第8章 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

高考总复习数学 §8.4直线与圆、圆与圆的位置关系 ★[考试要求] 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学 问题与实际问题 复盘>必备知识 学生用书P167 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 (2)过圆x2十y2=r2外一点M(xo,yo)作圆的两条切 1.直线与圆的位置关系 线，则两切点所在直线方程为xx十yoy=r2. 设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,直线l:Ax十By十 2.圆与圆的位置关系的常用结论 C=0,圆心C(a,b)到直线l的距离为d,由 (1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方 x-a)2+(y-b)=r2, 程相减得到. 消去y(或x),得到关于 Ax+By+C=0, (2)两个圆系方程 x(或y)的一元二次方程，其判别式为△. ①过直线Ax十By十C=0与圆x2+y2+Dx十Ey +F=0(D2+E2-4F>0)交点的圆系方程为x 位置关系 相离 相切 相交 +y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0(AER); ②过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D12+ 图形 E12-4F1>0)和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2 =0(D,2+E22-4F2>0)交点的圆系方程为x2+ y+Dx+Ey+F+(x2+y2+D2x+E2y+ 方程 F2)=0(入≠一1)（其中不含圆C2,所以注意检验 △<0 △=0 △>0 观点 C2是否满足题意，以防丢解). 化 几何 d≥r d=r d≤r 自主诊断查验 观点 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或 2.圆与圆的位置关系 “X”) 已知两圆C1:(x-x1)2+(y-y)2=r, (1)“k=1”是“直线x-y十k=0与圆x2十y2=1相 C2:(x-x2)2+(y-y)2=r, 交”的必要不充分条件」 (×) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数 则圆心距d=|C1C,|=√(x1-x2)+(y1-y2) 解，则两圆外切 (×) 则两圆C1,C2有以下位置关系： (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆 位置 外离 内含 相交 内切 外切 关系 相交 (×) 圆心距 (4)过圆O:x2十y=r2外一点P(x,yo)作圆的两条 与半径 d>n十r2 d<r-rzl r-rzl<d<n+rd=lr-r d=n十r丝 切线，切点分别为A,B,则O,P,A,B四点共圆， 的关系 且直线AB的方程是xox十yoy=r2. (/) 图示 2.直线m.x-y十2=0与圆x2+y2=9的位置关系是 公切线 A.相交 B.相切 条数 C.相离 D.无法确定 知识拓展用活 解析：A[圆x2十y=9的圆心为(0,0)，半径为 1.圆的切线方程常用结论 3,直线mx-y十2=0恒过，点A(0,2),而02+22= (1)过圆x2+y2=r2上一点P(.xo,y)的圆的切线方 4<9,所以点A在圆的内部，所以直线m.x-y+2 程为xx十yoy=r2. =0与圆x2十y2=9相交.] ·214· 第八章直线和圆、圆锥曲线 3.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0 解析：两圆的圆心分别为C1(0,1),C2(0,0),半径分别 截得的弦长为 为1,2，C1C2=2-1=1,r2-n1=1,.两圆内切 A.5 B.2 答案：内切 5.直线l:3x-y-6=0与圆x2+y2-2.x-4y=0相 C.√6 D.2√3 交于A,B两点，则|AB|= 解析：D[直线方程为y=√3x,圆的标准方程为 解析：由x2+y2-2.x-4y=0得（x-1)2+（y-2)2 x2+(y一2)2=4，则圆心(0,2)到直线的距离d= =5,所以该圆的圆心坐标为(1,2)，半径r=√5 3X0-2L=1,所以所求孩长为2×√2-1了= 2 圆心到直线1的距离，3X1-2-6一10 √32+1 2 25.] 4.两圆x2+y2-2y=0与x2+y2-4=0的位置关系 =√10. 是 答案w√10 跃升>关健能力 学生用书P168 核心考点分类突破 题型1〔 直线与圆的位置关系 .6√2=6√r-2, ◆[角度1]位置关系的判断 .r2=4,r=2. [例1-1]直线k.x-y十2-k=0与圆x2+y2-2x [答案]2 一8=0的位置关系为 ( (2)设圆x2+y2-2x-2y一2=0的圆心为C,直线 A.相交、相切或相离 B.相交或相切 l过点(0,3)与圆C交于A,B两点，若|AB|=2 C.相交 D.相切 √3，则直线1的方程为 [解析]方法一直线k,x-y十2一k=0的方程可 A.3.x+4y-12=0或4x-3y+9=0 化为k(x一1)一(y一2)=0，该直线恒过定，点(1， B.3.x+4y-12=0或x=0 2).因为1十22-2×1-8<0，所以点(1,2)在圆 C.4x-3y+9=0或x=0 x2十y2-2x-8=0的内部，所以直线kx一y十2-k D.3x-4y+12=0或4x+3y+9=0 =0与圆x2+y2-2x-8=0相交. [解析]当直线！的斜率不存在，即直线L的方程 方法二圆的方程可化为(x-1)2十y2=32,所以 为x=0时，弦长为2√3，符合题意；当直线1的斜 圆的圆心为(1,0)，半径为3.圆心到直线k.x-y十2 率存在时，可设直线（的方程为y=kx十3，由弦长 一k=0的距离为k十2- 2 ≤2<3，所以 为2√3，半径为2可知，圆心到该直线的距离为1， W/1+k 1+k 直线与圆相交. 从而有十是-1，解得=一子蝶上，直线1的方 √2+1 [答案]C 程为x=0或3.x十4y-12=0. [角度2]弦长问题 [答案]B [例1-2](1)(2025·天津卷)l1:x-y十6=0与 [角度3]切线问题 x轴交于点A,与y轴交于点B,与圆(x十1)2十 [例1-3][多选]过点A(4,-3)作圆(x一3)2+(y (y-3)2=r2(r>0)交于C,D两点，|AB=3|CD, 一1)2=1的切线，所得切线方程可能为 () 则r= A.x=4 B.15.x+8y-36=0 [解析]由题意知A(-6,0),B(0,6),O(-1,3) C.y=-3 D.8x-15y-3=0 则0到L,的距离10M1=-1-3+6l-反. [解析]由圆心为(3,1)，半 √② 径为1， .|CD川=2√r-2, 过点A(4,一3)的切线斜率存 1AB=√(-6-0)+(0-6)7=6W2, 在时， 引 -3 .ABI=3CD 设切线为y=k(x一4)一3， ·215· 高考总复习数学 则d=1-k一3二1=1，可得k=二8，所以y= 跟踪训练 √1+k 1.[多选]设直线l:y=kx十1(k∈R)与圆C:x2+y 号u-40-3,即15x+8y-36=0: =5,则下列结论正确的为 过点A(4,一3)的切线斜率不存在时，x=4,显然与 A.l与C可能相离 圆相切， B.l不可能将C的周长平分 综上，切线方程为：15x十8y-36=0或x=4. [答案]AB C.当=1时，l被C截得的弦长为3区 2 ●[角度4]直线与圆位置关系中的最值问题 D.l被C截得的最短弦长为4 [例1一4幻在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C:(x 解析：BD[对于A选项，直线1过定点(0,1)，且 -2)2+y2=4,点A是直线x-y+2=0上的一个 点(0,1)在圆C内，则直线1与圆C必相交，A选项 动点，直线AP,AQ分别切圆C于P,Q两点，则线 错误；对于B选项，若直线L将圆C的周长平分，则 段PQ的长的取值范围为 直线过原点，此时直线L的斜率不存在，B选项正 [解析]由圆的方程知，圆心C(2,0),半径r=2. 确；对于C选项，当k=1时，直线L的方程为x一y 连接AC,PC,QC(图略)， 设AC1=x,则x≥2-0+2=22 十1=0，圆心C到直线1的距离为d=, 21 √2 AP,AQ为圆C的切线， 所以直线（被C截得的弦长为25 2 2 .CP⊥AP,CQ⊥AQ, 3√2，C选项错误；对于D选项，圆心C到直线l的 .|AP|=|AQ=√AC12-r=√x2-4. :AC是PQ的垂直平分线， 距离为d=1一≤1， √2+1 ∴PQ1=2XAP,IPC-4-4 所以直线1被C截得的弦长为2√5-d≥4，D选 项正确.] 2.(2025·全国-卷)已知圆x2+(y十2)2=r2(r>0) x≥2√2， 上到直线y=√3x十2的距离为1的点有且仅有两 1-<1 个，则r的取值范围是 A.(0,1) B.（1,3) .2√2≤|PQ<4, C.(3,+∞) D.(0,+∞) 即线段PQ的长的取值范围为[2√2,4)： 解析：B[与直线y=√3x十2距离为1的直线为 [答案][2√2,4) l1:y=3x十4和l2:y=3x,圆心M(0,-2)到l1 规律方法 的距离为d1= -2-4L=3,到l2的距离为d,= 处理切线、弦长问题的策略 √12+(W3)9 (1)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离 -2 =1.依题可知圆与1，l2的交点总个数 等于半径建立关系解决问题. √1+（√5）2 (2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦 为2，据草图可知圆应与12相交，与1相离，故1< 长一半、弦心距、半径构成直角三角形， r<3,选B.] ·216. 第八章直线和圆、圆锥曲线 题型2 圆与圆的位置关系 则圆心到直线AB的距离d= 4=45 √4+15 ,所以 [例2](1)[多选]已知圆O:(x-1)2+y2=4,圆 O2:(x一5)2+y2=4m,下列说法正确的是( AB1=2,2-45 5 45,故C错误；对于D, A.若m=4,则圆O与圆O2相交 圆M:x2+y2+4x-2y+4=0的圆心M(-2,1), B.若m=4,则圆O1与圆O2外离 半径为1，所以|EF|mx=OM+2+1=√5十3，故 C.若直线x-y=0与圆O,相交，则m>5 8 D正确. D.若直线x-y=0与圆O1相交于M,N两点，则 [答案]AD IMNI-V14 规律方法 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两 [解析]圆O1:(x-1)2+y2=4的圆心O1(1,0), 圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系， 半径r1=2,若m=4,圆O2:(.x-5)2十y2=16的圆 般不采用代数法 心02(5,0)，半径r2=4,则O1O2=4,r1十r2=6,1r (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可 -r2=2,所以r1-r2|<O1O2<r1十r2,则圆O1 由两圆的方程作差消去xy项得到. 与圆O,相交，故A正确，B错误；若直线x一y=0 跟踪训练 与圆O2相交，则圆心O2(5,0)到直线x一y=0的 [多选]若圆O1:x2十y2+2x-3=0与圆O2:x2+ 距病d=50<m,解得m>要故C正确；苏 √2 y2-2y-1=0交于A,B两点，则下列选项中正确 直线x一y=0与圆O1相交于M,N两点，则圆心 的是 ( 0,(1,0)到直线x-y=0的距离d=1-0-2 A.点(1，-1)在圆O2内 2 B.直线AB的方程为x十y-1=0 所以相交弦长|MN|=2√r一d= C.圆O1上的点到直线AB距离的最大值为2十√2 D.圆O2上存在两点P,Q,使得|PQ>AB 2/4 √2 2 =√14，故D错误. 解析：BC[对于A,因为1+(-1)2-2×(-1) [答案]AC -1=3>0,所以点(1，-1)在圆O2外，故A错误； (2)[多选]已知圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2+ 对于B,圆O:x2+y2+2x-3=0与圆O2:x2十y 4x一2y十4=0相交于A,B两点，下列说法正确 -2y-1=0交于A,B两点， 的为 因为圆O1和圆O2相交，将两圆相减可得：x十y一 A.两圆有两条公切线 1=0, B.直线AB的方程为y=2x十2 即公共弦AB所在直线的方程为x十y一1=0，故B C,线段AB的长为号 正确； 对于C,圆O1的圆心坐标为（一1,0），半径为2， D.圆O上点E,圆M上点F,则|EF|的最大值为 圆心O1到直线AB:x十y-1=0的距离d= √5+3 1-1-1山=2， [解析]对于A,因为两圆相交，所以两圆有两条 √2 公切线，故A正确； 所以圆O1上的，点到直线AB距离的最大值为2十 对于B,因为圆O:x2+y2=4,圆M:x2十y2十4.x- √2，故C正确； 2y十4=0，两圆作差得4x-2y十4=-4，即y=2x 对于D,直线AB经过圆O2的圆心(0,1)， 十4，所以直线AB的方程为y=2x十4，故B错误； 所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比 对于C,圆O:x2十y2=4的圆心为(0,0)，半径为2， AB长的弦，D错误.] ·217·