第11讲 观察 抽象 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年 苏科版七年级数学上册

第11讲 观察 抽象 优等生讲义 2026-2027 苏科版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能从身边的实物中抽象出平面图形与立体图形，会按形状特征对常见几何体进行分类与命名 · 经历从具体物体到几何图形的抽象过程，感受数学与现实生活的联系，发展空间观念 · 认识点、线、面、体及其相互关系，理解“点动成线、线动成面、面动成体”的图形生成过程 · 通过观察与计数，探索简单多面体的顶点数、面数、棱数之间的数量关系（欧拉公式） · 初步形成用数学眼光观察世界、用数学语言描述图形特征的意识与能力 📚 知识梳理 ☆ 1.认识平面图形 平面图形：图形的各部分都在同一平面内，如长方形、正方形、三角形、圆、扇形、五边形等 从实物中抽象平面图形：如黑板面抽象成长方形、钟面抽象成圆、三角尺抽象成三角形 平面图形可以围成立体图形的面，许多立体图形的表面由平面图形组成 识别平面图形与立体图形：看图形上的点、线是否都在同一平面内，立体图形占有空间 概念辨析例题：在下面给出的4个几何图形中，平面图形是（　　）A．球体　B．长方体　C．四棱锥　D．圆 解析：球体、长方体、四棱锥各部分不都在同一平面内，是立体图形；圆各部分都在同一平面内，是平面图形，故选D。 ☆ 2.认识立体图形 立体图形：各部分不都在同一平面内，如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥 柱体：圆柱（底面是圆）、棱柱（底面是多边形，如三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱） 锥体：圆锥（底面是圆）、棱锥（底面是多边形，如三棱锥、四棱锥）；球只有一个曲面 棱柱的特征：棱柱有2个底面、侧面都是长方形；n棱柱有2n个顶点、3n条棱、（n+2）个面 概念辨析例题：五棱柱的顶点数、棱数、面数依次为（　　）A．5，10，7　B．10，10，5　C．10，15，7　D．15，10，5 解析：五棱柱有2×5＝10个顶点、3×5＝15条棱、5+2＝7个面，故选C。 ☆ 3.点、线、面、体 几何图形由点、线、面、体组成：体是由面围成的，面与面相交成线，线与线相交成点 点动成线：如笔尖在纸上移动画出线；线动成面：如雨刷摆动扫出扇形；面动成体：如长方形旋转形成圆柱 旋转体：长方形绕一条边旋转一周形成圆柱，直角三角形绕一条直角边旋转一周形成圆锥 平面图形绕轴旋转时，注意轴的位置与旋转半径，想象旋转后的立体图形形状 概念辨析例题：将一张长方形纸片绕一条宽边旋转一周，得到的立体图形是（　　）A．正方体　B．圆柱　C．圆锥　D．长方体 解析：长方形绕一条边所在直线旋转一周，面动成体，得到圆柱，故选B。 ☆ 4.欧拉公式 欧拉公式：简单多面体的顶点数V、面数F、棱数E之间满足V+F−E＝2 验证：正方体V=8、F=6、E=12，8+6−12＝2；三棱锥V=4、F=4、E=6，4+4−6＝2 应用：已知其中两个量可求第三个量，如已知顶点数和面数求棱数E＝V+F−2 计数时注意：棱是两个面共用的边，不要重复计数；顶点是多条棱的交点 概念辨析例题：七棱柱的顶点数、棱数、面数依次为（　　）A．7、14、9　B．14、21、9　C．14、14、7　D．21、14、7 解析：七棱柱有2×7＝14个顶点、3×7＝21条棱、7+2＝9个面，故选B。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 平面图形 各部分在同一平面内：长方形、三角形、圆等 立体图形（球、棱柱等）各部分不都在同一平面内 棱柱特征 n棱柱：2n个顶点、3n条棱、(n+2)个面 棱是相邻两面的公共边，顶点是三条及以上棱的交点 圆柱/圆锥 长方形绕边旋转→圆柱；直角三角形绕直角边旋转→圆锥 旋转轴的位置决定旋转体的形状与大小 点线面体 点动成线、线动成面、面动成体 面与面相交成线，线与线相交成点 欧拉公式 V+F−E＝2（简单多面体） 先数清顶点、面、棱，再代入验证是否满足公式 空间观念 从实物抽象图形、从不同方向观察、想象旋转 多结合实物与模型，动手折、转、看，积累经验 ⚠️ 核心考点 【考点1】认识平面图形（第1-12题） · 识别平面图形：判断图形各部分是否都在同一平面内，圆、三角形、长方形等都是平面图形 · 从实物抽象：黑板面→长方形、钟面→圆、三角尺→三角形，先想实物再想图形 · 组合图形：复杂图案由基本平面图形组成，逐个找出其中的三角形、正方形、圆、扇形等 · 扇形计数：在同圆中画半径，扇形个数按“起点—终点”有序计数，避免遗漏 1．（2025秋•忠县期末）在下面给出的4个几何图形中，平面图形是（　　） A． B． C． D． 【考点】认识平面图形． 【分析】根据几何体和平面图形进行甄别即可． 【解答】解：选项中前三个是立体图形，分别是球，长方体，四棱锥，不符合题意； 只有D选项是圆，是平面图形，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了认识平面图形，关键是几何体和平面图形定义的熟练掌握． 2．（2026•册亨县模拟）篮球可以近似看作球体，从上面看篮球，得到的平面图形是（　　） A．正方形 B．圆 C．长方形 D．三角形 【考点】认识平面图形． 【分析】直接判断球体从上方观察得到的平面图形即可． 【解答】解：∵球体从任意方向正投影观察，得到的平面图形都为圆， ∴从上面看篮球，得到的平面图形是圆． 故选：B． 【点评】本题主要考查认识平面图形，理解题意是解题的关键． 3．（2025秋•鞍山期末）如图，是由6个大小相同的正方体组成的立体图形，从前面观察得到的平面图形是（　　） A． B． C． D． 【考点】认识平面图形． 【分析】从正面观察该几何体，并画平面图形即可． 【解答】解：平面图形有两行，下面有4个正方形，上面有1个正方形，且靠左侧，如图所示． 故选：D． 【点评】本题主要考查了从三个方向观察正方体的组合图形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 4．（2025秋•新乡期末）下面几何图形中，表示平面图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】认识平面图形． 【分析】根据平面图形、立体图形的定义进行判断即可． 【解答】解：A．选项A中图形是圆柱，是立体图形，因此选项A不符合题意； B．选项B中图形是四棱柱，是立体图形，因此选项B不符合题意； C．选项C中图形是圆锥，是立体图形，因此选项C不符合题意； D．选项D中图形是圆，是平面图形，因此选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查认识平面图形，掌握立体图形、平面图形的定义是正确解答的关键． 5．（2026春•莱西市期中）将一个圆分割成三个扇形，使它们的圆心角度数比为2：3：5，则这三个扇形中最大的圆心角度数为　180°　 ． 【考点】认识平面图形． 【分析】根据周角的度数为360°，结合三个圆心角的度数比，即可计算得到最大圆心角的度数． 【解答】解：由题意可知，三个扇形圆心角的和为周角，即和为360°， ∵三个圆心角的度数比为2：3：5， ∴． ∴最大的圆心角度数为180°． 故答案为：180°． 【点评】本题考查认识平面图形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 6．（2026•榆树市开学）16张同样的三角形卡片和一张正方形卡片（三角形其中一条边的长度等于正方形的边长），拼成了如图所示的平面图形；围成这个平面图形的三角形是　直角　 三角形． 【考点】认识平面图形． 【分析】利用中心点周角为360°，结合正方形内角90°得到角度关系式，求出三角形一个内角为90°，从而判定该三角形是直角三角形． 【解答】解：由拼图可知，∠a+∠b＝90°，∠a+∠b+∠c＝180°， 所以∠a+∠b＝∠c＝180°﹣90°＝90°， 即围成这个平面图形的三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 【点评】本题考查认识平面图形，掌握直角三角形的定义和性质是正确解答的关键． 7．（2024秋•惠东县期末）如图，构成该图案的几何图形有 　三角形、正方形、长方形（答案不唯一）　 ．（任写三个） 【考点】认识平面图形． 【分析】应用平面图形的特征进行判定即可得出答案． 【解答】解：构成该图案的几何图形有三角形、正方形、长方形、圆，四边形等， 故答案为：三角形、正方形、长方形（答案不唯一）． 【点评】本题考查认识几何图形，熟练掌握平面图形的特征进行求解是解决本题的关键． 8．（2025春•同步）如图，在一个圆中任意画4条半径，则这个圆中有 　12　 个扇形． 【考点】认识平面图形． 【分析】根据扇形的定义回答即可． 【解答】解：由两条半径，和连接两条半径的一段弧组成的图形叫做扇形．图中有三条半径，可以直接找到4个扇形，再把相邻两个扇形拼在一起得到8个扇形，所以可以把这个圆分成12个扇形． 故答案为：12． 【点评】此题主要考查了认识平面图形，掌握扇形的定义是解题的关键． 9．（2026春•松江区期中）课桌桌面长1.2米，宽0.5米，要将桌面尺寸图画在纸上，如果长画成6厘米，那么宽画 　2.5　 厘米． 【考点】认识平面图形． 【分析】根据成比例线段的定义进行计算即可． 【解答】解：设宽应画x厘米，由题意得， 1.2：6＝0.5：x， 解得x＝2.5， 故答案为：2.5． 【点评】本题考查认识平面图形，理解成比例线段的定义是解决问题的前提． 10．（2026秋•尤溪县校级月考）甲、乙、丙、丁四个图都是平面图，观察图甲和表中对应数值，探究计数的方法并作答． （1）数一数每个图形各有多少个顶点，多少条边，这些边围出多少个区域，并将结果填入下表． 图 甲 乙 丙 丁 顶点数m 4 7 8 边数n 6 9 区域数f 3 （2）根据表中数值，写出平面图的顶点数m，边数n，区域数f之间的一种关系：m+f＝n+1　 ． （3）如果一个平面图有20个顶点和11个区域，那么利用（2）题中得出的关系，可求出这个平面图形有　30　 条边． 【考点】认识平面图形． 【分析】（1）按照规律去数顶点数，边数以及区域数； （2）4+3＝6+1，7+3＝9+1，8+5＝12+1，10+6＝15+1，所以可得到一般规律：顶点数+区域数＝边数+1； （3）将m＝20，f＝11代入到（2）中的公式，即可求出n的值． 【解答】解：（1）结合图形可以得出： 图甲有4个顶点、6条边、这些边围成3个区域； 图乙有7个顶点、9条边、这些边围成3个区域； 图丙有8个顶点、12条边、这些边围成5个区域； 图丁有10个顶点、15条边、这些边围成6个区域． （2）∵4+3＝6+1，7+3＝9+1，8+5＝12+1，10+6＝15+1， ∴顶点数+区域数＝边数+1， 即m+f＝n+1， 故答案为：m+f＝n+1； （3）∵m＝20，f＝11， ∴20+11＝n+1， 解得n＝30， ∴如果一个平面图有20个顶点和11个区域，那么利用（2）题中得出的关系，则这个平面图形有30条边． 故答案为：30． 【点评】本题考查认识平面图形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 11．（2025秋•甘州区校级月考）如图，把一个圆分成三个扇形，你能求出这三个扇形的圆心角吗？ 【考点】认识平面图形． 【分析】用360°分别乘以各个扇形所占的百分比，求出各个扇形圆心角度数即可． 【解答】解：根据题意可知，周角是360°， ∴∠AOC＝360°×45%＝360°×0.45＝162°， ∠AOB＝360°×15%＝360°×0.15＝54°， ∠BOC＝360°×40%＝360°×0.4＝144°． 【点评】本题考查了认识平面图形，掌握扇形的圆心角的计算方法是关键． 12．（2026春•杨浦区校级月考）如图，有一只狗被拴在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长为400厘米的正方形，拴狗的绳子长18米．现狗从点A出发，将绳子拉紧按顺时针方向跑，可跑多少米？ 【考点】认识平面图形． 【分析】分别以B为圆心，18cm为半径跑到F点，以E为圆心，14m为半径跑到G点，此时跑的距离是7πm，以D为圆心，10m为半径跑到H点，此时距离是5πm，以C为圆心，6m为半径跑到K点，此时距离是3πm，以B为圆心，2m为半径跑到点L，此时距离是πm，求出总距离即可． 【解答】解：以B为圆心，18cm为半径跑到F点，此时跑的距离是2×π×18＝9π（m）， ∵BF＝18m，BE＝4m， ∴EF＝14m， 以E为圆心，14m为半径跑到G点，此时跑的距离是2×π×14＝7π（m）， ∵EG＝14m，ED＝4m， ∴DG＝10m， 以D为圆心，10m为半径跑到H点，此时距离是2×π×10＝5π（m）， ∵DG＝10m，CD＝4m， ∴CH＝6m， 以C为圆心，6m为半径跑到K点，此时距离是2×π×6＝3π（m）， ∵CH＝6m，BC＝4m， ∴BK＝2m， 以B为圆心，2m为半径跑到点L，此时距离是2×π×2＝π（m）， ∴9π+7π+5π+3π+π＝25π（m）， ∴将绳子拉紧按顺时针方向跑，可跑25π米． 【点评】本题考查圆的应用，熟练掌握圆的周长公式，弄清题意，画出图形，准确求出四分之一圆的周长是解题的关键． 【考点2】认识立体图形（第13-28题） · 棱柱计数：n棱柱有2n个顶点、3n条棱、(n+2)个面，直接套用公式 · 棱锥计数：n棱锥有(n+1)个顶点、2n条棱、(n+1)个面 · 圆柱侧面展开：展开图是长方形，长＝底面周长、宽＝圆柱的高；已知长宽可求底面半径 · 表面积与体积：圆柱V=πr2h，长方体V=长×宽×高；求组合体体积时注意数据的对应 13．（2025秋•新城区期末）五棱柱的顶点数、棱数、面数依次为（　　） A．5，10，7 B．10，10，5 C．10，15，7 D．15，10，5 【考点】认识立体图形． 【分析】根据棱柱的性质，n棱柱的顶点数为2n，棱数为3n，面数为n+2，进行求解即可． 【解答】解：五棱柱有10个顶点、15条棱、7个面， 故选：C． 【点评】本题考查认识立体图形，掌握五棱柱的形体特征是正确解答的关键． 14．（2026•平桥区开学）一个圆柱沿高把侧面剪开，得到一个长方形（无损耗，宽为圆柱的高），该长方形的长是18.84cm，宽是12.56cm，这个圆柱的底面半径是（　　）（π取3.14） A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm 【考点】认识立体图形． 【分析】圆柱侧面沿高展开的长方形的长等于底面圆的周长，结合圆的周长公式即可求出底面半径． 【解答】解：∵C＝2πr， ∴． 故选：B． 【点评】本题主要考查认识立体图形，熟练掌握圆柱侧面沿高展开的长方形的长等于底面圆的周长是解题的关键． 15．（2025秋•嘉峪关校级期末）下列几何体中，是圆锥的是（　　） A． B． C． D． 【考点】认识立体图形． 【分析】根据每一个几何体的特征即可判断． 【解答】解：A、是圆柱，故此选项不合题意； B、是圆锥，故此选项符合题意； C、是五棱锥，故此选项不合题意； D、是球，故此选项不合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每一个几何体的特征是解题的关键． 16．（2026•榆阳区校级开学）一个圆锥形零件的底面半径是5cm，高比底面直径长，这个零件的体积是（　　）cm3． A．942 B．471 C．314 D．157 【考点】认识立体图形． 【分析】根据圆锥的体积公式计算即可． 【解答】解：这个零件的体积是3.14×52×2×5×（1）＝314（cm3）． 故选：C． 【点评】本题考查了认识立体图形，熟记圆锥的体积公式是解题的关键． 17．（2026秋•金堂县校级月考）一个棱柱共有12个面，则它是　十　 棱柱，共有　30　 条棱． 【考点】认识立体图形． 【分析】由棱柱的概念，即可得到答案． 【解答】解：因为棱柱有两个底面， 所以此棱柱的侧面有12﹣2＝10（个）， 所以该棱柱是十棱柱，上下底面的棱各有10条，侧棱有10条，共有30条棱． 故答案为：十，30． 【点评】本题考查认识立体图形，关键是掌握棱柱的概念． 18．（2026•市中区校级开学）一个棱柱共有24条棱，那么这个棱柱共有　10　 面，共有　16　 个顶点，它是　八　 棱柱． 【考点】认识立体图形． 【分析】根据n棱柱的棱数、顶点数、面数的数量关系，先由已知棱数求出n，再计算对应面数和顶点数． 【解答】解：n棱柱的棱数为3n，顶点数为2n，面数为n+2． ∵该棱柱共有24条棱， ∴3n＝24， 解得n＝8． ∴该棱柱是八棱柱， ∴八棱柱顶点总数为2n＝16，八棱柱面的总数为n+2＝10， 故答案为：10，16，八． 【点评】本题考查立体图形，掌握棱柱的特点是解题的关键． 19．（2026•长治开学）一个圆柱的底面积是50cm2，高15cm，这个圆柱的体积是　750　 cm3；如果把这个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是　250　 cm3． 【考点】认识立体图形． 【分析】已知圆柱底面积和高，先利用圆柱体积公式计算圆柱体积；把圆柱削成最大圆锥，可得圆锥与圆柱等底等高，圆锥体积为等底等高圆柱体积的，据此计算圆锥体积． 【解答】解：∵圆柱的底面积是50cm2，高15cm， ∴圆柱体积公式V＝Sh，得， ∵把圆柱削成最大的圆锥时，圆锥与原圆柱等底等高，此时圆锥体积是圆柱体积的， ∴， 故答案为：750，250． 【点评】本题考查立体图形，掌握圆柱、圆锥体积的计算是解题的关键． 20．（2026•朝阳校级开学）把一个圆柱侧面沿高剪开得到长方形，长方形的长对应圆柱的　底面周长　 ，宽对应圆柱的　高　 ． 【考点】认识立体图形． 【分析】圆柱侧面沿高剪开得到长方形，通过展开过程可对应得到边与圆柱各部分的关系． 【解答】解：将圆柱侧面沿高剪开后，长方形的长对应圆柱的底面周长， 长方形的宽对应圆柱的高． 故答案为：底面周长；高． 【点评】本题主要考查认识立体图形，熟练掌握通过展开过程可对应得到边与圆柱各部分的关系是解题的关键． 21．（2026•济南校级开学）请你制作一个无盖的圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择． （1）你选择的材料是　①或③　 号和　②或④　 号． （2）你选择的材料做成的水桶最多能装水多少千克？（1L水重1kg） 【考点】认识立体图形． 【分析】（1）根据圆柱的侧面展开图为长方形，确定材料①和材料④可做圆柱形水桶的侧面，再分别求出对应的圆柱形水桶的底面直径，得到搭配材料即可； （2）根据圆柱的体积公式分别计算即可． 【解答】解：（1）若选择材料①做圆柱形水桶的侧面，则圆柱形水桶的底面直径为9.42÷3.14＝3dm，因此可以选择材料②号作底面， 所以材料①号和②号铁皮搭配； 若选择材料④做圆柱形水桶的侧面，则圆柱形水桶的底面直径为12.56÷3.14＝4dm，因此可以选择材料④号作底面，所以选择材料③号和④号铁皮搭配；故答案为：①，②（或③，④）； （2）若选择材料①号和②号铁皮搭配： 则圆柱形水桶的体积为3.14×（3÷2）2×2＝14.13dm3，能装水14.13L， 即水桶最多能装水14.13kg； 若选择材料③号和④号铁皮搭配： 则圆柱形水桶的体积为3.14×（4÷2）2×5＝62.8dm3，能装水62.8L， 即水桶最多能装水62.8kg． 【点评】本题考查了圆柱的展开图以及圆柱的体积，掌握相关知识点是解题关键． 22．（2026秋•香洲区校级月考）如图是一个长方体容器，长12cm、宽10cm，高8cm（数据均为内部测量）． （1）这个容器能装多少升水？ （2）在这个容器中注入深7.5cm的水，再将一个棱长是5cm的正方体铁块放入水中（完全浸没），溢出水的体积是多少毫升？ 【考点】认识立体图形． 【分析】（1）根据长方体体积公式求解即可； （2）利用“棱长是5cm的正方体铁块体积﹣容器中注入深7.5cm的水后剩余体积”求解即可． 【解答】解：（1）12×10×8＝960（cm3）0.96升， 答：这个容器能装0.96升水； （2）5×5×5﹣12×10×（8﹣7.5） ＝125﹣60 ＝65（cm3）， 65cm3＝65毫升， 答：溢出水的体积是65毫升． 【点评】本题考查了认识立体图形，熟练掌握长方体的体积公式是解题的关键． 23．（2026秋•宝安区作业）有一个长方体鱼缸（如图所示），从里面量长9dm，宽6dm．放进去一块人工珊瑚石，珊瑚石完全浸没于水中，水面升高了5cm．这块珊瑚石的体积是多少立方分米？ 【考点】认识立体图形． 【分析】根据题意，这块珊瑚石的体积等于上升5cm的水的体积，进而根据长方体的体积公式求解即可． 【解答】解：5cm＝0.5dm， 体积为5cm＝0.5dm9×6×0.5＝27（dm3）． 答：体积是27立方分米． 【点评】本题考查长方体的体积，理解题意，得到这块珊瑚石的体积等于上升5cm的水的体积是解答的关键． 24．（2026•望奎县开学）长方体（非正方体）中也可能有四个面完全相同．　√　 （判断对错） 【考点】认识立体图形． 【分析】长方体（非正方体）可存在两个相对的面为正方形，其余四个面为完全相同的长方形，据此判断． 【解答】解：∵长方体的四个面的长和宽可以对应相等， ∴四个面完全相同，存在这样的长方体，该说法正确． 故答案为：√． 【点评】本题主要考查认识立体图形，理解题意是解题的关键． 25．（2026•望奎县校级开学）用下面的两块铁皮做一个无盖的长方体水箱． （1）做好后里外都刷上防锈漆，刷漆的面积是多少？ （2）这个水箱的容积是多少升？（忽略接头） 【考点】认识立体图形． 【分析】（1）刷漆的面积就是两块铁皮正反面的面积之和； （2）根据题意可知做成的无盖长方体水箱的长、宽、高分别为5dm、4dm、4dm，由此即可求解． 【解答】解：（1）1.8m＝18dm， 18×4×2＝144（dm2）， 5×4×2＝40（dm2） 144+40＝184（dm2）， 答：刷漆的面积是184dm2； （2）（5+4）×2＝18（dm）， 做成的无盖长方体水箱的长、宽、高分别为5dm、4dm、4dm， 5×4×4＝80（dm3）， 80dm3＝80升， 答：这个水箱的容积是80升． 【点评】本题考查了认识立体图形，熟练掌握面积公式是解题的关键． 26．（2026•封开县一模）综合与实践 【主题】卷筒纸的设计与测量 【素材】某品牌卷筒纸，直尺 【实践操作】 步骤1：使用直尺测量卷筒纸的高度，中间空心硬纸轴的直径和外层的直径，记录数据如图1所示； 步骤2：如图2，把展开的纸巾折叠多层后再测量，通过计算得到每层纸巾厚度为0.02厘米． 【实践探索】 （1）制作这个中间的纸轴至少需要多少平方厘米的硬纸板？（结果保留π） （2）根据以上数据，设计一个方案，估计这种规格的一卷空心卷筒纸展开后的总长度．（π的值取3.14） 【考点】认识立体图形． 【分析】（1）求制作中间纸轴所需硬纸板面积，实际就是求空心硬纸轴的侧面积，需要用到圆柱侧面积公式S ＝πdh（其中d为底面圆直径，h为圆柱的高） （2）我们可以根据卷筒纸展开前后体积不变的原理，先算出卷筒纸的体积（大圆柱体积减去空心部分体积），再结合展开后纸的厚度与宽度，从而计算出展开后的总长度． 【解答】解：（1）计算制作中间纸轴所需硬纸板的面积已知中间空心硬纸轴的直径d＝4厘米，卷筒纸的高度h＝10厘米，也就是硬纸轴的高为10厘米． 根据圆柱侧面积公式S＝πdh，将d＝4厘米，h＝10厘米代入可得：S＝π×4×10＝40π（平方厘米）， 所以制作这个中间的纸轴至少需要40π平方厘米的硬纸板． （2）估计一卷空心卷筒纸展开后的总长度•计算卷筒纸的体积：外层卷筒纸的半径厘米，空心硬纸轴的半径厘米，卷筒纸的高度h ＝10厘米． 根据圆柱体积公式V＝πR2h﹣πr2h＝ πh（R2﹣r2），将R＝6厘米，r＝2厘米，h ＝10厘米代入可得： V＝3.14×10×（62﹣22） ＝3.14×10×（36﹣4） ＝3.14×10×32 ＝1004.8（立方厘米）， 计算展开后纸的横截面积：已知每层纸巾厚度a＝0.02厘米，卷筒纸的高度 h＝10厘米， 那么展开后纸的横截面积S横＝10×0.02＝0.2平方厘米． 计算展开后的总长度：因为卷筒纸展开前后体积不变，设展开后的总长度为L， 根据体积公式V＝S横L，可得L， 将V＝1004.8立方厘米，S横＝0.2 平方厘米代入可得：（厘米）． 答：估计这种规格的一卷空心卷筒纸展开后的总长度为5024厘米． 【点评】本题考查立体图形，解题的关键是理解题意，正确计算． 27．（2026•诸暨市开学）求图中组合体的表面积和体积．（单位：cm）（π取3） 【考点】认识立体图形． 【分析】表面积＝圆柱的侧面积+长方体的表面积，体积＝圆柱的体积+长方体的体积，据此求解即可． 【解答】解：3×4×8＝96（cm2）， （2×8+2×5+8×5）×2＝132（cm2）， 表面积＝132+96＝228（cm2）； 3×（4÷2）2×8＝96（cm3）， 5×8×2＝80（cm3）， 体积＝96+80＝176（cm3）． 答：表面积228cm2；体积176cm3． 【点评】本题考查认识立体图形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 28．（2026•陕州区开学）环保社团的同学用铁丝制作长方体形状的垃圾分类宣传箱框架．宣传箱长80厘米、宽50厘米、高120厘米，已知制作1个长方体形状的垃圾分类宣传箱框架接头处共损耗铁丝15厘米，那么制作1个这样的宣传箱框架至少需要铁丝多少厘米？ 【考点】认识立体图形． 【分析】根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的（相对的）3组，每组4条棱的长度相等．长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，据此求出棱长总和再加上接头处损耗的长度即可． 【解答】解：宣传箱长80厘米、宽50厘米、高120厘米，则： （80+50+120）×4+15 ＝1000+15 ＝1015（厘米）， 答：制作一个宣传箱框架至少需要铁丝1015厘米． 【点评】本题考查认识立体图形，正确进行计算是解题关键． 【考点3】点、线、面、体（第29-38题） · 点动成线、线动成面、面动成体：先明确动的是点、线还是面，再看形成的图形 · 旋转体判断：长方形绕边转→圆柱，直角三角形绕直角边转→圆锥，半圆绕直径转→球 · 旋转问题求体积：确定旋转后几何体的底面半径和高（旋转轴是高的位置），代入体积公式 · 解释生活现象：飞机拉线（点动成线）、雨刷扫过（线动成面）、门转动（线/面动成体） 29．（2026•朝阳校级开学）将一张长方形纸片绕一条宽边旋转一周，得到的立体图形是（　　） A．正方体 B．圆柱 C．圆锥 D．长方体 【考点】点、线、面、体． 【分析】利用面动成体的规律，判断长方形绕边旋转后得到的立体图形即可． 【解答】解：A、正方体不是由旋转所得的立体图形，故A不符合题意； B、圆柱是由长方形纸片绕一条宽边旋转一周所得到的立体图形，故B符合题意； C、圆锥是由直角三角形绕一条直角边旋转一周所得到的立体图形，故C不符合题意； D、长方体不是由旋转所得的立体图形，故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握各个几何体的特征是解题的关键． 30．（2025秋•南平期末）将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到图中所示的立体图形是（　　） A． B． C． D． 【考点】点、线、面、体． 【分析】从运动的观点来看，点动成线，线动成面，面动成体，分别判断各选项是否可得到图中所示的立体图形． 【解答】解：A、绕轴旋转一周，得不到图中所示的立体图形，故不合题意； B、绕轴旋转一周，得不到图中所示的立体图形，故不合题意； C、绕轴旋转一周，得不到图中所示的立体图形，故不合题意； D、绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形，故符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了点线面体，解题的关键是掌握面动成体．点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． 31．（2026秋•金堂县校级月考）把一张直角三角形的硬纸片绕它的一条直角边旋转一周，得到的立体图形是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．棱锥 【考点】点、线、面、体． 【分析】根据直角三角形绕直角边旋转是圆锥，可得答案． 【解答】解：把一张直角三角形的硬纸片绕它的一条直角边旋转一周，得到的立体图形是圆锥． 故选：B． 【点评】本题考查了点、线、面、体，熟记各种平面图形旋转得到的立体图形是解题关键． 32．（2026•湘潭开学）如图，一个直角三角形的两条直角边分别是5cm和3cm．如果以5cm的直角边为轴旋转一周，得到的立体图形是　圆锥　 ；它的体积是　47.1　 cm3（π取3.14）． 【考点】点、线、面、体． 【分析】根据圆锥的特点和体积的计算公式即可解答． 【解答】解：∵直角三角形绕直角边5cm为轴旋转一周得到的立体图形为圆锥，且其底面半径为3cm，高为5cm， ∴该圆锥的体积， 故答案为：圆锥，47.1． 【点评】本题考查点、线、面、体，掌握圆锥的特点是解题的关键． 33．（2025秋•德阳期末）《雨不绝》是唐代诗人杜甫的作品，其中有诗句：鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞．译文：喧哗的雨已经过去、逐渐变得细微，映着天空摇漾的是如丝的细雨飘飞．诗中描写雨滴滴下来形成雨丝，用数学知识解释为 　点动成线　 ． 【考点】点、线、面、体． 【分析】根据点动成线分析即可． 【解答】解：雨滴滴下来形成雨丝属于点动成线． 故答案为：点动成线． 【点评】此题考查点、线、面、体，关键是根据点动成线解答． 34．（2026•槐荫区校级开学）用数学知识解释下列现象： （1）飞机进行飞行表演时的“飞机拉线”，解释为　点动成线　 ； （2）一个半圆绕着它的直径所在直线旋转一周形成球，解释为　面动成体　 ； （3）汽车雨刷刷过的路径，解释为　线动成面　 ． 【考点】点、线、面、体． 【分析】根据点动成线、面动成体和线动成面进行求解． 【解答】解：（1）飞机进行飞行表演时的“飞机拉线”，解释：点动成线； 故答案为：点动成线； （2）一个半圆绕着它的直径所在直线旋转一周形成球，解释：面动成体； 故答案为：面动成体； （3）汽车雨刷刷过的路径，解释为：线动成面． 故答案为：线动成面． 【点评】本题主要考查了点、线、面、体的知识，关键是掌握四者之间的关系． 35．（2026•铁西区校级开学）一个直角三角形，两条直角边分别是2cm和3cm，沿着其中一条直角边为轴快速旋转，会形成一个圆锥．这个圆锥体积最大是　6π　 cm3，这个圆锥体积最小是　4π　 cm3．（结果保留π） 【考点】点、线、面、体． 【分析】分两种情况：当沿着3cm长的直角边为轴快速旋转时；当沿着2cm长的直角边为轴快速旋转时；然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当沿着3cm长的直角边为轴快速旋转时，得到的圆锥体积π×22×3＝4π（cm3）； 当沿着2cm长的直角边为轴快速旋转时，得到的圆锥体积π×32×2＝6π（cm3）； ∴这个圆锥体积最大是6πcm3，这个圆锥体积最小是4πcm3， 故答案为：6π；4π． 【点评】本题考查了点、线、面、体，分两种情况讨论是解题的关键． 36．（2026•市中区校级开学）如图，有一个长6cm，宽4cm的长方形纸板，现将长方形以一条边所在直线为轴旋转一周．请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大．（结果保留π） 【考点】点、线、面、体． 【分析】分较长边为底面圆的半径，较短边为底面圆的半径，两种情况求解即可． 【解答】解：方案1：以较长边所在直线为轴旋转一周， 得到几何体的体积为：π×42×6＝96π（cm3）； 方案2：以较短边所在直线为轴旋转一周， 得到几何体的体积为：π×62×4＝144π（cm3）； ∵96π＜144π， ∴以较短边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体的体积大， 答：以较短边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体的体积大． 【点评】本题考查点、线、面、体，掌握面动成体是解题的关键． 37．（2025秋•太平区期末）如图所示的是由直角三角形和正方形拼成的四边形． （1）将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是　③　 （填序号）． ①点动成线； ②线动成面； ③面动成体． （2）求得到的立体图形的体积（结果保留π）． 【考点】点、线、面、体． 【分析】（1）根据面动成体进行解答即可； （2）根据题意得到的几何体是在底面半径为3cm，高为5cm的圆柱中，挖去一个底面半径为3cm，高为2cm的圆锥即可． 【解答】解：（1）将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，所说明的事实是面动成体， 故答案为：③； （2）由题意得，所得到的几何体的体积为底面半径为3cm、高为（3+2）＝5cm的圆柱与底面半径为3cm、高为2cm的圆锥的体积差． π×32×5π×32×2 ＝45π﹣6π ＝39π（cm3）， 答：得到的立体图形的体积为39π cm3． 【点评】本题考查了点、线、面、体的关系及旋转体体积的计算，解题的关键是理解面动成体的原理，结合旋转轴和相关边长准确确定旋转后立体图形的组成及参数，再运用体积公式计算． 38．（2026•槐荫区校级开学）如图所示，已知直角三角形纸板ABC，直角边AB＝4cm，BC＝8cm．若直角三角形纸板绕三角形的直角边所在的直线旋转一周，得到一个几何体． （1）这个几何体的名称是　圆锥　 ，这一过程体现了　③　 ．（填序号） ①点动成线；②线动成面；③面动成体． （2）求得到的这个几何体的体积（结果保留π）． 【考点】点、线、面、体． 【分析】（1）根据题意，得出几何体的名称即可解决问题； （2）根据圆锥的体积公式进行计算即可． 【解答】解：（1）由题知， 这个几何体的名称是圆锥，这一过程体现了面动成体，即③． 故答案为：圆锥，③； （2）当绕着AB边旋转时，所得到的是一个底面半径为8cm，高为4cm的圆锥， 所以这个几何体的体积为：（cm3）， 当绕着BC边旋转时，所得到的是一个底面半径为4cm，高为8cm的圆锥， 所以这个几何体的体积为：（cm3）， 综上所述，所得几何体的体积为cm3或cm3． 【点评】本题主要考查了点、线、面、体，关键是理解掌握圆锥的特征及圆锥体积公式的灵活运用． 【考点4】欧拉公式（第39-45题） · 公式记忆：V+F−E＝2，可用于判断、补全多面体的顶点、面、棱 · 棱柱应用：先由底面边数确定n，再算2n、3n、n+2 · 探究表格题：列表观察V、F、E三列数值，找V+F−E的关系 · 逆向求值：已知V、F求E＝V+F−2；已知E和其他量时列方程求解 39．（2025秋•陕西期中）七棱柱的顶点数、棱数、面数依次为（　　） A．7、14、9 B．14、21、9 C．14、14、7 D．21、14、7 【考点】欧拉公式． 【分析】n棱柱的顶点数为2n，棱数为3n，面数为n+2，据此即可求解． 【解答】解：∵n棱柱的顶点数为2n，面数为n+2，棱数为3n， 故七棱柱的顶点数＝2×7＝14、面数＝7+2＝9，棱数＝3×7＝21． 故选：B． 【点评】本题考查了棱柱的定义．根据棱柱的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 40．（2024秋•沛县期末）一个直棱柱有12个顶点，那么它的面的个数是（　　） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【考点】欧拉公式． 【分析】一个直棱柱有12个顶点，说明它的上下底面是两个六边形，从而可以确定它的面的个数． 【解答】解：直棱柱有12个顶点，一定是六棱柱， 所以它有6个侧面和2个底面共8个面． 故选：C． 【点评】本题考查了欧拉公式，n棱柱有2n个顶点，有（n+2）个面，有3n条棱． 41．（2025秋•龙海区校级期末）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式：V+F﹣E＝2，被称为欧拉公式．若一个多面体的面数比顶点数少8，且有30条棱，则这个多面体的顶点数是 　20　 ． 【考点】欧拉公式；数学常识． 【分析】设这个多面体的顶点数是x，根据题意列方程求解，即可得到答案． 【解答】解：设这个多面体的顶点数是x，则面数时x﹣8， 由题意得：x+（x﹣8）﹣30＝2， 解得：x＝20， 即这个多面体的顶点数是20， 故答案为：20． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据已知关系式正确列方程是解题关键． 42．（2025春•昌平区期末）欧拉定理是数学史上最著名的定理之一，由瑞士数学家莱昂哈德・欧拉于1752年提出．这个定理阐述了凸多面体中顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间存在一定的数量关系． 名称 图形 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 m 8 12 十二面体 20 12 30 （1）表中m的值为　6　 ； （2）在简单多面体中，V，F，E之间的数量关系是V+F﹣E＝2　 ． 【考点】欧拉公式；数学常识． 【分析】（1）根据图形直接数出顶点个数即可； （2）根据观察表格数据可得，顶点数和面数的和减去棱数刚好等于2，即可． 【解答】解：（1）由图或得八面体共有6个顶点， ∴m＝6； 故答案为：6． （2）三棱锥中，4+4﹣6＝2； 长方体中，8+6﹣12＝2； 五棱柱中，10+7﹣15＝2； 正八面体中，6+8﹣12＝2； ∴顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的代数关系式为：V+F﹣E＝2． 故答案为：V+F﹣E＝2． 【点评】本题考查多面体，总结归纳出多面体的顶点，面，棱的关系是解题的关键． 43．（2024秋•房山区期末）棱锥的顶点数（V），面数（F），棱数（E）之间存在一定的数量关系，如表： 名称 图形 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 三棱锥 4 4 6 四棱锥 5 5 8 五棱锥 6 6 10 六棱锥 7 7 ① （1）根据以上信息，表格中①处应填 　12　 ； （2）请用V，F，E表示棱锥的顶点数、面数、棱数之间的数量关系 V+F﹣E＝2　 ． 【考点】欧拉公式． 【分析】（1）根据六棱锥的特征即可得出答案； （2）观察可得顶点数+面数﹣棱数＝2； 【解答】解：（1）六棱锥有12条棱； 故答案为：12； （2）观察上面的多面体模型可知，棱锥的顶点数、面数、棱数之间的数量关系为：V+F﹣E＝2． 故答案为：V+F﹣E＝2． 【点评】本题主要考查欧拉公式，掌握多面体的特征是解题的关键． 44．（2024秋•萍乡期中）一个六棱柱有　8　 个面、　18　 条棱和　12　 个顶点． 【考点】欧拉公式． 【分析】根据棱柱的特性：n棱柱有（n+2）个面，3n条棱，2n个顶点即可得出答案． 【解答】解：六棱柱有8个面，18条棱，12个顶点． 故答案为：8，18，12． 【点评】本题主要考查了欧拉公式的知识，注意掌握n棱柱的构造特点：（n+2）个面，3n条棱，2n个顶点． 45．（2024秋•海州区校级月考）十八世纪数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（v），面数（f），棱数（e）之间存在一个有趣的数量关系：v+f﹣e＝2，这就是著名的欧拉定理．某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形拼接而成，且有28个顶点，每个顶点都3条棱，设该多面体外表面三角形个数是x个，八边形的个数是y，则x+y＝ 　16　 ． 【考点】欧拉公式． 【分析】得到多面体的棱数，求得面数即为x+y的值． 【解答】解：∵多面体有28个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线； ∴多面体共有28×3÷2＝42条棱， 由顶点数（v），面数（f），棱数（e）之间存在一个有趣的数量关系：v+f﹣e＝2， 得28+f﹣42＝2，解得f＝16， ∴x+y＝16． 故答案为：16． 【点评】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．难点是熟练掌握欧拉定理． 💯 课后巩固 复习建议 · 多观察身边的实物，把实物与平面图形、立体图形对应起来，积累图形表象 · 熟记棱柱公式（2n个顶点、3n条棱、(n+2)个面），遇到计数题直接套用并验算 · 旋转体问题先明确旋转轴与图形形状，再确定底面半径和高，避免套错公式 · 欧拉公式V+F−E＝2多用于多面体计数，数清后再代入验证，防止漏数或重数 · 做几何题时多画示意图、多动手折叠与旋转，把空间想象建立在操作经验上 【作业 1】（2026•武陟县二模）如图，下列哪个花瓶的表面可以大致看作图中的平面图形绕虚线旋转一周得到的（　　） A． B． C． D． 【考点】认识平面图形；点、线、面、体． 【分析】面动成体，由题目中的图示可知：此图形旋转可成圆柱形的花瓶． 【解答】解：D花瓶可由所给图形旋转而成，故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查认识平面图形，正确记忆相关知识点是解题关键． 【作业 2】（2026•贵州一模）如图，位于贵州平塘的“中国天眼”（FAST）是世界上最大的单口径球面射电望远镜，其外形可近似看作球体的一部分，从上面看，得到的平面图形是（　　） A．圆形 B．正方形 C．三角形 D．长方形 【考点】认识平面图形． 【分析】根据图形的形状进行判断即可． 【解答】解：其外形可近似看作球体的一部分，从上面看得到的平面图形是圆形． 故选：A． 【点评】本题考查认识平面图形，正确记忆相关知识点是解题关键． 【作业 3】（2026春•嘉定区期中）如图，阴影部分面积是大正方形面积的25%，是圆面积的，则圆面积是大正方形面积的 　37.5　 %． 【考点】认识平面图形． 【分析】要求圆面积是大正方形面积的百分之几，首先应统一单位“1”，把阴影部分的面积看作单位“1”，已知阴影部分面积是大正方形面积的25%，所以大正方形面积相当于阴影部分面积的：1÷25%＝4倍；阴影部分面积是圆面积的，所以圆面积相当于阴影部分面积的1．因此圆面积是大正方形面积的4，计算即可． 【解答】解：大正方形面积是阴影部分面积的： 1÷25%＝4倍； 圆面积是阴影部分面积的： 1； 圆面积是大正方形面积的：40.375＝37.5%． 答：圆面积是大正方形面积的37.5%． 故答案为：37.5． 【点评】考查了认识平面图形，解答此题的关键是找准单位“1”，统一单位“1”后，再进行列式计算． 【作业 4】（2026秋•同步）在如图的四个图形中，是平面图形的有 　①④　 （请填序号）． 【考点】认识平面图形． 【分析】根据平面图形和立体图形的意义进行判断即可． 【解答】解：①是圆形，是平面图形， ②是球体用平面截去一部分所剩下的几何体，是立体图形， ③是四棱锥，是立体图形， ④是四边形，是平面图形， 因此是平面图形的有①④， 故答案为：①④． 【点评】本题考查认识平面图形，掌握平面图形的意义是正确判断的前提． 【作业 5】下列各图主要由哪些简单的平面图形组成？ 【考点】认识平面图形． 【分析】观察每个图形的结构即可得出答案． 【解答】解：图1是由一个长方形和两个正方形组成， 图2是由3个菱形组成， 图3是由半圆和圆组成． 【点评】本题主要考查认识平面图形，通过拆分复杂图形来识别其基本组成单元是解题的关键． 【作业 6】（2025秋•海淀区校级期末）如图，将正五角星沿虚线折叠，使A、B、C、D、E五个顶点重合，得到的立体图形是（　　） A．五棱锥 B．五棱柱 C．六棱锥 D．六棱柱 【考点】认识立体图形． 【分析】根据棱锥的形体特征进行解答即可． 【解答】解：折叠成的几何体底面是正五边形，5个侧面是等腰三角形，因此这个几何体是五棱锥， 故选：A． 【点评】本题考查认识立体图形，掌握棱锥的形体特征是正确解答的关键． 【作业 7】（2026•榆树市开学）如图，一个下面是圆柱、上面是圆锥的容器，当把这个容器倒过来时，圆锥的顶点到液面的距离是　11　 厘米． 【考点】认识立体图形． 【分析】由等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，由此可计算出圆柱部分水倒入圆锥后圆柱剩余水的高度，进而可求出倒过来时圆锥到水面的高度． 【解答】解：由于等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍， 所以圆柱体内2cm高的水就能将高为6cm的圆锥体装满， 此时，圆柱体中还剩水的高度为7﹣2＝5cm， 所以从圆锥的尖到水面的高是6+5＝11厘米． 故答案为：11． 【点评】本题考查认识立体图形，掌握圆柱、圆锥体积的计算方法以及等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍是正确解答的关键． 【作业 8】（2025秋•惠山区期末）一个棱柱有十八条棱，则这是　六　 棱柱． 【考点】认识立体图形． 【分析】根据n棱柱的“棱”条数的规律计算即可． 【解答】解：由n棱柱有3n条棱可得， 一个棱柱有十八条棱，则18÷3＝6， 因此这棱柱是六棱柱， 故答案为：六． 【点评】本题考查认识立体图形，掌握棱柱的形体特征是正确判断的前提． 【作业 9】（2026秋•同步）【提出问题】如图是由6×6×6个棱长为1的小正方体搭成的一个大正方体，求该图形中包含多少个正方体． 【理解问题】（无需作答） （1）图中包含的正方体的棱长可以取哪些值？ （2）根据图中包含的正方体棱长的情况，这些正方体可以分成几类？ （3）如何确定每一类正方体的个数？ 【解决问题】 （1）图中包含的正方体的棱长可以为 　1、2、3、4、5、6　 ； （2）求出每一类正方体的个数，再求出所有正方体的个数． 【考点】认识立体图形． 【分析】（1）图中包含的正方体的棱长可以为1、2、3、4、5、6； （2）棱长为1的正方体个数为6×6×6，棱长为2的正方体个数为5×5×5，棱长为3的正方体个数为4×4×4，棱长为4的正方体个数为3×3×3，棱长为5的正方体个数为2×2×2，棱长为6的正方体个数为1，计算求解即可． 【解答】解：（1）图中包含的正方体的棱长可以为1、2、3、4、5、6； 故答案为：1、2、3、4、5、6； （2）根据题意可得，棱长为1的正方体个数为6×6×6＝216（个）， 棱长为2的正方体个数为5×5×5＝125（个）， 棱长为3的正方体个数为4×4×4＝64（个）， 棱长为4的正方体个数为3×3×3＝27（个）， 棱长为5的正方体个数为2×2×2＝8（个）， 棱长为6的正方体个数为1个， 所有正方体的个数为：216+125+64+27+8+1＝441（个）． 【点评】本题主要考查了认识立体图形，关键在于找到每类正方体的个数． 【作业 10】（2026•雁塔区校级开学）工程队承包了粉刷某公司6根圆柱形立柱侧面的任务，经过测量，圆柱形立柱的底面周长为5米，立柱的高为10米，经过测算预计每平方米需要0.5千克涂料，但在实际使用中还要多准备20%以备使用过程中的损耗． （1）经过工程测算共需要购买多少千克的涂料？ （2）工程采购人员按照工程预算进行涂料的采购，市场上这种涂料的规格是每桶30千克，售价为400元/桶．恰逢建材商店厂家搞促销活动，商家在原价零售的基础上提供了两种活动方案．A方案：销售金额不超过1000元时售价不打折，超过1000元时超出的部分八折优惠；B方案：购买该种涂料买4桶赠送1桶．两种优惠方案只能选择一种，工程采购员选择哪种方案购买才能较优惠，并说明理由． （3）施工方要求在8小时内完成，甲组工人承包了此项工程，他们做了4小时后，发现不能完成任务，就请乙组来帮忙，乙组的速度是甲组的，乙组加入后，甲组的速度也提高了，结果正好按时完成任务，若粉刷1平方米可得到50元钱，工程结束后，甲组工人可以得到多少元钱？ 【考点】认识立体图形；列代数式． 【分析】（1）求出柱子的侧面积，再根据用料情况进行计算即可； （2）根据题意计算出方案A，方案B的费用即可； （3）设甲组工人每小时刷涂面积为x平方米，根据题意求出x的值，进而得到甲组工人刷涂的总面积即可． 【解答】解：（1）∵一个圆柱体柱子的侧面积为5×10＝50（m2）， ∴经过工程测算需要购买的涂料的质量为0.5×（50×6）×（1+20%）＝180（千克）； （2）方案B比较优惠，理由： 需要购买的桶数为180÷30＝6（桶）， 方案A的费用为1000+（400×6﹣1000）×80%＝2120（元），方案B的费用为400×（6﹣1）＝2000（元）， ∵2120＞2000， ∴方案B比较优惠； （3）设甲组工人每小时刷涂面积为x平方米，由题意得， 4xx×（8﹣4）+（1）x×（8﹣4）＝5×10×6， 解得x＝20， 即甲组工人每小时刷涂20平方米， ∴甲组工人刷涂的总面积为20×4+20×（1）×4＝180（平方米）， ∴工程结束后，甲组工人可以得到的钱数为50×180＝9000（元）， 答：工程结束后，甲组工人可以得到9000元． 【点评】本题考查认识立体图形，掌握圆柱侧面积的计算方法是正确解答的关键． 【作业 11】（2026•大渡口区模拟）如图，将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形是（　　） A． B． C． D． 【考点】点、线、面、体． 【分析】根据旋转的性质可得直角三角形绕其一条直角边旋转一周后形成的立体图形为圆锥，即可得到答案． 【解答】解：根据旋转的性质：直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到， 故选：A． 【点评】本题考查图形的旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【作业 12】（2025秋•焦作期末）几何图形是由点、线、面组成，“点动成线、线动成面、面动成体”．生活中处处有数学，请你写出一个生活中能反映“线动成面”的例子：　表上的时针转动一周形成一个圆面（答案不唯一）．　 ． 【考点】点、线、面、体． 【分析】联系生活实际，根据“线动成面”的数学事实举一个实例即可． 【解答】解：生活中钟表上的时针转动一周形成一个圆面．这一现象，抽象成数学事实是线动成面． 故答案为：表上的时针转动一周形成一个圆面（答案不唯一）． 【点评】此题主要考查了点、线、面的概念，理解“线动成面”是解决问题的关键． 【作业 13】（2026•永城市校级开学）如图，正方形对角线的长度为12厘米，若按照图中所示的方式旋转，则得到的几何体的体积是多少立方厘米？ 【考点】点、线、面、体． 【分析】正方形旋转一周后，可得2个底面半径是6厘米，高也是6厘米的圆锥，根据圆锥的体积公式求出两个旋转体的体积即可． 【解答】解：正方形对角线的长度为12厘米，若按照图中所示的方式旋转，根据题意得： 得到的几何体的体积是： ＝144π（立方厘米）． 【点评】本题考查点、线、面、体，正确进行计算是解题关键． 【作业 14】（2025秋•武侯区校级月考）四棱柱的顶点数、棱数、面数分别是（　　） A．8，12，6 B．8，10，6 C．6，8，12 D．8，6，12 【考点】欧拉公式． 【分析】根据欧拉公式即可得到结论． 【解答】解：四棱柱的顶点数、棱数、面数分别是8，12，6． 故选：A． 【点评】本题考查了欧拉公式，熟练掌握欧拉公式是解题的关键． 【作业 15】（2024秋•南海区校级月考）如图，正四面体的顶点数（4）+面数（4）﹣棱数（6）＝2，仔细观察后计算，正八面体的顶点数+面数﹣棱数＝　2　 ． 【考点】欧拉公式． 【分析】只需分别找出正八面体的顶点数，面数和棱数即可． 【解答】解：正八面体有6个顶点，12条棱，8个面． ∴正八面体的顶点数+面数﹣棱数＝6+8﹣12＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查欧拉公式，正确找出正八面体的顶点数，面数，棱数是求解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 观察 抽象 优等生讲义 2026-2027 苏科版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能从身边的实物中抽象出平面图形与立体图形，会按形状特征对常见几何体进行分类与命名 · 经历从具体物体到几何图形的抽象过程，感受数学与现实生活的联系，发展空间观念 · 认识点、线、面、体及其相互关系，理解“点动成线、线动成面、面动成体”的图形生成过程 · 通过观察与计数，探索简单多面体的顶点数、面数、棱数之间的数量关系（欧拉公式） · 初步形成用数学眼光观察世界、用数学语言描述图形特征的意识与能力 📚 知识梳理 ☆ 1.认识平面图形 平面图形：图形的各部分都在同一平面内，如长方形、正方形、三角形、圆、扇形、五边形等 从实物中抽象平面图形：如黑板面抽象成长方形、钟面抽象成圆、三角尺抽象成三角形 平面图形可以围成立体图形的面，许多立体图形的表面由平面图形组成 识别平面图形与立体图形：看图形上的点、线是否都在同一平面内，立体图形占有空间 概念辨析例题：在下面给出的4个几何图形中，平面图形是（　　）A．球体　B．长方体　C．四棱锥　D．圆 解析：球体、长方体、四棱锥各部分不都在同一平面内，是立体图形；圆各部分都在同一平面内，是平面图形，故选D。 ☆ 2.认识立体图形 立体图形：各部分不都在同一平面内，如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥 柱体：圆柱（底面是圆）、棱柱（底面是多边形，如三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱） 锥体：圆锥（底面是圆）、棱锥（底面是多边形，如三棱锥、四棱锥）；球只有一个曲面 棱柱的特征：棱柱有2个底面、侧面都是长方形；n棱柱有2n个顶点、3n条棱、（n+2）个面 概念辨析例题：五棱柱的顶点数、棱数、面数依次为（　　）A．5，10，7　B．10，10，5　C．10，15，7　D．15，10，5 解析：五棱柱有2×5＝10个顶点、3×5＝15条棱、5+2＝7个面，故选C。 ☆ 3.点、线、面、体 几何图形由点、线、面、体组成：体是由面围成的，面与面相交成线，线与线相交成点 点动成线：如笔尖在纸上移动画出线；线动成面：如雨刷摆动扫出扇形；面动成体：如长方形旋转形成圆柱 旋转体：长方形绕一条边旋转一周形成圆柱，直角三角形绕一条直角边旋转一周形成圆锥 平面图形绕轴旋转时，注意轴的位置与旋转半径，想象旋转后的立体图形形状 概念辨析例题：将一张长方形纸片绕一条宽边旋转一周，得到的立体图形是（　　）A．正方体　B．圆柱　C．圆锥　D．长方体 解析：长方形绕一条边所在直线旋转一周，面动成体，得到圆柱，故选B。 ☆ 4.欧拉公式 欧拉公式：简单多面体的顶点数V、面数F、棱数E之间满足V+F−E＝2 验证：正方体V=8、F=6、E=12，8+6−12＝2；三棱锥V=4、F=4、E=6，4+4−6＝2 应用：已知其中两个量可求第三个量，如已知顶点数和面数求棱数E＝V+F−2 计数时注意：棱是两个面共用的边，不要重复计数；顶点是多条棱的交点 概念辨析例题：七棱柱的顶点数、棱数、面数依次为（　　）A．7、14、9　B．14、21、9　C．14、14、7　D．21、14、7 解析：七棱柱有2×7＝14个顶点、3×7＝21条棱、7+2＝9个面，故选B。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 平面图形 各部分在同一平面内：长方形、三角形、圆等 立体图形（球、棱柱等）各部分不都在同一平面内 棱柱特征 n棱柱：2n个顶点、3n条棱、(n+2)个面 棱是相邻两面的公共边，顶点是三条及以上棱的交点 圆柱/圆锥 长方形绕边旋转→圆柱；直角三角形绕直角边旋转→圆锥 旋转轴的位置决定旋转体的形状与大小 点线面体 点动成线、线动成面、面动成体 面与面相交成线，线与线相交成点 欧拉公式 V+F−E＝2（简单多面体） 先数清顶点、面、棱，再代入验证是否满足公式 空间观念 从实物抽象图形、从不同方向观察、想象旋转 多结合实物与模型，动手折、转、看，积累经验 ⚠️ 核心考点 【考点1】认识平面图形（第1-12题） · 识别平面图形：判断图形各部分是否都在同一平面内，圆、三角形、长方形等都是平面图形 · 从实物抽象：黑板面→长方形、钟面→圆、三角尺→三角形，先想实物再想图形 · 组合图形：复杂图案由基本平面图形组成，逐个找出其中的三角形、正方形、圆、扇形等 · 扇形计数：在同圆中画半径，扇形个数按“起点—终点”有序计数，避免遗漏 1．（2025秋•忠县期末）在下面给出的4个几何图形中，平面图形是（　　） A． B． C． D． 2．（2026•册亨县模拟）篮球可以近似看作球体，从上面看篮球，得到的平面图形是（　　） A．正方形 B．圆 C．长方形 D．三角形 3．（2025秋•鞍山期末）如图，是由6个大小相同的正方体组成的立体图形，从前面观察得到的平面图形是（　　） A． B． C． D． 4．（2025秋•新乡期末）下面几何图形中，表示平面图形的是（　　） A． B． C． D． 5．（2026春•莱西市期中）将一个圆分割成三个扇形，使它们的圆心角度数比为2：3：5，则这三个扇形中最大的圆心角度数为_________ ． 6．（2026•榆树市开学）16张同样的三角形卡片和一张正方形卡片（三角形其中一条边的长度等于正方形的边长），拼成了如图所示的平面图形；围成这个平面图形的三角形是_______ 三角形． 7．（2024秋•惠东县期末）如图，构成该图案的几何图形有 ____________________ ．（任写三个） 8．（2025春•同步）如图，在一个圆中任意画4条半径，则这个圆中有 _______ 个扇形． 9．（2026春•松江区期中）课桌桌面长1.2米，宽0.5米，要将桌面尺寸图画在纸上，如果长画成6厘米，那么宽画 ________ 厘米． 10．（2026秋•尤溪县校级月考）甲、乙、丙、丁四个图都是平面图，观察图甲和表中对应数值，探究计数的方法并作答． （1）数一数每个图形各有多少个顶点，多少条边，这些边围出多少个区域，并将结果填入下表． 图 甲 乙 丙 丁 顶点数m 4 7 8 边数n 6 9 区域数f 3 （2）根据表中数值，写出平面图的顶点数m，边数n，区域数f之间的一种关系：____________ ． （3）如果一个平面图有20个顶点和11个区域，那么利用（2）题中得出的关系，可求出这个平面图形有_______ 条边． 11．（2025秋•甘州区校级月考）如图，把一个圆分成三个扇形，你能求出这三个扇形的圆心角吗？ 12．（2026春•杨浦区校级月考）如图，有一只狗被拴在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长为400厘米的正方形，拴狗的绳子长18米．现狗从点A出发，将绳子拉紧按顺时针方向跑，可跑多少米？ 【考点2】认识立体图形（第13-28题） · 棱柱计数：n棱柱有2n个顶点、3n条棱、(n+2)个面，直接套用公式 · 棱锥计数：n棱锥有(n+1)个顶点、2n条棱、(n+1)个面 · 圆柱侧面展开：展开图是长方形，长＝底面周长、宽＝圆柱的高；已知长宽可求底面半径 · 表面积与体积：圆柱V=πr2h，长方体V=长×宽×高；求组合体体积时注意数据的对应 13．（2025秋•新城区期末）五棱柱的顶点数、棱数、面数依次为（　　） A．5，10，7 B．10，10，5 C．10，15，7 D．15，10，5 14．（2026•平桥区开学）一个圆柱沿高把侧面剪开，得到一个长方形（无损耗，宽为圆柱的高），该长方形的长是18.84cm，宽是12.56cm，这个圆柱的底面半径是（　　）（π取3.14） A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm 15．（2025秋•嘉峪关校级期末）下列几何体中，是圆锥的是（　　） A． B． C． D． 16．（2026•榆阳区校级开学）一个圆锥形零件的底面半径是5cm，高比底面直径长，这个零件的体积是（　　）cm3． A．942 B．471 C．314 D．157 17．（2026秋•金堂县校级月考）一个棱柱共有12个面，则它是_____ 棱柱，共有_______ 条棱． 18．（2026•市中区校级开学）一个棱柱共有24条棱，那么这个棱柱共有_______ 面，共有_______ 个顶点，它是_____ 棱柱． 19．（2026•长治开学）一个圆柱的底面积是50cm2，高15cm，这个圆柱的体积是________ cm3；如果把这个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是________ cm3． 20．（2026•朝阳校级开学）把一个圆柱侧面沿高剪开得到长方形，长方形的长对应圆柱的_________ ，宽对应圆柱的_____ ． 21．（2026•济南校级开学）请你制作一个无盖的圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择． （1）你选择的材料是________ 号和________ 号． （2）你选择的材料做成的水桶最多能装水多少千克？（1L水重1kg） 22．（2026秋•香洲区校级月考）如图是一个长方体容器，长12cm、宽10cm，高8cm（数据均为内部测量）． （1）这个容器能装多少升水？ （2）在这个容器中注入深7.5cm的水，再将一个棱长是5cm的正方体铁块放入水中（完全浸没），溢出水的体积是多少毫升？ 23．（2026秋•宝安区作业）有一个长方体鱼缸（如图所示），从里面量长9dm，宽6dm．放进去一块人工珊瑚石，珊瑚石完全浸没于水中，水面升高了5cm．这块珊瑚石的体积是多少立方分米？ 24．（2026•望奎县开学）长方体（非正方体）中也可能有四个面完全相同．_____ （判断对错） 25．（2026•望奎县校级开学）用下面的两块铁皮做一个无盖的长方体水箱． （1）做好后里外都刷上防锈漆，刷漆的面积是多少？ （2）这个水箱的容积是多少升？（忽略接头） 26．（2026•封开县一模）综合与实践 【主题】卷筒纸的设计与测量 【素材】某品牌卷筒纸，直尺 【实践操作】 步骤1：使用直尺测量卷筒纸的高度，中间空心硬纸轴的直径和外层的直径，记录数据如图1所示； 步骤2：如图2，把展开的纸巾折叠多层后再测量，通过计算得到每层纸巾厚度为0.02厘米． 【实践探索】 （1）制作这个中间的纸轴至少需要多少平方厘米的硬纸板？（结果保留π） （2）根据以上数据，设计一个方案，估计这种规格的一卷空心卷筒纸展开后的总长度．（π的值取3.14） 27．（2026•诸暨市开学）求图中组合体的表面积和体积．（单位：cm）（π取3） 28．（2026•陕州区开学）环保社团的同学用铁丝制作长方体形状的垃圾分类宣传箱框架．宣传箱长80厘米、宽50厘米、高120厘米，已知制作1个长方体形状的垃圾分类宣传箱框架接头处共损耗铁丝15厘米，那么制作1个这样的宣传箱框架至少需要铁丝多少厘米？ 【考点3】点、线、面、体（第29-38题） · 点动成线、线动成面、面动成体：先明确动的是点、线还是面，再看形成的图形 · 旋转体判断：长方形绕边转→圆柱，直角三角形绕直角边转→圆锥，半圆绕直径转→球 · 旋转问题求体积：确定旋转后几何体的底面半径和高（旋转轴是高的位置），代入体积公式 · 解释生活现象：飞机拉线（点动成线）、雨刷扫过（线动成面）、门转动（线/面动成体） 29．（2026•朝阳校级开学）将一张长方形纸片绕一条宽边旋转一周，得到的立体图形是（　　） A．正方体 B．圆柱 C．圆锥 D．长方体 30．（2025秋•南平期末）将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到图中所示的立体图形是（　　） A． B． C． D． 31．（2026秋•金堂县校级月考）把一张直角三角形的硬纸片绕它的一条直角边旋转一周，得到的立体图形是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．棱锥 32．（2026•湘潭开学）如图，一个直角三角形的两条直角边分别是5cm和3cm．如果以5cm的直角边为轴旋转一周，得到的立体图形是_______ ；它的体积是_________ cm3（π取3.14）． 33．（2025秋•德阳期末）《雨不绝》是唐代诗人杜甫的作品，其中有诗句：鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞．译文：喧哗的雨已经过去、逐渐变得细微，映着天空摇漾的是如丝的细雨飘飞．诗中描写雨滴滴下来形成雨丝，用数学知识解释为 _________ ． 34．（2026•槐荫区校级开学）用数学知识解释下列现象： （1）飞机进行飞行表演时的“飞机拉线”，解释为_________ ； （2）一个半圆绕着它的直径所在直线旋转一周形成球，解释为_________ ； （3）汽车雨刷刷过的路径，解释为_________ ． 35．（2026•铁西区校级开学）一个直角三角形，两条直角边分别是2cm和3cm，沿着其中一条直角边为轴快速旋转，会形成一个圆锥．这个圆锥体积最大是_______ cm3，这个圆锥体积最小是_______ cm3．（结果保留π） 36．（2026•市中区校级开学）如图，有一个长6cm，宽4cm的长方形纸板，现将长方形以一条边所在直线为轴旋转一周．请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大．（结果保留π） 37．（2025秋•太平区期末）如图所示的是由直角三角形和正方形拼成的四边形． （1）将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是_____ （填序号）． ①点动成线； ②线动成面； ③面动成体． （2）求得到的立体图形的体积（结果保留π）． 38．（2026•槐荫区校级开学）如图所示，已知直角三角形纸板ABC，直角边AB＝4cm，BC＝8cm．若直角三角形纸板绕三角形的直角边所在的直线旋转一周，得到一个几何体． （1）这个几何体的名称是_______ ，这一过程体现了_____ ．（填序号） ①点动成线；②线动成面；③面动成体． （2）求得到的这个几何体的体积（结果保留π）． 【考点4】欧拉公式（第39-45题） · 公式记忆：V+F−E＝2，可用于判断、补全多面体的顶点、面、棱 · 棱柱应用：先由底面边数确定n，再算2n、3n、n+2 · 探究表格题：列表观察V、F、E三列数值，找V+F−E的关系 · 逆向求值：已知V、F求E＝V+F−2；已知E和其他量时列方程求解 39．（2025秋•陕西期中）七棱柱的顶点数、棱数、面数依次为（　　） A．7、14、9 B．14、21、9 C．14、14、7 D．21、14、7 40．（2024秋•沛县期末）一个直棱柱有12个顶点，那么它的面的个数是（　　） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 41．（2025秋•龙海区校级期末）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式：V+F﹣E＝2，被称为欧拉公式．若一个多面体的面数比顶点数少8，且有30条棱，则这个多面体的顶点数是 _______ ． 42．（2025春•昌平区期末）欧拉定理是数学史上最著名的定理之一，由瑞士数学家莱昂哈德・欧拉于1752年提出．这个定理阐述了凸多面体中顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间存在一定的数量关系． 名称 图形 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 m 8 12 十二面体 20 12 30 （1）表中m的值为_____ ； （2）在简单多面体中，V，F，E之间的数量关系是____________ ． 43．（2024秋•房山区期末）棱锥的顶点数（V），面数（F），棱数（E）之间存在一定的数量关系，如表： 名称 图形 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 三棱锥 4 4 6 四棱锥 5 5 8 五棱锥 6 6 10 六棱锥 7 7 ① （1）根据以上信息，表格中①处应填 _______ ； （2）请用V，F，E表示棱锥的顶点数、面数、棱数之间的数量关系 ____________ ． 44．（2024秋•萍乡期中）一个六棱柱有_____ 个面、_______ 条棱和_______ 个顶点． 45．（2024秋•海州区校级月考）十八世纪数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（v），面数（f），棱数（e）之间存在一个有趣的数量关系：v+f﹣e＝2，这就是著名的欧拉定理．某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形拼接而成，且有28个顶点，每个顶点都3条棱，设该多面体外表面三角形个数是x个，八边形的个数是y，则x+y＝ _______ ． 💯 课后巩固 复习建议 · 多观察身边的实物，把实物与平面图形、立体图形对应起来，积累图形表象 · 熟记棱柱公式（2n个顶点、3n条棱、(n+2)个面），遇到计数题直接套用并验算 · 旋转体问题先明确旋转轴与图形形状，再确定底面半径和高，避免套错公式 · 欧拉公式V+F−E＝2多用于多面体计数，数清后再代入验证，防止漏数或重数 · 做几何题时多画示意图、多动手折叠与旋转，把空间想象建立在操作经验上 【作业 1】（2026•武陟县二模）如图，下列哪个花瓶的表面可以大致看作图中的平面图形绕虚线旋转一周得到的（　　） A． B． C． D． 【作业 2】（2026•贵州一模）如图，位于贵州平塘的“中国天眼”（FAST）是世界上最大的单口径球面射电望远镜，其外形可近似看作球体的一部分，从上面看，得到的平面图形是（　　） A．圆形 B．正方形 C．三角形 D．长方形 【作业 3】（2026春•嘉定区期中）如图，阴影部分面积是大正方形面积的25%，是圆面积的，则圆面积是大正方形面积的 _________ %． 【作业 4】（2026秋•同步）在如图的四个图形中，是平面图形的有 _______ （请填序号）． 【作业 5】下列各图主要由哪些简单的平面图形组成？ 【作业 6】（2025秋•海淀区校级期末）如图，将正五角星沿虚线折叠，使A、B、C、D、E五个顶点重合，得到的立体图形是（　　） A．五棱锥 B．五棱柱 C．六棱锥 D．六棱柱 【作业 7】（2026•榆树市开学）如图，一个下面是圆柱、上面是圆锥的容器，当把这个容器倒过来时，圆锥的顶点到液面的距离是_______ 厘米． 【作业 8】（2025秋•惠山区期末）一个棱柱有十八条棱，则这是_____ 棱柱． 【作业 9】（2026秋•同步）【提出问题】如图是由6×6×6个棱长为1的小正方体搭成的一个大正方体，求该图形中包含多少个正方体． 【理解问题】（无需作答） （1）图中包含的正方体的棱长可以取哪些值？ （2）根据图中包含的正方体棱长的情况，这些正方体可以分成几类？ （3）如何确定每一类正方体的个数？ 【解决问题】 （1）图中包含的正方体的棱长可以为 ________________ ； （2）求出每一类正方体的个数，再求出所有正方体的个数． 【作业 10】（2026•雁塔区校级开学）工程队承包了粉刷某公司6根圆柱形立柱侧面的任务，经过测量，圆柱形立柱的底面周长为5米，立柱的高为10米，经过测算预计每平方米需要0.5千克涂料，但在实际使用中还要多准备20%以备使用过程中的损耗． （1）经过工程测算共需要购买多少千克的涂料？ （2）工程采购人员按照工程预算进行涂料的采购，市场上这种涂料的规格是每桶30千克，售价为400元/桶．恰逢建材商店厂家搞促销活动，商家在原价零售的基础上提供了两种活动方案．A方案：销售金额不超过1000元时售价不打折，超过1000元时超出的部分八折优惠；B方案：购买该种涂料买4桶赠送1桶．两种优惠方案只能选择一种，工程采购员选择哪种方案购买才能较优惠，并说明理由． （3）施工方要求在8小时内完成，甲组工人承包了此项工程，他们做了4小时后，发现不能完成任务，就请乙组来帮忙，乙组的速度是甲组的，乙组加入后，甲组的速度也提高了，结果正好按时完成任务，若粉刷1平方米可得到50元钱，工程结束后，甲组工人可以得到多少元钱？ 【作业 11】（2026•大渡口区模拟）如图，将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形是（　　） A． B． C． D． 【作业 12】（2025秋•焦作期末）几何图形是由点、线、面组成，“点动成线、线动成面、面动成体”．生活中处处有数学，请你写出一个生活中能反映“线动成面”的例子：____________________ ． 【作业 13】（2026•永城市校级开学）如图，正方形对角线的长度为12厘米，若按照图中所示的方式旋转，则得到的几何体的体积是多少立方厘米？ 【作业 14】（2025秋•武侯区校级月考）四棱柱的顶点数、棱数、面数分别是（　　） A．8，12，6 B．8，10，6 C．6，8，12 D．8，6，12 【作业 15】（2024秋•南海区校级月考）如图，正四面体的顶点数（4）+面数（4）﹣棱数（6）＝2，仔细观察后计算，正八面体的顶点数+面数﹣棱数＝_____ ． 学科网（北京）股份有限公司 $