8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系讲义-2027届高考数学一轮复习

8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 知识点一、直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关 （1）相交，有两个公共点； （2）相切，有一个公共点； （3）相离，没有公共点. 2.直线与圆位置关系的判断方法 设直线方程为：Ax＋By＋C＝0，圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. （1）几何法：圆心到直线的距离为d＝. ①直线与圆相离⇔d>r； ②直线与圆相切⇔d＝r； ③直线与圆相交⇔d<r. 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 （2）代数法 由，消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ. ①Δ<0⇔直线与圆相离；②Δ=0⇔直线与圆相切；③Δ>0⇔直线与圆相交. 3.自一点引圆的切线 （1）过圆外一点，可以作圆的两条切线； （2）过圆上一点，可以作圆的一条切线； （3）过圆内一点，不能作圆的切线. 4.过一点的圆的切线方程： （1）点在圆上 ①若切点与圆心连线的斜率k存在且不为0，则先求k，再由垂直关系得切线的斜率为，由点斜式可求得切线方程. ②若切点与圆心连线的斜率为0或不存在，则可直接得切线方程为y=y0或x=x0. （2）点在圆外 过圆外一点P（x0，y0）引圆的切线必有两条切线，若切线的斜率存在，则： ①几何法：由圆心到直线的距离等于半径，求出k的值； ②代数法：设出切线方程，与圆的方程联立得到一元二次方程，由Δ=0求出k的值. （3）重要结论 ①经过圆x2＋y2＝r2上一点P（x0，y0）的切线方程为x0x＋y0y＝r2. ②经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P（x0，y0）的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. ③经过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一点P（x0，y0）的切线方程为x0x＋y0y＋D· ＋E· ＋F＝0. 5.直线被圆截得的弦长问题 1.几何法：直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，则弦长|AB|=. 2.代数法：联立直线l与圆C的方程，组成方程组，设直线l与圆C的两个交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）. （1）直接利用两点间的距离公式求弦长 . （2）用弦长公式求弦长 ①设直线的斜率为k，联立直线l的方程和圆C的方程，消元后得到一个一元二次方程. 利用根与系数的关系可得弦长： . . ②当k=0时，可直接利用|AB|=|x1-x2|求弦长. ③当斜率不存在时，可直接利用|AB|=|y1-y2|求弦长. 知识点二、圆与圆的位置关系 1.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|< d<r1＋r2 d＝|r1－r2| d<|r1－r2| 公共点 个数 0 1 2 1 0 2.代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D12＋E12－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D22＋E22－4F2>0)， 联立方程得， 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 3.圆与圆的公共弦 （1）定义：当两个圆相交时，连接两个交点所得的线段叫公共弦. （2）公共弦所在直线的方程：若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D12＋E12－4F1>0)， 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D22＋E22－4F2>0)相交，则两圆公共弦所在直线的方程为 （D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0. （3）两圆公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，得到公共弦所在直线的方程，将公共弦所在直线方程与其中一圆的方程联立消元，解出两个交点的坐标，再利用两点间的距离公式求出弦长. ②几何法：求出公共弦所在的直线方程，转化为该直线与其中一个圆相交时的弦长问题，在以圆的半径、半弦长、弦心距为边长的直角三角形，根据勾股定理求解. 4.圆系方程 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫做圆系方程. 常见的圆系方程有： （1）同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0). （2）半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0). （3）过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R). （4）过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D12＋E12－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D22＋E22－4F2>0)的交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1). 当λ＝－1时，方程变为（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0，为过两圆的交点的直线. 5.两圆的公切线 （1）定义：与两圆都相切的直线称为两圆的公切线. （2）两圆的位置关系与公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4 3 2 1 0 （3）公切线的方程 ①当切线斜率存在时，首先设出直线方程，由于这条直线与两个圆都相切，因此可以利用直线与圆相切，得(为圆心到直线的距离，为半径)，进而得到两个关于的方程，然后联立求出参数的值即可. ②当公切线的斜率不存在时，可运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程. 知识点三、与圆有关的最值问题 1．解与圆有关的最值问题 （1）利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离； ②如图②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. （2）利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. （3）经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 题型一：直线与圆的位置关系 例1.直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 解：因直线过定点， 由配方得：，可得圆心为，半径为， 因为，所以点在圆内，故直线与圆相交.故选：C. 例2.已知圆C：x2+y2-8y+15=0，直线l：x+ky-1-4k=0，则直线l与圆C的位置关系为(　　) A.相交 B.相离 C.相切 D.相交或相切 解：由x2+y2-8y+15=0可得x2+(y-4)2=1，直线l的方程x+ky-1-4k=0，整理得x-1+k(y-4)=0， 则直线l恒过点(1，4)，又点(1，4)在圆C上，故直线l与圆C相交或相切.故选：D. 跟踪训练： 1.直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 解：法一(代数法)　由消去y,整理得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0, 因为Δ=16m2+20>0,所以直线l与圆相交. 法二(几何法)　由题意知,圆心(0,1)到直线l的距离为d=<1<=r,所以直线l与圆相交. 法三(定点法)　直线l:mx-y+1-m=0,整理得m(x-1)-y+1=0过(1,1),而12+(1-1)2<5,即(1,1)在圆内,所以直线l与圆相交.故选：A. 2.“”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解：由题知，圆的圆心为，半径为1，设圆心到直线 的距离为，则，解得：.而为的真子集， 故“”是“”的必要不充分条件， 即“”是“直线与圆相交”的必要不充分条件， 故选：B. 3.已知直线l:xcos α+ysin α=1(α∈R)与圆C:x2+y2=r2(r>0)相离,则r的取值范围是(　　) A.0<r≤1 B.0<r<1 C.r≥1 D.r>1 解：圆心到直线的距离为d==1,故0<r<1.故选：B. 4.已知直线和圆，则“”是“直线l与圆O相切”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 解：由圆，可得圆心，半径， 若直线与圆相切， 则圆心到直线的距离，则，解得， 所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.故选：C. 5.若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0没有公共点，则实数m的取值范围是(　　) A．m<4或m>13 B．－5<m<15 C．m<－5或m>15 D．4<m<13 解：圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的圆心为(1，－2)，半径为2， 由题意，圆心到直线3x＋4y＋m＝0的距离>2，∴m<－5或m>15.故选：C. 6.