第30章 30.1 直线与圆-30.1.2 圆的切线-课时1 切线的判定和性质-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级上册“直线与圆的位置关系”中“切线的判定和性质”核心知识点，通过复习圆的半径、直径等基础概念导入，衔接直线与圆位置关系的先前知识，以“刷基础-刷提升-刷素养”为学习支架，逐步深化切线性质应用、判定方法及综合解题能力。 其亮点在于融合中考真题与生活情境（如钟表表盘问题），通过“刷有所得”小结提炼切线辅助线技巧，培养学生数学眼光中的几何直观与创新意识。解析过程注重推理逻辑（如全等三角形证明、勾股定理应用），强化数学思维中的推理能力，帮助学生形成严谨解题习惯，教师可直接利用分层练习与详细解析提升教学效率。

数 学 九年级上册 RJ 1 2 3 第三十章 直线与圆的位置关系 30.1 直线与圆 4 30.1.2 圆的切线 课时1 切线的判定和性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 切线的性质 （第1题图） 1.【2026辽宁大连期中】如图，已知是的直径，点在 的 延长线上，切于点，若 ，则 的度数为( ) A A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 【解析】如图,连接切于点， ， ， .又 ， ，故选A． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 2.【2026河北张家口期末】如图是一个钟表表盘，连接刻度2与刻度10的， 两 点并延长，交过刻度8的切线于点，若表盘的半径长为，则线段 长为___. 2 （第2题图） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 【解析】如图,设钟表表盘的中心为点，连接， . 由钟表表盘的特性可知点在上， ， 与相切于点 ， ， ， , （负值已舍去）． 刷有所得 切线垂直于过切点的半径，所以切线问题中常连接过切点的半径． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 3.【2025江苏南京校级质检】如图，已知是的直径，点 在上，连接,,为外一点，且 ， 为 的切线. （1）若 ，，求 的半径. 【解】连接，如图. , .又， 是等边三角形， ,即 的半径为2. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 （2）求证： . 【证明】如上图,是 的切线， ， , , ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 知识点2 切线的判定 （第4题图） 4.【2026甘肃武威质检】如图，在中，是半径 上一点，射 线，交于，为上任意一点，射线交于 ， 为射线上的点，且，下列结论：为 的切 线；； ，其中正确的结论有( ) B A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 【解析】连接， ， ，.又 ， ， ,,而是半径,为 的切线,正确.无法确定和的长度,错误. , , , 联立①②得 .又 ， ，， 正确．故选B． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 （第5题图） 5. 开放性试题 如图，是的直径，要使得直线 是 的切线，需要添加的一个条件是__________________________ _______________.（写一个条件即可） （答案不唯一） 【解析】添加条件： ， . 又是的直径，是的半径，是 的切线， 故答案为 （答案不唯一）. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 6.【2026广东江门质检】如图，在平面直角坐标系中，以点 为圆心， 1为半径画圆.将绕点逆时针旋转得到，使得与 轴相切，则 的度数是___________. 或 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 【解析】如图（1），点在第一象限时，设与轴相切于点，连接, , 则，，， 由旋转得 .的半径为1，的半径为1， ， ， ， ， .如图（2），点 在 第二象限时，设与轴相切于点，连接,,则 ， ， ， ， ， 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 ， ，故答案为 或 ． 图（1） 图（2） 易错警示 圆在旋转过程中可能与轴在左侧相切，也可能与 轴在右侧相切，所以需分两种 情况讨论,不要漏解． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7.【2025河南郑州期中】如图，的直径， ，交 于 ，是 的中点. （1）求 的长； 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 【解】连接 ，如图. 是的直径， ， ， ，是 的中点， ，即的长为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 （2）连接,过点作，垂足为，求证：是 的切线. 【证明】连接，如图.，是的中点，是 的 中点，是的中位线，，是 的半径，是 的切线. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 提升 （第1题图） 1.［中］如图，是圆的直径，切圆于点，连接 , 于点，交圆于点，若，，则 的长为( ) C A.4 B.5 C.6 D.8 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 图示|分析步骤 连接 构造直角模型 求出三个直角 判定矩形 矩形性质 垂径定理勾股定理 的长 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 【解析】连接交于点，如图.是圆的直径， 切圆 于点，，于点， ， 四边 形为矩形，， ，， , .在中， .故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 24 （第2题图） 2.【2025山东聊城质检，中】如图，在边长为4的等边三角形 中，为线段的中点，的半径为1，点是 边上的动点， 过点作的一条切线（点为切点），则线段 的长不 可能为( ) D A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 25 【解析】如图，连接，， 在边长为4的等边三角形 中，为线段的中点， ， 是的切线， . 根据勾股定理知为定值， 当 的值 最小时，的值最小，当的值最大时，的值最大， 当时， 的值最小，当与点重合时，的值最大.当 时， ， ，的最小值为， 的 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 26 最大值为， ，选项D符合题 意，故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3.［较难］如图，在中， ， ，半径为1 的与交于点，且与相切，过点作交 于 点，点是边上的动点，则 周长的最小值为( ) A A. B. C. D. 添加辅助线 为定长，所在直线为定直线，则在上找一点使得 的值最小即 可，符合将军饮马模型.作辅助线，延长交于点，连接，交于点 ， 此时的值最小，则 的周长最小. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 28 【解析】为定长，的值最小时， 周长最小.如图,延长交于点，连接，交 于 点，则,此时的值最小，为 的长. 设与相切于点，连接 ，则 ， ， .，连接,利用“ ”易证 , ， ， ，解得 ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 29 ， 周长 的最小值为 ，故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 思路分析 利用将军饮马模型找到的值最小时的情形,即 周长的最小值为 的值.设与相切于，连接，得到 ,根据勾股定理 得到的长,再根据全等三角形的判定及性质得到 ，再根据勾股定理求 得, 的长即可解决问题. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 31 4.【2026北京海淀区质检，中】如图，是的直径，弦于 ，半径 上有两点和，，射线，射线分别交于点,，连接 交于点，过点作的平行线 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 32 （1）证明：直线是 的切线； 【证明】连接交于点,连接， ，如图所示. 弦于 ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 33 在和 中， ，，即， .又 是的半径，， 直线是的平行线， 于 点.又是的半径， 直线是 的切线. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 （2）当时，若，，求 的长. 【解】如图.，， ， 即 弦，是 的垂直平分线， .又，， 是等边 三角形， ， ， ， ， . 在 中，由勾股定理得 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 35 ， .在中， ， ， 由勾股定理得 ， ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 刷素养 走向重高 5.思想方法 数形结合 【2025江苏无锡质检，较难】在矩形 中， ，，点从点出发，沿边向点以每秒 的速度运动， 同时点从点出发沿边向点以每秒的速度运动，， 两点在分别到达 ，两点后停止运动.设两点运动的时间为秒 ，回答下列问题： 图（1） 图（2） 备用图（1） 备用图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 37 （1）如图（1），当为何值时，的面积等于 ？ 【解】当两点运动时间为秒时，，. 四边形 是矩 形，, ， , ,解得或 （秒）， （秒），, 或2均符合题意. 答：当的值为2或4时，的面积等于 ） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 38 （2）如图（2），以为圆心，长为半径作 . ①在运动过程中，是否存在这样的，使正好与矩形 的一边相切？若存 在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 图（1） 【解】存在.由题意可知与边不相切.当与 边相切时， 如图（1），设切点为，连接， 四边形 为矩形， ， 由勾股定理得 ，解 得，.当时，点，分别与， 重合,符合题意. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 39 图（2） 当与边相切时，易知点 为切点，如图（2）所示.由题意可知 ，，.在 中，由勾股定理可知 ，即 ，解得 ， （舍去）. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 40 图（3） 如图（3），当与边相切时，，重合，， 重合， 易得.综上所述，当或或 或 时，与矩形 的一边相切. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 41 ②若与矩形有4个公共点，请直接写出 的取值范围. 【解】.由①知，当时，与矩形 有2个公共点. 当时，与矩形 有3个公共点. 当与相切时，与矩形 有4个公共点. 图（4） 如图（4），当过点时，连接，则 .由题意可知 ，，， ，由 勾股定理可知 ， ， ， 即,整理得 ,解 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 42 关键点拨 （2）①分与边相切、与边相切、与 边相切三种情况讨论. 得，（舍去）, 当时， 与矩形 有4个公共点. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 $