第20讲 功能关系 能量守恒定律 讲义-2027届高三物理一轮复习

第20讲 功能关系 能量守恒定律 【基础回顾】 一、功能关系 1．功能关系 (1)功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化。功不是能，功也不能变为能，只是能量转化的途径，转化多少能量，就需要做多少功。 (2)做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必须通过做功来实现。 2．几种常见的功能关系 几种常见力做功 对应的能量变化 数量关系式 重力 正功 重力势能减少 负功 重力势能增加 弹簧等的弹力 正功 弹性势能减少 负功 弹性势能增加 电场力 正功 电势能减少 负功 电势能增加 合力 正功 动能增加 负功 动能减少 重力以外的其他力 正功 机械能增加 负功 机械能减少 3．两个特殊的功能关系 (1)滑动摩擦力与两物体间相对位移的乘积等于产生的内能，即 。 (2)感应电流克服安培力做的功等于产生的电能，即 。 二、能量守恒定律 1．内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失。它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，而在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。 2．表达式：。 (1)若只有两种形式的能量相互转化，则这两种形式的能量之和保持不变。如动能和电势能相互转化，则 。 (2)自然界中虽然能量守恒，但很多能源利用之后不可再利用，即能源品质降低，所以要节约能源。 题型一 功能关系的理解和应用 1．两种摩擦力做功特点的比较 类型 比较 静摩擦力做功 滑动摩擦力做功 不同点 能量的转化 只有机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能转化为其他形式的能 (1)一部分机械能从一个物体转移到另一个物体 (2)一部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能的损失量 一对摩擦力做的总功 一对静摩擦力所做功的代数和总等于零 一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值，总功 ，即发生相对滑动时产生的热量 相同点 做功情况 两种摩擦力对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不做功 【例题精讲】 【例1】（26-27高三·全国·一轮复习）喷泉水滴的运动轨迹如图所示，若该“喷泉”是采用水泵将水先从距水平面下深度为h处由静止提升至水平面，然后再喷射出去，上升的最大高度为h，水滴下落在水平面的位置距喷水口的距离为2h。已知喷水口的流量Q（流量Q定义为单位时间内喷出水的体积），水的密度为ρ，水泵提升水的效率为η，重力加速度大小为g，不计空气阻力。则水泵抽水的平均功率为（     ） A． B． C． D． 【例2】（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）（多选）在物理中，图像中点、线、截距、斜率、面积的物理意义对规律的理解很有帮助，对于图中的y-x图像，下面说法不正确的是（　　） A．若x轴表示位移x，y轴表示加速度a，则图中阴影部分的面积表示速度平方的一半 B．若x轴表示位移x，y轴表示机械能E，则图线任意一点的切线斜率表示该点处物体所受合外力F C．汽车沿直线行驶时，若x轴表示汽车的速度v，y轴表示汽车的牵引力功率P，则图线任意一点的切线斜率表示该处汽车的牵引力F D．初始静止的物体仅受变力F（仅大小变化，方向不变）作用下运动时动能一直在增大，若x轴表示逐渐增大的动能Ek，y轴表示与之对应的，则图中阴影部分的面积表示物体此过程的位移 【变式训练1】（26-27高三上·河北衡水·阶段检测）如图所示为某次跳水运动员跳水的情景，跳水运动员的部分跳水过程可以简化为：运动员从高处落到处于自然状态的跳板（M位置）上，随跳板一同向下运动到最低点（N位置）。则运动员从开始接触跳板到运动至最低点的过程中，下列说法正确的是（    ） A．运动员一直处于超重状态 B．运动员的动能先增大后减小 C．跳板的弹性势能一直在减小 D．运动员所受重力对她做的功大于她克服跳板的作用力所做的功 【变式训练2】（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）如图所示，某同学准备罚球，手持篮球保持静止，在裁判员示意后将球斜向上抛出，篮球刚好落入篮筐。篮球从静止到刚好落入篮筐的过程中，已知空气阻力做功为，重力做功为，投篮时该同学对篮球做功为。篮球可视为质点，则在此过程中（     ） A．篮球重力势能的变化量为 B．篮球机械能的变化量为 C．篮球动能的变化量为 D．篮球在落入篮筐瞬间机械能最大 【变式训练3】（2026·福建福州·模拟预测）（多选）有一小球从风洞中的点M竖直向上抛出，小球受到大小恒定的水平风力，其运动轨迹大致如图所示，其中M、N两点在同一水平线上，O点为轨迹的最高点，小球在M点动能为16 J，在O点动能为4 J，不计空气阻力，重力加速度，下列说法正确的是（     ） A．小球所受重力和风力大小之比为2∶1 B．小球在上升和下降过程中机械能变化量之比为1∶4 C．小球落到N点时的动能为32 J D．小球从M点运动到N点过程动能一直减小 题型二 传送带模型综合问题 1．解答传送带模型的动力学方法 首先要正确分析物体的运动过程，做好受力分析，然后利用运动学公式结合牛顿第二定律求物体及传送带在相应时间内的位移，找出物体和传送带之间的位移关系。 2．求电机多消耗电能的方法 (1)能量守恒法：多消耗的电能等于工件增加的机械能与摩擦产生的热量之和。即 ，其中 。 (2)动能定理法：多消耗的电能等于电动机做的功，由于传送带匀速运动，电动机做的功等于传送带克服摩擦力做的功，即 ，其中 为传送带对地的位移。 【例题精讲】 【例1】（26-27高三上·广东东莞·阶段检测）如图所示，某快递公司利用传送带输送快件，绷紧的水平传送带AB始终保持恒定速度运行，在传送带上A处轻轻放置一快件，快件由静止开始加速，与传送带共速后，做匀速运动到达B处。忽略空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．快件先受滑动摩擦力作用，后受静摩擦力作用 B．快件与传送带间动摩擦因数越大，快件与传送带相对位移越小 C．因传送快件多消耗的电能等于快件增加的动能 D．运送距离一定时，快件与传送带间动摩擦因数越大，运送时间越长 【例2】（24-25高三·全国·二轮复习）（多选）如图甲所示，倾角为θ的传送带以恒定速率逆时针运行，现将一质量为1 kg的煤块轻轻放在传送带的A端，煤块的速度随时间变化的关系如图乙所示，2 s末煤块到达B端，取沿传送带向下为正方向，g取 10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则（     ） A．倾角θ＝37°，煤块与传送带间的动摩擦因数为0.4 B．2 s内煤块的机械能减少了24 J C．2 s内煤块与传送带因摩擦产生的内能为24 J D．由于传送该煤块，电动机多消耗的电能为40 J 【变式训练1】（26-27高三上·江苏淮安·开学考试）足够长的水平传送带以速度顺时针匀速转动，质量为的货物（视为质点）以初速度从右端滑上传送带。货物在传送带上运动过程中，由于摩擦产生的热量为（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026·广西贺州·二模）如图所示，质量的货物（可视为质点）从高的光滑轨道上的P点由静止开始下滑，货物滑到水平传送带上的A点，货物在轨道与传送带连接处能量损失不计，货物与传送带间的动摩擦因数，传送带上A、B两点间的距离，传送带一直以的速度顺时针匀速转动，取重力加速度大小。装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轴处的摩擦。货物从传送带左端A点运动到右端B点的过程中，下列说法正确的是（     ） A．摩擦力对货物做的功为40J B．货物从A点运动到B点用时2.5s C．由于摩擦而产生的热量为60J D．由于运送货物，带动传送带转动的电动机多消耗的电能为80J 【变式训练3】（26-27高三上·福建福州·开学考试）（多选）如图甲，足够长倾角为的倾斜传送带（转轮大小忽略不计）顺时针方向匀速运行。质量为m=1 kg可视为质点的物块，在时刻从传送带底端（取该位置所在平面为零势能面）开始沿传送带上滑。物块在传送带上运动时的机械能E随时间t的变化关系如图乙所示（两段图线均为曲线，且在t=1.2 s时其切线水平）。重力加速度g取10 m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。下列说法正确的是（     ） A．传送带的运行速度大小为2 m/s B．物块与传送带间的动摩擦因数为0.4 C．0~1.2 s，物块与传送带间摩擦生热为3.2 J D．物块下滑过程中，机械能损失了6.4 J 题型三 “滑块—木板”模型综合问题 板块模型的动力学分析和功能关系分析 情境模型图示 动力学分析 分别对滑块和木板进行受力分析，根据牛顿第二定律求出各自的加速度；从放上滑块到二者速度相等，所用时间相等，由 可求出共同速度 和所用时间 ，然后由位移公式分别求出二者的位移 功和能分析 (1)对滑块和木板分别运用动能定理；(2)对滑块和木板组成的系统运用能量守恒定律 解题时应注意三个问题 (1)求摩擦力对滑块做功时用滑块对地的位移 ；(2)求摩擦力对木板做功时用木板对地的位移 ；(3)求摩擦生热时用相对位移 【例题精讲】 【例1】（26-27高三上·天津滨海新区·开学考试）如图，质量为、长度为的小车静止在光滑的水平面上。质量为的小物块（可视为质点）放在小车的最左端。现有一水平恒力作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动，物块和小车之间的摩擦力为。经过时间，小车运动的位移为，物块刚好滑到小车的最右端。以下判断正确的是（     ） A．此时物块的动能为 B．此时物块的动量为 C．这一过程中，物块和小车产生的内能为 D．这一过程中，物块和小车增加的机械能为 【例2】（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）如图所示，质量为M、长度为l的小车静止在光滑的水平面上。质量为m的小物块（可视为质点）放在小车的最左端。现用一水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动。物块和小车之间的摩擦力为f。物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为s。在这个过程中，以下结论正确的是（     ） A．物块到达小车最右端时具有的动能为F（l＋s） B．物块到达小车最右端时，小车具有的动能为fs C．物块和小车系统增加的内能为fl D．物块和小车系统增加的机械能为F（l＋s） 【变式训练1】（25-26高三上·江苏常州·阶段检测）如图所示，有一个质量为M的足够长的木板，正以水平向左大小为v的速度在光滑水平面上滑行，同时有一个质量为m的滑块以大小为v的速度向右滑上木板，滑块和木板间的动摩擦因数为，且，运动过程中滑块与木板始终不分离，以下分析正确的是（　　） A．仅增大，摩擦产生的热量不变 B．仅增大，摩擦力对滑块做功增多 C．仅增大M，滑块相对木板滑行的距离变小 D．