设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是　　　　.  解：由题意知点A(-2,3)关于直线y=a的对称点为A'(-2,2a-3), 所以kA'B=,所以直线A'B的方程为y=x+a,即(3-a)x-2y+2a=0. 由题意知直线A'B与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,易知圆心为(-3,-2),半径为1, 所以≤1,整理得6a2-11a+3≤0,解得≤a≤, 所以实数a的取值范围是.故答案为：. 7.已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： （1）有两个公共点； （2）只有一个公共点； （3）没有公共点． 解：方法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.则Δ＝4m(3m＋4)． 当Δ>0，即m>0或m<时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当Δ＝0，即m＝0或m＝时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当Δ<0，即<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 方法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4， 即圆心为C(2,1)，半径r＝2. 圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝. 当d<2，即m>0或m<时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当d＝2，即m＝0或m＝时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当d>2，即<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 题型二：圆的弦长问题 例1.直线 截圆 所得的弦长为（    ） A．2 B．4 C． D． 解：因为圆:，圆心坐标，半径为3. 圆心到直线的距离为：. 根据弦长公式可得：弦长.故选：B. 例2.在平面直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 解：直线可化为：， 令，得，所以直线过定点， 圆的圆心为，半径，当时，有最小值，如图所示： 即圆心到直线的距离， 所以的最小值为.故选：C. 跟踪训练： 1.过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为 ． 解：由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0， 圆心O(0,0)到直线l的距离为d＝， 则有|AB|＝. 故答案为：. 2.求直线l：3x＋y－6＝0被圆C: x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长为 ． 解：方法一：由直线l与圆C的方程，得，消去y，得x2－3x＋2＝0. 设两交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系有x1＋x2＝3，x1·x2＝2， |AB|＝. ∴弦AB的长为. 方法二　圆C: x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5. 其圆心坐标为C(0,1)，半径r＝，点C(0,1)到直线l的距离为d＝. 所以半弦长＝.所以弦长|AB|＝. 故答案为：. 3.已知直线x-y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点.若|AB|=6,则r的值为　　　　　.  解：方法一(几何法)：由题意知圆心为O(0,0),圆心到直线的距离d==4. 取AB的中点M,连接OM(图略),则OM⊥AB.在Rt△OMA中,r==5. 方法二(代数法)：设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得4x2+16x+64-3r2=0, 则x1+x2=-4,x1x2=16-r2.由|AB|==6,解得r=5. 故答案为：5. 4.已知l1：x-y+6=0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与(x+1)2+(y-3)2=r2(r>0)交于C，D两点，|AB|=3|CD|，则r=　　　 　. 解：由题意得直线l1：x-y+6=0与x轴交于A(-6，0)，与y轴交于B(0，6)， 所以|AB|==6，则|CD|=2， 圆(x+1)2+(y-3)2=r2的半径为r，圆心(-1，3)到直线l1：x-y+6=0的距离为d==， 故|CD|=2=2=2，解得r=2(负值舍去).故答案为：2. 5.已知直线和圆相交于两点，若，则实数（ ） A. B. C. D. 解：由可得， 所以圆心为，，圆心到直线的距离.由，得，解得.故选：B. 6.直线与圆相交于两点，若，则的值是（ ） A. B. C.或 D. 解：因为，圆心为，， 所以圆心到直线的距离. 由点到直线的距离公式，得，解得或.故选：C. 7.(多选)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　) A．0 B．4 C．－2 D. 解：由圆的方程，可知圆心坐标为(a，0)，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d＝.又d＝，所以|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0. 故选：AB. 8.过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦长为 ． 解：设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r＝2.当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦， |CA|＝.∴半弦长＝.∴最短弦长为2. 故答案为：2. 9.已知圆，过点的直线与圆交于、两点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 解：设，，且， 由可得，即， 将代入圆方程可得， 即，化简可得， 将代入可得，解得， 则， 所以. 故选：D. 题型三：圆的切线方程、切线长问题 例1.过点作圆的切线，记其中一个切点为，则（   ） A．16 B．4 C．21 D． 解：圆的圆心，半径， 则，所以.故选：B. 例2.若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解：因为过圆外一点的圆的切线长l、半径长r和这点到圆心的距离d满足勾股定理，即l2＝d2－r2，所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，转化成求该点与圆心的距离的最小值问题．由题意易知圆心C(－1,2)，半径长r＝，点(a，b)在直线y＝x－3上，所以点(a，b)与圆心的距离的最小值即圆心到直线y＝x－3的距离d，易求d＝＝3，所以切线长的最小值为.故选：C. 跟踪训练： 1.过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为 ． 解：∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴点A在圆外． 当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意． 设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋4＋k＝0. 圆心(2,3)到切线l的距离为，解得k＝0或k＝， 因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0.故答案为：y＝4或3x＋4y－13＝0. 2.(多选)过点A(4，-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1的切线，所得切线方程为(　　) A.x=4 B.15x+8y-36=0 C.y=-3 D.8x-15y-3=0 解：由圆心为(3，1)，半径为1，当过点A(4，-3)的切线斜率存在时，设切线方程为 y=k(x-4)-3， 则圆心到切线的距离d==1，可得k=-，所以y=-(x-4)-3，即15x+8y-36=0； 当切线斜率不存在时，切线方程为x=4，显然与圆相切， 综上，切线方程为15x+8y-36=0或x=4.故选：AB. 3.过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 解：圆的标准方程为：，故圆心， 点在圆上，过点P的切线与CP垂直，且 ， 过点的切线斜率为，故所求直线方程为： ， 整理，得：故选：A. 4.过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为(　　) A．2x－y＋9＝0 B．2x＋y－9＝0 C．2x＋y＋9＝0 D．2x－y－9＝0 解：x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2)，kPC＝，∴切线的斜率k＝－2， ∴切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0.故选：B. 5.已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为 . 解：连接，则， 而的最小值为点C到直线l的距离， 所以.故答案为：. 6.与直线平行且与圆相切的直线方程为 ． 解：方法1：设直线的方程为，即. 圆的圆心坐标为，半径为. 由，解得或.符合题意. 故所求直线的方程为或，即或. 方法2：设直线的方程为， 由，得， 则，解得或，符合题意. 所以或，即或. 故答案为：或. 7.从直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为 ． 解：方法1：圆的方程可化为，圆心为，半径. 设点，则. 设过点的直线与圆相切于点，则. 故. 所以当时，取得最小值，最小值为，此时切线长为. 方法2：圆的方程可化为，圆心为，半径.如图， 设过点的切线与圆相切于点，则.故. 故当取得最小值时，切线长最小.的最小值为圆心到直线的距离 所以切线长的最小值为.故答案为：. 8.已知点P(+1,2-),点M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4. （1）求过点P的圆C的切线方程; （2）求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长. 解：由题意得圆心C(1,2),半径r=2. （1）∵(+1-1)2+(2--2)2=4,∴点P在圆C上.又kPC==-1, ∴切线的斜率k=-=1. ∴过点P的圆C的切线方程是y-(2-)=x-(+1),即x-y+1-2=0. （2）∵(3-1)2+(1-2)2=5>4,∴点M在圆C外部. 当过点M的直线斜率不存在时,直线方程为x=3,即x-3=0. 又点C(1,2)到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r,即此时满足题意, ∴直线x=3是圆C的切线. 当切线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0, 则圆心C到切线的距离d==r=2,解得k=. ∴切线方程为y-1=(x-3),即3x-4y-5=0. 综上可得,过点M的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=0. ∵|MC|==, ∴过点M的圆C的切线长为==1. 题型四：直线与圆的位置关系中最值问题 例1.是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 解：由题意得，圆的圆心为，半径. 因为到直线的距离， 当且仅当时，等号成立，所以直线与该圆相离，所以的最小值为. 故选：C. 例2.从点P(m，2-m)向圆Q：(x+2)2+(y+2)2=1引切线，则切线长的最小值为(　　) A.5 B. C. D.3 解：圆Q：(x+2)2+(y+2)2=1的圆心为Q(-2，-2)，半径r=1， 易知点P(m，2-m)在直线x+y-2=0上， 则圆心Q(-2，-2)到直线x+y-2=0的距离d==3>1， 可知直线x+y-2=0与圆Q相离，设其中一个切点为A，如图所示， 则切线长|PA|==≥=，所以切线长的最小值为. 故答案为：. 例3.已知实数满足方程， （1）求的最大值和最小值； （2）求的最大值与最小值； （3）求的最大值和最小值. 解：方程可化为，表示以为圆心，为半径的圆. （1）设，即.当直线与圆相切时，斜率取最大值或最小值，如图所示， 此时，解得.所以的最大值为，最小值为. （2）(转化为截距的最值问题求解)设，则表示动直线在轴上的截距，显然当动直线与圆相切时，取得最大值或最小值，如图所示. 由圆心到切线的距离等于圆的半径，可得，即，解得，所以的最大值为，最小值为. （3）如图所示， 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为，所以的最大值为，的最小值为. 跟踪训练： 1.已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=x+2的距离为1的点有且仅有两个，则r的取值范围是(　　) A.(0，1) B.(1，3) C.(3，+∞) D.(0，+∞) 解：由题意，在圆x2+(y+2)2=r2(r>0)中，圆心为E(0，-2)，半径为r， ∵圆心E(0，-2)到直线y=x+2的距离为d==2， 故由图可知，当r=1时，圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有1个点(A点)到直线y=x+2的距离等于1； 当r=3时，圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有3个点(B，C，D点)到直线y=x+2的距离等于1，则当r的取值范围为(1，3)时， 圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有2个点到直线y=x+2的距离等于1.故选：B. 2.经过点，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线的距离最大值为（    ） A． B． C． D． 解：已知圆经过点，半径为，设圆心的坐标为， 可得圆心到点的距离为， 即，化简可得， 所以圆心的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆. 可得原点到直线的距离为：， 所以点到直线的距离最大值为原点到直线的距离加上圆的半径，即. 故选：B. 3.已知圆经过三点，则圆截直线所得弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 解：因为圆心在弦的垂直平分线上，所以设圆心为. 由，即，解得， 所以，所以，圆的方程为. 又直线过定点，点在内. 当直线与直线垂直时，弦长最短， 则由垂径定理，得弦长， 所以直线被圆截得的弦长的最小值为.故选：B. 4.由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为(　　) A．1 B．2 C. D．3 解：圆心C(3,0)到y＝x＋1的距离d＝. 所以切线长的最小值为l＝.故选：C. 5.已知圆C:x2+y2=4,直线l:y=kx+m,当k变化时,l截得圆C弦长的最小值为2,则m=　　　　.  解：圆心C(0,0),半径r=2,则圆心C到直线l的距离d=, 设弦长为a,则由弦长公式可得d==. 若a取最小值2时,则d取最大值=,又d=, ∵≥1,∴d最大值为|m|,∴|m|=,即m=±. 故答案为：±. 6.在平面直角坐标系中，已知圆上有且仅有四个点到直线的距离为，则实数的取值范围是 . 解：如图所示， 设是一条斜率为的直线，且圆心到直线的距离，由于圆的半径为，因此在直线截圆所得劣弧上仅有点到直线的距离，由此可知，当圆心到直线的距离时，直线两侧各有两个点到的距离为.令，即，可解得.故答案为：(-13,13). 7.已知直线ax+y+2-a=0与圆C:x2+y2+4y-1=0交于A,B两点,则|AB|的最小值为　　　　.  解：设直线为l:ax+y+2-a=0,即l:a(x-1)+y+2=0,易知l过定点P(1,-2), 圆C的标准方程为x2+(y+2)2=5,所以圆心为C(0,-2),半径为,且P在圆C内. 因为当PC⊥AB时,圆心C到直线l的距离最大,此时|AB|取得最小值, 易得|PC|=|xP-xC|=1,所以|AB|=2=4.故答案为：4. 8.已知直线：，是圆：上的一动点，则点到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 解：直线：，可化为， 由，解得，，所以过定点， 又因为点在圆上，且，圆的圆心为，半径， 所以当，且，，三点共线时，点到直线的距离最大，最大为， 此时，所以直线的斜率为1，即，无解， 故直线不存在，所以； 当直线与圆相交或相切时，点到直线的距离最小，最小为0， 故点到直线的距离的取值范围为．故选：B． 题型五：圆与圆的位置关系 例1.已知圆，圆，当为何值时，两圆 （1）外切；（2）相交；（3）外离. 解：圆的方程可化为，圆心为，半径. 圆的方程可化为，圆心为，半径. 两圆的圆心距. （1）当，即时，两圆外切，此时或. （2）当，即时，两圆相交，此时或. （3）当，即时，两圆外离，此时或. 例2.(多选)已知圆C1：(x-1)2+(y-2a)2=9，圆C2：x2+y2-8x+2ay+a2+12=0，a∈R.则下列选项正确的是(　　) A.直线C1C2过定点(3，0) B.当圆C1和圆C2有三条公切线时，若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max=10 C.若圆C1和圆C2有2条公切线，则a的取值范围是 D.当a=时，圆C1与圆C2相交弦的弦长为 解：对于A，由圆C1：(x-1)2+(y-2a)2=9，圆C2：x2+y2-8x+2ay+a2+12=0，a∈R，即(x-4)2+(y+a)2=4，a∈R，可知C1(1，2a)，C2(4，-a)，故直线C1C2的方程为y+a=-a(x-4)，即y=-a(x-3)，则直线C1C2过定点(3，0)，A正确； 对于B，由A可知圆C1的半径为3，圆C2的半径为2，当圆C1和圆C2有三条公切线时，圆C1和圆C2外切，则当点P，C1，C2，Q共线且C1，C2在线段PQ上时，|PQ|max=3×2+2×2=10，B正确； 对于C，若圆C1和圆C2有2条公切线，则两圆相交，则3-2<|C1C2|<3+2，即1<<5，解得-<a<，C错误； 对于D，由C可知，当a=时，两圆相交，圆C1：(x-1)2+=9，圆C2：(x-4)2+=4， 将两方程相减可得公共弦方程为6x-2y-=0，则C1到直线6x-2y-=0的距离为=，则圆C1与圆C2相交弦的弦长为2=，D正确. 故选：ABD. 跟踪训练： 1.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 解：两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r＝2，R＝3， 两圆的圆心距，则R－r<<R＋r，则两圆相交.故选：B. 2.圆与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．外离 C．内含 D．相交 解：圆即，圆心为，半径为； 圆即，圆心为，半径为； 圆心距为，因为，所以两个圆外离.故选：B. 3.圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．外离 C．外切 D．内含 解：圆O与圆M的半径分别为1，4，圆心坐标分别为， 则，故圆O与圆M的位置关系是内切.故选：A. 4.“a≥”是“圆C1:x2+y2=4与圆C2:(x-a)2+(y+a)2=1有公切线”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：设圆C1、圆C2的半径分别为r1,r2,由题意可知C1(0,0),r1=2,C2(a,-a),r2=1, 连接C1C2,当且仅当圆C1和圆C2内含时,两圆没有公切线, 即圆C1和圆C2有公切线的充要条件为|C1C2|≥r1-r2=2-1=1,即≥1,解得a≤-或a≥. 因为“a≥”是“a≤-或a≥”的充分不必要条件,所以“a≥”是“圆C1与圆C2有公切线”的充分不必要条件.故选：A. 5.已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 解：由题可得，解得：．故选：B. 6.到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有 条． 解：到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝＝5.半径之和为3＋1＝4，因为5>4， 所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条．故答案为：4. 7.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是　　　 　.  解：圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,则圆C的标准方程为(x-4)2+y2=1, 则圆C是以C(4,0)为圆心,1为半径的圆.若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则圆心C到直线y=kx-2的距离d≤2,即≤2,解得0≤k≤, 即k的最大值为.故答案为：. 8.当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？ 解：将两圆的一般方程化为标准方程， C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k， 圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1； 圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝(k＜50)． 从而|C1C2|＝. 当1＋＝5，k＝34时，两圆外切． 当|－1|＝5，＝6，k＝14时，两圆内切． 当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1， 即14＜k＜34时，两圆相交． 当1＋＜5或|－1|＞5， 即34＜k＜50或k＜14时，两圆相离． 题型六：两圆的公共弦 例1.已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. （1）判断两圆的位置关系； （2）求公共弦所在的直线方程； （3）求公共弦的长度． 解：（1）将两圆方程配方化为标准方程，则 C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50， C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10， ∴圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r1＝5， 圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r2＝. ∴|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋，|r1－r2|＝|5－|， ∴|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交． （2）将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0. （3）方法一　由(2)知圆C1的圆心(1，－5)到直线x－2y＋4＝0的距离为 d＝，∴公共弦长为l＝. 方法二　设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组， 解得：或.∴|AB|＝.即公共弦长为. 跟踪训练： 1.已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（   ） A． B． C． D． 解：由圆，圆， 两式作差得，，即， 所以两圆的公共弦所在直线方程是.故选：B. 2.圆与的公共弦长为（    ） A． B． C． D．4 解：圆：  ①，所以，. 圆：  ②，所以，. 因为，所以圆与圆相交. 因此公共弦所在直线的方程为①②：， 圆的圆心到公共弦的距离为， 即公共弦长为.故选：A. 3.已知圆与圆交于A，B两点，则（     ） A． B． C． D． 解：因为圆与圆交于A，B两点， 则直线的方程即为两圆相减，可得，且圆，半径为， 到直线的距离，所以. 故选：C. 4.圆与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 解：的圆心和半径分别为, ，故两圆相交， 将两个圆的方程作差得，即公共弦所在的直线方程为， 又知，， 则到直线的的距离， 所以公共弦长为，故选：A. 5.两圆x2＋y2－10x－10y＝0，x2＋y2＋6x＋2y－40＝0的公共弦的长为(　　) A．5 B．5 C．10 D．10 解：选D. 6.圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长为 ． 解：由题意将两圆的方程相减， 可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0. 又圆C3的圆心坐标为(1,1)，其到直线l的距离为d＝， 设圆C3的半径为r，由条件知，r2－d2＝－＝，所以弦长为2×＝. 故答案为：. 7.已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是 ． 解：圆的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10.又x2＋y2＝10，两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.故答案为：x＋3y＝0. 8.已知圆，圆. （1）判断两圆的位置关系； （2）求两圆的公共弦所在直线的方程； （3）求两圆的公共弦的长度. 解：（1）将两圆方程化为标准方程，得 ，， 则圆的圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径. 又因为，，， 所以，所以两圆相交. （2）将两圆方程相减，整理得公共弦所在直线的方程为. （3）方法1：圆的圆心到直线的距离. 所以公共弦长 方法2：设两圆相交于点，则两点的坐标满足方程组 ，解得：或，可设， 所以，即公共弦长为 题型七：两圆的公共切线 例1.已知圆和圆，则两圆的公切线有（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解：圆的标准方程是，圆心为，半径； 圆的标准方程是，圆心为，半径. 因为圆心距， 所以两圆外切，所以两圆有3条公切线. 例2.若直线与圆,圆都相切，切点分别为,则（ ） A. B. C. D. 解：如图所示， 设直线交轴于点，由于直线与圆,圆都相切，切点分别为，则，所以.因为，所以为的中点，为的中点，所以.由勾股定理可得.故选：C. 例3.圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 解：，圆心，半径， ，圆心，半径， 因为， 所以两圆相内切，公共切线只有一条， 因为圆心连线与切线相互垂直，， 所以切线斜率为， 由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即． 故选：A. 跟踪训练： 1.已知圆与圆有三条公切线，则（   ） A． B． C． D． 解：由题知，两圆外切，由圆方程得，半径， 由圆方程得，半径，则，解得. 故选：D. 2.(多选)若直线与圆和圆都相切，则直线的方程可能为（ ） A. B. C. D. 解：由题知，连接，，则，故圆与外切，则两圆有三条公切线，如图. 线段的中点为两圆外切切点，直线过线段的中点，且与直线垂直. 因为，所以，所以直线的方程为， 即. 1两圆方程相减并整理得.因为两圆的半径相等，所以直线与平行，到的距离为，设直线的方程为. 关键：两圆半径相等时，存在切线与圆心连线平行. 则，解得或，所以直线的方程为或.故选：ABC. 3.已知半径为1的动圆与圆有3条公切线，则动圆圆心的轨迹方程为（） A. B. C. D. 解：设动圆圆心为，由题意，动圆与已知圆外切，则，即.故选：A. 4.圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为(　　) A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 解：圆O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，O1(3，－8)，r＝11， 圆O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2,4)，R＝8， ∴|O1O2|＝＝13，∴r－R＜|O1O2|＜R＋r， ∴两圆相交．∴公切线有2条．故选：C. 5.已知圆与圆关于直线对称，且点在圆上，则圆与圆的公切线的条数为 . 解：因为圆心关于直线的对称点的坐标为， 所以.因为， 所以圆与圆外离，所以圆与圆有4条公切线.故答案为：4. 6.已知圆，圆，则圆和圆的公切线的长为 . 解：圆，即，.圆，即，.，故两圆外离，共有4条公切线，2条长度相同的外公切线和2条长度相同的内公切线.外公切线长，内公切线长. 故答案为：或 7.圆与圆的公切线长为 . 解：由题可得，由圆，则圆心为，半径为， 由圆，则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：. 8.已知圆，圆，求两圆的公切线方程. 解：方法1：如图， 可得圆与圆相交，由圆的方程易得圆的圆心为，半径.设两圆的公切线与圆相切于点，则公切线方程为. 因为点到公切线的距离等于，所以. 联立，解得或. 所以公切线方程为或， 即或. 方法2：如图，易知两圆的公切线斜率存在，设公切线方程为，由方法1知，的半径，则由图知.因为公切线与和均相切，所以， 结合解得或，所以公切线方程为或， 即或. 题型八：圆系方程 例1.过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（   ） A． B．． C． D． 解：由题意设所求圆的方程为， 即，圆心坐标为，代入中， 即，解得，将代入中，即，满足，故所求圆的方程为，故选：A. 跟踪训练： 1.过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是 ． 解：设圆的方程为， 则， 即，所以圆心坐标为， 把圆心坐标代入，可得， 所以所求圆的方程为．故答案为：. 2.经过直线与圆的交点，且过点的圆的方程为 . 解：设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：， ∵所求圆过点，∴，解得， 所以圆的方程为，化简得. 故答案为：. 3.过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是 ． 解：设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0， 则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心代入l：2x＋4y－1＝0的方程，可得λ＝，所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.故答案为：x2＋y2－3x＋y－1＝0. 4.圆与圆相交于两点. 则圆心在直线上，且经过两点的圆的方程是 ． 解：设经过两点的圆的方程为，即，则圆心坐标为. 又圆心在直线上，故，解得，故所求圆的方程为.故答案为：. 5.求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程． 解：方法一：设经过两圆交点的圆系方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)， 即，所以圆心坐标为. 又圆心在直线x－y－4＝0上，所以－4＝0，即λ＝. 所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0. 方法二：由，得两圆公共弦所在直线的方程为y＝x. 由，解得或. 所以两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点坐标分别为A(－1，－1)，B(3,3)， 线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y－1＝－(x－1)． 由解得：.即所求圆的圆心坐标为(3，－1)， 半径为.所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 6.求过直线x＋y＋4＝0与圆x2＋y2＋4x－2y－4＝0的交点且与直线y＝x相切的圆的方程． 解：设所求圆的方程为x2＋y2＋4x－2y－4＋λ(x＋y＋4)＝0. 联立，得x2＋(1＋λ)x＋2(λ－1)＝0. 因为所求圆与直线y＝x相切，所以Δ＝0，即(1＋λ)2－8(λ－1)＝0，解得λ＝3， 故所求圆的方程为x2＋y2＋7x＋y＋8＝0. （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知直线与圆有公共点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 解：由题可知，直线与圆有交点，故圆心到直线的距离，小于等于半径，即，故，也即，解得，则的最小值为.故选：C. 2.已知直线y=kx+k(k≠0)被圆x2+y2-2y-3=0截得的弦长为2,则k=(　　) A. B.2 C.4 D.4 解：易知圆x2+y2-2y-3=0的圆心为(0,1),半径r=2,则圆心到直线y=kx+k(k≠0)的距离为==1,得k=2(k=0舍).故选：B. 3.已知直线3x+4y+4=0与圆M：x2+y2-2ax=0(a>0)相切，则圆M和圆N：(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是(　　) A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 解：圆M：x2+y2-2ax=0(a>0)的圆心M(a，0)，半径r1=a， 由直线3x+4y+4=0与圆M相切，得=a，解得a=2， 圆N：(x-1)2+(y-1)2=1的圆心N(1，1)，半径r2=1，M(2，0)，r1=2，r1+r2=3，r1-r2=1， 而|MN|==∈(1，3)，所以圆M和圆N相交.故选：C. 4.已知不重合的圆都过点，且均与两坐标轴相切，则圆的公共弦长为（    ） A．1 B． C． D． 解：如图： 因为两圆都过点，且均与两坐标轴相切，所以必在直线上， 点关于直线的对称点为，则线段即为圆的公共弦. 因为.故选：B. 5.已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则（    ） A． B．2 C． D．4 解：由，可得圆心，半径， 圆心到直线的距离为， 所以，又因为的斜率为1，故直线的倾斜角为， 所以，所以.故选：C.    6.已知P为圆(x-3)2+(y-4)2=4上一点，则点Q(cos α，sin α)到点P的距离的最大值为(　　) A.4 B.8 C.5|sin α| D.|3sin α+4cos α| 解：由(x-3)2+(y-4)2=4知圆心为C1(3，4)，半径r1=2，又Q(cos α，sin α)，所以点Q的轨迹方程为x2+y2=1，则圆心为C2(0，0)，半径r2=1，故|C1C2|==5>r1+r2=3，两圆外离， 所以|PQ|max=|C1C2|+r1+r2=5+2+1=8.故选：B. 7.已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解：由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知， 当时，圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时，圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时，圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 8.已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与☉O交于B,C两点,D为BC的中点,若|PO|=,则·的最大值为(　　) A. B. C.1+ D.2+ 解：法一：连接OA,由题可知|OA|=1,OA⊥PA,因为|OP|=, 所以由勾股定理可得|PA|=1,则∠POA=. 设直线OP绕点P按逆时针旋转θ后与直线PD重合,则-<θ<, ∠APD=+θ,且|PD|=cos θ. 所以·=||||cos=cos θ·cos=cos θ =cos2θ-sin θcos θ=+cos 2θ-sin 2θ=+cos≤+. 法二：以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系,设圆O:x2+y2=1,点P(,0), 因为|OA|=1,且OA⊥PA,所以∠POA=,不妨设A. 设直线PD的方程为y=k(x-),B(x1,y1),C(x2,y2),由 得(k2+1)x2-2k2x+2k2-1=0,由Δ=8k4-4(k2+1)(2k2-1)=4-4k2>0,解得-1<k<1, 则x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2-2)=-,所以D, 于是=,=,所以·=. 设t=1-k,则0<t<2,·===≤=+, 当且仅当t=,即k=1-时等号成立.故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.（多选）已知圆O：x2+y2=4和圆M：x2+y2-4x+2y+4=0相交于A，B两点，则下列说法中正确的是(　　) A.两圆有两条公切线 B.直线AB的方程为y=2x-4 C.线段AB的长为 D.过点A，B的圆系方程可以记为(x2+y2-4)+λ(x2+y2-4x+2y+4)=0(λ∈R，且λ≠-1) 解：因为圆O：x2+y2=4和圆M：x2+y2-4x+2y+4=0相交，所以两圆有两条公切线，故A正确； 圆O：x2+y2=4，圆M：x2+y2-4x+2y+4=0，两方程相减得y=2x-4，所以直线AB的方程为y=2x-4，故B正确； 因为圆O的半径r=2，圆心O(0，0)到直线AB的距离d==，所以线段AB的长|AB|=2=2=，故C正确； 方程(x2+y2-4)+λ(x2+y2-4x+2y+4)=0(λ∈R，且λ≠-1)表示圆系，但此圆系不包括圆M，故D不正确.故选：ABC. 10.（多选）已知圆，直线，则（    ） A．直线l与圆C可能相切 B．当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 C．直线l与直线垂直 D．若圆C与圆恰有三条公切线，则 解：对于A项，整理直线可得出，解方程组可得，直线过定点.圆的圆心为，半径为，则，所以点在圆内，即直线过圆内一定点，所以，直线l与圆C一定相交.故A错误； 对于B项，当时，直线化为.此时有圆心到直线的距离，且，因此圆C上只有两个点到直线l的距离等于1.故B错误； 对于C项，因为，所以直线l与直线垂直.故C正确； 对于D项，要使圆C与圆恰有三条公切线，则应满足两圆外切. 圆可化为 ，圆心为，半径为.因为两圆外切，所以有， 即，整理可得，化简可得， 解得.故D项正确.故选：CD. 11.（多选）已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则(　　) A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2 C.当∠PBA最小时,|PB|=3 D.当∠PBA最大时,|PB|=3 解：设圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心为M(5,5),由题意知直线AB的方程为+=1,即x+2y-4=0,则圆心M到直线AB的距离d==>4,所以直线AB与圆M相离,所以点P到直线AB的距离的最大值为4+d=4+,又4+<5+=10,故A正确; 易知点P到直线AB的距离的最小值为d-4=-4,又-4<-4=1,故B不正确; 过点B作圆M的两条切线,切点分别为N,Q,如图所示,连接MB,MN,MQ, 则当∠PBA最小时,点P与N重合, |PB|===3;当∠PBA最大时,点P与Q重合,|PB|=3,故C,D都正确.故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知圆和圆有一个公共点，则的值为 ． 解：圆和圆有一个公共点，则两圆内切或外切， 由题可得，解得或． 故答案为：或. 13.过点P(1,)作圆O:x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则弦长|AB|=　　　　.  解：如图所示, ∵PA,PB均为圆O:x2+y2=1的切线,∴OA⊥AP. ∵P(1,),O(0,0),∴|OP|==2. 在Rt△APO中,|OA|=1,∴cos ∠AOP=,∴∠AOP=60°,∴|AB|=2|OA|sin ∠AOP=. 故答案为：. 14.写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程　　　　　　　　.  解：如图,因为圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径r1=1,圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心为A(3,4),半径r2=4, 所以|OA|=5,r1+r2=5,所以|OA|=r1+r2,所以两圆外切,公切线有三种情况: ①易知公切线l1的方程为x=-1.②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称. 易知过两圆圆心的直线l的方程为y=x,由得 由对称性可知公切线l2过点.设公切线l2的方程为y+=k(x+1), 则点O(0,0)到l2的距离为1,所以1=,解得k=,所以公切线l2的方程为y+=(x+1), 即7x-24y-25=0. ③还有一条公切线l3与直线l:y=x垂直,设公切线l3的方程为y=-x+t, 易知t>0,则点O(0,0)到l3的距离为1,所以1=,解得t=或t=-(舍去), 所以公切线l3的方程为y=-x+,即3x+4y-5=0. 综上,所求直线方程为x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0. 故答案为：x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知圆：，直线：. （1）求圆的圆心及半径； （2）求直线被圆截得的弦的长度. 解：（1）圆：的标准方程为：， ∴圆的圆心为，半径为. （2）由（1）可知：圆的圆心为，半径为. 取弦中点，连接，，如图所示. 由圆的性质可知，. ∴圆心到直线：的距离.    在中，，∴， 即直线被圆截得的弦的长度为. 16.（15分）已知定点A(1，-3)，点B为圆(x+1)2+(y+1)2=4上的动点，C为AB的中点. （1）求C的轨迹方程；(4分) （2）若过定点P的直线l与C的轨迹交于M，N两点，且|MN|=，求直线l的方程.(8分) 解：（1）设C点的坐标为(x，y)，则点B的坐标为(2x-1，2y+3)， ∵点B为圆(x+1)2+(y+1)2=4上的动点，∴(2x-1+1)2+(2y+3+1)2=4， 化简得x2+(y+2)2=1，故C的轨迹方程为x2+(y+2)2=1. （2）圆x2+(y+2)2=1的圆心为(0，-2)，半径r=1， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=， 此时圆心到直线x=的距离是， ∴|MN|=2=，满足条件； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+1=k，化简得kx-y-k-1=0， ∵|MN|=，∴圆心到直线l的距离d==， 由圆心到直线l的距离公式得d===， 即2=，整理得4k-3=0，解得k=， 故直线l的方程为y+1=，即6x-8y-11=0. 综上，直线l的方程为x=或6x-8y-11=0. 17.（15分）已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4. （1）若直线l:(m-2)x+(1-m)y+m+1=0(m∈R),证明:无论m为何值,直线l都与圆C相交; （2）若过点P(1,0)的直线m与圆C相交于A,B两点,求△ABC面积的最大值,并求此时直线m的方程. 解：（1）证明：转化l的方程(m-2)x+(1-m)y+m+1=0, 可得m(x-y+1)-2x+y+1=0, 由解得 所以直线l恒过点(2,3),由(2-3)2+(3-4)2=2<4, 得点(2,3)在圆内,即直线l恒过圆内一点, 所以无论m为何值,直线l都与圆C相交. （2）解：由C的圆心为(3,4),半径r=2, 易知此时直线m的斜率存在且不为0, 故设直线m的方程为x=ny+1(n≠0),直线m的一般方程为ny-x+1=0, 圆心到直线m的距离d==,所以|AB|=2=2, 所以S2==·, 令t=,可得S2=4t-t2,当t=2时,=4, 所以△ABC面积的最大值为2,此时由2=, 得7n2-8n+1=0,得n=1或n=,符合题意, 此时直线m的方程为x-y-1=0或7x-y-7=0. 18.（17分）在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点． （1）若直线l的斜率为1，求； （2）设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由． 解：（1）依题意，得直线，即， 则圆心到直线l的距离，所以． （2）依题意，直线l的斜率存在且不为零，设，， 联立，得， 则，， 所以 ， 所以是定值，且定值为． 19.（17分）已知直线l：2x-y+2=0与圆O：x2+y2=r2(r>0)交于M，N两点，且|MN|=. （1）求r的值； （2）过l上且在圆O外的一动点P作圆O的两条切线l1，l2，切点分别为A，B. ①当点A的坐标为(r，0)时，求点B的坐标； ②证明：直线AB过定点. 解：（1）圆O的圆心为O(0，0)，半径为r. 点O到l的距离为d==， 所以r===2. （2）①解　因为A，B分别是过点P的两条切线与圆O的切点，所以点A，B关于直线OP对称. 由（1）知点A的坐标为(2，0)， 则l1：x=2， 由得 则P(2，6)，所以直线OP的方程为y=3x. 设B(xB，yB)，则解得 即B. ②证明　设点P(t，2t+2). 由题意知PA⊥OA，PB⊥OB，所以A，B在以OP为直径的圆上，如图所示， 以OP为直径的圆的方程为x(x-t)+y(y-2t-2)=0， 与x2+y2=4作差，可得直线AB的方程为4-tx-(2t+2)y=0， 整理得t(-x-2y)+4-2y=0， 由解得即直线AB过定点(-4，2). 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 知识点一、直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关 （1）相交，有两个公共点； （2）相切，有一个公共点； （3）相离，没有公共点. 2.直线与圆位置关系的判断方法 设直线方程为：Ax＋By＋C＝0，圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. （1）几何法：圆心到直线的距离为d＝. ①直线与圆相离⇔d>r； ②直线与圆相切⇔d＝r； ③直线与圆相交⇔d<r. 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 （2）代数法 由，消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ. ①Δ<0⇔直线与圆相离；②Δ=0⇔直线与圆相切；③Δ>0⇔直线与圆相交. 3.自一点引圆的切线 （1）过圆外一点，可以作圆的两条切线； （2）过圆上一点，可以作圆的一条切线； （3）过圆内一点，不能作圆的切线. 4.过一点的圆的切线方程： （1）点在圆上 ①若切点与圆心连线的斜率k存在且不为0，则先求k，再由垂直关系得切线的斜率为，由点斜式可求得切线方程. ②若切点与圆心连线的斜率为0或不存在，则可直接得切线方程为y=y0或x=x0. （2）点在圆外 过圆外一点P（x0，y0）引圆的切线必有两条切线，若切线的斜率存在，则： ①几何法：由圆心到直线的距离等于半径，求出k的值； ②代数法：设出切线方程，与圆的方程联立得到一元二次方程，由Δ=0求出k的值. （3）重要结论 ①经过圆x2＋y2＝r2上一点P（x0，y0）的切线方程为x0x＋y0y＝r2. ②经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P（x0，y0）的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. ③经过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一点P（x0，y0）的切线方程为x0x＋y0y＋D· ＋E· ＋F＝0. 5.直线被圆截得的弦长问题 1.几何法：直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，则弦长|AB|=. 2.代数法：联立直线l与圆C的方程，组成方程组，设直线l与圆C的两个交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）. （1）直接利用两点间的距离公式求弦长 . （2）用弦长公式求弦长 ①设直线的斜率为k，联立直线l的方程和圆C的方程，消元后得到一个一元二次方程. 利用根与系数的关系可得弦长： . . ②当k=0时，可直接利用|AB|=|x1-x2|求弦长. ③当斜率不存在时，可直接利用|AB|=|y1-y2|求弦长. 知识点二、圆与圆的位置关系 1.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|< d<r1＋r2 d＝|r1－r2| d<|r1－r2| 公共点 个数 0 1 2 1 0 2.代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D12＋E12－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D22＋E22－4F2>0)， 联立方程得， 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 3.圆与圆的公共弦 （1）定义：当两个圆相交时，连接两个交点所得的线段叫公共弦. （2）公共弦所在直线的方程：若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D12＋E12－4F1>0)， 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D22＋E22－4F2>0)相交，则两圆公共弦所在直线的方程为 （D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0. （3）两圆公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，得到公共弦所在直线的方程，将公共弦所在直线方程与其中一圆的方程联立消元，解出两个交点的坐标，再利用两点间的距离公式求出弦长. ②几何法：求出公共弦所在的直线方程，转化为该直线与其中一个圆相交时的弦长问题，在以圆的半径、半弦长、弦心距为边长的直角三角形，根据勾股定理求解. 4.圆系方程 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫做圆系方程. 常见的圆系方程有： （1）同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0). （2）半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0). （3）过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R). （4）过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D12＋E12－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D22＋E22－4F2>0)的交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1). 当λ＝－1时，方程变为（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0，为过两圆的交点的直线. 5.两圆的公切线 （1）定义：与两圆都相切的直线称为两圆的公切线. （2）两圆的位置关系与公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4 3 2 1 0 （3）公切线的方程 ①当切线斜率存在时，首先设出直线方程，由于这条直线与两个圆都相切，因此可以利用直线与圆相切，得(为圆心到直线的距离，为半径)，进而得到两个关于的方程，然后联立求出参数的值即可. ②当公切线的斜率不存在时，可运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程. 知识点三、与圆有关的最值问题 1．解与圆有关的最值问题 （1）利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离； ②如图②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. （2）利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. （3）经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 题型一：直线与圆的位置关系 例1.直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 例2.已知圆C：x2+y2-8y+15=0，直线l：x+ky-1-4k=0，则直线l与圆C的位置关系为(　　) A.相交 B.相离 C.相切 D.相交或相切 跟踪训练： 1.直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 2.“”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3.已知直线l:xcos α+ysin α=1(α∈R)与圆C:x2+y2=r2(r>0)相离,则r的取值范围是(　　) A.0<r≤1 B.0<r<1 C.r≥1 D.r>1 4.已知直线和圆，则“”是“直线l与圆O相切”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 5.若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0没有公共点，则实数m的取值范围是(　　) A．m<4或m>13 B．－5<m<15 C．m<－5或m>15 D．4<m<13 6.设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是　　　　.  7.已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： （1）有两个公共点； （2）只有一个公共点； （3）没有公共点． 题型二：圆的弦长问题 例1.直线 截圆 所得的弦长为（    ） A．2 B．4 C． D． 例2.在平面直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练： 1.过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为 ． 2.求直线l：3x＋y－6＝0被圆C: x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长为 ． 3.已知直线x-y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点.若|AB|=6,则r的值为　　　　　.  4.已知l1：x-y+6=0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与(x+1)2+(y-3)2=r2(r>0)交于C，D两点，|AB|=3|CD|，则r=　　　 　. 5.已知直线和圆相交于两点，若，则实数（ ） A. B. C. D. 6.直线与圆相交于两点，若，则的值是（ ） A. B. C.或 D. 7.(多选)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　) A．0 B．4 C．－2 D. 8.过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦长为 ． 9.已知圆，过点的直线与圆交于、两点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 题型三：圆的切线方程、切线长问题 例1.过点作圆的切线，记其中一个切点为，则（   ） A．16 B．4 C．21 D． 例2.若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 跟踪训练： 1.过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为 ． 2.(多选)过点A(4，-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1的切线，所得切线方程为(　　) A.x=4 B.15x+8y-36=0 C.y=-3 D.8x-15y-3=0 3.过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4.过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为(　　) A．2x－y＋9＝0 B．2x＋y－9＝0 C．2x＋y＋9＝0 D．2x－y－9＝0 5.已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为 . 6.与直线平行且与圆相切的直线方程为 ． 7.从直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为 ． 8.已知点P(+1,2-),点M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4. （1）求过点P的圆C的切线方程; （2）求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长. 题型四：直线与圆的位置关系中最值问题 例1.是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例2.从点P(m，2-m)向圆Q：(x+2)2+(y+2)2=1引切线，则切线长的最小值为(　　) A.5 B. C. D.3 例3.已知实数满足方程， （1）求的最大值和最小值； （2）求的最大值与最小值； （3）求的最大值和最小值. 跟踪训练： 1.已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=x+2的距离为1的点有且仅有两个，则r的取值范围是(　　) A.(0，1) B.(1，3) C.(3，+∞) D.(0，+∞) 2.经过点，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线的距离最大值为（    ） A． B． C． D． 3.已知圆经过三点，则圆截直线所得弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 4.由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为(　　) A．1 B．2 C. D．3 5.已知圆C:x2+y2=4,直线l:y=kx+m,当k变化时,l截得圆C弦长的最小值为2,则m=　　　　.  6.在平面直角坐标系中，已知圆上有且仅有四个点到直线的距离为，则实数的取值范围是 . 7.已知直线ax+y+2-a=0与圆C:x2+y2+4y-1=0交于A,B两点,则|AB|的最小值为　　　　.  8.已知直线：，是圆：上的一动点，则点到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型五：圆与圆的位置关系 例1.已知圆，圆，当为何值时，两圆 （1）外切；（2）相交；（3）外离. 例2.(多选)已知圆C1：(x-1)2+(y-2a)2=9，圆C2：x2+y2-8x+2ay+a2+12=0，a∈R.则下列选项正确的是(　　) A.直线C1C2过定点(3，0) B.当圆C1和圆C2有三条公切线时，若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max=10 C.若圆C1和圆C2有2条公切线，则a的取值范围是 D.当a=时，圆C1与圆C2相交弦的弦长为 跟踪训练： 1.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 2.圆与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．外离 C．内含 D．相交 3.圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．外离 C．外切 D．内含 4.“a≥”是“圆C1:x2+y2=4与圆C2:(x-a)2+(y+a)2=1有公切线”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6.到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有 条． 7.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是　　　 　.  8.当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？ 题型六：两圆的公共弦 例1.已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. （1）判断两圆的位置关系； （2）求公共弦所在的直线方程； （3）求公共弦的长度． 跟踪训练： 1.已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（   ） A． B． C． D． 2.圆与的公共弦长为（    ） A． B． C． D．4 3.已知圆与圆交于A，B两点，则（     ） A． B． C． D． 4.圆与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 5.两圆x2＋y2－10x－10y＝0，x2＋y2＋6x＋2y－40＝0的公共弦的长为(　　) A．5 B．5 C．10 D．10 6.圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长为 ． 7.已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是 ． 8.已知圆，圆. （1）判断两圆的位置关系； （2）求两圆的公共弦所在直线的方程； （3）求两圆的公共弦的长度. 题型七：两圆的公共切线 例1.已知圆和圆，则两圆的公切线有（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 例2.若直线与圆,圆都相切，切点分别为,则（ ） A. B. C. D. 例3.圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 跟踪训练： 1.已知圆与圆有三条公切线，则（   ） A． B． C． D． 2.(多选)若直线与圆和圆都相切，则直线的方程可能为（ ） A. B. C. D. 3.已知半径为1的动圆与圆有3条公切线，则动圆圆心的轨迹方程为（） A. B. C. D. 4.圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为(　　) A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 5.已知圆与圆关于直线对称，且点在圆上，则圆与圆的公切线的条数为 . 6.已知圆，圆，则圆和圆的公切线的长为 . 7.圆与圆的公切线长为 . 8.已知圆，圆，求两圆的公切线方程. 题型八：圆系方程 例1.过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（   ） A． B．． C． D． 跟踪训练： 1.过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是 ． 2.经过直线与圆的交点，且过点的圆的方程为 . 3.过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是 ． 4.圆与圆相交于两点. 则圆心在直线上，且经过两点的圆的方程是 ． 5.求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程． 6.求过直线x＋y＋4＝0与圆x2＋y2＋4x－2y－4＝0的交点且与直线y＝x相切的圆的方程． （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知直线与圆有公共点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2.已知直线y=kx+k(k≠0)被圆x2+y2-2y-3=0截得的弦长为2,则k=(　　) A. B.2 C.4 D.4 3.已知直线3x+4y+4=0与圆M：x2+y2-2ax=0(a>0)相切，则圆M和圆N：(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是(　　) A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 4.已知不重合的圆都过点，且均与两坐标轴相切，则圆的公共弦长为（    ） A．1 B． C． D． 5.已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则（    ） A． B．2 C． D．4 6.已知P为圆(x-3)2+(y-4)2=4上一点，则点Q(cos α，sin α)到点P的距离的最大值为(　　) A.4 B.8 C.5|sin α| D.|3sin α+4cos α| 7.已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与☉O交于B,C两点,D为BC的中点,若|PO|=,则·的最大值为(　　) A. B. C.1+ D.2+ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.（多选）已知圆O：x2+y2=4和圆M：x2+y2-4x+2y+4=0相交于A，B两点，则下列说法中正确的是(　　) A.两圆有两条公切线 B.直线AB的方程为y=2x-4 C.线段AB的长为 D.过点A，B的圆系方程可以记为(x2+y2-4)+λ(x2+y2-4x+2y+4)=0(λ∈R，且λ≠-1) 10.（多选）已知圆，直线，则（    ） A．直线l与圆C可能相切 B．当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 C．直线l与直线垂直 D．若圆C与圆恰有三条公切线，则 11.（多选）已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则(　　) A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2 C.当∠PBA最小时,|PB|=3 D.当∠PBA最大时,|PB|=3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知圆和圆有一个公共点，则的值为 ． 13.过点P(1,)作圆O:x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则弦长|AB|=　　　　.  14.写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程　　　　　　　　.  四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知圆：，直线：. （1）求圆的圆心及半径； （2）求直线被圆截得的弦的长度. 16.（15分）已知定点A(1，-3)，点B为圆(x+1)2+(y+1)2=4上的动点，C为AB的中点. （1）求C的轨迹方程；(4分) （2）若过定点P的直线l与C的轨迹交于M，N两点，且|MN|=，求直线l的方程.(8分) 17.（15分）已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4. （1）若直线l:(m-2)x+(1-m)y+m+1=0(m∈R),证明:无论m为何值,直线l都与圆C相交; （2）若过点P(1,0)的直线m与圆C相交于A,B两点,求△ABC面积的最大值,并求此时直线m的方程. 18.（17分）在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点． （1）若直线l的斜率为1，求； （2）设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由． 19.（17分）已知直线l：2x-y+2=0与圆O：x2+y2=r2(r>0)交于M，N两点，且|MN|=. （1）求r的值； （2）过l上且在圆O外的一动点P作圆O的两条切线l1，l2，切点分别为A，B. ①当点A的坐标为(r，0)时，求点B的坐标； ②证明：直线AB过定点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $