达定理将，看作方程两根，结合判别式保证根存在，再把三角形两边之和大于第三边转化为，联立不等式求得范围. 【详解】设，，则，为方程的根. 由一元二次方程有两个正实数根，判别式. 展开：，整理得. 解，得根，. 因为 ，所以. 由三角形三边关系：两边之和大于第三边：，, . 两边平方：. 由，代入，， ， 解方程 ：解得，因为，所以. 综上所述：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合 （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【小问1详解】 由，可得，即， 所以故 【小问2详解】 由，可得，即 所以，解得或. 16. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）给定参数的值，直接写出集合，再利用数轴进行集合交、补、并运算，计算时注意补集的边界； （2）由等价转化为，含参数集合必须分和两种情况讨论，再列不等式组求解. 【小问1详解】 当时，， 又，则， 或，或． 【小问2详解】 由题可得是的子集， 若，则； 若，则解得． 综上可得，故实数的取值范围为． 17. “这么近那么美，周末到河北”成为休闲度假新时尚．近年来，河北省大力推进文旅融合发展，打造多条特色旅游带，推出多项惠民惠企政策，带动某文创产品热销．已知某工厂代为加工该文创产品需投入固定成本5万元，每代加工1万件该产品，需另投入万元．现根据市场行情，该工厂代加工万件该产品，可获得万元的代加工费，且，已知该工厂代加工20万件该产品时，获得的利润为90万元． （1）求该工厂代加工该产品的利润（单位：万元）关于代加工量（单位：万件）的函数表达式； （2）当代加工量为多少万件时，该工厂代加工该产品的利润最大？并求出利润的最大值． 【答案】（1） （2）代加工量为30万件时，该工厂代加工该产品的利润最大，最大利润为95万元 【解析】 【分析】（1）根据，可得，进而结合题意求函数解析式； （2）分和两种情况，利用二次函数及基本不等式结合分段函数的性质计算即可. 【小问1详解】 当时，； 当时，； 由题可知时，，解得， 所以. 【小问2详解】 当时，， 所以此时当时，取最大值55； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以此时当时，取最大值为95， 且，所以当代加工量为30万件时， 该工厂代加工该产品的利润最大，最大利润为95万元． 18. 已知关于x的不等式的解集为． （1）求实数a，b的值； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数x的取值范围； （3）若，求关于x的不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为． 【解析】 【分析】（1）由题意知，和3是方程的两根，且，再利用韦达定理即可得解； （2）将看成主元，构造关于的函数，则，进而可得出答案； （3）先因式分解，再讨论的范围，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 由题意知，和3是方程的两根，且， 所以解得； 【小问2详解】 因为，所以不等式对任意的恒成立， 可化为，即对任意的恒成立， 令， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为； 【小问3详解】 因为，所以不等式可化为， 即． 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为， 若，即时，则不等式的解集为； 若，即时，则不等式的解集为； 若，即时，则不等式的解集为． 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为． 19. 笛卡尔积（Cartesian Product）是集合论中的一个基本概念，用于描述两个集合之间所有可能的有序对的集合．它在数学、计算机科学（尤其是数据库和编程）以及其他领域中都有广泛应用．设A，B是任意两个非空集合，则称集合为“A与B的笛卡尔积”，并记集合的元素个数为，则集合中的元素个数为． （1）若，，求与； （2）设非空集合C，证明：； （3）若，，为素数，且对所有满足上述条件的非空集合恒成立，求实数的最大值，并写出当取到最大值时一组符合条件的A，B． 【答案】（1）， （2）证明：若，则，， 则且，则且， 即，故； 若，则且， 则，且，故，则， 故， 所以； （3）取得最大值6．此时符合条件的一组集合为，．（答案不唯一，只要满足，即可） 【解析】 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）设，再根据“A与B的笛卡尔积”的定义分析即可得证； （3）由题意可得，或，，再结合基本不等式及为素数求解即可. 【小问1详解】 因为，且， 所以， ； 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 记表示集合中的元素个数，表示集合中的元素个数， 由笛卡尔积定义可知：，，， 因为，，且为素数， 所以，或，， 当，时，，又， 当且仅当，即时，取等号， 又为素数，所以等号不成立； 当，时，，又， 当且仅当，即时，取等号， 所以当时，取得最大值6， 此时符合条件的一组集合为，． （答案不唯一，只要满足，即可）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $