8.6 双曲线 讲义-2027届高考数学一轮复习

8.6 双曲线 知识点一、双曲线的方程及其性质 1.双曲线的定义 （1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． （2）定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}． （3）焦点：两个定点F1，F2. （4）焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|. 2.双曲线两种标准方程及几何性质的比较 标准方程 (a>0，b>0) (a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段，长：2a； 虚轴：线段，长：2b. 渐近线 离心率 e＝ a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 3.双曲线方程的其他形式 （1）双曲线的一般方程：方程Ax2＋By2＝C表示双曲线的充要条件是ABC≠0，且A，B异号.此时成方程Ax2＋By2＝C为双曲线的一般方程. （2）共焦点的双曲线系方程 ①与双曲线(a>b>0)有公共焦点的双曲线的方程为：(a>0，b>0，). ②与双曲线(a>b>0)有公共焦点的双曲线的方程为：(a>0，b>0，). 4.渐近线 （1）定义：一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线，常写成的形式. （2）三个定值 ①双曲线的焦点到其渐近线的距离是常数； ②双曲线上任意一点到双曲线两条渐近线的距离之积为； ③过双曲线上任意一点作两条渐近线的平行线，这两条直线与渐近线构成平行四边形的面积为. 5.离心率 （1）定义：定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率.因为，所以. （2）几何意义：几何意义：离心率是通过影响渐近线的斜率，来影响双曲线的“张口”大小的.因为，所以在的情况下，越大，渐近线的斜率就越大，双曲线的“张口”就越大；越小，渐近线的斜率就越小，双曲线的“张口”就越小. 6.通径：过焦点且垂直于焦点所在轴的直线被双曲线截得的线段称为双曲线的通径.通径的长度为：. 7.等轴双曲线与共轭双曲线 （1）等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线有如下性质： ①方程形式为； ②渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； ③实轴长和虚轴长相等，离心率. （2）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线互为共轭双曲线.例如，双曲线和是一对共轭双曲线.共轭双曲线有如下性质： ①共轭双曲线有相同的焦距和渐近线； ②共轭双曲线的离心率的倒数的平方和为1. 知识点二、双曲线的焦点三角形 如图，是双曲线上任意一点，，为双曲线的两个焦点， 我们把点到焦点的距离称为焦半径；当点不在同一条直线上时，它们构成一个三角形，即为焦点三角形，即. 设，则有以下常用关系式： （1）； （2）； （3）； （4）. 题型一：双曲线的定义及其应用 例1.双曲线：上的点到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（    ） A．9 B．7 C．9或29 D．7或19 跟踪训练： 1.已知双曲线-=1(a>0)的两个焦点为F1，F2，焦距为8，M为双曲线上一点，|MF2|=5，则|MF1|等于(　　) A.1 B.1或9 C.9 D.3 2.已知双曲线C：x2-=1的右焦点为F，M为C的左支上一点，P为线段MF的中点，O为坐标原点，若|OP|=4，则|MF|等于(　　) A.10 B.9 C.7 D.6 3.若双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　) A．3 B．5 C．9 D．11 4.双曲线：，焦距为10，左右焦点分别为，，M为E上一点满足，则（   ） A．13 B．1或13 C．10 D．4或10 5.若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 6.双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（   ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 题型二：双曲线的标准方程 例1.与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 例2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； （2）过点(2,0)，与双曲线离心率相等． 例3.已知方程＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是 . 例4.双曲线与双曲线：的渐近线相同，且过点，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练： 1.过点(2，3)且与椭圆5x2+9y2=45有相同焦点的双曲线的标准方程为(　　) A.x2-=1 B.-y2=1 C.-=1 D.-=1 2.双曲线与椭圆有公共的焦点，且的离心率是2，则C的标准方程是（    ） A． B． C． D． 3.若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4.（1）若方程表示双曲线，则的取值范围是 . （2）方程所表示的曲线是 . 5.已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( ) A. B. C. D. 6.“0≤k<3”是“方程＝1表示双曲线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7.与双曲线有相同的焦点，且经过点的双曲线的标准方程为 . 8.过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线的标准方程为 . 题型三：求双曲线的轨迹方程 例1.在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 例2.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是(　 　) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 跟踪训练： 1.已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是(　 　) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线 2.设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是(　　) A. B. C.(x≤－3) D.(x≥3) 3.已知圆C1:(x+3)2+y2=1,C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A.x2-=1 B.-y2=1 C.x2-=1(x≤-1) D.x2-=1(x≥1) 4.双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5.已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 6.已知点A，B的坐标分别为(-5，0)，(5，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为　　　　 　 　　　　. 题型四：双曲线的几何性质 例1.求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程． 跟踪训练： 1.已知双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.双曲线的实轴长为（   ） A． B．4 C． D．8 3.（多选）已知双曲线C：-=1，则下列说法正确的是(　　) A.双曲线C的焦点坐标为(±5，0) B.双曲线C的实轴长为4 C.双曲线C的离心率为 D.双曲线C的渐近线方程为y=±x 4.已知双曲线C：的左右焦点分别为、，过作C其中一条渐近线的垂线，垂足为A，直线交另一渐近线于点B，若，则双曲线C的焦距为（    ） A． B． C． D． 5.已知双曲线的方程为-=1,则(　　) A.渐近线方程为y=±x B.焦距为8 C.离心率为 D.焦点到渐近线的距离为8 6.已知双曲线的焦距为，且，则下列说法正确的是（   ） A．的实轴长为2 B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D．的右焦点的坐标为 7.(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　　) A．实轴长为8 B．虚轴长为4 C．焦距为6 D．离心率为 8.求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． 题型五：双曲线的焦点三角形 例1.过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（    ） A． B．1 C． D． 跟踪训练： 1.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，且，则的面积为（    ） A． B．6 C．3 D． 2.如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点、，若为等边三角形，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3.设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　) A．4 B．8 C．24 D．48 4.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线右支上一点,且直线PF2的斜率为2,△PF1F2是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为(　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 5.设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为　　　　.  6.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为　　　　.  7.已知双曲线的左、右焦点分别是F1，F2.若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． 8.已知分别是双曲线的左、右焦点，若是双曲线左支上的点，且，求的面积. 题型六：双曲线的渐近线方程 例1.双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 跟踪训练： 1.双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 2.已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3.设点F1，F2分别是双曲线C：(a>0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x 4.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的两条渐近线之间的夹角为，一个焦点为(-2，0)，则双曲线的顶点到渐近线的距离为(　　) A. B. C. D. 5.已知双曲线y2+=1的渐近线方程为y=±x,则m=　　　　.  6.已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，，则的渐近线为（    ） A． B． C． D． 题型七：双曲线的离心率 例1.已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是(　　) A. B. C. D. 例2.已知双曲线()的焦距为，直线过点和，若点到直线的距离与点到直线的距离之和为，且，求双曲线的离心率的取值范围. 跟踪训练： 1.已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为(　　) A.4 B.3 C.2 D. 2.已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 3.已知为双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为( ) A. B. C. D. 4.若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 5.已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（     ） A． B． C． D． 6.已知，分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于，两点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7.已知直线与双曲线.若与有两个不同的交点，求双曲线的离心率的取值范围. 8.已知F1，F2是双曲线(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率． 题型八：与双曲线有关的最值问题 例1.（多选）已知双曲线E：-=1(a>0)的渐近线与圆C：x2+(y-2)2=1相切，F1，F2分别为E的左、右焦点，C为圆C的圆心，动点P在E的左支上，则(　　) A.a=1 B.△CF1F2为等腰直角三角形 C.△CF2P周长的最小值为4 D.|CP|的最小值为 例2.已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 跟踪训练： 1.已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P为其右支上一点,点A(0,-6),则△APF周长的最小值为(　　) A.4+6 B.4+6 C.6+6 D.6+6 2.设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3.已知F是双曲线-=1的上焦点，点P是双曲线下支上的动点，点A(3，1)，则|PF|+|PA|的最小值为(　　) A.11 B.9 C. D.5 4.已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为 . 5.双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ． 6.已知双曲线-=1的右焦点为F2，M是双曲线右支上一点，定点A(9，2)，则|MA|+|MF2|的最小值为　　　　. 7.已知双曲线的方程为，如图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线的右支上，求的最小值. （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 2.若双曲线C：-y2=1(a>0)上的一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4，则双曲线C的渐近线的方程为(　　) A.y=±2x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 3.已知双曲线E1:-=1(a>0,b>0)与双曲线E2:-=1的离心率相同,且双曲线E1的顶点是双曲线E2的焦点,则双曲线E1的虚轴长为(　　) A. B. C. D.10 4.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上第一象限内一点，若直线y=-x垂直平分线段PF1，|PF1|=4a，则双曲线的离心率为(　　) A. B. C. D. 5.已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 6.已知A(7，3)，双曲线C：-=1的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则|PA|-|PF|的最大值是(　　) A.-1 B.2 C.3 D.1 7.已知双曲线C：-y2=1的左、右顶点分别为A，B，点P在C上且在第一象限内，设直线AP与BP的斜率分别为k1，k2，则4k1+k2的最小值为(　　) A.3 B.4 C.1 D.2 8.已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在E上,若|PF1|+|PF2|≥4a-4b,则E的离心率的取值范围为(　　) A.(2,+∞) B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.（多选）已知双曲线C:-=1(b>0)的右焦点为F,直线l:x+by=0是C的一条渐近线,P是l上一点,则(　　) A.C的虚轴长为2 B.C的离心率为 C.|PF|的最小值为2 D.直线PF的斜率不等于- 10.（多选）已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)过点P(b，2a)，F为C的右焦点，O为坐标原点，则(　　) A.直线OP的斜率为4 B.双曲线C的离心率为 C.双曲线C的两条渐近线的夹角小于 D.若点A(a，a-a)，Q是双曲线C左支上一点，则|AQ|+|FQ|的最小值为2a+2a 11.（多选）已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其中|F1F2|=2c,过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交于A,B两点,则下列说法正确的是(　　) A.弦AB的最小值为 B.若AB=m,则△F1AB的周长为2m+4a C.若AB的中点为M,O为坐标原点且AB的斜率为k,则kOM·k= D.若直线AB的斜率为,则双曲线的离心率e∈[2,+∞) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上一点P与F1,F2的距离之差的绝对值等于6,则双曲线的标准方程为　　　　　　　　.  13.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且∠F1PF2=，|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率e=　　　　　. 14.已知点M(-5,0),点P在曲线-=1(x>0)上运动,点Q在曲线C:(x-5)2+y2=1上运动,则的最小值是　　　　.  四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知双曲线的焦距为，离心率为． (1)求C的方程； (2)若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积． 16.（15分）已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2. （1）若点M在双曲线上,且·=0,求M点到x轴的距离; （2）若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点,且过点(3,2),求双曲线C的方程. 17.（15分）已知双曲线 与椭圆有相同的焦点，且经过点 . （1）求双曲线的方程. （2）是否存在双曲线的一条弦以为中点？如果存在，求弦所在直线的方程；如果不存在，请说明理由. 18.（17分）双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,动点B在C上,当BF⊥AF时,|AF|=|BF|. （1）求C的离心率; （2）若B在第一象限,证明:∠BFA=2∠BAF. 19.（17分）设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3． （1）求点M的轨迹方程C； （2）若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.6 双曲线 知识点一、双曲线的方程及其性质 1.双曲线的定义 （1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． （2）定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}． （3）焦点：两个定点F1，F2. （4）焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|. 2.双曲线两种标准方程及几何性质的比较 标准方程 (a>0，b>0) (a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段，长：2a； 虚轴：线段，长：2b. 渐近线 离心率 e＝ a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 3.双曲线方程的其他形式 （1）双曲线的一般方程：方程Ax2＋By2＝C表示双曲线的充要条件是ABC≠0，且A，B异号.此时成方程Ax2＋By2＝C为双曲线的一般方程. （2）共焦点的双曲线系方程 ①与双曲线(a>b>0)有公共焦点的双曲线的方程为：(a>0，b>0，). ②与双曲线(a>b>0)有公共焦点的双曲线的方程为：(a>0，b>0，). 4.渐近线 （1）定义：一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线，常写成的形式. （2）三个定值 ①双曲线的焦点到其渐近线的距离是常数； ②双曲线上任意一点到双曲线两条渐近线的距离之积为； ③过双曲线上任意一点作两条渐近线的平行线，这两条直线与渐近线构成平行四边形的面积为. 5.离心率 （1）定义：定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率.因为，所以. （2）几何意义：几何意义：离心率是通过影响渐近线的斜率，来影响双曲线的“张口”大小的.因为，所以在的情况下，越大，渐近线的斜率就越大，双曲线的“张口”就越大；越小，渐近线的斜率就越小，双曲线的“张口”就越小. 6.通径：过焦点且垂直于焦点所在轴的直线被双曲线截得的线段称为双曲线的通径.通径的长度为：. 7.等轴双曲线与共轭双曲线 （1）等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线有如下性质： ①方程形式为； ②渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； ③实轴长和虚轴长相等，离心率. （2）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线互为共轭双曲线.例如，双曲线和是一对共轭双曲线.共轭双曲线有如下性质： ①共轭双曲线有相同的焦距和渐近线； ②共轭双曲线的离心率的倒数的平方和为1. 知识点二、双曲线的焦点三角形 如图，是双曲线上任意一点，，为双曲线的两个焦点， 我们把点到焦点的距离称为焦半径；当点不在同一条直线上时，它们构成一个三角形，即为焦点三角形，即. 设，则有以下常用关系式： （1）； （2）； （3）； （4）. 题型一：双曲线的定义及其应用 例1.双曲线：上的点到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（    ） A．9 B．7 C．9或29 D．7或19 解：对于双曲线，可得，则. 设双曲线的左右焦点分别为，已知点到右焦点的距离为19，即. 根据双曲线的定义，则有. 可得或. 当时，； 当时，. 所以点到左焦点的距离为或. 故选：C. 跟踪训练： 1.已知双曲线-=1(a>0)的两个焦点为F1，F2，焦距为8，M为双曲线上一点，|MF2|=5，则|MF1|等于(　　) A.1 B.1或9 C.9 D.3 解：由题意得b2=12，2c=8，即c=4，又a2+b2=c2，即a2=16-12=4⇒a=2， 由双曲线的定义可得||MF1|-|MF2||=2a=4，解得|MF1|=1或|MF1|=9， 又|MF1|+|MF2|>2c=8，所以|MF1|=9.故选：C. 2.已知双曲线C：x2-=1的右焦点为F，M为C的左支上一点，P为线段MF的中点，O为坐标原点，若|OP|=4，则|MF|等于(　　) A.10 B.9 C.7 D.6 解：如图，设C的左焦点为F'，连接MF'，因为P为MF的中点， O为坐标原点，所以|MF'|=2|OP|=8，由双曲线的定义可知，|MF|-|MF'|=2a=2，所以|MF|=|MF'|+2=8+2=10.故选：A. 3.若双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　) A．3 B．5 C．9 D．11 解：由题意得||PF1|－|PF2||＝6，∴|PF2|＝|PF1|±6，∴|PF2|＝9或－3(舍去).故选：C. 4.双曲线：，焦距为10，左右焦点分别为，，M为E上一点满足，则（   ） A．13 B．1或13 C．10 D．4或10 解：由题意知双曲线：，焦距为10， 故，则， 由，，得或， 结合，则M在双曲线左支上，由于，故. 故选：A. 5.若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 解：， 当点在左支时，的最小值为， 当点在右支时，的最小值为， 因为，则点在双曲线的左支上， 由双曲线的定义，解得； 当，点在左支时，；在右支时，；推不出； 故为充分不必要条件，故选：D. 6.双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（   ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 解：双曲线，.设双曲线的两个焦点为，，已知，由双曲线定义，即. 当时，可得； 当时，可得.所以或. 在双曲线中，双曲线上的点到焦点的距离存在最小值，这个最小值为. 对于双曲线，可得. 那么，因为，，所以. 这就说明双曲线上的点到焦点的距离不可能为，所以要舍去这个值. 因此，即点到另一个焦点的距离等于. 故选：B. 题型二：双曲线的标准方程 例1.与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 解：设所求双曲线的方程为. 因为双曲线过点，所以， 解得或（舍去），故所求双曲线的标准方程为.故选：A. 例2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； （2）过点(2,0)，与双曲线离心率相等． 解：（1）设所求双曲线的标准方程为(a>0，b>0)， 由题意知2b＝8，e＝，从而b＝4，c＝a， 代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为. （2）当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为＝λ(λ>0)， 将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1； 当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为＝λ(λ>0)， 将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝<0(舍去)． 综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1. 例3.已知方程＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是 . 解：∵方程对应的图形是双曲线，∴(k－5)(|k|－2)>0.即或 解得k>5或－2<k<2.故答案为：(-2,2)∪(5，+∞). 例4.双曲线与双曲线：的渐近线相同，且过点，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 解：设双曲线的方程为，，代入点，则， 则方程为，即.故选：B. 跟踪训练： 1.过点(2，3)且与椭圆5x2+9y2=45有相同焦点的双曲线的标准方程为(　　) A.x2-=1 B.-y2=1 C.-=1 D.-=1 解：椭圆的标准方程为+=1，故c==2，可得焦点坐标为(±2，0). 设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)，故解得 故双曲线的标准方程为x2-=1.故选：A. 2.双曲线与椭圆有公共的焦点，且的离心率是2，则C的标准方程是（    ） A． B． C． D． 解：椭圆的焦点为，所以双曲线的焦点为且焦点在轴上，即， 因为的离心率是2，所以，即，所以，故双曲线的标准方程为.故选：A. 3.若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 解：由题知，根据题意，由双曲线的定义知，又， 所以，得到，所以双曲线的方程为，故选：D. 4.（1）若方程表示双曲线，则的取值范围是 . 解：若方程表示双曲线，则， 解得或.所以的取值范围是. 故答案为：. （2）方程所表示的曲线是 . 解：因为，所以，，所以方程所表示的曲线是焦点在轴上的双曲线.故答案为：焦点在轴上的双曲线. 5.已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( ) A. B. C. D. 解：由知双曲线为等轴双曲线，则其渐近线方程为. 由，得，所以.由，得，所以. 所以双曲线的方程为.故选：B. 6.“0≤k<3”是“方程＝1表示双曲线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解：∵0≤k<3，∴.∴方程＝1表示双曲线； 反之，∵方程＝1表示双曲线，∴(k＋1)(k－5)<0，解得－1<k<5. 故“0≤k<3”是“方程＝1表示双曲线”的充分不必要条件．故选A. 7.与双曲线有相同的焦点，且经过点的双曲线的标准方程为 . 解：设所求双曲线的方程为. 因为双曲线过点，所以，解得或（舍去）， 故所求双曲线的标准方程为.故答案为：. 8.过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线的标准方程为 . 解：(方法1)当焦点在轴上时，可知，故可设方程为， 将点的坐标代入，得(舍去)；当焦点在轴上时，可知， 故可设方程为，将点的坐标代入，得. 所以所求双曲线的标准方程为. (方法2)因为所求双曲线与双曲线有相同的渐近线， 所以可设双曲线方程为，将点的坐标代入. 得，所以所求双曲线的方程为，即.故答案为：. 题型三：求双曲线的轨迹方程 例1.在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 解：依题意，设点，由， 可得，即得点的轨迹方程为. 故选：A. 例2.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是(　 　) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 解：如图,连接ON, 由题意可得|ON|=1,且N为MF1的中点,又O为F1F2的中点,所以|MF2|=2. 因为点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P, 由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF1|,所以||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|=2<|F1F2|, 所以由双曲线的定义可得,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.故选：B. 跟踪训练： 1.已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是(　 　) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线 解：F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．故选：D. 2.设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是(　　) A. B. C.(x≤－3) D.(x≥3) 解：由题意知，轨迹应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支． 由c＝5，a＝3，知b2＝16，∴P点的轨迹方程为(x≥3)．故选：D. 3.已知圆C1:(x+3)2+y2=1,C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A.x2-=1 B.-y2=1 C.x2-=1(x≤-1) D.x2-=1(x≥1) 解：设动圆M的半径为r,由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切, 得|MC1|=1+r,|MC2|=3+r,|MC2|-|MC1|=2<6, 所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(-3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支,且2a=2,解得a=1, 又c=3,则b2=c2-a2=8,所以动圆圆心M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).故选：C. 4.双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 解：设，依题意，，化简整理得，所以点的轨迹方程为.故选：B. 5.已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 解：∵，动点满足， ∴动点的轨迹为双曲线且为右支，，，， ∴的轨迹的方程为，故选：D. 6.已知点A，B的坐标分别为(-5，0)，(5，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为　　　　 　 　　　　. 解：设点M(x，y)，则直线AM，BM的斜率分别为，(x≠±5)， 因为它们的斜率之积是，则×=，x≠±5，化简得-=1，x≠±5， 则动点M的轨迹方程为-=1，x≠±5.故答案为：-=1，x≠±5. 题型四：双曲线的几何性质 例1.求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程． 解：将9y2－4x2＝－36化为标准方程为，所以a＝3，b＝2，c＝. 因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝，渐近线方程为y＝x＝x. 跟踪训练： 1.已知双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 解：双曲线的一个焦点坐标为，可得，可得 故选：D. 2.双曲线的实轴长为（   ） A． B．4 C． D．8 解：由双曲线方程知，则实轴长为.故选：C. 3.（多选）已知双曲线C：-=1，则下列说法正确的是(　　) A.双曲线C的焦点坐标为(±5，0) B.双曲线C的实轴长为4 C.双曲线C的离心率为 D.双曲线C的渐近线方程为y=±x 解：双曲线C：-=1的焦点在y轴上，且a2=4，b2=21，则a=2，b=， 所以c2=a2+b2=25，则c=5，所以双曲线C的焦点坐标为(0，±5)，A错误； 因为a=2，所以双曲线C的实轴长2a=4，B正确； 双曲线C的离心率为e==，C正确； 双曲线C的渐近线方程为y=±x=±x，D错误. 故选：BC. 4.已知双曲线C：的左右焦点分别为、，过作C其中一条渐近线的垂线，垂足为A，直线交另一渐近线于点B，若，则双曲线C的焦距为（    ） A． B． C． D． 解：如图所示，∵到渐近线距离为b，故为等腰三角形，， 故，，∴焦距为12.故选：D. 5.已知双曲线的方程为-=1,则(　　) A.渐近线方程为y=±x B.焦距为8 C.离心率为 D.焦点到渐近线的距离为8 解：由题意,易知双曲线的实半轴长a=8,虚半轴长b=4,半焦距c==4,且焦点在y轴上,则渐近线方程为y=±x=±2x,A错误;焦距为2c=8,B正确;离心率e==,C正确;焦点到渐近线的距离为4,D错误.故选：BC. 6.已知双曲线的焦距为，且，则下列说法正确的是（   ） A．的实轴长为2 B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D．的右焦点的坐标为 解：对于AD，由，取，则，的实轴长4，右焦点，AD错误； 对于B，由，得的渐近线方程为，B错误； 对于C，由，得的离心率，C正确.故选：C. 7.(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　　) A．实轴长为8 B．虚轴长为4 C．焦距为6 D．离心率为 解：双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为，可得a＝4，b＝2，c＝6， 所以双曲线的实轴长为8 ，虚轴长为4，焦距为12，离心率为.故选：ABD. 8.求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． 解：把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为(m>0，n>0)， 由此可知，实半轴长a＝，虚半轴长b＝，c＝， 焦点坐标为(，0)，(，0)，离心率e＝， 顶点坐标为(，0)，(，0)，所以渐近线方程为y＝x，即y＝x. 题型五：双曲线的焦点三角形 例1.过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 解：设双曲线的左焦点为，连接、，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，由，则，不妨设在双曲线的右支上，设，，又，由双曲线的定义可得， 在中由余弦定理可得，， 即，解得， 所以.故选：D. 跟踪训练： 1.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，且，则的面积为（   ） A． B．6 C．3 D． 解：点P在双曲线右支上，，由双曲线的定义可得， 又，两式联立得.又， 所以，即为直角三角形， 所以.故选：C. 2.如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点、，若为等边三角形，则的面积为（    ） A． B． C． D． 解：在双曲线中：，所以，根据双曲线的定义，可得， 是等边三角形，即， 又，， 的面积为．故选：C． 3.设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　) A．4 B．8 C．24 D．48 解：，解得|PF1|＝8，|PF2|＝6. 在△PF1F2中，|PF1|＝8，|PF2|＝6，|F1F2|＝10， ∴△PF1F2为直角三角形，∴＝|PF1||PF2|＝24.故选：C. 4.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线右支上一点,且直线PF2的斜率为2,△PF1F2是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为(　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解：由题意可知,∠F1PF2=90°,又直线PF2的斜率为2,可得tan∠PF2F1==2, 根据双曲线定义|PF1|-|PF2|=2a,得|PF1|=4a,|PF2|=2a, =|PF1||PF2|=×4a×2a=4a2, 又=8,所以a2=2,所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=(4a)2+(2a)2=20a2=40. 又|F1F2|2=4c2,所以c2=10,又a2+b2=c2,所以b2=8,所以双曲线的方程为-=1,故选C. 5.设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为　　　　.  解：双曲线的焦点为F1(-2,0),F2(2,0),因为|OP|=2=|F1F2|, 所以点P在以F1F2为直径的圆上,即△F1F2P是以P为直角顶点的直角三角形, 故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2=16. 又||PF1|-|PF2||=2a=2,所以4=||PF1|-|PF2||2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=16-2|PF1|·|PF2|, 解得|PF1|·|PF2|=6,所以=|PF1|·|PF2|=3.故答案为：3. 6.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为　　　　.  解：不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=2, 在△F1PF2中,由余弦定理的推论,得cos∠F1PF2==, ∴|PF1|·|PF2|=8,∴=|PF1|·|PF2|·sin 60°=2.故答案为：2. 7.已知双曲线的左、右焦点分别是F1，F2.若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． 解：由得，a＝3，b＝4，c＝5.由双曲线的定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|＝64，所以＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2＝×64×＝16. 8.已知分别是双曲线的左、右焦点，若是双曲线左支上的点，且，求的面积. 解：由题意，得，所以. 因为是双曲线左支上的点，所以. 两边平方，得， 所以. 在中，由余弦定理，得， 所以，所以. 题型六：双曲线的渐近线方程 例1.双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 解：由题知，得到，所以双曲线的渐近线方程为， 故选：B. 跟踪训练： 1.双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 解：的渐近线方程为，即.故选：A. 2.已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 解：由离心率得，所以此双曲线的渐近线方程为， 故选：B． 3.设点F1，F2分别是双曲线C：(a>0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x 解：设F1(－c，0)，A(－c，y0)，则，∴＝－1＝＝＝， ∴＝，∴|AB|＝2|y0|＝.又S△ABF2＝2，∴·2c· |AB|＝·2c·＝＝2， ∴＝，∴＝.∴该双曲线的渐近线方程为y＝x.故选：B. 4.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的两条渐近线之间的夹角为，一个焦点为(-2，0)，则双曲线的顶点到渐近线的距离为(　　) A. B. C. D. 解：对于双曲线-=1(a>0，b>0)，其渐近线方程为y=±x， 双曲线的任一顶点到任一渐近线的距离都相等，不妨取顶点(a，0)和渐近线y=x，即bx-ay=0，则双曲线的顶点到渐近线的距离为=.由题意得渐近线y=x的倾斜角为或， 所以=tan=或=tan=，又c=2，c2=a2+b2=4，联立解得或 故所求距离为=.故选：B. 5.已知双曲线y2+=1的渐近线方程为y=±x,则m=　　　　.  解：法一：依题意得m<0,双曲线的方程化为标准方程为y2-=1,此时双曲线的渐近线的斜率为±=±,解得m=-3. 法二：依题意得m<0,令y2-=0,得y=±x,则±=±,解得m=-3.故答案为：-3. 6.已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，，则的渐近线为（    ） A． B． C． D． 解：由，即，可得． 设，，，根据上述条件及双曲线的定义，可知 ，，． 又因为，所以，故，，，． 在中，由， 得，得，即，得， 故的两条渐近线方程为．故选：A． 题型七：双曲线的离心率 例1.已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是(　　) A. B. C. D. 解：由双曲线(a>0，b>0)，可得其一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0， 又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0,5)，半径r＝2， 则圆心到直线的距离为d＝，则＝2，可得e＝.故选：C. 例2.已知双曲线()的焦距为，直线过点和，若点到直线的距离与点到直线的距离之和为，且，求双曲线的离心率的取值范围. 解：直线的方程为，即. 所以点到直线的距离为，点到直线的距离为， .由，得，即. 则，解得.又因为，所以的取值范围是. 跟踪训练： 1.已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为(　　) A.4 B.3 C.2 D. 解：法一：根据焦点坐标可知c=4,根据焦点在y轴上,可设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则得，所以离心率e==2. 法二：根据双曲线的定义,得2a=|-|=|6-10|=4, 根据焦点坐标可知c=4,所以离心率e===2.故选：C. 2.已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 解：设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为，由题知，， 于是，则，即.故选：D. 3.已知为双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为( ) A. B. C. D. 解：不妨设点在第一象限.设双曲线方程为， 则， 所以点的坐标为.因为点在双曲线上，所以， 所以，所以.故选D. 4.若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 解：因为双曲线的渐近线方程为， 所以，所以双曲线的离心率为.故选：D. 5.已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（     ） A． B． C． D． 解：因为双曲线的右焦点为，则，即， 且双曲线的渐近线方程为， 设为圆上一点，且圆心为，半径， 则的中点在其渐近线上，可得， 即，所以点在直线上， 因为圆心到直线的距离为， 因为圆上存在点满足条件，所以直线与圆有公共点， 所以，即，可得，可得，所以， 又因为双曲线的离心率，所以， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B. 6.已知，分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于，两点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 解：设，则， 所以，则， 由，则，故， 综上，， 由，则， 所以，可得，所以.故选：C. 7.已知直线与双曲线.若与有两个不同的交点，求双曲线的离心率的取值范围. 解：将代入双曲线方程， 得，由，解得且. 因为，所以且， 即离心率的取值范围是. 8.已知F1，F2是双曲线(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率． 解：设F1(c，0)，将x＝c代入双曲线的方程得，那么y＝. 由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，所以＝2c，所以b2＝2ac， 所以c2－2ac－a2＝0，所以－2×－1＝0，即e2－2e－1＝0， 所以e＝1＋或e＝1－(舍去)，所以双曲线的离心率为1＋. 题型八：与双曲线有关的最值问题 例1.（多选）已知双曲线E：-=1(a>0)的渐近线与圆C：x2+(y-2)2=1相切，F1，F2分别为E的左、右焦点，C为圆C的圆心，动点P在E的左支上，则(　　) A.a=1 B.△CF1F2为等腰直角三角形 C.△CF2P周长的最小值为4 D.|CP|的最小值为 解：双曲线E：-=1(a>0)的渐近线方程为y=±x，即x±ay=0，由圆C：x2+(y-2)2=1，圆心为C(0，2)，半径r=1，因为渐近线与圆C相切，所以=1，解得a=1，故A正确； 而b2=3，则c2=a2+b2=4，即c=2，所以F1(-2，0)，F2(2，0)，则|CF1|=|CF2|=2，|F1F2|=4， 故|CF1|2+|CF2|2=|F1F2|2，即CF1⊥CF2，所以△CF1F2为等腰直角三角形，故B正确； △CF2P的周长为|CF2|+|PC|+|PF2|=2+|PC|+2a+|PF1|=2+2+|PC|+|PF1|≥2+2+|CF1| =4+2，当且仅当P，C，F1三点共线且P在C，F1之间时等号成立， 则△CF2P的周长的最小值为4+2，故C不正确； 设P(x0，y0)，x0≤-1，y0∈R，则-=1，即=1+，所以|CP|=== ，则当y0=时，|CP|取得最小值，故D正确.故选：ABD. 例2.已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 解：对于双曲线，根据双曲线的标准方程（），可得，．则． 设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上，则，即； 同理，点在双曲线的右支上，则，即． 所以． 根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时，等号成立． 又，则，即． 所以的最小值为10． 故选：C． 跟踪训练： 1.已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P为其右支上一点,点A(0,-6),则△APF周长的最小值为(　　) A.4+6 B.4+6 C.6+6 D.6+6 解：设双曲线的右焦点为M,由双曲线的方程可得 a2=4,b2=5,则a=2,b=,c=3,所以F(-3,0),M(3,0),且|PF|-|PM|=2a=4,所以|PF|=|PM|+4, △APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PM|+4+|AF|=|PA|+|PM|+4+3≥|AM|+4+3=4+6, 当且仅当M,P,A三点共线时取等号,则△APF周长的最小值为4+6.故选：B. 2.设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 解：如图，设双曲线的左焦点为，由双曲线的定义得，所以的最小值为.故选：B. 3.已知F是双曲线-=1的上焦点，点P是双曲线下支上的动点，点A(3，1)，则|PF|+|PA|的最小值为(　　) A.11 B.9 C. D.5 解：由-=1，得a=2，b=，所以c==3， 所以上焦点F(0，3)，则下焦点为F1(0，-3)，又A(3，1)， 由双曲线的定义得|PF|+|PA|=2a+|PF1|+|PA|≥2a+|AF1|=4+=9， 由图知，当A，P，F1三点共线(P在线段AF1上)时，|PF|+|PA|取得最小值9.故选：B. 4.已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为 . 解：设双曲线的左焦点为，连接，. 由题意可知，实轴长， 由双曲线定义知，， 则 ， 当P，D，三点共线时，取得最小值， 且最小值为.故答案为：. 5.双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ． 解：设双曲线的右焦点为.对于双曲线，可得，则. 因为点在双曲线的右支上，所以，即. 则. 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得，当且仅当，，三点共线时取等号. 已知，，根据两点间距离公式，可得. 所以，即的最小值为. 故答案为：. 6.已知双曲线-=1的右焦点为F2，M是双曲线右支上一点，定点A(9，2)，则|MA|+|MF2|的最小值为　　　　. 解：设M到直线x==的距离为d，由双曲线第二定义知，=e=，∴d=|MF2|， ∴|MA|+|MF2|=|MA|+d，如图，可知(|MA|+d)min=xA-=9-＝.故答案为：. 7.已知双曲线的方程为，如图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线的右支上，求的最小值. 解：设点的坐标为，则点分别是双曲线的左、右焦点，如图所示，连接. 由双曲线的定义，得， 所以. 又点是圆上的点，，半径为1， 故，从而， 当且仅当点在线段上时取等号，故的最小值为. （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 解：由得，，所以， 即，所以，故选：B． 2.若双曲线C：-y2=1(a>0)上的一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4，则双曲线C的渐近线的方程为(　　) A.y=±2x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 解：双曲线C：-y2=1(a>0)上的一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4， 则4=2a，得a=2，所以双曲线C：-y2=1的渐近线的方程为y=±x.故选：C. 3.已知双曲线E1:-=1(a>0,b>0)与双曲线E2:-=1的离心率相同,且双曲线E1的顶点是双曲线E2的焦点,则双曲线E1的虚轴长为(　　) A. B. C. D.10 解：由题知==,所以=,易知双曲线E2的右焦点为(5,0),所以a=5,b=a=, 则双曲线E1的虚轴长2b=.故选：B. 4.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上第一象限内一点，若直线y=-x垂直平分线段PF1，|PF1|=4a，则双曲线的离心率为(　　) A. B. C. D. 解：F1(-c，0)，一条渐近线方程为y=-x，即bx+ay=0， 点F1到渐近线的距离为d==b，又直线y=-x垂直平分线段PF1，|PF1|=4a，所以b=2a， 故离心率为e====.故选：A. 5.已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 解：由题意设双曲线方程为，由题意可知， 由于，，故，解得， 故，故双曲线方程为，故选：D. 6.已知A(7，3)，双曲线C：-=1的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则|PA|-|PF|的最大值是(　　) A.-1 B.2 C.3 D.1 解：如图，设双曲线的右焦点为F'(3，0)，连接PF'，AF'，则|PF|-|PF'|=2a=4， 因为|AF'|==5，而|AF'|≥|PA|-|PF'|，所以|PA|-|PF|=|PA|-|PF'|-4≤|AF'|-4=5-4=1， 当P，F'，A三点共线且F'在P，A之间时等号成立，故|PA|-|PF|的最大值是1.故选：D. 7.已知双曲线C：-y2=1的左、右顶点分别为A，B，点P在C上且在第一象限内，设直线AP与BP的斜率分别为k1，k2，则4k1+k2的最小值为(　　) A.3 B.4 C.1 D.2 解：∵双曲线C：-y2=1的左、右顶点分别为A，B，∴A(-2，0)，B(2，0)， 设P(x0，y0)(x0>2，y0>0)，则直线AP的斜率k1=，直线BP的斜率k2=，∴k1·k2=， 又点P在C上，∴-=1，即=-1，∴k1·k2===， 又x0>2，y0>0，∴k1>0，k2>0，∴4k1+k2≥2=2，当且仅当4k1=k2， 即k1=，k2=1时，等号成立，∴4k1+k2的最小值为2.故选：D. 8.已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在E上,若|PF1|+|PF2|≥4a-4b,则E的离心率的取值范围为(　　) A.(2,+∞) B. C. D. 解：不妨设点P在E的右支上,由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a, 即|PF1|=|PF2|+2a,由|PF1|+|PF2|≥4a-4b,可得2|PF2|+2a≥4a-4b,即|PF2|≥a-2b, 而|PF2|的最小值为c-a,故c-a≥a-2b,即2a-c≤2b. 当2a-c≤0,即≥2时,显然成立; 当2a-c>0,即1<<2时,(2a-c)2≤4b2=4c2-4a2,得≤<2. 综上可知,E的离心率的取值范围为.故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.（多选）已知双曲线C:-=1(b>0)的右焦点为F,直线l:x+by=0是C的一条渐近线,P是l上一点,则(　　) A.C的虚轴长为2 B.C的离心率为 C.|PF|的最小值为2 D.直线PF的斜率不等于- 解：已知双曲线C:-=1(b>0)的渐近线方程为x=±y, 又直线l:x+by=0是C的一条渐近线,∴=b,又b>0,∴b=,故双曲线C的方程为-=1. 对于A,C的虚轴长为2,故A正确; 对于B,设双曲线C的半焦距为c,则c==,∴C的离心率为,故B错误; 对于C,由已知有F(,0),∴|PF|的最小值为=,故C错误; 对于D,C的两条渐近线的斜率分别为,-,当直线PF的斜率等于-时,PF∥l,与P在l上矛盾,∴直线PF的斜率不等于-,故D正确.故选：AD. 10.（多选）已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)过点P(b，2a)，F为C的右焦点，O为坐标原点，则(　　) A.直线OP的斜率为4 B.双曲线C的离心率为 C.双曲线C的两条渐近线的夹角小于 D.若点A(a，a-a)，Q是双曲线C左支上一点，则|AQ|+|FQ|的最小值为2a+2a 解：∵双曲线过点P(b，2a)，∴-=1，解得b=2a，又O(0，0)，∴kOP==，故A错误； ∵离心率e====，故B正确； ∵双曲线的渐近线方程为y=±x，代入b=2a，则y=±2x，设渐近线y=2x的倾斜角为α， 则0<α<，tan α=2，∵tan=<2，∴<α<，<2α<π，∴两渐近线的夹角为π-2α，且0<π-2α<，故C正确； ∵A(a，a-a)，左焦点F'(-a，0)，右焦点F(a，0)，Q是双曲线C左支上一点， ∴|FQ|=|F'Q|+2a，∴|AQ|+|FQ|=|AQ|+|F'Q|+2a≥|AF'|+2a，当且仅当Q在线段AF'上时，等号成立.∵|AF'|==2a，∴|AQ|+|FQ|的最小值为2a+2a，故D正确. 故选：BCD. 11.（多选）已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其中|F1F2|=2c,过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交于A,B两点,则下列说法正确的是(　　) A.弦AB的最小值为 B.若AB=m,则△F1AB的周长为2m+4a C.若AB的中点为M,O为坐标原点且AB的斜率为k,则kOM·k= D.若直线AB的斜率为,则双曲线的离心率e∈[2,+∞) 解：对于A,AB的最小值为通径,故A正确; 对于B,由双曲线的定义得|AF1|+|BF1|-|AB|=4a,得|AF1|+|BF1|=4a+m,所以△F1AB的周长|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2m,故B正确; 对于C,设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得-=0, 则-·=0,则-·kOM·k=0,则kOM·k=,故C正确; 对于D,若直线AB的斜率为,所以<,所以b2<3a2,所以c2<4a2,所以1<e<2, 所以D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上一点P与F1,F2的距离之差的绝对值等于6,则双曲线的标准方程为　　　　　　　　.  解：设双曲线标准方程为-=1(a>0,b>0),由2c=10,2a=6,得c=5,a=3.因此b2=c2-a2=16,∴双曲线的标准方程为-=1.故答案为：-=1. 13.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且∠F1PF2=，|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率e=　　　　　. 解：设|PF2|=x，则|PF1|=2x，由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2x-x=2a， 即x=2a，所以|PF2|=2a，|PF1|=4a，又|F1F2|=2c，∠F1PF2=， 在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2=， 即=，解得c=a，故离心率e==.故答案为：. 14.已知点M(-5,0),点P在曲线-=1(x>0)上运动,点Q在曲线C:(x-5)2+y2=1上运动,则的最小值是　　　　.  解：如图,在双曲线-=1中,a=3,b=4,c==5,圆(x-5)2+y2=1的圆心为C(5,0),半径r=1. 所以双曲线-=1的左、右焦点分别为M,C. 由双曲线的定义可得|PM|=|PC|+2a=|PC|+6,|PQ|≤|PC|+1, 所以≥=(|PC|+1)++10≥2+10=20,当且仅当|PC|=4时,等号成立, 故的最小值是20.故答案为：20. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知双曲线的焦距为，离心率为． (1)求C的方程； (2)若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积． 解：（1）依题意，双曲线的半焦距，由离心率，解得，， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知双曲线的左顶点，点到直线的距离， 由消去得，解得，， 则，所以的面积. 16.（15分）已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2. （1）若点M在双曲线上,且·=0,求M点到x轴的距离; （2）若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点,且过点(3,2),求双曲线C的方程. 解：（1）不妨设M在双曲线的右支上,M点到x轴的距离为h, ∵·=0,∴MF1⊥MF2. 设|MF1|=m,|MF2|=n,由双曲线的定义知m-n=2a=8.① 在Rt△F1MF2中,由勾股定理得m2+n2=(2c)2=80,② 由①②得m·n=8. ∵=mn=4=×2ch,∴h=.即M点到x轴的距离为. (2)设双曲线C的方程为-=1(-4<λ<16). ∵双曲线C过点(3,2),∴-=1, 解得λ=4或λ=-14(舍去), ∴双曲线C的方程为-=1. 17.（15分）已知双曲线 与椭圆有相同的焦点，且经过点 . （1）求双曲线的方程. （2）是否存在双曲线的一条弦以为中点？如果存在，求弦所在直线的方程；如果不存在，请说明理由. 解：因为椭圆的焦点坐标为，所以双曲线的焦点坐标为. 因为在双曲线上，所以. 又，所以.所以双曲线的方程为. （2）假设存在.设，所以 两式相减可得，所以， 又，所以，所以弦所在直线的方程为 ，即，由， 得，因为，故所求直线与双曲线有2个交点， 故存在，且弦所在直线的方程为. 18.（17分）双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,动点B在C上,当BF⊥AF时,|AF|=|BF|. （1）求C的离心率; （2）若B在第一象限,证明:∠BFA=2∠BAF. 解：（1）设双曲线的离心率为e,焦距为2c, 在-=1中,令x=c,则-=1,则=-1=,故y=±, 若|AF|=|BF|,则a+c=,所以a2+ac=b2=c2-a2, 所以e2-e-2=0,所以离心率e=2. （2）证明：由(1)知双曲线方程为-=1,设B(x,y)(x>0,y>0), 当x≠c时,kAB=,kBF=,设∠BAF=θ,则tan θ=, tan 2θ========-kBF=tan∠BFA, 因为0≤2∠BAF≤π,0≤∠BFA≤π,所以∠BFA=2∠BAF. 当x=c时,由题意知∠BFA=,∠BAF=,满足∠BFA=2∠BAF. 综上,∠BFA=2∠BAF. 19.（17分）设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3． （1）求点M的轨迹方程C； （2）若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围． 解：（1）设点，，则，， 所以，化简得， 所以点M的轨迹方程为． （2）当直线l斜率不存在时，可设，． 则，， 将其代入双曲线方程得， 又，解得，此时， 当直线l斜率存在时，设其方程为，设，， 联立，， .由韦达定理：，. 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时，当时，此时， ，，故， 因此，综上可得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $