25.6 相似三角形的性质 同步练习 2026-2027学年冀教版数学九年级上册

冀教版（2024）九年级上册 25.6 相似三角形的性质 同步练习 一、选择题 1．按如下方法，将△ABC的三边缩小到原来的，如图，任取一点O，连AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的是 （      ）  A．△ABC与△DEF不是位似图形 B． C．△ABC与△DEF的周长比为1∶2 D．△ABC与△DEF的面积比为4∶1 2．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD：BD＝5：3，CF＝6，则DE的长为（  ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．如果两个相似三角形对应边之比是1：3，那么它们的对应中线之比是（    ） A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．1：12 4．已知两个相似三角形的相似比为4:9，则这两个三角形的对应高的比为（    ） A． B． C． D． 5．△ABC与△DEF的相似比为1∶3，则△ABC和△DEF的面积比为(　　) A．1∶3 B．3∶1 C．9∶1 D．1∶9 6．若△ABC～△DEF，相似比为9：4，则△ABC与△DEF对应中线的比为（　　） A．9：4 B．4：9 C．81：16 D．3：2 7．如果两个相似三角形对应边的比为1∶4，那么它们的对应中线的比是(　　) A．1∶2 B．1∶4 C．1∶8 D．1∶16 8．如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么它们对应高线的比是 （      ） A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．8∶27 9．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB＝12，BM＝5，则DE的长为（  ） A．18 B． C． D． 10．如图，AD与BC相交于点O，∠A=∠D，=，则△AOB的面积与△DOC的面积比是 A． B． C． D． 11．如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在BC、AB上，且DE∥AB，∠DEF＝∠A，EF与BD相交于点M，以下结论：①△BDE是等腰三角形；②四边形AFED是菱形；③BE＝AF；④若AF：BF＝3：4，则△DEM的面积：△BAD的面积＝9：49，以上结论正确的是（  ） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．③④ 二、填空题 13．已知△ABC∽△DEF，且S△ABC＝4，S△DEF＝25，则＝__________. 14．如图，△ABC∽△ADE，S△ABC∶S四边形BDEC=4∶5，其中CB=2，DE=__________.  15．如果两个相似三角形的相似比为2∶5，其中一个三角形的一条角平分线长为7，则另一个三角形对应角平分线的长为　　　　　　. 16．在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N；若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为 __________ ． 17．如图1，线段AB＝8，点P为AB的中点，射线AM⊥AB于点A，BN⊥AB于点B，C、D分别是射线AM、BN上的动点，且满足PC⊥PD，则： （1）AC•BD的值为 __________； （2）如图2，E是射线AM上另一动点，满足PE⊥CD，垂足为O，△PCO∽△DEO时，AC的值为 __________． 三、解答题 18．如图，已知△ABC∽△DEF，AH是△ABC的高，DG是△DEF的高，已知AB=14，DE=10，求AH和DG的比. 19．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，EF＝EH，求EH的长. 20．如果把两条直角边分别为30 cm，40 cm的直角三角形按相似比3：5进行缩小，得到的直角三角形的两条直角边的长和面积各是多少？ 21．已知中，，，，点为的中点，在线段上取点，使与相似，求线段的长． 22．(1)如图，在▱ABCD中，E，F分别是边CD，AD上的动点，且∠DCF=∠DAE. ①求证：△DCF∽△DAE； ②当AB=2，AD=4，是否存在CE=DF，若存在，请求出CE；若不存在，请说明理由. (2)如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C. ①求证：△ABD∽△ACB； ②若AB=6，CD=5，求AD的长. (3)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=6，P是线段AD上一动点(点P不与点A，点D重合)，PE⊥BP，PE交直线DC于点E. ①设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； ②请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由. 冀教版（2024）九年级上册 25.6 相似三角形的性质 同步练习（参考答案） 一、选择题 1．按如下方法，将△ABC的三边缩小到原来的，如图，任取一点O，连AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的是 （      ）  A．△ABC与△DEF不是位似图形 B． C．△ABC与△DEF的周长比为1∶2 D．△ABC与△DEF的面积比为4∶1 【答案】D 【解析】∵由位似图形的定义可知，△ABC和△DEF是位似图形， ∴A错误； ∵点E是OB的中点， ∴，∴， ∴B错误； ∵由已知条件可得△ABC∽△DEF，且AB∶DE＝2∶1， ∴△ABC和△DEF的周长比为2∶1， ∴C错误； ∵由C可知△ABC和△DEF相似，且相似比为2∶1， ∴△ABC和△DEF的面积比为4∶1， ∴D正确. 2．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD：BD＝5：3，CF＝6，则DE的长为（  ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【解析】∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B． ∵∠ADE＝∠EFC，∴∠B＝∠EFC， ∴BD∥EF， ∵DE∥BF， ∴四边形BDEF为平行四边形， ∴DE＝BF． ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝＝＝， ∴BC＝DE， ∴CF＝BC﹣BF＝DE＝6， ∴DE＝10． 故选：C． 3．如果两个相似三角形对应边之比是1：3，那么它们的对应中线之比是（    ） A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．1：12 【答案】A 4．已知两个相似三角形的相似比为4:9，则这两个三角形的对应高的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 5．△ABC与△DEF的相似比为1∶3，则△ABC和△DEF的面积比为(　　) A．1∶3 B．3∶1 C．9∶1 D．1∶9 【答案】D 【解析】∵相似△ABC与△DEF的相似比为1∶3，∴△ABC与△DEF的面积比为1∶9.故选D. 6．若△ABC～△DEF，相似比为9：4，则△ABC与△DEF对应中线的比为（　　） A．9：4 B．4：9 C．81：16 D．3：2 【答案】A 【解析】∵△ABC～△DEF，且相似比为9：4， ∴△ABC与△DEF对应中线的比为9：4. 故选A. 7．如果两个相似三角形对应边的比为1∶4，那么它们的对应中线的比是(　　) A．1∶2 B．1∶4 C．1∶8 D．1∶16 【答案】B 8．如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么它们对应高线的比是 （      ） A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．8∶27 【答案】A 9．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB＝12，BM＝5，则DE的长为（  ） A．18 B． C． D． 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是正方形，AB＝12，BM＝5， ∴MC＝12﹣5＝7． ∵ME⊥AM， ∴∠AME＝90°， ∴∠AMB+∠CMG＝90°． ∵∠AMB+∠BAM＝90°， ∴∠BAM＝∠CMG，∠B＝∠C＝90°， ∴△ABM∽△MCG， ∴＝，即＝，解得CG＝， ∴DG＝12﹣＝． ∵AE∥BC， ∴∠E＝CMG，∠EDG＝∠C， ∴△MCG∽△EDG， ∴＝，即＝，解得DE＝． 故选：C． 10．如图，AD与BC相交于点O，∠A=∠D，=，则△AOB的面积与△DOC的面积比是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵∠A=∠D，∠AOB=∠DOC， ∴△AOB∽△DOC， ∴===. 11．如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】设AP＝x，则BP＝8﹣x， 当△PAE∽△PBC时，，即， 解得，x， 当△PAE∽△CBP时，，即， 解得，x＝2或6， 可得：满足条件的点P的个数有3个． 故选：C． 12．如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在BC、AB上，且DE∥AB，∠DEF＝∠A，EF与BD相交于点M，以下结论：①△BDE是等腰三角形；②四边形AFED是菱形；③BE＝AF；④若AF：BF＝3：4，则△DEM的面积：△BAD的面积＝9：49，以上结论正确的是（  ） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．③④ 【答案】B 【解析】∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠DBE＝∠ABD， ∵DE∥AB， ∴∠ABD＝∠BDE， ∴∠DBE＝∠BDE， ∴BE＝DE， ∴△BDE是等腰三角形，故①正确； ∵DE∥AB， ∴∠BAC+∠ADE＝180°， ∵∠DEF＝∠BAC， ∴∠DEF+∠ADE＝180°， ∴EF∥AD， ∴四边形ADEF为平行四边形，故②错误； ∴AF＝DE， ∴BE＝AF；故③正确； 如图，连接DF， ∵DE∥AB， ∴△DEM∽△BFM， ∴＝（）2， ∵DE＝AF，AF：BF＝3：4， ∴＝（）2＝，＝， ∴＝， ∴S四边形AFMD＝S△DEM，S△BFM＝S△DEM， ∴△DEM的面积：△BAD的面积＝9：49，故④正确， 故选：B． 二、填空题 13．已知△ABC∽△DEF，且S△ABC＝4，S△DEF＝25，则＝__________. 【答案】 【解析】∵△ABC∽△DEF，且S△ABC＝4，S△DEF＝25，∴＝＝. 14．如图，△ABC∽△ADE，S△ABC∶S四边形BDEC=4∶5，其中CB=2，DE=__________.  【答案】3 【解析】∵S△ABC∶S四边形BDEC=4∶5， ∴S△ABC∶S△ADE=4∶9， ∵△ABC∽△ADE， ∴S△ABC∶S△ADE==4∶9， 解得DE=3. 15．如果两个相似三角形的相似比为2∶5，其中一个三角形的一条角平分线长为7，则另一个三角形对应角平分线的长为　　　　　　. 【答案】或 【解析】∵两个相似三角形的相似比为2∶5， ∴它们的对应角平分线的比为2∶5， ∵其中一个三角形的一条角平分线长为7，而这条角平分线可能是较小三角形的，也可能是较大三角形的， ∴另一个三角形的对应角平分线长可能为，也可能为. 16．在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N；若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为 __________ ． 【答案】1 【解析】∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC， ∴，即，∴MN＝1． 17．如图1，线段AB＝8，点P为AB的中点，射线AM⊥AB于点A，BN⊥AB于点B，C、D分别是射线AM、BN上的动点，且满足PC⊥PD，则： （1）AC•BD的值为 __________； （2）如图2，E是射线AM上另一动点，满足PE⊥CD，垂足为O，△PCO∽△DEO时，AC的值为 __________． 【答案】（1）16； （2）． 【解析】（1）∵AB＝8，点P为AB的中点， ∴PA＝PB＝4， ∵AM⊥AB于点A，BN⊥AB于点B， ∴AM∥BN，∠A＝∠B＝90°， ∵PC⊥PD， ∴∠CPD＝90°， ∵∠APC+∠ACP＝90°，∠APC+∠BPD＝90°， ∴∠BPD＝∠ACP， 而∠A＝∠B， ∴△APC∽△BDP， ∴AP：BD＝AC：PB， 即4：BD＝AC：4， ∴AC•BD＝16； 故答案为：16； （2）延长CP交直线BN于F点，如图2， 在△APC和△BPF中， ， ∴△APC≌△BPF（ASA）， ∴PC＝PF， ∵DP⊥FC， ∴DP平分∠CDF， ∵PB⊥BD，PO⊥CD， ∴PO＝PB＝4， ∵∠1+∠DPO＝90°，∠2+∠DPO＝90°， ∴∠1＝∠2， ∵△PCO∽△DEO， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∵CD⊥PE， ∴∠DPO＝∠DEO， ∴DP＝DE， ∴EO＝PO＝4， ∴CO垂直平分PE， ∴CP＝CE， ∴∠2＝∠4， 在Rt△APE中，∵sin∠4， ∴∠4＝30°， ∴∠ACP＝∠2+∠4＝60°， 在Rt△APC中，∵∠ACP＝60°， ∴ACAP． 故答案为：． 三、解答题 18．如图，已知△ABC∽△DEF，AH是△ABC的高，DG是△DEF的高，已知AB=14，DE=10，求AH和DG的比. 【答案】解　∵△ABC∽△DEF， ∴∠B=∠E， ∵AH是△ABC的高，DG是△DEF的高， ∴∠AHB=∠DGE=90°， ∴△ABH∽△DEG， ∴===. 19．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，EF＝EH，求EH的长. 【答案】解　∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC， ∴△AEH∽△ABC， 设AD与EH交于点M（图略）， ∵AM⊥EH，AD⊥BC， ∴， 设EH＝3x，则有EF＝2x，AM＝AD－EF＝2－2x， ∴， 解得x＝，则EH＝. 20．如果把两条直角边分别为30 cm，40 cm的直角三角形按相似比3：5进行缩小，得到的直角三角形的两条直角边的长和面积各是多少？ 【答案】解：设缩小后的直角三角形的两条直角边分别为a、b（a＜b）， 根据题意得＝＝， 解得a＝18，b＝24， 所以ab＝•18•24＝216． 答：缩小后的直角三角形的两条直角边分别为18 cm，24 cm，面积为216 cm2． 21．已知中，，，，点为的中点，在线段上取点，使与相似，求线段的长． 【解析】解：情况一，如图所示， 22．(1)如图，在▱ABCD中，E，F分别是边CD，AD上的动点，且∠DCF=∠DAE. ①求证：△DCF∽△DAE； ②当AB=2，AD=4，是否存在CE=DF，若存在，请求出CE；若不存在，请说明理由. (2)如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C. ①求证：△ABD∽△ACB； ②若AB=6，CD=5，求AD的长. (3)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=6，P是线段AD上一动点(点P不与点A，点D重合)，PE⊥BP，PE交直线DC于点E. ①设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； ②请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由. 【答案】①证明 ∵∠DCF=∠DAE，∠CDF=∠ADE， ∴△DCF∽△DAE. ②解 假设存在CE=DF，∵△DCF∽△DAE， ∴=. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC=AB=2. 设CE=DF=x， ∴DE=DC-CE=2-x， ∴=， ∴x=， ∴CE=.∴存在CE=DF，此时CE=. (2)①证明 ∵∠ABD=∠C，∠A=∠A， ∴△ABD∽△ACB. ②解 ∵△ABD∽△ACB， ∴=， ∴AD·AC=AB2， ∵AB=6，CD=5， ∴AD·(AD+5)=36， 解得AD=4或AD=-9(不符合题意，舍去)， ∴AD的长为4. (3)解 ①∵∠A=90°， ∴∠ABP+∠APB=90°， ∵PE⊥BP， ∴∠EPD+∠APB=90°， ∴∠ABP=∠EPD， ∵AB∥CD，∠A=90°， ∴∠D=90°=∠A， ∴△ABP∽△DPE. 设AP=x，DE=y， ∴=， ∵AB=2，AD=6， ∴=， ∴y=-x2+3x； 令y=0，则x=6， ∴x的取值范围为0<x<6. ②当四边形ABED为矩形时，DE=AB=2，即y=2， 则-x2+3x=2， 解得x1=3+，x2=3-， ∴当AP=3-或AP=3+时，四边形ABED能构成矩形. 学科网（北京）股份有限公司 $