第8章 8.6 双曲线（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

高考总复习数学 §8.6 ★[考试要求] 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程以及它们的 体会数形结合的思想. 复盘>必备知识 学 必备知识掌握 1.双曲线的定义 把平面内与两个定点F1,F,的距离的差的绝对值 等于非零常数（小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲 线.两个定点F1,F2叫做双曲线的焦点，两焦点间 的距离叫做双曲线的焦距 2.双曲线的标准方程和简单几何性质 a2 b2 =1 y r2 标准方程 a2621 (a>0,b>0) (a>0,b>0) 图形 F(-c,0), F1(0,-c), 焦点 F2(c,0) F2(0,c) 焦距 F1F2|=2c x≤-a或x≥a, y≤-a或y≥a, 范围 y∈R x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 性 质 A1(-a,0), A1(0,-a), 顶点 A2(a,0) A2(0,a) 实轴：线段A1A2,长：2a;虚轴：线段 轴 BB2,长：2b,实半轴长：a,虚半轴长：b 离心率 e=C∈(1，+o∞) 渐近线 y=±x a,b,c的关系 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0) 知识拓展用活 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. (2)若P是双曲线右支上一点，F1,F2分别为双曲线的 左、右焦点，则|PFm=a十c,PF2lmn=c一a (3)同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于 实轴的弦)，其长为2 ·2 双曲线 简单几何性质.2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步 生用书P172 打通教材逐点夯实 (4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点， F,F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△℉，E,= 6a其中0为∠F,PF tan 2 (5)与双曲线 -兰=1(a>0,b>0)有共同渐近线的 b 方程可表示为。一 =t(t≠0). 自主诊断查验 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或 “X”) (1)平面内到点F(0,4),F2(0,一4)距离之差的绝对 值等于8的点的轨迹是双曲线. (×) (2)方程之-义=1(mm>0)表示焦点在x轴上的双 m n 曲线， (×) (3)双曲线方程 -兰=x(m>0,n>0,A≠0)的渐近 m n 线方程足后普 =0,即乙±义=0. (、/) n (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于√2. (/) 2.已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0),动点M满 足|MA一|MB|=6,则点M的轨迹方程是( A,-=1 ·169 B若苦-1) c-- n号若=1≥8) 解析：D[由双曲线的定义知，点M的轨迹是双曲 线的右支，故排除A,C.又由题意可知焦点在x轴 上，且c=5,a=3,所以b=√c2-a2=4,故点M的 轨迹方程为9一6=1(x≥3).] 3「多选]已知双曲线方程-。=1，下列说法中正 确的有 () A.焦点坐标(0，土5) B.离心率为号 C.焦距为10 D.渐近线方程y=±4t 5 2 解析：C[由双曲线方程6-片1，得a=4,b c=√/16+9=5， 焦点在x轴，所以焦点坐标（土5,0），A选项错误； 所以离心率e=一要，B递项正确： a 焦距为2c一10，C选项正确； 渐近线方程为y=士会=士景，D选预错误门 a 跃升>关键能力 学 题型1 双曲线的定义及应用 [例1](1)已知两圆C1:(x十3)2+y2=1,C2:(x 3)2+y=9,动圆M同时与圆C1和圆C,外切，则 动圆圆心M的轨迹方程为 ( ) A.x2-义=1 8 B.8-y=1 C.2-g=1(x≥1 D.x2-=1x≤-1) 8 8 [解析]设动圆M的半径为r,则 CM=r+1,C2M=3+r, ..ICMI-IC MI=2<6=IC C l. .动圆圆心M的轨迹是以C1、C 为焦点的双曲线左支，且c=3, a=1, .b2=c2-a2=8, 小其轨迹方程为x2一 8 =1(x≤-1). [答案]D (2)已知F是双曲线6-。=1的左焦点，A(4 4),P是双曲线右支上的动点，则PF|+|PA|的 最小值为 [解析]设双曲线的右焦，点为F1,则由双曲线的 定义，可知PF|=8十PF,所以|PF|+|PA|= 8十PF十|PA|,所以当PF+PA最小时满 足|PF|十PA最小.由双曲线的图形可知，当点 A,P,F1共线时，满足|PF1|十PA最小为|AF1 =√17，故所求的最小值为8十√17. [答案]8+√17 规律方法 双曲线定义的应用 (1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双 曲线，进而根据要求可求出曲线方程； (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定 理，经常结合|PF-|PF2||=2a,运用平方 的方法，建立PF与|PF2的关系 注意：在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件， 搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是 双曲线的一支，则需确定是哪一支： ·2 第八章直线和圆、圆锥曲线 4设P是双曲线气需-1上一点R,R:分别是双街 线的左、右焦点，若PF|=9,则PF2|等于( A.1 B.17 C.1或17 D.以上均不对 解析：B[根据双曲线的定义得|PF|一PF,| =8→|PF2|=1或17.又|PF2|≥c-a=2,故 |PF2=17.] 生用书P173 核心考点分类突破 日跟踪训练 1.虚轴长为2，离心率e=3的双曲线的两焦点为F1, F2,过F,作直线交双曲线的一支于A,B两点，且 |AB|=8,则△ABF2的周长为 ( ) A.3 B.16+√2 C.12+√2 D.24 解析：B[由于2b=2,e=C=3,b=1,c=3a, a 9a2=a2+1,a=g 4 由双曲线的定义知，AF2AF1=2=号，① Bn:-BF,=号，@ ①+②得|AF2|+BF2|-(|AF1|+|BF1I) =√2， 又|AF|+|BF|=|AB|=8, .|AF2|+|BF2|=8+√2， 则△ABF2的周长为16+√2.] 2.已知5分别是双曲线C-苦-1的左右 两个焦点，点M在双曲线的右支上，且|MF1|+ |MF2|=6,则∠MF,F2= 解析：由题意可得|FF2|=2√1十2=2√3，由双曲 线的定义得|MF,|-|MF2|=2, 而|MF1|+|MF2=6,解得|MF|=4,|MF2=2, 由余弦定理得cos∠MF,F, -IMF+IFF:-IMF2 2·MF1·F1F2 =4+(23)2-22=3 2×4×2√3 ,所以∠MF,F,=30 答案：30 题型2 双曲线的标准方程 [例2] 1)与能圆后+若-1有公共焦友，且离心牵 e= 号的双曲线方程为 23 高考总复习数学 [解析]脑同听+-1的底点在y轴上，且i= 49,b=24,.c1=√a-b=5.从而双曲线的焦点 在y轴上且c=5,又e=名=5，a=4,6 22二a2=9,故双曲线的方程为6一号 [答案] -=1 169 1 (2)渐近线方程为y=±2x,焦距为10的双曲线 的标准方程为 [解析]设所求双尚线方程为号-y=A以≠0)， 当入>0时，双曲线标准方程为买-上=1， 4入λ .c=√5.√5入=5，λ=5； 当<0时，双向线标准方程为兰 =1, ∴.c=√/-5.√-5λ=5，λ=-5. 所求双尚线方程为上=1或兰 205 5201. [答案] 正白或若-子 205 201 …规律方法… 求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是双曲 线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c,从而求出 a2,b,写出双曲线方程. (2)待定系数法：先确定焦点是在x轴还是在y轴，设 出标准方程，再由条件确定a2,b2的值，即“先定型， 再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程 设为二-兰=入Q≠0)，再根据条件求入的值， m2 n 注意：①双曲线与椭圆的标准方程均可设为m.x2十ny =1(mn≠0)，其中m>0,n>0,且m≠n时表示椭圆； mn<0时表示双曲线，合理使用这种形式可避免 讨论 ②常见双曲线的设法 a.已知a=b的双曲线，可设为x2-y2=(入≠0)； b.已知过两点的双曲线，可设为Ax2一By2=1 (AB>0); c.已知渐近线方程为工土义=0的双曲线，可设 m n 为 m2 n =入（入≠0）. ③双曲线的焦点位置仅靠渐近线是确定不了的，必 须结合其他已知条件综合判断· ④判断清楚所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支， 若是双曲线的一支，则需确定是哪一支： ·2 跟踪训练 1.02024·天津卷)双曲线二-=1(。>0，b>0)的 左、右焦点分别为F1、F2·P是双曲线右支上一点， 且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直 角三角形，则双曲线的方程为 () A营-苦- 4 -=1 8 解析：C[如图：由题可知，点 P必落在第四象限，∠FPF =90°，设|PF2=m, ∠PF2F1=01,∠PFF2=02, 由kpm,=tanA,=2,则得sin0, 2 因为∠FPF2=90°，所以km,·km,=一1，求得 k,=-合即1an0=合 1 sin 02=- 由正孩定理可得：,: |F1F2|=sin01:sin0,:sin90°=2：1：W5, 则由|PF2=m得|PF1=2m,F1F2|=2c= 5m,由5am,R=1PE,·PEl=m·2m 8,得m=2√2 则|PF2|=2√2，|PF1|=4√2，|F1F2|=2c= 2√/10，c=√10， 由双曲线的定义可得：PF1-|PF2|=2a=2√2， a=√2，b=√c2-a=√8， 所以双尚线的方程为号一苦-1.] 2 2.巴知F,,分别为双脚线无-为1(a>0,b> 的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂 直，∠PFF2=30°，且虚轴长为2√2，则双曲线的 标准方程为 A-苦=1 =1 c-1 解析：D由题意可知PF=生3C,PF 25c,26=22,由双曲线的定义可得45c_25c 3 3 3 =2a,即c=√5a.又b=√2，c2=a2+b2,.a=1, 之双由线的标准方程为-号1.门 24 题型3 双曲线的几何性质 ◆[角度1]渐近线 例3二1]已知双曲线C: =1(a>0,b>0)的 b2 实半轴长为√3，其上焦点到双曲线的一条渐近线的 距离为3，则双曲线C的渐近线方程为 () A.y=±√5x B.y= 3 C=±9 D.y=+23 37 [解析] 设双曲线C:岁】 =1(a>0,b>0)的上 焦点为(0c), 双曲线的渐近线方程为by士ax=0, 由点到直线的距离公式可得bXc±aX0l √a2+b bXc =b=3, 又双曲线C,义x 立一存=1a>0,b>0)的实半轴长为 √5，所以a=3, 所以双曲线C的渐近线方程为3y士√3x=0,即y 3x. [答案]B ●[角度2]离心率 [例3一2](2025·全国一卷)已知双曲线C的虚轴 长是实轴长的√7倍，则C的离心率为 A.√2 B.2 C.√7 D.2√2 [解析] 由题知b=√7a,则c=√7十1a=2√2a,所 以离心率e=C=2√2，故选D. a [答案]D 规律方法 与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略 (1)双曲线的离心率e=C是一个比值，故只需根 a 据条件得到关于a,b,c的一个关系式，利用b2 =c2-a2消去b,然后变形成关于e的关系式， 并且需注意e>l. (2)双曲线二-片=1(a>0,b>0)的新近线是令 a b2 后-苦=6：甲得有张时袋方程后中名=0 (3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的 求法解答。 ·2 第八章直线和圆、圆锥曲线 跟踪训练 L.[多选]已知双曲线C:之二x=入(<0)，则下列说 法正确的是 A.双曲线C的实轴长为定值 B.双曲线C的焦点在x轴上 C.双曲线C的渐近线方程为y=土√2.x D.双曲线C的离心率e=⑥ 2 解析：BCD[由号-r-以<0)可得号入 y =1(λ<0)， 所以曲线表示焦，点在x轴上的双曲线，且a2=一入 (入<0)不是定值，所以A错误，B正确； 双南线的新近钱方程为苦-=0，即y=士巨x 故C正确； 离心率e=C= 1+式=5，故D正确.] a -2λ2 2.(2025·全国三卷)双曲线C:爱一=1(a>0,6公 0)的左、右焦点分别是F1,F2,左、右顶点分别为 A1,A2,以FF2为直径的圆与C的一条渐近线交 于M,N两点，且∠NA,M-琴则 ) A.∠A,MA,=F B.MA |=2MA2 C.C的离心率为W13 D.当a=√2时，四边形NA1MA2的面积为8√3 解析：ACD[根据双曲线的对称性可知A1A2与 MN互相平分，所以四边形A,MA,N是平行四边 形，因为∠NA,M=否，所以∠AMA:=吾，A正 确.以F1F2为直径的圆的方程为x2十y2=c2, 不妨设渐近线y= b a x2+y2=c2 由 ,设M(a,b),N(-a,-b), 又因为A2(a,0),所以MA2⊥A1A2 R△MA,A,中，∠AMA,=否， 所以|MA1|：|MA2|=2:√3，所以B错误. 所以|AM=√JA1A2+MA2 =√4a2+b=√3a+c2, 由|A1M=2|A1A2|得√3a2+c2=4a, 即c2=13a2,即e2=13,所以e=√13，所以C正确. 因为当a=√2，c2=26,从而b2=24,即b=2√6，四 边形NA1MA2的面积为S= 2×号×2厄×26=85，所以D正确.] 25