第5讲 有理数乘方优等生讲义 (知识梳理+典例+练习) 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

第5讲 有理数乘方 优等生讲义 (知识梳理+典例+练习) 2026-2027学年苏科版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解乘方的意义 · 掌握有理数乘方的符号法则 · 能正确进行乘方运算 · 理解科学记数法 · 能综合运用乘方解决实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.乘方的意义 求n个相同因数的积的运算叫做乘方 aⁿ读作a的n次方，表示n个a相乘 底数a、指数n、幂 (−a)ⁿ与−aⁿ意义不同 概念辨析例题：计算(−2)³ 解析：3个(−2)相乘：(−2)×(−2)×(−2)=−8 ☆ 2.乘方的符号法则 正数的任何次幂都是正数 负数的偶次幂为正，奇次幂为负 0的正整数次幂为0 1的任何次幂为1，−1的偶次幂为1、奇次幂为−1 概念辨析例题：判断(−3)²与−3² 解析：(−3)²是3个？不，2个(−3)相乘得9；−3²是3²的相反数 ☆ 3.有理数的乘方运算 先确定符号 再算绝对值 乘方优先于乘除加减 (−a)ⁿ带括号与−aⁿ的区别 概念辨析例题：计算−2² 解析：−2²＝−(2×2)＝−4，区别于(−2)²＝4 ☆ 4.科学记数法 把一个大于10的数写成a×10ⁿ形式 1≤a＜10，n为正整数 n等于原数整数位数减1 用科学记数法表示大数 概念辨析例题：用科学记数法表示1230000 解析：a=1.23，整数位7位，n=6 📋 知识总结表 概念 法则/规定 注意事项 乘方 n个a相乘 aⁿ底数a指数n 符号 负偶正奇 (−a)ⁿ与−aⁿ不同 运算顺序 先乘方 再乘除后加减 特殊 0ⁿ=0 1ⁿ=1 −1偶1奇−1 科学记数法 a×10ⁿ 1≤a<10 应用 细胞分裂/折纸 指数增长 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的乘方（第1-11题） · n个相同因数相乘 · 读法写法 · 底数指数幂 · (−a)ⁿ带括号 1．（2026•和平区二模）计算（﹣3）2的结果等于（　　） A．6 B．﹣6 C．9 D．﹣9 【分析】根据有理数乘方法则计算即可． 【解答】解：（﹣3）2＝（﹣3）×（﹣3）＝9， 故选：C． 【点评】本题考查有理数乘方，熟练掌握有理数乘方法则是解题的关键． 2．（2026•朝阳区校级模拟）下列式子计算的结果为负数的是（　　） A．（﹣2）2 B．|﹣2| C．﹣22 D．﹣（﹣2） 【分析】先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【解答】解：A．（﹣2）2＝4＞0，是正数，不符合题意； B．|﹣2|＝2＞0，是正数，不符合题意； C．﹣22＝﹣4＜0，是负数，符合题意； D．﹣（﹣2）＝2＞0，是正数，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 3．（2026•正安县一模）计算23的结果是（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 【分析】根据乘方的定义，an表示n个a相乘，解答即可． 【解答】解：23＝2×2×2＝8． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方的运算法则是关键． 4．（2025秋•洛阳期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（　　） A．﹣（﹣7）和|﹣7| B．（﹣7）3和﹣73 C．﹣|7|和﹣7 D．（﹣7）2和﹣72 【分析】利用绝对值的定义，立方和平方的定义解答． 【解答】解：A．﹣（﹣7）＝7，|﹣7|＝7，不是相反数，故选项A错误； B．（﹣7）3＝﹣343，﹣73＝﹣343，不是相反数，故选项B错误； C．﹣|7|＝﹣7，﹣|7|和﹣7不是相反数，故选项C错误； D．（﹣7）2＝49，（﹣7）2＝﹣49，（﹣7）2和﹣72是相反数，故选项D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值和相反数，解题的关键是掌握绝对值的定义，互为相反数的定义． 5．（2026春•仪征市期中）每天进步一点点（0.01），一年后将远大于“1”，进步很大（1.01365≈37.8）．如果每天比前一天进步1%，则两年后所得终值1.01730最接近下面数值中的（　　） A．75 B．200 C．378 D．1400 【分析】根据幂的乘方进行求解． 【解答】解：1.01730＝（1.01365）2≈37.82≈1429≈1400， 故选：D． 【点评】本题考出来有理数的乘方，掌握幂的乘方公式是解题的关键． 6．（2024•峰峰矿区校级模拟）下列各组数中，是负数的是（　　） A．（﹣22）3 B．（﹣23）2 C．[（﹣2）2]3 D．[（﹣2）3]2 【分析】根据积的乘方和幂的乘方法则逐项计算，然后判断即可． 【解答】解：A．（﹣22）3＝﹣26＜0，是负数，符合题意； B．（﹣23）2＝26＞0，是正数，不符合题意； C．[（﹣2）2]3＝（﹣2）6＝26＞0，是正数，不符合题意； D．[（﹣2）3]2＝（﹣2）6＝26＞0，是正数，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了积的乘方和幂的乘方，掌握积的乘方和幂的乘方的定义是关键． 7．（2023秋•太和县期末）下列各组数中，数值相等的是（　　） A．24与42 B．（﹣4）2与﹣42 C．23与（﹣3）2 D．（﹣3）3与|﹣3|3 【分析】各个选项按照乘方的意义进行计算，然后判断即可． 【解答】解：A．∵24＝2×2×2×2＝16，42＝4×4＝16， ∴24＝42， 故此选项符合题意； B．∵（﹣4）2＝（﹣4）×（﹣4）＝16，﹣42＝﹣4×4＝﹣16， ∴（﹣4）2≠﹣42， 故此选项不符合题意； C．∵23＝2×2×2＝8，（﹣3）2＝9， ∴23≠（﹣3）2， ∴此选项不符合题意； D．∵（﹣3）3＝﹣27，|﹣3|3＝33＝27， ∴（﹣3）3≠|﹣3|3， 故此选项不符合题意， 故选：A． 【点评】本题主要考查了有理数的乘方，解题关键是熟练掌握有理数乘方的意义． 8．（2025秋•大庆校级期末）一根1米长的小棒，第一次截去它，第二次截去剩下，如此截下去，第10次后剩下的棒的长度是　　 米． 【分析】由题意可知，第一次截后剩下的棒的长度是，第二次截后剩下的棒的长度是，据此即可求解． 【解答】解：由题意可得，第五次后剩下的小棒的长度是： （1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）． 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方运算法则是关键． 9．（2023秋•市中区校级期中）若|a|＝8，b2＝49，且|a﹣b|＝b﹣a，则a+b＝　﹣1或﹣15　 ． 【分析】先根据绝对值的性质可得a＝±8，有理数的乘方可得b＝±7，再根据绝对值的性质可得a＜b，然后代入计算即可得． 【解答】解：∵|a|＝8， ∴a＝±8， ∵b2＝49，（±7）2＝49， ∴b＝±7， 又∵|a﹣b|＝b﹣a， ∴a﹣b＜0，即a＜b， ∴a＝﹣8， 当a＝﹣8，b＝7时，a+b＝﹣8+7＝﹣1， 当a＝﹣8，b＝﹣7时，a+b＝﹣8﹣7＝﹣15， 故答案为：﹣1或﹣15． 【点评】本题考查了绝对值的性质、有理数的乘方、有理数的加减法，熟练掌握绝对值的性质是解题关键． 10．（2025秋•鼓楼区校级月考）下列说法中：①有理数分为正有理数和负有理数；②是有理数；③最大的负整数是﹣1；④0.212212221是分数；⑤一个数的立方等于它本身，则这个数是0或1；⑥减去一个数等于加上这个数的相反数．其中错误的是 　①②⑤　 ． 【分析】①根据有理数的分类判断即可； ②根据π是无理数判断即可； ③根据数轴判断即可； ④根据分数的概念判断即可； ⑤设这个数是a，根据题意列方程并求解即可； ⑥根据相反数的定义判断即可． 【解答】解：有理数分为正有理数、负有理数和0， ∴①错误，符合题意； ∵π是无理数， ∴也是无理数， ∴②错误，符合题意； 最大的负整数是﹣1， ∴③正确，不符合题意； 0.212212221是分数， ∴④正确，不符合题意； 设某个数是a，根据这个数的立方等于它本身，得a3＝a， 经整理，得a（a+1）（a﹣1）＝0， 解得a＝﹣1，0或1， ∴一个数的立方等于它本身，则这个数是﹣1或0或1， ∴⑤错误，符合题意； 减去一个数等于加上这个数的相反数， ∴⑥正确，不符合题意． 综上，①②⑤错误． 故答案为：①②⑤． 【点评】本题考查有理数的乘方、有理数、相反数，掌握有理数的分类、分数的概念、相反数的定义是解题的关键． 11．（2025秋•象州县期末）下列各组数中，数值相等的是（　　） A．23和32 B．（﹣3）2和﹣32 C．（﹣2）3和﹣23 D．和 【分析】运用平方和立方知识进行逐一计算、比较． 【解答】解：∵23＝8，32＝9， ∴选项A不符合题意； ∵（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9， ∴选项B不符合题意； ∵（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8， ∴选项C符合题意； ∵（）2，，∴选项D不符合题意， 故选：C． 【点评】此题考查了平方和立方的运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行计算、比较． 【考点2】乘方的符号判断（第12-21题） · 负偶正奇 · (−a)ⁿ与−aⁿ区别 · 1与−1的幂 · 0的幂 12．（2025秋•北仑区期末）对于等式ab＝c，定义已知a，c求b的运算为对方运算，记为b＝Da（c），例如已知a＝2，c＝8，求b，因为23＝8，所以b＝D2（8）＝3，则D4（16）+D3（81）的值为　6　 ． 【分析】根据对方运算的定义，分别求D4（16）和D3（81）的值，再计算它们的和． 【解答】解：因为42＝16， 所以D4（16）＝2， 因为34＝81， 所以D3（81）＝4； 因此D4（16）+D3（81）＝2+4＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了新定义，有理数的乘方的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 13．（2024秋•衡山县月考）（﹣1）2024的相反数是 　﹣1　 ． 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【解答】解：（﹣1）2024＝1， 1的相反数是﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 14．（2024秋•南康区期中）已知|n﹣2|+（m+3）2＝0，则mn的值等于 　9　 ． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|n﹣2|+（m+3）2＝0， ∴n﹣2＝0，m+3＝0， ∴m＝﹣3，n＝2， ∴mn＝9， 故答案为：9． 【点评】本题主要考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0． 15．（2025春•本溪期末）﹣23的值为　﹣8　 ． 【分析】根据有理数乘方的性质分析，即可得到答案． 【解答】解：有理数乘方的知识可得：﹣23＝﹣8． 故答案为：﹣8． 【点评】本题考查了有理数乘方的知识，解题的关键是熟练掌握有理数乘方运算的性质，从而完成求解． 16．（2024秋•浦东新区校级月考）如果一个数的平方是它的相反数，那么这个数是 　0或﹣1　 ． 【分析】根据有理数的乘方、相反数的定义计算即可． 【解答】解：如果一个数的平方是它的相反数，那么这个数是0或﹣1， 故答案为：0或﹣1． 【点评】本题考查了有理数的乘方，相反数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 17．（2025秋•宿城区期末）一个数的平方是36，这个数是　±6　 ． 【分析】根据平方根概念理解求解． 【解答】解：根据题意可知，这个数是±6． 故答案为：±6． 【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方的运算法则是关键． 18．（2025秋•咸阳校级月考）下列各数：﹣（﹣1），，﹣|﹣3|，负数有　3　 个． 【分析】先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【解答】解：﹣（﹣1）＝1＞0，是正数； （﹣1）3＝﹣1＜0，是负数； 0，是正数； ﹣（﹣2）2＝﹣4＜0，是负数； ﹣（﹣1）2025＝1＞0，是正数； ﹣|﹣3|＝﹣3＜0，是负数； ∴负数有（﹣1）3，﹣（﹣2）2，﹣|﹣3|，共3个． 故答案为：3． 【点评】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 19．（2022秋•单县期末）计算：　﹣12　 ． 【分析】先算乘方，再将除法转化为乘法，再计算即可． 【解答】解： ＝﹣4×3 ＝﹣12， 故答案为：﹣12． 【点评】本题考查有理数的乘方和有理数的除法，解题的关键是掌握运算顺序． 20．（2025春•同步）若有理数满足（3x2+2y2+2023）（3x2+2y2﹣2023）＝1﹣20232，则3x2+2y2的值为 　1　 ． 【分析】根据有理数的乘方的运算法则进行计算． 【解答】解：∵（3x2+2y2+2023）（3x2+2y2﹣2023）＝1﹣20232， ∴（3x2+2y2）2﹣20232＝1﹣20232， ∴（3x2+2y2）2＝1， ∵3x2+2y2＞0， ∴3x2+2y2＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方的运算法则是关键． 21．（2026•云岩区模拟）计算：32＝ 　9　 ． 【分析】根据有理数的乘方法则进行解题即可． 【解答】解：32＝3×3＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【考点3】有理数的乘方提高（第22-27题） · 乘方与加减混合 · 先乘方后乘除 · 科学记数法 · 逆用幂 22．（2024秋•白沙县期中）已知|x|＝5，y2＝16． （1）若x＜y，求x﹣y的值； （2）若xy＜0，求x+y的值． 【分析】（1）根据x＜y，确定x，y的值，进而求解即可； （2）根据xy＜0，确定x，y的值，进而求解即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，x＝±5，y＝±4， 若x＜y，则x＝﹣5，y＝4x﹣y＝﹣5﹣4＝﹣9； 或x＝﹣5，y＝﹣4，x﹣y＝﹣5﹣（﹣4）＝﹣1； 综上所述，x﹣y的值为﹣1或﹣9； （2）∵|x|＝5，y2＝16， ∴x＝±5，y＝±4， 若xy＜0，则x＝5，y＝﹣4或x＝﹣5，y＝4， 当x＝5，y＝﹣4时，x+y＝5+（﹣4）＝1； 当x＝﹣5，y＝4时，x+y＝﹣5+4＝﹣1； 综上所述，x+y的值为1或﹣1． 【点评】本题考查绝对值，有理数的加减法，有理数的乘方，掌握相关计算法则是解题的关键． 23．（2025秋•如皋市校级月考）已知|x|＝7，y2＝16． （1）若x＞y，求x+y的值； （2）若，求x﹣y的值． 【分析】（1）先根据已知条件求出x、y的值，进而代入x+y计算即可； （2）先根据已知条件求出x、y的值，进而代入x﹣y计算即可． 【解答】解：（1）∵|x|＝7，y2＝16， ∵x＞y， ∴x＝7，y＝±4， ∴x+y＝7+4＝11或x+y＝7﹣4＝3； （2）∵|x|＝7，y2＝16， ∵， ∴x＝7，y＝4或x＝﹣7，y＝﹣4， ∴x﹣y＝7﹣4＝3或x﹣y＝﹣7﹣（﹣4）＝﹣3． 【点评】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘方，代数式求值，解题的关键是根据运算法则来计算． 24．（2023秋•荆门期末）已知一些两位数相乘的算式：53×57，38×32，84×86，71×79．（每个算式中两个因数的十位数字相同，个位数字的和等于10） （1）计算已知算式中两个数的积，观察计算结果，你能发现不经过乘法运算就可以快速直接写出积的规律吗？请用文字描述这个规律； （2）请用整式乘法的知识证明（1）中的规律； （3）利用你总结的规律计算：58×52，752． 【分析】（1）先利用两位数的乘法计算已知条件中的四个算式的结果，然后观察计算结果得出规律即可； （2）设这两个两位数分别为：10a+b和10a+（10﹣b），根据题意表示出两个数的乘积，然后利用多项式乘多项式法则进行计算和化简即可； （3）利用总结的规律，列出算式进行计算即可． 【解答】解：（1）53×57＝3021，38×32＝1216，84×86＝7224，71×79＝5609， 规律为：如果两个两位数的十位数字相同，个位数字的和等于10，那么积的前两位是十位数字乘比它大1的数字，积的后两位是两个个位数字的乘积； （2）证明：设这两个两位数分别为：10a+b和10a+（10﹣b）， （10a+b）（10a+10﹣b） ＝100a2+100a﹣10ab+10ab+10b﹣b2 ＝100a2+100a+10b﹣b2 ＝100a（a+1）+b（10﹣b）； （3）58×52 ＝100×5×（5+1）+8×（10﹣8） ＝100×5×6+8×2 ＝3000+16 ＝3016； 752＝75×75 ＝100×7×（7+1）+5×（10﹣5） ＝100×7×8+5×5 ＝5600+25 ＝5625． 【点评】本题主要考查了有理数的乘法运算，解题关键是熟练掌握有理数的乘法法则和能够根据乘法运算结果找出规律． 25．（2024秋•海原县期中）阅读材料：类比有理数的乘方，我们要求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，记作an，读作“a的圈n次方”． 如：2÷2÷2，记作2③，读作“2的圈3次方”； （﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3），记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”． （1）直接写出计算结果：2③＝ 　　 ； （2）除方也可以转化为乘方的形式， 如：2④ 试将下列运算结构直接写成乘方的形式：（﹣3）④＝ 　（）2 ；⑩＝ 　28 ； （3）计算：④÷（﹣2）③﹣（﹣3）②． 【分析】（1）根据除方的定义计算即可； （2）把除法转化为乘法即可得出答案； （3）根据除方的定义计算即可． 【解答】解：（1）2÷2÷2． 故答案为：． （2）（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×（）×（）＝（）2， 1×2×2×2×2×2×2×2×2＝28， 故答案为：（）2；28． （3）原式＝22×（）÷[（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）]﹣（﹣3）÷（﹣3） ＝4×9×（﹣2）﹣1 ＝﹣72﹣1 ＝﹣73． 【点评】本题考查了有理数的乘方，有理数的乘除法，体现了转化思想，掌握除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数是解题的关键． 26．（2024秋•钢城区期末）概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果：2③＝　　 ，（）⑤＝　﹣8　 ； （2）以下说法中，正确的有 ABD （多选题）； A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1； C．3④＝4③； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数； E．2③＝（﹣2）③． （3）一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于aⓝ＝　　 ； （4）算一算：﹣42×（）④﹣（）⑥÷（﹣2）3． 【分析】（1）根据新定义展开，再根据有理数的运算法则进行计算即可； （2）根据新定义和有理数的运算法则进行判断即可； （3）根据除方定义展开，然后按照乘方和有理数除法的定义即可总结通项式； （4）先根据有理数的乘方和新定义进行计算，再根据有理数的乘法和除法法则进行计算，再算加法即可． 【解答】解：（1）2③ ＝2÷2÷2 ＝1÷2 ， （）⑤ ＝（）÷（）÷（）÷（）÷（） ＝﹣8， 故答案为：，﹣8； （2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，故本选项符合题意； B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1，故本选项符合题意； C．∵3④＝3÷3÷3÷3＝3， 4③＝4÷4÷4＝4， ∴3④≠4③，故本选项不符合题意； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故本选项符合题意； E.2③＝2÷2÷2，（﹣2）③＝（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）， ∴2③≠（﹣2）③．故本选项不符合题意； 故选：ABD． （3）aⓝ＝a÷a÷a…÷a＝1÷an﹣2， 故答案为：； （4）由（3）得：（）④，（）⑥ 原式＝﹣16×9﹣16÷（﹣8） ＝﹣144+2 ＝﹣142． 【点评】本题考查了有理数的混合运算和正数、负数等知识点，能正确根据有理数的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序． 27．（2025秋•新华区月考）综合与探究： 【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地把（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：2③＝　　 ；　﹣2　 ． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方幂的形式 （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成乘方幂的形式： （﹣3）⑤＝　　 ，　54 ； （3）算一算：． （4）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式aⓝ（n为正整数，a≠0，n≥2），要求写出推导过程将结果写成乘方幂的形式．（结果用含a，n的式子表示） 【分析】（1）由新定义列出算式计算即可； （2）根据新定义列出算式，化为乘方形式即可； （3）根据新定义列出算式，化为乘方形式即可； （4）根据新定义计算即可． 【解答】解：（1），； 故答案为：，﹣2； （2）， ； 故答案为：，54； （3）原式 ＝﹣2； （4）根据新定义计算可得：． 【点评】本题考查有理数的混合运算，涉及新定义，解题的关键是熟练掌握有理数相关运算法则，能根据新定义列出算式． 【创新与压轴】（第28题） · 幂的规律 · 末位数字周期 · 分类讨论 · 找规律 28．（2026春•武进区校级期中）如果xn＝y，那么我们规定（x，y]＝n．例如：因为42＝16，所以（4，16]＝2． （1）（2，16]＝　4　 ；若（3，y]＝3，则y＝　27　 ； （2）若（5，45]＝m，（9，45]＝n，求的值． 【分析】（1）根据新定义运算进行计算即可； （2）由新定义运算可得5m＝45，9n＝45，再将原式化为代入计算即可． 【解答】解：（1）∵24＝16， ∴（2，16]＝4， ∵33＝27， ∴（3，27]＝3， 即y＝27， 故答案为：4，27； （2）∵（5，45]＝m，（9，45]＝n， ∴5m＝45，9n＝45， ∴452＝2025． 【点评】本题考查有理数的乘方，掌握有理数乘方的计算方法是正确解答的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•张店区期末）如表是小明同学做的练习题，他最后的得分是（　　） 姓名：小明 得分：______ 填空题（评分标准：每答对一道题得5分，共计20分） （1）﹣62＝﹣36； （2）； （3）（﹣4）3＝﹣64； （4）（﹣1）100+（﹣1）200＝0． A．5分 B．10分 C．15分 D．20分 【分析】根据题意逐项判断即可． 【解答】解：（1）﹣62＝﹣36，故正确； （2），故正确； （3）（﹣4）3＝﹣64，故正确； （4）（﹣1）100+（﹣1）200＝1+1＝2，故错误， 共3个正确的，该得15分． 故选：C． 【点评】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【练习 2】（2025秋•黔东南州期中）下列运算正确的是（　　） A．﹣（﹣2）2＝﹣4 B．（﹣3）2＝6 C．﹣|﹣3|＝3 D．（﹣2）2＝﹣6 【分析】根据有理数的乘方、相反数、绝对值等知识点逐一计算，再判断即可． 【解答】解：A．原式＝﹣4，故本选项符合题意； B．原式＝9，故本选项不符合题意； C．原式＝﹣3，故本选项不符合题意； D．原式＝4，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查有理数的乘方、相反数、绝对值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【练习 3】（2025秋•盘龙区期末）在3，1，0.，中，负数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【解答】解：3＞0，是正数； 0，是正数； 0，是正数； 0，是负数； ﹣|+2|＝﹣2＜0，是负数； 0既不是正数，也不是负数； ﹣（+18）＝﹣18＜0，是负数； （﹣4）3＝﹣64＜0，是负数； ∴负数有，﹣|+2|，﹣（+18），（﹣4）3，共4个． 故选：C． 【点评】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 【练习 4】（2024秋•襄都区期中）琪琪准备完成题目：计算：（﹣9）×（5﹣■）﹣32．发现题目中有一个数字“■”印刷不清楚． （1）琪琪猜测数字“■”是8，请计算原式． （2）若该题标准答案的结果等于0，直接写出数字“■”的值． 【分析】（1）先算乘方及括号里面的，再算乘法，最后算减法即可； （2）根据题意列式计算即可． 【解答】解：（1）根据琪琪的猜测进行计算， （﹣9）×（5﹣8）﹣32 ＝﹣9×（﹣3）﹣9 ＝27﹣9 ＝18； （2）根据题意可知，该题标准答案的结果等于0， 即（﹣9）×（5﹣■）﹣32＝0， 则■＝5﹣（0+32）÷（﹣9） ＝5﹣9÷（﹣9） ＝5+1 ＝6． 【点评】本题考查了有理数的乘方，有理数的乘法，掌握相关运算法则是解题的关键． 【练习 5】（2026•南岗区四模）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．（﹣3）2和3 B．﹣（﹣3）2和﹣32 C．﹣（+3）和﹣3 D．|﹣3|和﹣|﹣3| 【分析】根据相反数的定义，即只有符号不同的两个数互为相反数，先化简每个选项中的两个数，再判断是否符合定义即可． 【解答】解：根据只有符号不同的两个数互为相反数逐项分析判断如下： 选项A：（﹣3）2＝9，9和3不互为相反数，A错误； 选项B：﹣（﹣3）2＝﹣9，﹣32＝﹣9，两个数相等，不互为相反数，B错误； 选项C：﹣（+3）＝﹣3，两个数相等，不互为相反数，C错误； 选项D：|﹣3|＝3，﹣|﹣3|＝﹣3，3和﹣3只有符号不同，互为相反数，D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了相反数，熟练掌握该知识点是关键． 【练习 6】（2025秋•汕头校级期末）若|a|＝2，b2＝9，且ab＞0，则a+b等于（　　） A．±1 B．±5 C．1 D．﹣1 【分析】根据绝对值，有理数的乘方求出a、b的值，再代入计算即可． 【解答】解：∵|a|＝2，b2＝9， ∴a＝±2，b＝±3， 又∵ab＞0，即a、b同号， ∴a＝2，b＝3或a＝﹣2，b＝﹣3， ∴a+b＝5或a+b＝﹣5， 故选：B． 【点评】本题考查绝对值，有理数的乘方，掌握绝对值的定义，有理数乘方的计算方法是正确解答的关键． 【练习 7】（2025秋•龙马潭区期末）下列各组数中，结果相等的是（　　） A．52与25 B．﹣14与（﹣1）4 C．﹣24与（﹣4）2 D．（﹣1）3与﹣13 【分析】根据有理数的乘方法则逐项计算即可得解． 【解答】解：A、52＝25，25＝32，故52≠25，故A选项不符合题意； B、﹣14＝﹣1，（﹣1）4＝1，故﹣14≠（﹣1）4，故B选项不符合题意； C、﹣24＝﹣16，（﹣4）2＝16，故﹣24≠（﹣4）2，故C选项不符合题意； D、（﹣1）3＝﹣1，﹣13＝﹣1，故（﹣1）3＝﹣13，故D选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数的乘方的运算法则． 【练习 8】（2022秋•岱岳区期末）在（﹣2）3、（﹣3）4、﹣22，﹣（﹣1）这四个有理数中，负数有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】先把每个数化简，再做判断． 【解答】解：（﹣2）5＝﹣32，（﹣3）4＝81，﹣22＝﹣4，﹣（﹣1）＝1， 结果是负数的有2个， 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握乘方的运算方法是解题的关键． 【练习 9】（2026春•肇源县月考）定义：如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以log5125＝3．则下列说法中正确的有（　　）个 ①log66＝36；②log381＝4；③若log4（a+14）＝4，则a＝50；④log279+log644＝1； A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据题目给出的对数定义，结合乘方运算，逐项判断每个说法的正误，统计正确说法的个数即可得到答案． 【解答】解：①∵61＝6， ∴log66＝1≠36，选项计算错误，不符合题意； ②∵34＝81， ∴log381＝4，选项计算正确，符合题意； ③∵log4（a+14）＝4， ∴a+14＝44＝256， 解得：a＝256﹣14＝242≠50，选项计算错误，不符合题意； ④设x＝log279，根据定义得27x＝9， ∵27＝33，9＝32， ∴（33）x＝32，即33x＝32，得， 设y＝log644，根据定义得64y＝4， ∵64＝43， ∴（43）y＝41，即43y＝41，得， ∴，即log279+log644＝1，选项计算正确，符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方的运算法则是关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 乘方表示n个相同因数相乘 · 负数的偶次幂为正奇次幂为负 · (−a)ⁿ与−aⁿ意义不同 · 运算顺序：先乘方再乘除后加减 · 科学记数法1≤a＜10 【作业 1】（2025秋•绍兴期末）下列各组数中，计算结果相等的是（　　） A．﹣（﹣2）与﹣|﹣2| B．﹣32与（﹣3）2 C．﹣23与（﹣2）3 D．与 【分析】根据相反数、绝对值、有理数乘方的运算法则，分别计算各选项中两个数的值，再比较是否相等即可． 【解答】解：A．﹣|﹣2|＝﹣2，﹣（﹣2）＝2，﹣2≠2，选项计算错误，不符合题意； B．﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，﹣9≠9，选项计算错误，不符合题意； C．﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，﹣8＝﹣8，选项计算正确，符合题意； D．，，，选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的乘方，相反数，绝对值，掌握有理数的乘方的运算法则是关键． 【作业 2】（2025秋•邹城市月考）一根1m长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第200次剪完后剩下绳子的长度是（　　）m． A． B． C． D． 【分析】根据题意可得第一次剪去绳子的，剩下绳子的长度是，第二次剪去剩下绳子的，剩下绳子的长度是，…，由此发现规律，即可求解． 【解答】解：一根1m长的绳子， 第一次剪去绳子的，即减去的绳子的长度是，剩下绳子的长度是， 第二次剪去剩下绳子的，剩下绳子的长度是， 第三次剪去剩下绳子的，剩下绳子的长度是， …， ∴第200次剪完后剩下绳子的长度是； 故选：C． 【点评】本题考查有理数的乘方，数字类规律探究，解题的关键是发现规律计算． 【作业 3】（2025秋•澧县期中）下列各式正确的是（　　） A．（﹣2）3＝（﹣3）2 B．﹣32＝（﹣3）2 C．（﹣3）3＝﹣33 D．﹣3×23＝（﹣3×2）3 【分析】根据有理数的乘方和有理数的乘法的运算法则计算，逐项判断即可． 【解答】解：（﹣2）3＝﹣8，（﹣3）2＝9， ∴（﹣2）3≠（﹣3）2， 故A选项不正确，不符合题意； ﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9， ∴﹣32≠（﹣3）2， 故B选项不正确，不符合题意； （﹣3）3＝﹣27，﹣33＝﹣27， ∴（﹣3）3＝﹣33， 故C选项正确，符合题意； ﹣3×23＝﹣24，（﹣3×2）3＝﹣216， ﹣3×23≠（﹣3×2）3， 故D选项不正确，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查有理数的乘方、有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【作业 4】（2023春•普陀区期中）在，0，﹣22，（﹣3）2，中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】先化简各数，再根据非负数的性质判断． 【解答】解：∵，﹣22＝﹣4，（﹣3）2＝9，； ∴非负数是，0，（﹣3）2，有3个． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的乘方、绝对值、相反数、非负数等知识，属于基础题目，正确化简是解题的关键． 【作业 5】（2025•滑县校级三模）已知43+43+43+43＝4m，34×34×34×34＝3n，则m+n的值为（　　） A．13 B．15 C．16 D．20 【分析】利用有理数的乘方法则和同底数幂的乘法法则解答即可． 【解答】解：∵43+43+43+43＝4m， ∴4×43＝4m， ∴44＝4m， ∴m＝4． ∵34×34×34×34＝3n， ∴316＝3n， ∴n＝16． ∴m+n＝20． 故选：D． 【点评】本题主要考查了有理数的乘方法则和同底数幂的乘法法则，熟练掌握上述法则是解题的关键． 【作业 6】（2023秋•万宁期中）设x＜0＜y，则①x﹣y＜0；②xy＜0；③||＞0；④x2y3＞0，正确的结论共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①根据一个负数减去一个正数得负数判断即可； ②根据两数相乘，同号得正，异号得负判断即可； ③根据两数相除，同号得正，异号得负计算，然后根据绝对值的定义判断即可； ④根据负数的偶次方是正数，正数的任何次方都是正数判断即可． 【解答】解：①∵x＜0＜y，∴x﹣y＜0，∴①正确； ②∵x＜0＜y，∴xy＜0，∴②正确； ③∵x＜0＜y，∴，∴，∴③正确； ④∵x＜0＜y，∴x2y3＞0，∴④正确； 即正确的有4个， 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的乘方，有理数的乘除法，绝对值，有理数的减法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． 【作业 7】（2025秋•乌鲁木齐校级期末）下列各式中，不相等的是（　　） A．（﹣1）4和﹣（﹣1） B．﹣23和（﹣2）3 C．（﹣3）2和|﹣32| D．﹣23和﹣32 【分析】分别根据有理数的乘方运算和计算绝对值来判断各选项即可． 【解答】解：A、（﹣1）4＝1，﹣（﹣1）＝1，1＝1，故不符合题意； B、﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，﹣8＝﹣8，故不符合题意； C、（﹣3）2＝9，|﹣32|＝9，9＝9，故不符合题意； D、﹣23＝﹣8，﹣32＝﹣9，﹣8≠﹣9，故符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的乘方，相反数，掌握有理数的乘方的运算法则是关键． 【作业 8】（2025秋•浦口区校级月考）把下列各数分别填入相应的集合里： ﹣|﹣5|，2.5252252225…，，0.123，﹣（﹣6）2，0，（﹣3）3，﹣52． （1）整数集合：{ 　﹣|﹣5|，﹣（﹣6）2，0，（﹣3）3，﹣52 …}； （2）分数集合：{ 　，0.123　 …}． 【分析】先根据有理数的乘方运算法则，绝对值定义，相反数定义计算﹣|﹣5|，，﹣（﹣6）2，（﹣3）3，﹣52，再根据整数，分数定义解答即可． 【解答】解：∵﹣|﹣5|＝﹣5，，﹣（﹣6）2＝﹣36，（﹣3）3＝﹣27，﹣52＝﹣25， ∴整数集合：{﹣|﹣5|，﹣（﹣6）2，0，（﹣3）3，﹣52…}； 分数集合：{，0.123…}． 故答案为：﹣|﹣5|，﹣（﹣6）2，0，（﹣3）3，﹣52； ，0.123…} 【点评】本题考查了有理数的乘方，有理数，相反数，绝对值，掌握有理数的乘方运算法则，绝对值的定义，相反数的定义是解题的关键． 【作业 9】（2025秋•阆中市校级期中）已知|a|＝3，b2＝4，ab＜0，|a+b|＝a+b，求a﹣b的值． 【分析】由绝对值和乘方求出a、b的可能值；依据ab＜0确定a、b异号的组合，结合|a+b|＝a+b筛选出符合a+b≥0的组合，代入计算a﹣b的值． 【解答】解：由题意可得： ∴a＝±3，b＝±2， 又∵ab＜0， ∴a＝3，b＝﹣2或a＝﹣3，b＝2， ∵|a+b|＝a+b， ∴a+b≥0， ∴a＝3，b＝﹣2， ∴原式＝3﹣（﹣2）＝5． 【点评】本题考查了绝对值、有理数的乘方、有理数的运算，解题的关键是根据ab＜0和|a+b|＝a+b确定a、b的具体值． 【作业 10】猜一猜：当n为正整数时，（ab）n等于什么？ 【分析】（ab）n等于an与bn的乘积． 【解答】解：原式＝anbn． 【点评】本题侧重考查积的乘方，积的乘方等于每一个因式的乘方的积． 【作业 11】3的平方是9，还有其他数的平方也是9吗？ 【分析】利用有理数的乘方计算法则计算． 【解答】解：有，﹣3的平方也是9． 【点评】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数的乘方的定义． 【作业 12】（2024秋•同步）猜猜“我”是谁： （1）“我”的倒数是“我”，同时，谁与“我”的积都是它的相反数． （2）“我”与﹣4的和等于﹣5的平方． （3）“我”除以﹣3的商，等于6与﹣4的积． 【分析】（1）根据题意得到这个数是1和﹣1，再根据谁与“我”的积都是它的相反数进行判断； （2）根据题意列出等式：我+（﹣4）＝（﹣5）2，再计算出结果； （3）根据题意列出等式：我÷（﹣3）＝6×（﹣4），再计算出结果． 【解答】解：（1）∵1和﹣1的倒数是本身， 并且﹣1与其它数相乘都是其它数的相反数， ∴这个数是﹣1． （2）我+（﹣4）＝（﹣5）2， ∴这个数是29． （3）我÷（﹣3）＝6×（﹣4）， ∴这个数是72． 【点评】本题考查了有理数的各种运算，关键根据计算法则来解答． 【作业 13】（2023春•高新区校级月考）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”．如k＝1+2+3+⋯+（n﹣1）+n，（x+k）＝（x+3）+（x+4）+⋯（x+n）；那么2个位数字是 　6　 ． 【分析】利用求和符号“∑”的意义展开后，观察个位数字的特征后解答即可． 【解答】解： ＝（31+1）+（32+1）+（34+1）+（38+1）+（316+1）+（332+1）+（364+1）+（3128+1）+（3256+1） ＝31+32+34+38+316+332+364+3128+3256+9， 其中每个数字的个位数字依次为：3，9，1，1，1，1，1，1，1，9， ∴的个位数字是8， ∴2的个位数字是6． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了有理数的乘方，本题是新定义型，理解新定义的规定，并熟练运用是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 有理数乘方 优等生讲义 (知识梳理+典例+练习) 2026-2027学年苏科版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解乘方的意义 · 掌握有理数乘方的符号法则 · 能正确进行乘方运算 · 理解科学记数法 · 能综合运用乘方解决实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.乘方的意义 求n个相同因数的积的运算叫做乘方 aⁿ读作a的n次方，表示n个a相乘 底数a、指数n、幂 (−a)ⁿ与−aⁿ意义不同 概念辨析例题：计算(−2)³ 解析：3个(−2)相乘：(−2)×(−2)×(−2)=−8 ☆ 2.乘方的符号法则 正数的任何次幂都是正数 负数的偶次幂为正，奇次幂为负 0的正整数次幂为0 1的任何次幂为1，−1的偶次幂为1、奇次幂为−1 概念辨析例题：判断(−3)²与−3² 解析：(−3)²是3个？不，2个(−3)相乘得9；−3²是3²的相反数 ☆ 3.有理数的乘方运算 先确定符号 再算绝对值 乘方优先于乘除加减 (−a)ⁿ带括号与−aⁿ的区别 概念辨析例题：计算−2² 解析：−2²＝−(2×2)＝−4，区别于(−2)²＝4 ☆ 4.科学记数法 把一个大于10的数写成a×10ⁿ形式 1≤a＜10，n为正整数 n等于原数整数位数减1 用科学记数法表示大数 概念辨析例题：用科学记数法表示1230000 解析：a=1.23，整数位7位，n=6 📋 知识总结表 概念 法则/规定 注意事项 乘方 n个a相乘 aⁿ底数a指数n 符号 负偶正奇 (−a)ⁿ与−aⁿ不同 运算顺序 先乘方 再乘除后加减 特殊 0ⁿ=0 1ⁿ=1 −1偶1奇−1 科学记数法 a×10ⁿ 1≤a<10 应用 细胞分裂/折纸 指数增长 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的乘方（第1-11题） · n个相同因数相乘 · 读法写法 · 底数指数幂 · (−a)ⁿ带括号 1．（2026•和平区二模）计算（﹣3）2的结果等于（　　） A．6 B．﹣6 C．9 D．﹣9 2．（2026•朝阳区校级模拟）下列式子计算的结果为负数的是（　　） A．（﹣2）2 B．|﹣2| C．﹣22 D．﹣（﹣2） 3．（2026•正安县一模）计算23的结果是（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 4．（2025秋•洛阳期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（　　） A．﹣（﹣7）和|﹣7| B．（﹣7）3和﹣73 C．﹣|7|和﹣7 D．（﹣7）2和﹣72 5．（2026春•仪征市期中）每天进步一点点（0.01），一年后将远大于“1”，进步很大（1.01365≈37.8）．如果每天比前一天进步1%，则两年后所得终值1.01730最接近下面数值中的（　　） A．75 B．200 C．378 D．1400 6．（2024•峰峰矿区校级模拟）下列各组数中，是负数的是（　　） A．（﹣22）3 B．（﹣23）2 C．[（﹣2）2]3 D．[（﹣2）3]2 7．（2023秋•太和县期末）下列各组数中，数值相等的是（　　） A．24与42 B．（﹣4）2与﹣42 C．23与（﹣3）2 D．（﹣3）3与|﹣3|3 8．（2025秋•大庆校级期末）一根1米长的小棒，第一次截去它，第二次截去剩下，如此截下去，第10次后剩下的棒的长度是____________________ 米． 9．（2023秋•市中区校级期中）若|a|＝8，b2＝49，且|a﹣b|＝b﹣a，则a+b＝___________ ． 10．（2025秋•鼓楼区校级月考）下列说法中：①有理数分为正有理数和负有理数；②是有理数；③最大的负整数是﹣1；④0.212212221是分数；⑤一个数的立方等于它本身，则这个数是0或1；⑥减去一个数等于加上这个数的相反数．其中错误的是 ________ ． 11．（2025秋•象州县期末）下列各组数中，数值相等的是（　　） A．23和32 B．（﹣3）2和﹣32 C．（﹣2）3和﹣23 D．和 【考点2】乘方的符号判断（第12-21题） · 负偶正奇 · (−a)ⁿ与−aⁿ区别 · 1与−1的幂 · 0的幂 12．（2025秋•北仑区期末）对于等式ab＝c，定义已知a，c求b的运算为对方运算，记为b＝Da（c），例如已知a＝2，c＝8，求b，因为23＝8，所以b＝D2（8）＝3，则D4（16）+D3（81）的值为_____ ． 13．（2024秋•衡山县月考）（﹣1）2024的相反数是 _______ ． 14．（2024秋•南康区期中）已知|n﹣2|+（m+3）2＝0，则mn的值等于 _____ ． 15．（2025春•本溪期末）﹣23的值为_______ ． 16．（2024秋•浦东新区校级月考）如果一个数的平方是它的相反数，那么这个数是 _________ ． 17．（2025秋•宿城区期末）一个数的平方是36，这个数是_______ ． 18．（2025秋•咸阳校级月考）下列各数：﹣（﹣1），，﹣|﹣3|，负数有_____ 个． 19．（2022秋•单县期末）计算：________ ． 20．（2025春•同步）若有理数满足（3x2+2y2+2023）（3x2+2y2﹣2023）＝1﹣20232，则3x2+2y2的值为 _____ ． 21．（2026•云岩区模拟）计算：32＝ _____ ． 【考点3】有理数的乘方提高（第22-27题） · 乘方与加减混合 · 先乘方后乘除 · 科学记数法 · 逆用幂 22．（2024秋•白沙县期中）已知|x|＝5，y2＝16． （1）若x＜y，求x﹣y的值； （2）若xy＜0，求x+y的值． 23．（2025秋•如皋市校级月考）已知|x|＝7，y2＝16． （1）若x＞y，求x+y的值； （2）若，求x﹣y的值． 24．（2023秋•荆门期末）已知一些两位数相乘的算式：53×57，38×32，84×86，71×79．（每个算式中两个因数的十位数字相同，个位数字的和等于10） （1）计算已知算式中两个数的积，观察计算结果，你能发现不经过乘法运算就可以快速直接写出积的规律吗？请用文字描述这个规律； （2）请用整式乘法的知识证明（1）中的规律； （3）利用你总结的规律计算：58×52，752． 25．（2024秋•海原县期中）阅读材料：类比有理数的乘方，我们要求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，记作an，读作“a的圈n次方”． 如：2÷2÷2，记作2③，读作“2的圈3次方”； （﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3），记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”． （1）直接写出计算结果：2③＝ __________________ ； （2）除方也可以转化为乘方的形式， 如：2④ 试将下列运算结构直接写成乘方的形式：（﹣3）④＝ ____________________ ；⑩＝ _______ ； （3）计算：④÷（﹣2）③﹣（﹣3）②． 26．（2024秋•钢城区期末）概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果：2③＝__________________ ，（）⑤＝_______ ； （2）以下说法中，正确的有 ________ （多选题）； A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1； C．3④＝4③； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数； E．2③＝（﹣2）③． （3）一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于aⓝ＝____________________ ； （4）算一算：﹣42×（）④﹣（）⑥÷（﹣2）3． 27．（2025秋•新华区月考）综合与探究： 【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地把（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：2③＝__________________ ；_______ ． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方幂的形式 （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成乘方幂的形式： （﹣3）⑤＝____________________ ，_______ ； （3）算一算：． （4）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式aⓝ（n为正整数，a≠0，n≥2），要求写出推导过程将结果写成乘方幂的形式．（结果用含a，n的式子表示） 【创新与压轴】（第28题） · 幂的规律 · 末位数字周期 · 分类讨论 · 找规律 28．（2026春•武进区校级期中）如果xn＝y，那么我们规定（x，y]＝n．例如：因为42＝16，所以（4，16]＝2． （1）（2，16]＝_____ ；若（3，y]＝3，则y＝_______ ； （2）若（5，45]＝m，（9，45]＝n，求的值． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•张店区期末）如表是小明同学做的练习题，他最后的得分是（　　） 姓名：小明 得分：______ 填空题（评分标准：每答对一道题得5分，共计20分） （1）﹣62＝﹣36； （2）； （3）（﹣4）3＝﹣64； （4）（﹣1）100+（﹣1）200＝0． A．5分 B．10分 C．15分 D．20分 【练习 2】（2025秋•黔东南州期中）下列运算正确的是（　　） A．﹣（﹣2）2＝﹣4 B．（﹣3）2＝6 C．﹣|﹣3|＝3 D．（﹣2）2＝﹣6 【练习 3】（2025秋•盘龙区期末）在3，1，0.，中，负数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【练习 4】（2024秋•襄都区期中）琪琪准备完成题目：计算：（﹣9）×（5﹣■）﹣32．发现题目中有一个数字“■”印刷不清楚． （1）琪琪猜测数字“■”是8，请计算原式． （2）若该题标准答案的结果等于0，直接写出数字“■”的值． 【练习 5】（2026•南岗区四模）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．（﹣3）2和3 B．﹣（﹣3）2和﹣32 C．﹣（+3）和﹣3 D．|﹣3|和﹣|﹣3| 【练习 6】（2025秋•汕头校级期末）若|a|＝2，b2＝9，且ab＞0，则a+b等于（　　） A．±1 B．±5 C．1 D．﹣1 【练习 7】（2025秋•龙马潭区期末）下列各组数中，结果相等的是（　　） A．52与25 B．﹣14与（﹣1）4 C．﹣24与（﹣4）2 D．（﹣1）3与﹣13 【练习 8】（2022秋•岱岳区期末）在（﹣2）3、（﹣3）4、﹣22，﹣（﹣1）这四个有理数中，负数有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【练习 9】（2026春•肇源县月考）定义：如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以log5125＝3．则下列说法中正确的有（　　）个 ①log66＝36；②log381＝4；③若log4（a+14）＝4，则a＝50；④log279+log644＝1； A．4 B．3 C．2 D．1 💯 课后巩固 【作业 1】（2025秋•绍兴期末）下列各组数中，计算结果相等的是（　　） A．﹣（﹣2）与﹣|﹣2| B．﹣32与（﹣3）2 C．﹣23与（﹣2）3 D．与 【作业 2】（2025秋•邹城市月考）一根1m长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第200次剪完后剩下绳子的长度是（　　）m． A． B． C． D． 【作业 3】（2025秋•澧县期中）下列各式正确的是（　　） A．（﹣2）3＝（﹣3）2 B．﹣32＝（﹣3）2 C．（﹣3）3＝﹣33 D．﹣3×23＝（﹣3×2）3 【作业 4】（2023春•普陀区期中）在，0，﹣22，（﹣3）2，中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业 5】（2025•滑县校级三模）已知43+43+43+43＝4m，34×34×34×34＝3n，则m+n的值为（　　） A．13 B．15 C．16 D．20 【作业 6】（2023秋•万宁期中）设x＜0＜y，则①x﹣y＜0；②xy＜0；③||＞0；④x2y3＞0，正确的结论共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业 7】（2025秋•乌鲁木齐校级期末）下列各式中，不相等的是（　　） A．（﹣1）4和﹣（﹣1） B．﹣23和（﹣2）3 C．（﹣3）2和|﹣32| D．﹣23和﹣32 【作业 8】（2025秋•浦口区校级月考）把下列各数分别填入相应的集合里： ﹣|﹣5|，2.5252252225…，，0.123，﹣（﹣6）2，0，（﹣3）3，﹣52． （1）整数集合：{ ____________________ …}； （2）分数集合：{ ____________________ …}． 【作业 9】（2025秋•阆中市校级期中）已知|a|＝3，b2＝4，ab＜0，|a+b|＝a+b，求a﹣b的值． 【作业 10】猜一猜：当n为正整数时，（ab）n等于什么？ 【作业 11】3的平方是9，还有其他数的平方也是9吗？ 【作业 12】（2024秋•同步）猜猜“我”是谁： （1）“我”的倒数是“我”，同时，谁与“我”的积都是它的相反数． （2）“我”与﹣4的和等于﹣5的平方． （3）“我”除以﹣3的商，等于6与﹣4的积． 【作业 13】（2023春•高新区校级月考）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”．如k＝1+2+3+⋯+（n﹣1）+n，（x+k）＝（x+3）+（x+4）+⋯（x+n）；那么2个位数字是 _____ ． 复习建议 · 乘方表示n个相同因数相乘 · 负数的偶次幂为正奇次幂为负 · (−a)ⁿ与−aⁿ意义不同 · 运算顺序：先乘方再乘除后加减 · 科学记数法1≤a＜10 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $