1.1.2 有理数 教学设计 2026-2027学年华东师大版七年级数学上册

1.1.2 有理数 华东师大版（2024）七年级数学上册 第一章 有理数 第2课时 一、课题基本信息 教材版本 华东师大版（2024）七年级数学上册 授课章节 第一章 有理数的引入 课 题 1.1.2 有理数 课 时 第2课时（本节共3课时） 授课对象 七年级学生 课 型 新授课（概念课） 授课时长 45分钟 教材页码 P5—P8 二、设计理念与教材解读 （一）设计理念——三个“不直接给” 本节课是学生进入初中后的第一节“概念分类课”。设计上刻意避免“教师讲定义、学生背分类”的传统模式，坚持三个“不直接给”： 1. 不直接给分类结果——先让学生自己列举已经学过的数，再自己尝试分类，在试错中体会“分类标准”的重要性； 2. 不直接给概念定义——先让学生观察整数、分数的共同特征，再归纳出有理数的定义，经历“具体→抽象”的概念形成过程； 3. 不直接给标准答案——对“小数算不算分数”“0属于哪一类”等问题，组织学生辩论，在碰撞中澄清概念。 （二）教材解读 教材在上节课认识正负数的基础上，从“我们已经学过哪些数”出发，先回顾小学的正整数、0、正分数，再加上新学的负整数、负分数，然后归纳出整数和分数的概念，最后给出有理数的定义。教材的编排逻辑是“列举→观察→归纳→定义→分类→应用”，符合概念形成的一般规律。 从知识结构看，本节课是整个有理数章节的“概念基石”。后续的数轴、相反数、绝对值、有理数运算，都建立在学生对有理数分类清晰把握的基础上。学生只有在头脑中建立起清晰的数系框架，后续学习才不会混乱。 （三）数学文化渗透——为什么叫“有理数”？ 很多同学会问：为什么叫“有理数”？难道它是“有道理的数”吗？其实不是。有理数的英文是 rational number，词根是 ratio（比率），意思是“可以表示成两个整数之比的数”。比如 就是 1:2 的比率，3 就是 3:1 的比率。所以“有理数”更准确的翻译应该是“比率数”。这个名字本身就告诉我们：有理数就是那些能写成分数形式的数。 三、学情分析与典型错误预设 （一）已有基础 学生在上节课已经认识了正数和负数，能判断一个数是正数还是负数。在小学阶段，学生已经学习了整数、分数、小数的概念，会进行简单的分类。这些都为本节课的学习奠定了基础。 （二）典型错误预设与应对策略 典型错误 错误表现（真实学生案例） 应对策略 0的归属错误 分类时把0漏掉；或把0归到正整数里；或认为0“什么都不是” 用“0是整数，但既不是正数也不是负数”反复强调；在分类树状图中把0单独标出 小数归属不清 认为0.3是小数，不是分数；或认为小数和分数是并列的两类 举具体例子：0.3=，所以有限小数就是分数；无限循环小数也能化成分数 分类标准混淆 按定义分和按性质分混在一起，比如把正整数放到“整数”类里又放到“正有理数”类里 强调“一次分类只能用一个标准”；用两个独立的树状图对比讲解 集合省略号遗漏 写正数集合时忘记加省略号“……”，以为就那几个数 强调集合里的数是无穷多的，列举几个后必须加省略号 四、核心素养目标 （一）抽象能力 经历从具体的数到有理数概念的抽象过程，理解有理数是对整数和分数的统称，体会数系从正数→正负数→有理数的扩充过程。 （二）数感 能快速判断一个数属于哪一类（整数/分数、正有理数/负有理数），在头脑中建立清晰的有理数系框架。 （三）分类思想 通过有理数的两种分类方式，体会分类思想的核心：分类标准决定分类结果，分类要不重不漏。能自己尝试用不同标准对数进行分类。 （四）符号意识与集合思想 能正确使用集合概念（正数集合、整数集合等）表示一类数，初步感受集合语言的简洁性和严谨性。 五、教学重难点 教学重点 教学难点 有理数的概念；有理数的两种分类方法；集合的初步认识。 理解两种分类标准的区别；0在分类中的特殊地位；小数为什么属于分数。 六、学习评价设计 评价节点 评价方式 达标标准 活动一后 （分类尝试） 小组展示：各小组的分类方案是什么？为什么这么分？ 至少有2个小组能说出不同的分类标准；80%学生能说出“分类标准不同结果不同” 活动二后 （概念形成） 口头抢答：什么是有理数？0是不是有理数？小数是不是有理数？ 正确率≥85%；0和小数的归属判断正确 课堂小测 （5分钟） 5道判断题+2道分类填空题，同桌互批 正确率≥90%视为概念过关；低于70%的学生课后一对一辅导 七、教学过程 教学环节 师生活动与问题链 设计意图与生成预设 环节一 情境导入 （5分钟） 【故事导入】 同学们，我们已经认识了正数和负数。今天老师给大家讲一个小故事： 数学王国里要举办“数的家族大聚会”，来了好多成员： 1，2，3，0，−1，−2，−3， ，0.3，15%，−，−0.3，−15%…… 可是门口的保安犯难了：这么多数，怎么给它们安排座位呢？是按大小坐？还是按正负坐？还是按整数分数坐？ 【问题链】 Q1：如果是你，你会怎么给这些数分类？ Q2：分类的时候要注意什么？→ 不重复、不遗漏 Q3：今天我们就来学习——有理数的分类。 用“数的家族大聚会”的故事导入，比直接说“今天我们学习有理数”更有吸引力。把分类任务变成一个“保安安排座位”的问题，学生更容易代入。 【生成预设】学生可能会按“正负”分，也可能按“整数分数”分，两种答案都要肯定，正好引出两种分类方法。 环节二 探究活动一 ：给数分类 （12分钟） 【小组活动】分类大挑战 给出10个数： 3，−5，0，，−0.7，+2.5，−，100，−10%，0 4人一组，讨论：你能想出几种分类方法？ 要求： 1. 每种分类要说出“分类标准是什么” 2. 分类结果要不重不漏 3. 时间5分钟 【小组展示】 请2-3个小组上台展示他们的分类方案。 【教师引导归纳】 方案一：按“是不是整数”分 整数：3，−5，0，100 分数：，−0.7，+2.5，−，−10% → 这就是按定义分 方案二：按“正负”分 正数：3，，+2.5，100 0 负数：−5，−0.7，−，−10% → 这就是按性质（符号）分 【关键提问】 Q1：两种分类方法，分类标准一样吗？→ 不一样 Q2：分类结果一样吗？→ 也不一样 Q3：那有没有什么共同点？→ 都要不重不漏 核心设计：不直接给分类结果，而是让学生自己分。小组讨论+上台展示，让学生在碰撞中自己发现“分类标准不同结果不同”。 【生成预设】 - 有的小组可能会把0单独放，这很好，要表扬 - 有的小组可能会把小数单独列为一类，这时引导：0.3能不能写成分数？→ ，所以小数就是分数 - 有的小组可能会重复分类（比如3既在正数里又在整数里），这时强调“一次分类只能用一个标准” 环节三 形成概念 （8分钟） 【教师讲解】 1. 整数的定义 正整数、0、负整数统称为整数。 注意：0也是整数！ 2. 分数的定义 正分数、负分数统称为分数。 注意：有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都属于分数。 3. 有理数的定义 整数和分数统称为有理数。 【数学文化小卡片】 为什么叫“有理数”？ 英文 rational number，词根是 ratio（比率），意思是“可以写成两个整数之比的数”。 比如：3 = ，0.5 = ，都能写成分数形式。 所以“有理数”其实是“比率数”的意思。 【两种分类树状图】 按定义分： 有理数 ┬ 整数 ┬ 正整数 │ ├ 0 │ └ 负整数 └ 分数 ┬ 正分数 └ 负分数 按性质分： 有理数 ┬ 正有理数 ┬ 正整数 │ └ 正分数 ├ 0 └ 负有理数 ┬ 负整数 └ 负分数 概念形成阶段：在学生自己分类的基础上，教师归纳出规范的定义。加入数学文化小卡片，让学生知道“有理数”名字的由来，增加趣味性。 【生成预设】学生可能会问：那什么样的数不是有理数？→ 简单提一句：“以后我们会学到无限不循环小数，比如π，它就不是有理数，到时候我们再讲。”埋下伏笔。 环节四 例题与辨析 （10分钟） 【例1】（教材例题）分类填空 把下列各数填入相应的集合中： −3，+5，0，，−0.7，+3.2，−，100 正数集合：{ +5，，+3.2，100，…… } 负数集合：{ −3，−0.7，−，…… } 整数集合：{ −3，+5，0，100，…… } 分数集合：{ ，−0.7，+3.2，−，…… } 【强调三个易错点】 ① 集合后面要加省略号“……”，因为数是无穷多的 ② 0是整数，但既不是正数也不是负数 ③ 有限小数属于分数（+3.2 = ） 【例2】概念辨析——判断对错 （1）正数和负数统称有理数。（×） → 漏掉了0；而且正数里还要分正整数和正分数 （2）整数都是有理数。（√） （3）分数都是有理数。（√） （4）一个有理数不是正数就是负数。（×） → 还有0！ （5）正整数和负整数统称为整数。（×） → 漏掉了0 （6）小数都是分数。（√，目前学过的小数都可以化成分数） 例1练分类，例2练辨析。例2专门设计了6道判断题，覆盖所有易错点：0的归属、小数的归属、分类完整性。每题都给出理由，让学生知其然更知其所以然。 【生成预设】第（6）题学生可能会有争议，正好借此强调：目前我们学的小数（有限小数、无限循环小数）都属于分数；以后学的无限不循环小数（如π）就不是了。 环节五 课堂小测 （7分钟） 【小测题】（5分钟完成，2分钟同桌互批） 一、判断题（每题5分，共30分） 1. 一个有理数不是正数就是负数。（ ） 2. 整数包括正整数和负整数。（ ） 3. 0是整数，也是有理数。（ ） 4. 正有理数包括正整数和正分数。（ ） 5. 有限小数不是分数。（ ） 6. 一个有理数不是整数就是分数。（ ） 二、填空题（每空10分，共70分） 把下列各数填入相应的括号里： −5，+2.5，0，7，−，−10%，+2024 正数：（ ） 负数：（ ） 整数：（ ） 分数：（ ） 正整数：（ ） 负分数：（ ） 既不是正数也不是负数：（ ） 【参考答案】 一、1.× 2.× 3.√ 4.√ 5.× 6.√ 二、正数：（+2.5，7，+2024） 负数：（−5，−，−10%） 整数：（−5，0，7，+2024） 分数：（+2.5，−，−10%） 正整数：（7，+2024） 负分数：（−，−10%） 既不是正数也不是负数：（0） 课堂小测是评价设计的落地。题目紧扣本节课核心：判断和分类。附完整答案，同桌互批后教师统计正确率，了解全班掌握情况。 【评价标准】90分以上优秀，80-89良好，70-79及格，70以下需要课后辅导。 环节六 小结与作业 （3分钟） 【开放式小结】 今天你有什么收获？ 引导学生回顾： 1. 什么是有理数？（整数+分数） 2. 有理数有哪两种分类方法？（按定义分/按性质分） 3. 分类要注意什么？（不重不漏，0的特殊位置） 【作业布置】 必做题：教材P8 练习第1、2、3题 选做题：思考—— ① 有限小数为什么能化成分数？举两个例子说明。 ② 无限不循环小数（比如π）是有理数吗？为什么？ 小结用开放式提问，让学生自己梳理。作业分层：必做题巩固基础，选做题为后续学习无理数埋伏笔。 八、板书设计 主板书（左） 1.1.2 有理数 一、有理数的定义 整数和分数统称为有理数 整数 = 正整数 + 0 + 负整数 分数 = 正分数 + 负分数 二、两种分类方法 按定义分：整数 | 分数 按性质分：正有理数 | 0 | 负有理数 三、注意事项 ① 0是整数，既不正也不负 ② 小数属于分数一类 ③ 分类要不重不漏 副板书（右） 【例1】分类填空 −3，+5，0，，−0.7 正数集合：{+5，，……} 负数集合：{−3，−0.7，……} 整数集合：{−3，+5，0，……} 分数集合：{，−0.7，……} 【例2】判断 （1）正数和负数统称有理数 × （2）整数都是有理数 √ （3）分数都是有理数 √ （4）有理数不是正就是负 × 【数学文化】 rational number = 比率数 九、教学反思（课后填写） 1. 学生能否自己说出两种分类方法？分类标准是否清晰？ 2. 小组活动中，学生参与度如何？有没有学生不敢发言？ 3. 0的位置学生是否掌握？小测中0的分类正确率是多少？ 4. “小数属于分数”这个难点，学生是否真正理解？ 5. 数学文化小卡片（rational number的由来）学生感兴趣吗？ 6. 改进措施：________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $