精品解析：黑龙江大庆第一中学2026－2027学年九年级上学期开学验收数学试卷

2026-2027学年初四上学期开学验收考试 数学试卷 考试时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左视图是从左面看到的图判定则可． 【详解】左面看去得到的正方形从左往右依次是2，1． 故选B． 【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，难度适中． 2. 将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的函数解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度的解析式为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移问题，牢记“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 3. 已知在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中正确识别角的对边与斜边是解题的关键． 根据题意画出图形，明确的对边及斜边，根据正弦定义列式，代入即可求解． 【详解】解：如图，在中，，的对边是，斜边是， 又∵， ∴． 故选：B． 4. 已知A(2，)，B(–3，)，C(–5，)三个点都在反比例函数的图象上，比较的大小，则下列各式中正确的是（ ） A. << B. << C. << D. <y< 【答案】B 【解析】 【详解】因为当k<0时，双曲线分布在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，且第二象限内的函数值大于第四象限内的函数值，所以<<，故选B． 5. 如图，分别与交于两点B，C，与交于点D，连接，若，，则的度数是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为，可知，根据三角形外角的性质可求因为同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，则可求． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 6. 如图，是一个可以自由转动的转盘，它被分成三个面积相等的扇形，任意转动转盘两次，当转盘停止后，指针（如果落在分隔线上，则重新转动，直至转到其中一区域）所指颜色相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】列表得出所有可能的情况数，找出指针所指颜色相同的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】解：列表得：   红 黄 蓝 红 （红，红） （黄，红） （蓝，红） 黄 （红，黄） （黄，黄） （蓝，黄） 蓝 （红，蓝） （黄，蓝） （蓝，蓝） 所有可能的情况数有9种，其中颜色相同的情况有3种， 则任意转动转盘两次，当转盘停止后，指针所指颜色相同的概率为． 故选：D． 【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 7. 学生冬季运动装原来每套的售价是100元，后经连续两次降价，现在的售价是81元，则平均每次降价的百分数是（ ） A. 9% B. 8．5% C. 9．5% D. 10% 【答案】D 【解析】 【分析】设平均每次降价的百分数是x，根据降低后的价格=降低前的价格×（1-降低率），则第一次降低后的价格是，那么第二次降价后的价格是，即可列出方程求解． 【详解】设平均每次降价的百分数是x，由题意得 解得或（不合题意，舍去） 则平均每次降价的百分数是10%， 故选D． 【点睛】本题考查的是百分数的应用，解答本题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍． 8. 如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作⊥轴于点，的面积为2，则反比例函数的解析式为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于反比例函数问题，关注的焦点就是反比例函数图象上的点，按照题意，设，根据的面积为2列出关于的方程求解即可得出反比例函数解析式． 【详解】解：∵直线与轴交于点， ∴ （0，），即， 直线与反比例函数的图象交于点，则设， ∵的面积为2， ∴， ∴或（根据图象在第一象限，舍）， ，即， ∴反比例函数的解析式为：， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合，求反比例函数解析式的关键是找到反比例函数图象上一点的坐标． 9. 为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，加强生态文明建设，某工厂自今年1月份开始限产进行治污改造，其月利润（万元）与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（ ） A. 治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元 B. 治污改造完成前后共有5个月的利润不超过100万元 C. 10月份该厂利润达到190万元 D. 4月份的利润为50万元 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用已知点求出一次函数和反比例函数的解析式，进而分别分析得出答案即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为：， 把代入得：， 解得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 设一次函数的解析式为：， 将，代入一次函数解析式为： ， 解得：， 一次函数的解析式为：， A.改造完成后，从5月到7月，利润从40万增加到100万，故每月利润比前一个月增加30万元，故此选项正确，不符合题意； B.当时，，解得：，则只有3、4、5、6共4个月的利润低于100万元，故此选项错误，符合题意； C.当时，，因此10月份该厂利润达到190万元，故此选项正确，不符合题意； D. 当时，，因此4月份的利润为50万元，故此选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题的关键． 10. 已知抛物线（，，是常数，）开口向下，过，两点，且．下列五个结论：①；②若时，则；③方程一定有两个不相等的实数根；④若点，在抛物线上，，且，则；⑤．其中正确结论的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向得，根据对称轴可得，即可判定①；根据对称轴得，由点可得，即得，得到，根据二次函数的图象得，即得，即可判定②；设抛物线解析式为，根据一元二次方程根的判别式可判定③；利用抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远函数值越小，即可判定④；根据二次函数的解析式可得，即得，得到，即可判定⑤，综上即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线过，， ∴对称轴为直线， ∵， ∴，即对称轴在轴右侧， ∴， ∵， ∴，故①正确； 当时，对称轴， ∴， ∴， 把代入抛物线解析式，得， 将代入，得， ∴， ∵在与之间，抛物线开口向下， ∴时，， ∴，故②错误； 设抛物线解析式为， 将方程整理为， ∴判别式， ∵， ∴，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故③正确； 设对称轴为，则，， ∵，， ∴，， ∴，即， ∵抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越小， ∴，即，故④正确； 由抛物线交点式得， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴不一定小于，故⑤错误； 综上，正确的结论共个． 二、填空题（每小题3分，共计24分） 11. 已知函数是反比例函数，则的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义列出方程，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：根据题意得，n2﹣2＝﹣1且n+1≠0， 整理得，n2＝1且n+1≠0， 解得n＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式（k≠0），也可转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件． 12. 抛物线的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】将抛物线的一般式配方化为顶点式，即可得到顶点坐标． 【详解】解：对抛物线解析式配方： 整理得：， ∴ 抛物线的顶点坐标是． 13. 在同一时刻，一杆高为，影长为，某塔的影长为，则塔高为_____m． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查投影与视图，根据同一时刻物高与影长成比例即可求解． 【详解】解：设塔高为，根据题意可得，解得． 故答案为：30． 14. 如图，矩形是由三个全等矩形拼成的，与、分别交于点．设，，的面积依次为．若，则的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，得出，是解题关键． 由条件可以得出，可以求出与的相似比为，与相似比为，由相似三角形的性质，就可以求出，从而可以求出． 【详解】解：矩形是由三个全等矩形拼成的， ，， 四边形，四边形是平行四边形，， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：8． 15. 在如图所示的小正方形网格中，均为小正方形的顶点，线段和相交于点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角函数，明确“等角的三角函数值相等”是解题的关键，如图标记格点，连接，，则，由此可得，所以，根据外角定理可得即可解答． 【详解】解：如图标记格点，连接，， 设小正方形的边长均为， 由勾股定理可知，， ， 中，， 中，， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 16. 如图，在中，是边上的高，点是上一点，且，连接并延长交于点，已知，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交于点，连接，根据平行线分线段成比例可知，，即，，进而可知，根据同高三角形面积比等于底之比计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 过点作，交于点，连接， 根据平行线分线段成比例可知，， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，在上，与面积比等于， ∴， ∵在上，与同高，面积比等于底之比， ∴． 17. 已知二次函数，在自变量x的值满足的情况下，对应的函数值y的最大值是，则h的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键． 由解析式可知该函数在时取得最大值，时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；根据时，函数的最大值为，可分如下三种情况：①若，时，取得最大值；②若，当时，取得最大值，分别列出关于的方程求解，若，当时，取得最大值1，，与题意不符合，此情形应舍去． 【详解】解：∵当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴①若，时，取得最大值， 可得：， 解得：（舍）或； ②若，当时，取得最大值， 可得：， 解得：或（舍）， 若，当时，取得最大值1，，与题意不符合，此情形应舍去， 综上，的值为或， 故答案为：或． 18. 如图，四边形为平行四边形，，，对角线，为上的一个动点，为上的一个定点，则的最小值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】过作，交延长线于，过作，交延长线于，连接，证明，求出，可得，然后证明四边形是矩形，可得，进而可得答案． 【详解】解：如图，过作，交延长线于，过作，交延长线于，连接，则， ∵四边形为平行四边形，，，， ， ， ， 是直角三角形，， 四边形为平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 当是与交点时，， 故的最小值为， 三、解答题（7小题，共计46分） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，． 【小问2详解】 解：， ， ， 或， 解得， ． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据，再计算即可． 【详解】解：原式 ． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的判别式，根与系数的关系， （1）一元二次方程有实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围，根据根的判别式得到关于m的不等式是解题的关键； （2）根据根与系数的关系得到，又求出，然后代入求解即可． 【小问1详解】 方程有实数根， ， ， 即； 【小问2详解】 为该方程的两个实数根， ， 又， ∴ ∴ ∴， 将代入得， ∴． 22. 宁波轨道交通号线已开工建设，计划年通车试运营．为了了解镇民对号线地铁票的定价意向，某镇某校数学兴趣小组开展了“你认为宁波号线地铁起步价定为多少合适”的问卷调查，并将调查结果整理后制成了如下统计图，根据图中所给出的信息解答下列问题： （1）本次调查中该兴趣小组随机调查的人数为________； （2）请你把条形统计图补充完整； （3）现从支持“起步价为元”的居民中选出一男一女，支持“起步价为元”的居民中选出一男两女，然后从选出的两组居民中各选一名随机咨询，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位居民恰为“一男一女”的概率． （4）假设该镇有万人，请估计该镇支持“起步价为元”的居民大约有多少人？ 【答案】（1） （2） （3） （4）估计该镇支持“起步价为3元”的居民大约有人 【解析】 【分析】（1）根据元在扇形统计图中的圆心角和人数计算即可； （2）根据（1）中的答案和统计图中的数据可以求得条形统计图中的未知数据，从而可以将条形统计图补种完整； （3）画树状图，得到共有种等可能的结果，其中两位居民恰为“一男一女”的情况有种，根据概率公式计算即可； （4）根据前面求得的数据可以估计该镇支持“起步价为元”的居民人数． 【小问1详解】 解：本次调查中该兴趣小组随机调查的人数为（人）； 【小问2详解】 解：支持“起步价为2元”居民人数为（人）， 支持“起步价为3元”居民人数为（人）， 补全条形统计图略 【小问3详解】 解：根据题意画树状图如下， 由树状图得共有种等可能的结果，其中两位居民恰为“一男一女”的情况有种， 所选的两位居民恰为“一男一女”的概率为； 【小问4详解】 解：（人）； 答：估计该镇支持“起步价为3元”的居民大约有人． 23. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西 45°方向行驶10千米至B地，再沿北偏东 60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C 在 A 地的北偏东 15°方向． （1）求∠C的度数； （2）求B，C两地的距离．（运算结果保留根号） 【答案】（1） （2）两地的距离为千米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形中与方位角有关的应用： （1）由平行线的性质得，由平角可求得的度数，由三角形内角和即可求得结果； （2）过点B作，垂足为G，则在中，由正弦函数关系可求得的长度，再在中，由正弦函数关系即可求得的长度，即两地的距离． 【小问1详解】 解：如图： 由题意得：，，，， ， ， ， ， 的度数为； 【小问2详解】 解：过点B作，垂足为G， 在中，千米，， （千米）， 在中，， （千米）， 两地的距离为千米． 24. 如图，在中，D为上一点，E为上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ，， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】对于本题重点，掌握相似三角形的判定定理1，以及相似三角形的对应边成比例的性质． （1）根据两角对应相等，两三角形相似证明即可； （2）根据得到，然后求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在（1）中已证明， ， ，，， ， ． 25. 如图，已知二次函数图象的对称轴为轴，且过坐标原点及点，过点作射线平行于轴（点在点上方），点坐标为，连接并延长交抛物线于点，射线平分，过点作的垂线交轴于点． （1）求二次函数的表达式； （2）判断直线与二次函数的图象的公共点的个数，并说明理由； （3）点为轴上的一个动点，且为钝角，请直接写出实数的取值范围． 【答案】（1） （2）个，理由见下 如图，设与轴交于点，过点作轴于点， ∵，点坐标为， ∴， ∴，， ∴ ∵轴， ∴ ∵射线平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴即， 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 消去得，， ∵， ∴直线与二次函数的图象的公共点的个数为 （3）当为钝角时， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合，一次函数与二次函数交点问题，直径所对的圆周角是直角，解直角三角形，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）根据二次函数的图象对称轴为轴，过坐标原点及点，待定系数法求解析式，即可求解； （2）设与轴交于点，过点作轴于点，先解，进而得出是等边三角形，得出，进而根据含度角的直角三角形的性质得出，求得直线的解析式为，联立二次函数解析式，即可求解； （3）先求得直线的解析式为，联立二次函数解析式得出，当以为直径的圆与轴相交时，设交点为，交点与构成的三角形为直角三角形，当在之间时，即在圆内，此时，进而根据，利用勾股定理建立方程，求得的值，进而可根据为钝角时，确定的范围，即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数图象的对称轴为轴，过坐标原点及点 ∴ ∴ ∴二次函数解析式为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或 ∴ 如图， 当以为直径的圆与轴相交时，设交点为，交点与构成的三角形为直角三角形， 当在之间时，即在圆内，此时 ∵，，， ∴， 当时，时， ∴ 解得：， ∴当为钝角时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年初四上学期开学验收考试 数学试卷 考试时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的左视图是（　　） A. B. C. D. 2. 将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的函数解析式是（　　） A. B. C. D. 3. 已知在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知A(2，)，B(–3，)，C(–5，)三个点都在反比例函数的图象上，比较的大小，则下列各式中正确的是（ ） A. << B. << C. << D. <y< 5. 如图，分别与交于两点B，C，与交于点D，连接，若，，则的度数是（） A. B. C. D. 6. 如图，是一个可以自由转动的转盘，它被分成三个面积相等的扇形，任意转动转盘两次，当转盘停止后，指针（如果落在分隔线上，则重新转动，直至转到其中一区域）所指颜色相同的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 学生冬季运动装原来每套的售价是100元，后经连续两次降价，现在的售价是81元，则平均每次降价的百分数是（ ） A. 9% B. 8．5% C. 9．5% D. 10% 8. 如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作⊥轴于点，的面积为2，则反比例函数的解析式为(　　) A. B. C. D. 9. 为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，加强生态文明建设，某工厂自今年1月份开始限产进行治污改造，其月利润（万元）与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（ ） A. 治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元 B. 治污改造完成前后共有5个月的利润不超过100万元 C. 10月份该厂利润达到190万元 D. 4月份的利润为50万元 10. 已知抛物线（，，是常数，）开口向下，过，两点，且．下列五个结论：①；②若时，则；③方程一定有两个不相等的实数根；④若点，在抛物线上，，且，则；⑤．其中正确结论的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（每小题3分，共计24分） 11. 已知函数是反比例函数，则的值为__________． 12. 抛物线的顶点坐标是________． 13. 在同一时刻，一杆高为，影长为，某塔的影长为，则塔高为_____m． 14. 如图，矩形是由三个全等矩形拼成的，与、分别交于点．设，，的面积依次为．若，则的值为______． 15. 在如图所示的小正方形网格中，均为小正方形的顶点，线段和相交于点，则的值为______． 16. 如图，在中，是边上的高，点是上一点，且，连接并延长交于点，已知，，则__________． 17. 已知二次函数，在自变量x的值满足的情况下，对应的函数值y的最大值是，则h的值为________． 18. 如图，四边形为平行四边形，，，对角线，为上的一个动点，为上的一个定点，则的最小值为________． 三、解答题（7小题，共计46分） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 计算：． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 22. 宁波轨道交通号线已开工建设，计划年通车试运营．为了了解镇民对号线地铁票的定价意向，某镇某校数学兴趣小组开展了“你认为宁波号线地铁起步价定为多少合适”的问卷调查，并将调查结果整理后制成了如下统计图，根据图中所给出的信息解答下列问题： （1）本次调查中该兴趣小组随机调查的人数为________； （2）请你把条形统计图补充完整； （3）现从支持“起步价为元”的居民中选出一男一女，支持“起步价为元”的居民中选出一男两女，然后从选出的两组居民中各选一名随机咨询，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位居民恰为“一男一女”的概率． （4）假设该镇有万人，请估计该镇支持“起步价为元”的居民大约有多少人？ 23. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西 45°方向行驶10千米至B地，再沿北偏东 60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C 在 A 地的北偏东 15°方向． （1）求∠C的度数； （2）求B，C两地的距离．（运算结果保留根号） 24. 如图，在中，D为上一点，E为上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 25. 如图，已知二次函数图象的对称轴为轴，且过坐标原点及点，过点作射线平行于轴（点在点上方），点坐标为，连接并延长交抛物线于点，射线平分，过点作的垂线交轴于点． （1）求二次函数的表达式； （2）判断直线与二次函数的图象的公共点的个数，并说明理由； （3）点为轴上的一个动点，且为钝角，请直接写出实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $