8.6 双曲线-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（苏教版）

§8.6 ★[考试要求] 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程以 程的学习，进一步体会数形结合的思想 复盘，必备知识 必备知识掌握 1.双曲线的定义 平面内到两个定点F1,F2的距离的差的 等于非零常数( FF2)的正数的点的轨迹叫作双曲线.两个 定点F,F2叫作双曲线的 ,两 焦点间的距离叫作双曲线的 2.双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 a2=1 y r2 a=1 (a>0,b>0) (a>0,b>0) 图形 焦点 焦距 或 y≤-a或y 范围 ,y∈R ≥a,x∈R 对称性 对称轴： ;对称中心： 性 质 顶点 实轴：线段 ,长 轴 虚轴：线段B1B2,长： ,实半 轴长： ,虚半轴长： 离心率 e-cE a 渐近线 y=+b y=±分 a,b,c的关系 (c>a>0,c>b>0) 双曲线 及它们的简单几何性质.2.通过圆锥曲线与方 打通教材逐点夯实 知识拓展用活 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b (2)若P是双曲线右支上一点，F1,F2分别 为双曲线的左、右焦点，则PF1min=a十 C,PF2min=c-a. (3)同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点 且垂直于实轴的弦)，其长为26 (4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任 意一点，F,F2分别为双曲线的左、右焦 点，则S△FE,= 62 日其中0为∠FPF. tan 2 5)与双曲线兰二2=1(a>0,b>0)有共同渐 a 近线的方程可表示为后一 =t(t≠0). a 自主诊断查验 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打 “√”或“X”) (1)平面内到点F(0,4),F2(0,一4)距离之 差的绝对值等于8的点的轨迹是双 曲线， ( (2)方程之-义=1(mn>0)表示焦点在x m 轴上的双曲线. ( (3)双曲线方程三 y =λ(m>0,n>0,λ≠0) 的渐近线方程是兰 _y m n =0,即2±义=0 ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率 等于2. 39 2.已知平面内两定点A(一5,0)，B(5,0), 动点M满足MA一MB=6,则点M的轨 迹方程是 ) B后-苦=1 3.[多选]已知双曲线方程二一。=1，下列 169 说法中正确的有 A.焦点坐标(0，士5) 跃升>关健能力 题型1 双曲线的定义及应用 [例1] 已知两圆C1:(x十3)2+y2=1,C2: (x一3)2+y=9,动圆M同时与圆C1和 圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 ( A苦 C.x2-y2 8=1(x≥1) D.2-=1x≤-1D 8 跟踪训练 虚轴长为2，离心率e=3的双曲线的两焦 点为F1,F2,过F1作直线交双曲线的一 支于A,B两点，且AB=8,则△ABF2的 周长为 ( A.3 B.16+√2 C.12+√2 D.24 1 R离心率为号 C.焦距为10 D.渐近线方程y=士5 4.设P是双面线若-1上一点，上，F 分别是双曲线的左、右焦点，若PF,=9,则 PF2等于 A.1 B.17 C.1或17 D.以上均不对 核心考点分类突破 题型2 双曲线的标准方程 [例2] 渐近线方程为y=士2x,焦距为 10的双曲线的标准方程为 规律方法 求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点的轨 迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a, 2b或2c,从而求出a2,b2,写出双曲线 方程. (2)待定系数法：先确定焦点是在x轴还 是在y轴，设出标准方程，再由条件确 定a2,b2的值，即“先定型，再定量”， 如果焦点位置不好确定，可将双曲线 方程设为 _y2 =入（入≠0），再根据 n 条件求入的值. 0跟踪训练 已加，B分别为双曲线号-芳-1(a >0,b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一 点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2=30°，且 虚轴长为2√2，则双曲线的标准方程为 ( A. y二1 B.-义=1 42 32 C. y ·4 =1 8 D.x2- =1 题型3 双曲线的几何性质 [角度1]渐近线 [例3-1] 、已知双曲线心：二2一1《a≥ 0,b>0)的实半轴长为√3，其上焦点到双 曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线 C的渐近线方程为 ( A.y=士√5x By= 32 C9, D.y=±2 32 [角度2]离心率 [例3一2](2025·全国一卷)已知双曲线 C的虚轴长是实轴长的√7倍，则C的离心 率为 ( A.2 B.2 C.7 D.2√2 规律方法 与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题 策略 (1)双曲线的离心率e=C是一个比值，故 0 只需根据条件得到关于a,b,c的一个 关系式，利用b2=c2一a2消去b,然后 变形成关于e的关系式，并且需注意 e>1. (2)双曲线 2 =1(a>0,b>0)的渐近 a 6 线是令 y =0,即得两渐近线方程 a (3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比 离心率的求法解答 跟踪训练 1.[多注]已知双曲线C,苦--G<0, 则下列说法正确的是 ( A.双曲线C的实轴长为定值 B.双曲线C的焦点在x轴上 C.双曲线C的渐近线方程为y=士√2x D.双曲线C的离心率e= 2 -义=1 2.2025·全国二卷)双曲线C:名滑 a (a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2, 左、右顶点分别为A1,A2,以F,F2为直径 的圆与C的一条渐近线交于M,N两点， 且∠NA,M-F,则 A.∠A1MA2= B.MA=2MA2 C.C的离心率为13 D.当a=√2时，四边形VA,MA2的面积 为8√3 ©温馨提商 学习至此，请完成配套训练课时冲关52§8.3圆的方程 复盘·必备知识必备知识掌握 1.定点定长(a,b)r2.(1)圆外(2)圆上 (3)圆内 自主诊断查验 1.(1)/(2)×(3)/(4)/2.D3.C4.ABD 跃升·关键能力题型1 [例1]C 跟踪训练 (-)广+y=器 题型2[例2-1]A[例2-2]B[例2-3]A 跟踪训练 (1)x+y2-2x-3=0(y≠0) (2)(x-2)+y2=1(y≠0) 题型3例3]BC 跟踪训练D §8.4直线与圆、圆与圆的位置关系 复盘·必备知识必备知识掌握 1.<=>>=<2.W（x1-x2)+(y1-y2) d>r1+r2d<|r1-r2|n-r2|<d<r+2 d=ln-r:d=n+r: 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)√2.A3.D4.内切 5.√10 跃升·关键能力题型1[例1-1]C[例1一2] (1)2(2)B[例1-3]AB[例1-4][2√2,4) 跟踪训练1.BD2.B 题型2[例2]AC 跟踪训练BC §8.5椭圆 复盘·必备知识必备知识掌握 1.常数焦点焦距2.一a≤x≤a且一b≤y≤b -b≤x≤b且-a≤y≤aA1(-a,0),A(a,0) B1(0,-b),B,(0,b)A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B(b,0)2b2aF1(-c,0),F2(c,0) F(0,一c),F,(0,c)2cx轴和y轴原点a=6+ 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)/(4)/2.D3.C4.A 跃升·关键能力题型1[例1]D 跟踪训练A 题型2[例2刃A(2若+苦-1 2 跟训练+号-1或+号- 题型3[例3-1]C [例3-2]A 跟踪训练1.C2.B §8.6双曲线 复盘·必备知识必备知识掌握 1.绝对值小于焦点焦距2.F(一c,0),F(c,0) F(0,-c),F2(0,c)F1F2=2cx≤-ax≥a 坐标轴原点A1(-a,0),A(a,0)A(0,一a),A(0,a) AA22a2bab(1,+∞)a2+b 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)/(4)√/2.D3.BC4.B 跃升·关键能力题型1[例1]D 跟踪训练B 题型2 205 跟踪训练D 题型3[例3-1]B[例3-2]D 跟踪训练1.BCD2.ACD §8.7抛物线 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)相等准线 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)/(4)/2.B3.C4.2 跃升·关键能力题型1[例1]B 跟踪训练B 题型2[例2]y2=4x 跟踪训练A 题型3[例3](1)AC(2)AC 跟踪训练ACD §8.8直线与圆锥曲线的位置关系 复盘·必备知识必备知识掌握 1.>=< 自主诊断查验 1.(1)/(2)×(3)/(4)/2.C3.C4.D 跃升·关键能力题型1 [例1】[解]I)由题意得Aa,0),F-c0),P(a,3a+c), ×(a+c)(a+c)= 3 6 根据已知条件列方程组 ,解之 1 a 2 94