仅减小m，滑块相对木板滑行的时间变短 【变式训练2】（25-26高三上·山东聊城·阶段检测）如图所示，木板AB质量为M=2kg静止放在光滑水平面上，木板的右端B处固定一根轻质弹簧，弹簧的原长为BC长度，C点到木板左端A的距离LAC=1.0m，可视为质点的小滑块质量为m（m未知），静止放置在木板的左端；现对木板施加水平向左的恒力F=24N，0.5s时撤去恒力F，此时滑块恰好到达弹簧自由端C处，此后的运动中始终没有超过弹簧的弹性限度。已知木板C点右侧部分光滑、C点左侧部分与滑块间的动摩擦因数为μ=0.2；取g=10m/s2。下列说法正确的是（　 　） A．若恒力F=9N，则在F作用时间内木板和滑块会相对静止 B．撤去恒力F后，木板先做减速后做匀速运动 C．在木板和滑块相对运动的整个过程中，弹簧的最大弹性势能Ep=12.0J D．在木板和滑块相对运动的整个过程中，系统产生的热量Q=8.0J 【变式训练3】（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）木板上A、B两点相距5米。一物块相对木板向右从板上A点滑至B点，同时木板在地面上向左滑行2米，图甲、乙分别为滑行前后的示意图，已知物块与木板间的滑动摩擦力大小为20 N，则下列说法正确的是（     ） A．物块所受的摩擦力做功为－60 J B．木板克服摩擦力做功为－40 J C．物块与木板间因摩擦产生的热量为60 J D．物块与木板间因摩擦产生的热量为100 J 题型四 功能关系在弹簧、斜面综合问题中的应用 【例题精讲】 【例1】（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）“蹦极”是一项刺激的极限运动，运动员将一端固定的长弹性绳绑在踝关节处，从几十米高处跳下。在某次蹦极中，从运动员离开跳台瞬间开始计时，弹性绳弹力F的大小随时间t的变化图像如图所示，其中、时刻图线的斜率最大。将蹦极过程近似为在竖直方向的运动，弹性绳中弹力与伸长量的关系遵循胡克定律，空气阻力不计。下列说法正确的是（     ） A．时间内运动员受到合外力冲量的大小，与时间内合外力冲量的大小相等 B．时间内运动员的动能先减少后增大 C．时刻运动员的加速度为零 D．时间内运动员重力势能增加 【例2】（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）一质量为m的滑雪运动员从一定高度的斜坡自由下滑。已知运动员在下滑过程中受到的阻力恒定，斜坡倾角为30°，运动员滑至坡底的过程中，其机械能和动能随下滑距离s变化的图像如图所示，重力加速度取10 m/s2。下列说法正确的是（     ） A．运动员下滑过程中只有重力做功 B．运动员下滑过程中受到的阻力为60 N C．运动员下滑时滑板与斜坡的动摩擦因数为 D．运动员质量为60 kg 【变式训练1】（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）“外骨骼机器人”是一种能增强运动能力的可穿戴装置。如题图甲所示，某同学穿戴“外骨骼机器人”后，在斜面上用绳子拉着质量为m的物块，沿粗糙斜坡由静止开始向上运动，绳子的拉力F随物块位移x变化的关系图像如图乙所示。绳子始终平行于斜坡，当拉力F变为0时，物块恰能静止不动。已知斜坡倾角为，重力加速度大小为g。对于整个过程，下列说法正确的是（     ） A．物块的机械能一直增加 B．物块与斜坡间因摩擦产生的热量为 C．物块做加速运动的时间等于做减速运动的时间 D．物块做加速运动的位移大于做减速运动的位移 【变式训练2】（26-27高三上·广东广州·阶段检测）如图所示，轻质弹性细绳下端系住小球，上端固定。静止释放小球，小球竖直下落H高度后，弹性绳恰好到达原长。以释放点为原点，取竖直向下为正方向。小球的位移为y、动能为Ek、加速度为a。忽略空气阻力，弹性绳在弹性限度内。关于小球从释放到最低点的过程中，其a-y图像或Ek-y图像可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练3】（26-27高三上·广西南宁·开学考试）（多选）如图所示，AB为固定水平长木板，长为L，C为长木板的中点，一原长为的轻弹簧一端连在长木板左端的挡板上，另一端连一物块（可看作质点），开始时将物块拉至长木板的右端B点，由静止释放物块，物块在弹簧弹力的作用下向左滑动，已知物块与长木板间的动摩擦因数为μ，物块的质量为m，弹簧的劲度系数，弹簧始终在弹性限度内。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，弹簧弹性势能为（x为弹簧形变量）。下列说法正确的是（     ） A．物块第一次向左运动过程中，经过C点时速度最大 B．物块第一次到达左侧最远点距C点 C．物块开始运动到最终停下，物块和弹簧系统损失的总机械能为 D．物块最终停在C点右侧处 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20讲 功能关系 能量守恒定律 【基础回顾】 一、功能关系 1．功能关系 (1)功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化。功不是能，功也不能变为能，只是能量转化的途径，转化多少能量，就需要做多少功。 (2)做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必须通过做功来实现。 2．几种常见的功能关系 几种常见力做功 对应的能量变化 数量关系式 重力 正功 重力势能减少 负功 重力势能增加 弹簧等的弹力 正功 弹性势能减少 负功 弹性势能增加 电场力 正功 电势能减少 负功 电势能增加 合力 正功 动能增加 负功 动能减少 重力以外的其他力 正功 机械能增加 负功 机械能减少 3．两个特殊的功能关系 (1)滑动摩擦力与两物体间相对位移的乘积等于产生的内能，即 。 (2)感应电流克服安培力做的功等于产生的电能，即 。 二、能量守恒定律 1．内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失。它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，而在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。 2．表达式：。 (1)若只有两种形式的能量相互转化，则这两种形式的能量之和保持不变。如动能和电势能相互转化，则 。 (2)自然界中虽然能量守恒，但很多能源利用之后不可再利用，即能源品质降低，所以要节约能源。 题型一 功能关系的理解和应用 1．两种摩擦力做功特点的比较 类型 比较 静摩擦力做功 滑动摩擦力做功 不同点 能量的转化 只有机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能转化为其他形式的能 (1)一部分机械能从一个物体转移到另一个物体 (2)一部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能的损失量 一对摩擦力做的总功 一对静摩擦力所做功的代数和总等于零 一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值，总功 ，即发生相对滑动时产生的热量 相同点 做功情况 两种摩擦力对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不做功 【例题精讲】 【例1】（26-27高三·全国·一轮复习）喷泉水滴的运动轨迹如图所示，若该“喷泉”是采用水泵将水先从距水平面下深度为h处由静止提升至水平面，然后再喷射出去，上升的最大高度为h，水滴下落在水平面的位置距喷水口的距离为2h。已知喷水口的流量Q（流量Q定义为单位时间内喷出水的体积），水的密度为ρ，水泵提升水的效率为η，重力加速度大小为g，不计空气阻力。则水泵抽水的平均功率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】竖直方向：，竖直分量速度为 ，得水滴从喷口到最大高度时间 水平方向：，得水滴的水平速度 水喷出的初动能 抽到水平面，重力势能增量 在Δt时间内，喷射出水的质量 水泵抽水做功，第一部分水平面下深度为h处由静止提升至水平面，第二部分水抽出后具有初动能 解得 故选C。 【例2】（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）（多选）在物理中，图像中点、线、截距、斜率、面积的物理意义对规律的理解很有帮助，对于图中的y-x图像，下面说法不正确的是（　　） A．若x轴表示位移x，y轴表示加速度a，则图中阴影部分的面积表示速度平方的一半 B．若x轴表示位移x，y轴表示机械能E，则图线任意一点的切线斜率表示该点处物体所受合外力F C．汽车沿直线行驶时，若x轴表示汽车的速度v，y轴表示汽车的牵引力功率P，则图线任意一点的切线斜率表示该处汽车的牵引力F D．初始静止的物体仅受变力F（仅大小变化，方向不变）作用下运动时动能一直在增大，若x轴表示逐渐增大的动能Ek，y轴表示与之对应的，则图中阴影部分的面积表示物体此过程的位移 【答案】ABC 【详解】A．若x轴表示位移x，y轴表示加速度a，根据 得 可知图中阴影部分的面积表示速度平方变化量的一半。故A错误； B．若x轴表示位移x，y轴表示机械能E，根据功能关系得 变形得 可知图线任意一点的切线斜率表示该点处物体所受除系统内的弹力或重力以外的其他力的合力。故B错误； C．汽车沿直线行驶时，若x轴表示汽车的速度v，y轴表示汽车的牵引力功率P，则 图像的切线斜率 而牵引力 是图像上点与原点连线的斜率，不是切线斜率。故C错误； D．初始静止的物体仅受变力F（仅大小变化，方向不变）作用下运动时动能一直在增大，若x轴表示逐渐增大的动能Ek，y轴表示与之对应的，由功能关系得 变形得 则图中阴影部分的面积表示物体此过程的位移。故D正确。 本题选错的，故选ABC。 【变式训练1】（26-27高三上·河北衡水·阶段检测）如图所示为某次跳水运动员跳水的情景，跳水运动员的部分跳水过程可以简化为：运动员从高处落到处于自然状态的跳板（M位置）上，随跳板一同向下运动到最低点（N位置）。则运动员从开始接触跳板到运动至最低点的过程中，下列说法正确的是（    ） A．运动员一直处于超重状态 B．运动员的动能先增大后减小 C．跳板的弹性势能一直在减小 D．运动员所受重力对她做的功大于她克服跳板的作用力所做的功 【答案】B 【详解】AB．运动员刚与跳板接触至时，做加速度减小的加速运动，处于失重状态，之后有 运动员开始做加速度增大的减速运动，处于超重状态，运动员的动能先增大后减小，故A错误，B正确； C．该过程中跳板的形变量一直增大，至最低点时跳板形变量最大，弹性势能最大，故C错误； D．对全程，由动能定理得 解得 即运动员所受重力对她做的功小于她克服跳板的作用力所做的功，故D错误。 故选B。 【变式训练2】（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）如图所示，某同学准备罚球，手持篮球保持静止，在裁判员示意后将球斜向上抛出，篮球刚好落入篮筐。篮球从静止到刚好落入篮筐的过程中，已知空气阻力做功为，重力做功为，投篮时该同学对篮球做功为。篮球可视为质点，则在此过程中（     ） A．篮球重力势能的变化量为 B．篮球机械能的变化量为 C．篮球动能的变化量为 D．篮球在落入篮筐瞬间机械能最大 【答案】B 【详解】A．篮球重力势能的增量等于克服重力做功，即为，故A错误； B．篮球机械能的变化量等于阻力做功与同学对篮球做功之和，即为，故B正确； C．根据动能定理可知，篮球动能的增量等于合外力的功，即为，故C错误； D．由于在运动过程中持续有空气阻力做功，则篮球在刚好落入篮筐中时机械能最小，故D错误。 故选B。 【变式训练3】（2026·福建福州·模拟预测）（多选）有一小球从风洞中的点M竖直向上抛出，小球受到大小恒定的水平风力，其运动轨迹大致如图所示，其中M、N两点在同一水平线上，O点为轨迹的最高点，小球在M点动能为16 J，在O点动能为4 J，不计空气阻力，重力加速度，下列说法正确的是（     ） A．小球所受重力和风力大小之比为2∶1 B．小球在上升和下降过程中机械能变化量之比为1∶4 C．小球落到N点时的动能为32 J D．小球从M点运动到N点过程动能一直减小 【答案】AC 【详解】A．将小球的运动分解为竖直方向的竖直上抛运动和水平方向的初速度为0的匀加速直线运动，小球在M点的动能全部来自竖直初速度 到最高点O时，竖直速度减为0，动能全部来自水平速度 设竖直方向加速度为，上升时间为，则 水平方向加速度为，则 联立得 因此，即重力与风力大小之比为2：1，A正确； B．机械能的变化量等于风力做的功。 竖直上抛运动上升和下落的时间相等，水平方向是匀加速直线运动，连续相等时间内的水平位移之比为。风力恒定，由可知，上升和下落过程风力做功之比为，因此机械能变化量之比为1：3，B错误； C．从M到O水平位移设为，则从O到N水平位移为，M到N总水平位移为。 M到O过程风力做功 对M→O用动能定理 同时竖直上抛上升过程 得 因此全程M→N风力总做功 全程重力做功为0，所以N点动能，C正确； D．小球所受合力为斜向右下的恒力，初速度竖直向上，合力与初速度夹角为钝角，因此上升阶段小球动能先减小；当速度方向与合力方向变为锐角后，动能开始增大，并非一直减小，D错误。 故选AC。 题型二 传送带模型综合问题 1．解答传送带模型的动力学方法 首先要正确分析物体的运动过程，做好受力分析，然后利用运动学公式结合牛顿第二定律求物体及传送带在相应时间内的位移，找出物体和传送带之间的位移关系。 2．求电机多消耗电能的方法 (1)能量守恒法：多消耗的电能等于工件增加的机械能与摩擦产生的热量之和。即 ，其中 。 (2)动能定理法：多消耗的电能等于电动机做的功，由于传送带匀速运动，电动机做的功等于传送带克服摩擦力做的功，即 ，其中 为传送带对地的位移。 【例题精讲】 【例1】（26-27高三上·广东东莞·阶段检测）如图所示，某快递公司利用传送带输送快件，绷紧的水平传送带AB始终保持恒定速度运行，在传送带上A处轻轻放置一快件，快件由静止开始加速，与传送带共速后，做匀速运动到达B处。忽略空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．快件先受滑动摩擦力作用，后受静摩擦力作用 B．快件与传送带间动摩擦因数越大，快件与传送带相对位移越小 C．因传送快件多消耗的电能等于快件增加的动能 D．运送距离一定时，快件与传送带间动摩擦因数越大，运送时间越长 【答案】B 【详解】A．快件与传送带共速前受滑动摩擦力作用，共速后快件不受摩擦力作用，故A错误； B．快件与传送带有相对运动时，其加速度大小为 快件由静止加速至速率为v的过程用时 快件由静止加速至速率为v过程与传送带的相对位移大小为 所以快件与传送带间动摩擦因数越大，快件与传送带相对位移越小，故B正确； C．因传送快件多消耗的电能等于快件增加的动能与因摩擦增加的内能之和，故C错误； D．快件匀速运动的时间为 快件运输的总时间为 所以运送距离一定时，快件与传送带间动摩擦因数越大，运送时间越短，故D错误。 故选B。 【例2】（24-25高三·全国·二轮复习）（多选）如图甲所示，倾角为θ的传送带以恒定速率逆时针运行，现将一质量为1 kg的煤块轻轻放在传送带的A端，煤块的速度随时间变化的关系如图乙所示，2 s末煤块到达B端，取沿传送带向下为正方向，g取 10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则（     ） A．倾角θ＝37°，煤块与传送带间的动摩擦因数为0.4 B．2 s内煤块的机械能减少了24 J C．2 s内煤块与传送带因摩擦产生的内能为24 J D．由于传送该煤块，电动机多消耗的电能为40 J 【答案】BC 【详解】A．由图乙可知，内加速度，内加速度 0内摩擦力沿传送带向下，1内摩擦力沿传送带向上，由牛顿第二定律得， 两式相加、相减得， 所以，，故A错误； B．由图乙知时煤块与传送带共速，故传送带速度为，煤块在末的速度为，煤块沿传送带向下的位移为 重力势能变化量为 动能变化量为 所以 机械能减少，故B正确； C．内传送带和煤块的位移分别为， 内传送带和煤块的位移分别为， 相对滑动路程为， 滑动摩擦力大小为 故摩擦产生的内能为，故C正确； D．由能量守恒，电动机因煤块多输入的电能等于摩擦产生的内能与煤块机械能变化量之和，即，故D错误。 故选BC。 【变式训练1】（26-27高三上·江苏淮安·开学考试）足够长的水平传送带以速度顺时针匀速转动，质量为的货物（视为质点）以初速度从右端滑上传送带。货物在传送带上运动过程中，由于摩擦产生的热量为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】货物初速度向左为，受向右的滑动摩擦力，根据牛顿第二定律可知货物的加速度大小 货物减速到0的时间 货物的位移大小为 该段时间内，传送带的位移大小为 由于该过程中货物与传送带的运动方向相反，故相对位移大小为 货物速度减为0后，在向右的滑动摩擦力作用下向右加速，直到和传送带速度相等，加速时间 货物的位移大小为 该段时间内，传送带的位移大小为 由于该过程中货物与传送带的运动方向相同，故相对位移大小为 因此，货物在传送带上运动过程中，由于摩擦产生的热量为 故选D。 【变式训练2】（2026·广西贺州·二模）如图所示，质量的货物（可视为质点）从高的光滑轨道上的P点由静止开始下滑，货物滑到水平传送带上的A点，货物在轨道与传送带连接处能量损失不计，货物与传送带间的动摩擦因数，传送带上A、B两点间的距离，传送带一直以的速度顺时针匀速转动，取重力加速度大小。装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轴处的摩擦。货物从传送带左端A点运动到右端B点的过程中，下列说法正确的是（     ） A．摩擦力对货物做的功为40J B．货物从A点运动到B点用时2.5s C．由于摩擦而产生的热量为60J D．由于运送货物，带动传送带转动的电动机多消耗的电能为80J 【答案】D 【详解】A．货物从光滑轨道下滑到A点的过程中机械能守恒，取A点所在水平面为零势能面。由机械能守恒定律得 解得货物到达A点时的速度为。货物在传送带上相对传送带向左运动，受到水平向右的滑动摩擦力。以向右为正方向，由牛顿第二定律得 解得加速度为。货物与传送带共速前，由匀变速直线运动速度公式得 解得加速时间为。这段时间内，货物的位移满足 所以，摩擦力对货物做的功为 故，故A错误； B．货物与传送带共速后做匀速运动，匀速阶段时间为 所以，从A点到B点的总时间为 故，故B错误； C．货物相对传送带的位移大小为 所以。摩擦产生的热量等于滑动摩擦力与相对位移乘积，故 所以，故C错误； D．根据能量守恒，电动机为运送货物额外提供的电能等于货物增加的动能与摩擦产生的热量之和，故 所以，故D正确。 故选D。 【变式训练3】（26-27高三上·福建福州·开学考试）（多选）如图甲，足够长倾角为的倾斜传送带（转轮大小忽略不计）顺时针方向匀速运行。质量为m=1 kg可视为质点的物块，在时刻从传送带底端（取该位置所在平面为零势能面）开始沿传送带上滑。物块在传送带上运动时的机械能E随时间t的变化关系如图乙所示（两段图线均为曲线，且在t=1.2 s时其切线水平）。重力加速度g取10 m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。下列说法正确的是（     ） A．传送带的运行速度大小为2 m/s B．物块与传送带间的动摩擦因数为0.4 C．0~1.2 s，物块与传送带间摩擦生热为3.2 J D．物块下滑过程中，机械能损失了6.4 J 【答案】AD 【详解】AB．由图乙可知，t=0时刻，物块动能为8J，则有 解得物块初速度 由图乙可知，t=0.2s时刻，物块与传送带共速，且物块机械能减少，说明摩擦力对其做负功，物块相对传送带向上滑，物块做减速运动，因此有（其中） 该段时间，对物块有 共速后，假设物块随传送带匀速运动，静摩擦力对物块做正功且与时间成正比，图线应为直线，实际上是曲线，故共速后物块相对传送带向下运动，则共速后，对物块有 1.2s时图线切线水平，所以此时物块速度为零，则有（其中） 联立解得，，故A正确，B错误； C．0~1.2s，物块与传送带间摩擦生热为 联立解得，故C错误； D．物块上滑过程运动距离为 则物块下滑过程中，机械能损失了，故D正确。 故选AD。 题型三 “滑块—木板”模型综合问题 板块模型的动力学分析和功能关系分析 情境模型图示 动力学分析 分别对滑块和木板进行受力分析，根据牛顿第二定律求出各自的加速度；从放上滑块到二者速度相等，所用时间相等，由 可求出共同速度 和所用时间 ，然后由位移公式分别求出二者的位移 功和能分析 (1)对滑块和木板分别运用动能定理；(2)对滑块和木板组成的系统运用能量守恒定律 解题时应注意三个问题 (1)求摩擦力对滑块做功时用滑块对地的位移 ；(2)求摩擦力对木板做功时用木板对地的位移 ；(3)求摩擦生热时用相对位移 【例题精讲】 【例1】（26-27高三上·天津滨海新区·开学考试）如图，质量为、长度为的小车静止在光滑的水平面上。质量为的小物块（可视为质点）放在小车的最左端。现有一水平恒力作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动，物块和小车之间的摩擦力为。经过时间，小车运动的位移为，物块刚好滑到小车的最右端。以下判断正确的是（     ） A．此时物块的动能为 B．此时物块的动量为 C．这一过程中，物块和小车产生的内能为 D．这一过程中，物块和小车增加的机械能为 【答案】D 【详解】A．对物块应用动能定理，合外力做功等于动能的变化量。物块受到的合外力为，位移为，则物块的动能为，故A错误； B．对物块应用动量定理，合外力的冲量等于动量的变化量。物块受到的合外力为，作用时间为，则物块的动量为，故B错误； C．系统产生的内能等于滑动摩擦力与相对位移的乘积。物块相对小车的位移为，则产生的内能为，故C错误； D．根据功能关系，系统增加的机械能等于外力做的功减去系统产生的内能。外力做功为，产生的内能为，则系统增加的机械能为，故D正确。 故选D。 【例2】（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）如图所示，质量为M、长度为l的小车静止在光滑的水平面上。质量为m的小物块（可视为质点）放在小车的最左端。现用一水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动。物块和小车之间的摩擦力为f。物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为s。在这个过程中，以下结论正确的是（     ） A．物块到达小车最右端时具有的动能为F（l＋s） B．物块到达小车最右端时，小车具有的动能为fs C．物块和小车系统增加的内能为fl D．物块和小车系统增加的机械能为F（l＋s） 【答案】BC 【详解】A．物块相对于地面的位移为l＋s，对物块受力分析，根据动能定理可知，物块到达小车最右端时具有的动能Ek物＝(F－f)(l＋s)，故A错误； B．小车水平方向仅受摩擦力f，小车的位移为s，根据动能定理可知，物块到达小车的最右端时，小车具有的动能Ek车＝fs，故B正确； C．物块与小车之间的相对位移为l，因滑动摩擦力做功使系统增加的内能为Q＝fl，故C正确； D．外力F对系统做的功为WF＝F(l＋s) 根据功能关系和能量守恒定律可知，外力做的功等于系统增加的机械能与增加的内能之和，即F(l＋s)＝ΔE机械＋Q 因此系统增加的机械能为ΔE机械＝F(l＋s)－fl，故D错误。 故选BC。 【变式训练1】（25-26高三上·江苏常州·阶段检测）如图所示，有一个质量为M的足够长的木板，正以水平向左大小为v的速度在光滑水平面上滑行，同时有一个质量为m的滑块以大小为v的速度向右滑上木板，滑块和木板间的动摩擦因数为，且，运动过程中滑块与木板始终不分离，以下分析正确的是（　　） A．仅增大，摩擦产生的热量不变 B．仅增大，摩擦力对滑块做功增多 C．仅增大M，滑块相对木板滑行的距离变小 D．仅减小m，滑块相对木板滑行的时间变短 【答案】A 【详解】水平面光滑， 设共速时的速度为​，根据动量守恒 可得 A．摩擦生热等于系统动能损失 解得 从上式可看出​与的大小无关，仅增大，不变，A正确； B．根据动能定理，摩擦力对滑块做功等于滑块动能变化量 仅增大，不变，滑块动能变化量不变，摩擦力做功不变，B错误； C．由​ 得相对滑行距离 ​ 仅增大，​减小，分母减小，​增大，C错误； D．对滑块由动量定理 代入化简得 ​ 仅减小，​减小，分母减小，增大（滑行时间变长），D错误。 故选A 。 【变式训练2】（25-26高三上·山东聊城·阶段检测）如图所示，木板AB质量为M=2kg静止放在光滑水平面上，木板的右端B处固定一根轻质弹簧，弹簧的原长为BC长度，C点到木板左端A的距离LAC=1.0m，可视为质点的小滑块质量为m（m未知），静止放置在木板的左端；现对木板施加水平向左的恒力F=24N，0.5s时撤去恒力F，此时滑块恰好到达弹簧自由端C处，此后的运动中始终没有超过弹簧的弹性限度。已知木板C点右侧部分光滑、C点左侧部分与滑块间的动摩擦因数为μ=0.2；取g=10m/s2。下列说法正确的是（　 　） A．若恒力F=9N，则在F作用时间内木板和滑块会相对静止 B．撤去恒力F后，木板先做减速后做匀速运动 C．在木板和滑块相对运动的整个过程中，弹簧的最大弹性势能Ep=12.0J D．在木板和滑块相对运动的整个过程中，系统产生的热量Q=8.0J 【答案】D 【详解】BC．F作用的过程中，对小滑块，根据牛顿第二定律，有 根据位移-时间关系，有 可得， 对木板，根据牛顿第二定律，有 根据位移-时间关系，有 位移间的关系为 联立可得， 此时木板的速度   小滑块的速度 所以弹簧被压缩，小滑块继续做加速运动，木板开始做减速运动，弹簧压缩到最短时，两者共速，此时弹簧弹性势能最大。由动量守恒，有 由能量守恒，有 可得， 之后弹簧伸长，小滑块继续做加速运动，木板继续做减速运动，弹簧回复原长时，小滑块速度大于木板速度，小滑块接着向左运动进入粗糙面，开始做减速运动；木板受到向左的摩擦力，开始做加速运动，二者共速时，开始做匀速运动，故BC错误； A．若在F1作用下木板和滑块恰好发生相对运动，则对滑块，有 对木板，有 可得F1=8N 若恒力F=9N，木板和滑块不会相对静止一起运动，故A错误； D．弹簧恢复原长时，根据动量守恒，有 根据能量守恒，有 联立解得 假设二者在粗糙部分最后共速，则由 可得 木板的加速度大小 木板向左运动的位移 小滑块的位移 则 即小滑块从木板左侧滑出，所以整个运动过程中，系统产生的热量，故D正确。 故选D。 【变式训练3】（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）木板上A、B两点相距5米。一物块相对木板向右从板上A点滑至B点，同时木板在地面上向左滑行2米，图甲、乙分别为滑行前后的示意图，已知物块与木板间的滑动摩擦力大小为20 N，则下列说法正确的是（     ） A．物块所受的摩擦力做功为－60 J B．木板克服摩擦力做功为－40 J C．物块与木板间因摩擦产生的热量为60 J D．物块与木板间因摩擦产生的热量为100 J 【答案】AD 【详解】A．木板上A、B两点相距xAB＝5 m，木板向左滑行x2＝2m 则物块向右滑行x1＝xAB－x2＝3 m 对物块分析可得，物块所受的摩擦力做功为W1＝－fx1＝－60 J，故A正确； B．对木板分析可得，摩擦力对木板做功为W2＝－fx2＝－40 J，可知木板克服摩擦力做功为40 J，故B错误； CD．由功能关系可知，物块与木板间因摩擦产生的热量为Q＝fxAB＝100 J，故C错误，D正确。 故选AD。 题型四 功能关系在弹簧、斜面综合问题中的应用 【例题精讲】 【例1】（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）“蹦极”是一项刺激的极限运动，运动员将一端固定的长弹性绳绑在踝关节处，从几十米高处跳下。在某次蹦极中，从运动员离开跳台瞬间开始计时，弹性绳弹力F的大小随时间t的变化图像如图所示，其中、时刻图线的斜率最大。将蹦极过程近似为在竖直方向的运动，弹性绳中弹力与伸长量的关系遵循胡克定律，空气阻力不计。下列说法正确的是（     ） A．时间内运动员受到合外力冲量的大小，与时间内合外力冲量的大小相等 B．时间内运动员的动能先减少后增大 C．时刻运动员的加速度为零 D．时间内运动员重力势能增加 【答案】B 【详解】A．时刻图线斜率最大，结合胡克定律 可知弹力的变化率 时刻斜率最大对应速度最大，此时弹力等于重力、加速度为0。 设时刻运动员速度为，时刻为最低点速度为0。则时间内运动员受到合外力冲量的大小 时间内合外力冲量的大小 因此二者合外力冲量大小不相等，A错误； B．和时刻图线的斜率最大，所以速度最大，时刻速度为0，所以时间内运动员的动能先减少后增大，B正确； C．时刻弹力达到最大值，大于运动员重力，合力向上，加速度不为零，C错误； D．时间内运动员仍在向下运动，重力势能随高度降低而减小，D错误。 故选B。 【例2】（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）一质量为m的滑雪运动员从一定高度的斜坡自由下滑。已知运动员在下滑过程中受到的阻力恒定，斜坡倾角为30°，运动员滑至坡底的过程中，其机械能和动能随下滑距离s变化的图像如图所示，重力加速度取10 m/s2。下列说法正确的是（     ） A．运动员下滑过程中只有重力做功 B．运动员下滑过程中受到的阻力为60 N C．运动员下滑时滑板与斜坡的动摩擦因数为 D．运动员质量为60 kg 【答案】BD 【详解】A．由题图可知，运动员下滑过程中机械能减小，运动员的机械能不守恒，除重力外还有其他力做功，故A错误； B．由功能关系可知，运动员下滑过程克服阻力做的功等于机械能的减少量，即|ΔE|＝fs，则运动员受到的阻力大小为，故B正确； CD．运动员下滑过程中受到的阻力大小f＝μmgcos30° 由功能关系可知(mgsin30°－f)s＝ΔEk 由题图可知Ek­s图线的斜率为 联立解得m＝60 kg，，故C错误，D正确。 故选BD。 【变式训练1】（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）“外骨骼机器人”是一种能增强运动能力的可穿戴装置。如题图甲所示，某同学穿戴“外骨骼机器人”后，在斜面上用绳子拉着质量为m的物块，沿粗糙斜坡由静止开始向上运动，绳子的拉力F随物块位移x变化的关系图像如图乙所示。绳子始终平行于斜坡，当拉力F变为0时，物块恰能静止不动。已知斜坡倾角为，重力加速度大小为g。对于整个过程，下列说法正确的是（     ） A．物块的机械能一直增加 B．物块与斜坡间因摩擦产生的热量为 C．物块做加速运动的时间等于做减速运动的时间 D．物块做加速运动的位移大于做减速运动的位移 【答案】C 【详解】A．根据功能关系可知，除重力以外的其它力做功等于机械能的变化量，而其它力即外力F和摩擦力的合力，初始一段时间内外力沿斜面向上，摩擦力一直沿斜面向下，外力与摩擦力的合力沿斜面向上，即其它力做正功，机械能增大，之后外力小于摩擦力，外力与摩擦力的合力沿斜面向下，即其它力做负功，机械能减小，故A错误； B．由图乙可得，拉力对物块做功 重力做的负功为 根据动能定理有 解得摩擦力做功为 故物块与斜坡间因摩擦产生的热量为，故B错误； D．由题知，当拉力F变为0时，物块恰能静止不动，则有 根据动能定理有 即 解得 根据乙图，可知图像的函数关系为 则有 当合力为零时，速度最大，物块的运动状态由加速变成减速，则有 解得 代入 解得加速位移为 可知加速的位移等于减速的位移，均为，故D错误； C．设物块的最大速度为。刚开始，根据牛顿第二定律有 可知随着减小，加速度沿斜面向上减小，速度沿斜面向上增大，即物块做加速度不断减小的加速运动，当加速度为零时，速度达到最大，之后开始减速，根据牛顿第二定律有 可知随着继续减小，加速度沿斜面向下增大，速度沿斜面向上减小，即物块做加速度不断增大的减速运动，最后速度为零，作出图像如图所示 根据图像与时间轴围成的面积表示位移，且加速的位移与减速的位移相等，均为，即时间内围成的面积与时间内围成的面积相等，且纵坐标，即最大速度相等，可知加速的时间等于减速的时间，故C正确。 故选C。 【变式训练2】（26-27高三上·广东广州·阶段检测）如图所示，轻质弹性细绳下端系住小球，上端固定。静止释放小球，小球竖直下落H高度后，弹性绳恰好到达原长。以释放点为原点，取竖直向下为正方向。小球的位移为y、动能为Ek、加速度为a。忽略空气阻力，弹性绳在弹性限度内。关于小球从释放到最低点的过程中，其a-y图像或Ek-y图像可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】AB．在过程中，弹性绳处于松弛状态，小球只受重力，加速度保持不变， 在过程中，弹性绳被拉伸，产生向上的弹力 根据牛顿第二定律有 解得 可知与呈线性关系，且斜率为负，随着的增大，先减小至 0 后反向增大，但图A中时加速度为0，不满足题意，故AB错误； C．在过程中，根据动能定理有 可得图像为过原点的直线； 在过程中，小球先加速后减速，动能先增大后减小，且在处合力仍为，动能继续增加，不会立即减小。故C错误； D．在过程中，根据动能定理有 可得图像是开口向下的抛物线，当时，加速度，此时速度最大，动能最大，该位置在处。故D正确。 故选D。 【变式训练3】（26-27高三上·广西南宁·开学考试）（多选）如图所示，AB为固定水平长木板，长为L，C为长木板的中点，一原长为的轻弹簧一端连在长木板左端的挡板上，另一端连一物块（可看作质点），开始时将物块拉至长木板的右端B点，由静止释放物块，物块在弹簧弹力的作用下向左滑动，已知物块与长木板间的动摩擦因数为μ，物块的质量为m，弹簧的劲度系数，弹簧始终在弹性限度内。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，弹簧弹性势能为（x为弹簧形变量）。下列说法正确的是（     ） A．物块第一次向左运动过程中，经过C点时速度最大 B．物块第一次到达左侧最远点距C点 C．物块开始运动到最终停下，物块和弹簧系统损失的总机械能为 D．物块最终停在C点右侧处 【答案】BD 【详解】AB．设物块相对点向右的位移为。物块第一次向左运动时，在点右侧所受弹簧弹力向左、滑动摩擦力向右。合力为零时速度达到最大，故有 结合题给劲度系数解得 所以速度最大处在点右侧。设物块第一次到达左侧最远点时弹簧的压缩量为，由功能关系得 代入并整理得 取正根得，故A错误，B正确； CD．在第一次左侧最远点，弹簧弹力为 物块不能停下，随后向右运动。设下一次速度减为零时弹簧的伸长量为，由功能关系得 代入和题给劲度系数，解得 此时弹簧弹力为 弹簧弹力等于最大静摩擦力，物块可静止在点右侧处。从开始运动到最终停止，物块和弹簧系统损失的总机械能为，故C错误，D正确。 故选BD。 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $